Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Átírás

1 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f :, f f ( ) f () függvéy. a) Számítsd ki a határértékt! b) gazold, hogy az f függvéy övkvő -! c) Számítsd ki: S g() g()... g(9), ahol g :, g( ) f ( ) f ( ). l l. Adott az f :,, f( ) függvéy. a) gazold, hogy f, bármly ; sté! 5 b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy 5.. Adott az f :, f függvéy. a) Számítsd ki: f ( ),. b) gazold, hogy f csökkő a, itrvallumo és övkvő a, itrvallumo! c) Határozd mg az f függvéy grafikus kép frd aszimptotájáak gyltét a flé! 9 5. Adott az f :, f 9( ) függvéy. a) Számítsd ki az f() f() összgt! b) Határozd mg az f függvéy grafikus képéhz az A ; potba húzott éritő gyltét! c) gazold, hogy az f, itrvallumo! függvéy kov a 6. Adott az f :,, f függvéy. a) Számítsd ki a f( ) határértékt! a) Számítsd ki a f( ) határértékt! c) Bizoyítsd b, hogy ( ) f bármly, sté! f ( ) f () 7. Adott az f :, f függvéy. a) Számítsd ki a határértékt! b) Bizoyítsd b, hogy az f függvéyk ics aszimptotája a flé! c) Bizoyítsd b, hogy az f függvéy kov -! l 8. Adott az f :, \, f( ) = függvéy. a) Számítsd ki a f határértékt! b) gazold, l hogy f( ), bármly ; \ sté! c) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits ( l ) aszimptotájáak gyltét a flé! 9. Adott az f :, f ( ) ( a b c) függvéy, ahol abc,,. a) Számítsd ki a f( ) határértékt, ha a, b c. b) gazold, hogy f () f () b. c) Határozd mg az abc,, számokat, ha f(), f() és f ().,. Adott az f :, f( ) függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy folytoosságát az, potba! b) Számítsd ki az f() f() összgt! c) gazold, hogy az f függvéy kokáv a ; itrvallumo!. Adott az f :,, f( ) függvéy. a) gazold, hogy f ( ), bármly, sté! b) gazold, hogy az f függvéy csökkő a f határértékt!. Adott az :, f, f ( ) l f függvéy kov a, itrvallumo! ) gazold, hogy, itrvallumo! c) Számítsd ki a függvéy. a) Számítsd ki: ( ),, f. b) gazold, hogy az f l, bármly, sté!

2 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az : f \, f( ) függvéy. a) gazold, hogy f( ), bármly \ sté! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép aszimptotájáak gyltét a flé! c) Bizoyítsd b, hogy f( ), bármly sté. l. Adott az f :,, f( ) függvéy. a) Számítsd ki: f (). b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits aszimptotájáak gyltét a flé! c) Bizoyítsd b, hogy bármly sté! 5. Adottak az f :, f ( ), f ( ) f ( ) függvéyk mid sté. a) Számítsd ki: f ( ) -t, ha. b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits aszimptotájáak gyltét a flé! f( ) c) Számítsd ki a határértékt!, 6. Adott az f :, f( ) függvéy, ahol a. a) Határozd mg a értékét úgy, hogy a, az f függvéy folytoos lgy az potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus képéhz az A; bármly a sté! potba húzott éritő gyltét! c) gazold, hogy az f függvéy csökkő a ; itrvallumo, 7. Adott az f : *, f( ) függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha függvéy csökkő a, itrvallumo! c) gazold, hogy. 8. Adott az : f, f ( ). b) Bizoyítsd b, hogy az f függvéy. a) gazold, hogy f ( ) bármly sté! b) f( ) f Számítsd ki a határértékt! c) Határozd mg a g :, g függvéy mootoitási f itrvallumait! l 9. Adott az f :,, f( ) függvéy. a). Számítsd ki f() -t, ha,. b) Számítsd ki a f( ) határértékt! c) Bizoyítsd b, hogy f ( ), bármly, sté! f f( ). Adott az :,, függvéy. a) Számítsd ki f () függvéy övkvő a ; itrvallumo! c) Bizoyítsd b, hogy, f ( ). Adott az f \ :, f( ) -t, ha, bármly,. b) gazold, hogy az f sté! függvéy. a) gazold, hogy f( ), bármly sté! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép frd aszimptotájáak gyltét flé! c) gazold, hogy f f 8, bármly sté! f, f ( ) l függvéy. a) Számítsd ki f (),. b) Számítsd ki a. Adott az :, -t, ha f( ) határértékt! c) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! f ( ) \

3 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az :, f függvéy szélsőértékpotjait! c) Számítsd ki a. Adott az f :,, f ( ) függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha. b) Határozd mg az f f( ) f( ) határértékt! f ( ) l függvéy. a) Számítsd ki f () -t, ha,. b) Határozd mg az f függvéy szélsőértékpotját! c) Bizoyítsd b, hogy l bármly, sté! 5. Adott az f :, f függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha. b) Bizoyítsd b, hogy f( ), bármly sté! c) Írd fl az f függvéy grafikus kép frd aszimptotájáak gyltét flé! 6. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy, bármly sté! l 7. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki f -t, ha,. b) Határozd az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits aszimptotájáak gyltét!, 8. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy folytoosságát az l, potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép aszimptotájáak gyltét flé! c) gazold, hogy az f függvéy kokáv az, itrvallumo! f ˇ, f l f f. b) Határozd mg az f 9. Adott az :, függvéy. a) gazold, hogy f ( ) függvéy szélsőértékpotját! c) Számítsd ki a határétkt! f f. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki a határértékt! b) gazold, hogy az f függvéy kov az ˇ -! c) Oldd mg a valós számok halmazá az f f f gyltt!. Adott az f :, ˇ, f l függvéy. a) gazold, hogy f l, bármly, f( ) sté! b) Számítsd ki a határétkt! c) Bizoyítsd b, hogy f l, bármly sté!. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki az f f összgt! b) Számítsd ki a f f határértékt! c) gazold, hogy az f függvéy kokáv az ˇ -!. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) gazold, hogy f, bármly, sté! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits aszimptotájáak gyltét a flé! c) gazold, hogy f. Adott az f : f f, bármly sté! f ( ) ˇ ˇ, függvéy. a) Számítsd ki f határértékt! c) Bizoyítsd b, hogy az f függvéy övkvő az ˇ -! -t, ha ˇ. b) Számítsd ki a

4 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 6 5. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) gazold, hogy f, bármly ; sté! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f f bármly ; sté!, 6. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki f -t, ha. b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép vízszits aszimptotájáak gyltét flé! c) gazold, hogy az f függvéy grafikus képéhz az, f ( ) koordiátájú potba húzott éritő párhuzamos az O tgllyl! l 7. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki a f határértékt! b) gazold, hogy l l f f, bármly, sté! c) Határozd mg a g :, ˇ, g függvéy l f grafikus képék flé mutató aszimptotájáak gyltét! 8. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) gazold, hogy f b) Határozd mg az f függvéy motoitási itrvallumait. c) Számítsd ki a K 9 g g g g 9 f 9. Adott az :,, bármly ˇ sté! határértékt, ha g : ˇ ˇ, g f f. f,. b) Határozd mg f ˇ, l függvéy. a) Számítsd ki -t, ha f. az f függvéy szélsőértékpotját! c) gazold, hogy. b) Határozd mg az f( ) f grafikus képéhz az A ; potba húzott éritő gyltét! c) Számítsd ki határértékt! függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha ;. b) gazold, hogy az f f. c) gazold, hogy az f függvéy csökkő az, itrvallumo!. Adott az f : ˇ ˇ, f f -t, ha ˇ. b) gazold, hogy az. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) Számítsd ki f -t, ha,. Adott az f :, ˇ, f f függvéy kov az ˇ -. c) Számítsd ki a. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Határozd mg f f mutató aszimptotájáak gyltét! b) gazold, hogy hogy f f bármly ˇ sté! ˇ ˇ, f. Adott az f : határértékt! függvéy. a) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé f függvéy. a) gazold, hogy f( ) kov az ˇ -! c) Számítsd ki a határétkt! 5. Adottak az f, g: f g, bármly ˇ sté! c) Bizoyítsd b, f. b) gazold, hogy az f függvéy ˇ ˇ, és függvéyk. a) gazold, hogy f g, bármly sté! b) Határozd mg a g függvéy grafikus kép flé mutató aszimptotájáak gyltét! c)

5 tgrált ttzív Matmatika Érttségi Ha ˇ gy itrvallum, akkor igazold, hogy a g függvéy akkor és csak akkor övkvő az itrvallumo, ha az f függvéy kov az itrvallumo! 6. Adott az f : ;, f, ; ˇ függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy l, f határértékt! c) gazold, hogy f, bármly folytoosságát az potba! b) Számítsd ki a sté! 7. Adott az f :, ˇ, l f függvéy. a) Számítsd ki f () -t, ha,. b) gazold, hogy l. c) Bizoyítsd b az l gylőtlségt, bármly, 9 sté, flhaszálva, hogy bármly, sté! 8. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) gazold, hogy f, bármly > sté! b) Bizoyítsd b, hogy f f határértékt! f, bármly ; sté! c) Számítsd ki a 9. Adott az f :, ˇ, f l függvéy. a) Számítsd ki f -t, ha, f f határértékt! c) gazold, hogy az f függvéy övkvő a, itrvallumo!. b) Számítsd ki a, 5. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy folytoosságát az, potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató aszimptotájáak gyltét! c) gazold, hogy az f függvéy kokáv a, itrvallumo!, 5. Adott az f :, f függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy folytoosságát az l, 9 f f f... f potba! b) Számítsd ki a határértékt! c) Számítsd ki az 9 határértékt! a 6, 5. Adott az f :, f függvéy, ahol a valós paramétr. a) Számítsd ki az a valós számot, úgy, hogy az f függvéy folytoos lgy az f 9 -t! c) Határozd mg az f potba. b) Számítsd ki függvéy grafikus képéhz az A 9, potba húzott éritő gyltét! 5. a) Számítsd ki a határértékt! b) Határozd mg az : függvéy kovitási és kokavitási itrvallumait. c) Adott a :, gazold, hogy g, bármly ; sté! f, g, f 6 8 g l függvéy. 5

6 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 5. Adottak az, : f g, f és g g g függvéyk. a) gazold, hogy. b) g f, bármly Számítsd ki az f függvéy szélsőértékpotjáak koordiátáit! c) gazold, hogy sté!, 55. Adott az f :, f függvéy. a) Határozd mg az a valós paramétrt úgy, hogy az f a, függvéy folytoos lgy az potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató vízszits aszimptotájáak gyltét! c) Számítsd ki a 56. Adott az : f f 57. Adott az : f, f határértékt! c) gazold, hogy f f f határértékt! függvéy. a) Számítsd ki a f() -t, ha. b) Számítsd ki a 9 9. függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha. b) gazold, hogy az f függvéy kov az -! c) Határozd mg az f függvéy grafikus képéhz az O, potba húzott éritő gysk az gyltű gyssl való mtszéspotjáak koordiátáit. f, f l függvéy. a) Számítsd ki f () 58. Adott az :, f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy l 59. Adott az f : \, f f f aszimptotáját! 6. a) Taulmáyozd az : ki a : amlyr függvéy. a) Számítsd ki f () -t, ha, bármly, sté! -t, ha \. b) Határozd mg az. b) Számítsd ki a határértékt. c) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató vízszits f, f g, 6. Adott az :,, függvéy folytoosságát az potba! b) Számítsd g 5 függvéy driváltját! c) Határozd mg azt az a pozitív valós számot, a. a a f, f l 6. Adott az f : \, f függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha. b) Számítsd ki a f f határértékt! c) Határozd mg az f függvéy szélsőértékpotját! függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha \. b) Számítsd ki a f ( ) f () határértékt! c) Határozd mg az f függvéy grafikus képék vízszits aszimptotáját a flé! 6. Adott az f :,, f függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha,. b) Taulmáyozd az f függvéy mootoitását az, itrvallumo! c) Határozd mg az f függvéy grafikus A, potba húzott éritő gyltét! képéhz az 6. Adottak az f, h:,, f és h f függvéyk. a) gazold, hogy h bármly sté! b) Határozd mg az f függvéy grafikus képa flé mutató aszimptotájáak gyltét! c) gazold, hogy a h függvéy övkvő a, itrvallumo!, 6

7 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 65. Adott az : f, f függvéy. a) Számítsd ki függvéy szélsőértékpotjait! c) Bizoyítsd b, hogy f f f -t, ha. b) Határozd mg az f bármly sté!, 66. Adott az f :, f függvéy. a) Taulmáyozd az f függvéy folytoosságát az, potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató vízszits aszimptotájáak gyltét! f,, bármly, sté! c) gazold, hogy 67. Adottak az, : f g, f és g 5 8 függvéyk. a) Számítsd ki az f g határértékt! c) Bizoyítsd b, hogy f, f, f függvéy. a) Számítsd ki az - f f ( ) g( ) külöbségt, ha. b) Számítsd ki a bármly, sté! 68. Adott az : függvéy övkvő -! c) Számítsd ki a 69. Adott az f :,, f f f 7. Adott az f :,, az f függvéy övkvő a, f( ) határértékt! l függvéy. a) Számítsd ki f () -t, ha. b) gazold, hogy az f -t, ha, határértékt! c) Határozd mg az f függvéy kovitási és kokavitási itrvallumait! f függvéy. a) Számítsd ki f () -t, ha,. b) Számítsd ki a. b) gazold, hogy itrvallumo! c) Határozd mg az f függvéy grafikus képé található azo pot koordiátáit, amlyb a grafikus képhz húzott éritő iráytéyzőj. 7. Adottak az f :,, bármly * függvéyk, ahol f l és f f '. a) Határozd mg az f függvéyt! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató aszimptotájáak gyltét! c) gazold, hogy az f f, bármly, sté!, 7. Adott az f : f függvéy. a) Számítsd ki f() -t, ha. b) Számítsd ki a f f határértékt! c) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait!, 7. Adott az f :, f függvéy, ahol a. a) Határozd mg az a valós számot úgy, a, hogy az f függvéy folytoos lgy az potba! b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép flé mutató vízszits aszimptotájáak gyltét! c) Határozd mg az a valós számot úgy, hogy a grafikus képhz a ; f potba húzott éritő iráytéyzőj lgy. 7

8 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f :, f függvéy -! b) Számítsd ki,, függvéy. a) gazold, hogy az f függvéyk va primitív f ( ) d. c) Számítsd ki a g : ;, g f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát!. Adottak az f, F:, f ( ) és F( ) ( ) függvéyk. a) gazold, hogy az F függvéy az f függvéy-k gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az f függvéy grafikus kép, az O tgly, valamit az és gysk által határolt síkidom trültét! c) Bizoyítsd b, hogy f ( t) f ( t) f ( t) dt bármly sté! f () t. Adott az : f, f függvéy -. b) Számítsd ki a :,, függvéy. a) gazold, hogy az f függvéyk va primitív, g, g( ) f ( ), függvéy grafikus képék O, koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! c) Számítsd ki az itgrál értékét!. Adott a : számot, ha g, g a f ( ) d ( ) függvéy. a) Számítsd ki g( ) d. b) Számítsd ki az a valós a g d 6. c) Számítsd ki 9 g ( ) d. 5. Adott az f :, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gysk által határolt síkidom trültét! b) smrtk tkitjük az, gylőtlségt. Ek flhaszálásával igazold, hogy Számítsd ki a g :,, g f f d. c) függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! 6. Adott az f :, f függvéy. a) gazold, hogy az f függvéy bármly primitív függvéy övkvő -. b) Számítsd ki f 7. Adott az f :,, d. c) gazold, hogy f( ) függvéy. a) Számítsd ki az ( l ) az f függvéy bármly primitív függvéy övkvő az f l d. f ( ) d értékét! b) gazold, hogy, itrvallumo! c) Határozd mg az a, valós számot úgy, hogy az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az gyltű gysk által határolt síkidom trült l lgy. 8. Adottak az f, g:,, f primitív és g ( ) a és függvéyk. a) Határozd mg az f g függvéy 8

9 tgrált ttzív Matmatika Érttségi függvéyik halmazát. b) gazold, hogy ab a b, ( f ( ) g ( )) d ab, ˇ gylőtlségt. Estlg k flhaszálásával igazold, hogy 9. Adottak az flhaszálva stlg, hogy bármly * sté!. c) smrtk tkitjük az d. d itgrálok, ahol * a) Számítsd ki az itgrált! b) gazold, hogy,. Adottak az f, g :, f = és g, bármly, sté! c) Bizoyítsd b, hogy +l, függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki ' f ' g d f g d.. Adott az f :,, hogy függvéyk. a) gazold, hogy a g függvéy az f f g( ) d. c) gazold, hogy l f ( ) + függvéy. a) Számítsd ki az l ( f ( ) ) d értékét! b) gazold, f ( ) d. c) gazold, hogy az f ( ) d, általáos taggal mghatározott sorozat gy olya számtai haladváy, amlyk álladó külöbség.. Adottak az fm :,, f ( ) d. b) Számítsd ki az f m( ) d lgy!. Adottak az m f ( ) m ( m m ) + függvéyk, ahol m. a) Számítsd ki f ( ) d értékét! c) Határozd mg az * m paramétrt úgy, hogy l d, itgrálok mid Ą sté. a) gazold, hogy. b) Számítsd ki az itgrált! c) smrt, hogy l, bármly, bármly Ą sté!. Adott az f :,, 5 5 d. c) gazold, hogy f( ), sté. Estlg k flhaszálásával igazold, hogy f ( ) 6 függvéy. a) Számítsd ki m, bármly, f ( ) d 8 m sté! f ( ) d. b) gazold, hogy 9

10 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 5. Adott az f :, f ( ) függvéy. a) gazold, hogy f( ) d. b) Számítsd ki a g :, g f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gysk által határolt síkidom trültét! c) Számítsd ki 6. Adottak az c) Bizoyítsd b, hogy f d., itgrálok. a) gazold, hogy l d 7. Adott az :,, bármly Ą sté! f f ( ) l függvéy. a) Számítsd ki az. b) Számítsd ki. ( f ( ) l ) d értékét! b) gazold, hogy az f függvéy bármly F primitív függvéy kokáv az (, ) itrvallumo! c) Számítsd ki a h:,, h( ) f ( ) függvéy grafikus kép, az O tgly, valamit az és gysk által határolt síkidom trültét! 8. Adott az f : ;, f l függvéy. a) gazold, hogy g d g C,, ha g : ;, g f l. b) Számítsd ki f 9. Adott az f :,, f( ) ( ) d. c) gazold, hogy f d. függvéy. a) Számítsd ki az f d értékét!, itrvallumo! c) gazold, b) gazold, hogy az f függvéy bármly primitív függvéy övkvő a hogy f ( ) f ( ) d. 8. Adottak az f, F:, f ( ) és F( ) f ( t) dt függvéyk. a) gazold, hogy F( ) f ( ) bármly sté! b) Bizoyítsd b, hogy a h :, h( ) F( ) f ( ) függvéy kokáv az -. c) Számítsd ki f d értékét!. Adott az f :, f( ) függvéy. a) Számítsd ki az f ( ) d értékét! b) Számítsd ki a g :,, g( ) függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! c) gazold, hogy az f függvéy bármly F primitív függvéy kokáv a,, itrvallumo! itrvallumo és kov a. Adott az f :,, f( ) függvéy. a) Számítsd ki az f ( ) d értékét! b) gazold, hogy az f függvéy bármly F primitív függvéy kokáv a ; itrvallumo! c) Határozd mg az a valós szám értékét úgy, hogy az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és a gyltű gysk által határolt síkidom trült l lgy!

11 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adottak az f, F:,, f l és F függvéy az f gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az f l f ( ) F d.. Adott az F l függvéyk. a) gazold, hogy az d értékét! c) gazold, hogy d, itgrál. a) Számítsd ki értékét! b) gazold, hogy. c) gazold, hogy bármly sté! 5. Adott az : értékét, ha f, f m p függvéy, ahol m,, p m,, p. b) Határozd mg m,, p, ha f( ) f() és f ( t) dt határértékt! 6. Adottak az f, g:, ˇ, f l és l f függvéy gy primitív függvéy! b) Számítsd ki. a) Számítsd ki az f ( ) d f ( ) d. c) Számítsd ki a g függvéyk. a) gazold, hogy a g függvéy az f g d értékét! c) Számítsd ki a g függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gysk által határolt síkidom trültét! 7. Adott az f : ˇ ˇ, f 9 függvéy. a) Számítsd ki f d értékét! b) gazold, hogy az f függvéyk mid primitív függvéy övkvő az ˇ -! c) Számítsd ki az 8. Adott az f :, ˇ ˇ f f d l. c) gazold, hogy 9. Adott az d és a függvéy. a) Számítsd ki: f f d ( ). f d értékét! f d. b) gazold, hogy J d itgrál. a) gazold, hogy J. b) smrt az gylőtlség bármly ˇ sté. Estlg k flhaszálásával igazold, hogy d.. Adottak az smrt az J. c) gazold, hogy d itgrálok, bármly trmészts szám sté. a) Számítsd ki értékét! b),,, gylőtlség. Estlg k flhaszálásával igazold, hogy

12 tgrált ttzív Matmatika Érttségi. c) smrt az,, azoosság. Estlg k 9 8 flhaszálásával igazold, hogy. Adott az f : ˇ ˇ, f f d. c) Számítsd ki. Adottak az, :,,. függvéy. a) Számítsd ki f d értékét! f d értékét! b) gazold, hogy 8 9 f g ˇ f ( ), g... függvéyk. a) Határozd mg az f függvéy primitív függvéyik halmazát! b) Határozd mg az f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! c) gazold, hogy g d.. Adott az d itgrál, mid * trmészts szám sté. a) Számítsd ki értékét! b) gazold, hogy, bármly * Ą sté! c) smrt az,, gylőtlség. Estlg k flhaszálásával igazold, hogy 9. f g ˇ, f l és g l függvéyk. a) gazold, hogy az f. Adottak az, :, függvéy a g függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az f g d értékét! c) Határozd mg az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét! 5. Adottak az f, F: ˇ ˇ, f és F függvéyk. a) gazold, hogy az F függvéy az f függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az hogy f F d F. 6. Adott az f :, ˇ ˇ, f, függvéy az -! b) Számítsd ki az f 7. Adottak az f, g: ˇ ˇ, f l f F d értékét! c) gazold, függvéy. a) gazold, hogy az f függvéyk va primitív d értékét! c) gazold, hogy f d. és g f d l. b) Bizoyítsd b, hogy g d f. függvéyk. a) gazold, hogy C c) Számítsd ki az g d f értékét!

13 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 8. Bármly Ą sté adott az, bármly sté! c) gazold, hogy az Ą sté! 9. Adott az f :, ˇ ˇ, f, mg az a, számot, ha f d a a. Adottak az f, F:, ˇ, f l d itgrál. a) Számítsd ki értékét! b) gazold, hogy összfüggés tljsül, bármly függvéy. a) Számítsd ki az. c) Számítsd ki: f d. f d értékét! b) Határozd és F l függvéyk. a) gazold, hogy az F függvéy az f függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az F f d értékét! c) Határozd mg az F függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét!. Adottak az f, g:, ˇ, f és g l függvéyk. a) gazold, hogy f d l. b) gazold, hogy. Adottak az f, g:, ˇ, f. c) Számítsd ki: g d l. b) Számítsd ki az f d értékét, flhaszálva az hogy l és f g d. függvéyk. a) gazold, hogy g g d f g, azoosságot! c) gazold,, flhaszálva az f gylőtlségt, mly igaz bármly,. Adott az f :, ˇ, f függvéy. a) Számíts ki az f sté! d itgrált! b) gazold, hogy az f függvéy bármly primitív függvéy kov a, itrvallumo. c) Bizoyítsd b, hogy a g, h:, ˇ, g f és h f függvéyk grafikus képik O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgáststk térfogatai gylők!. Adott az f : ˇ ˇ, f függvéy. a) gazold, hogy f d. b) Számítsd ki az f d értékét! c) gazold, hogy ha F : ˇ ˇ az f függvéyk gy primitív függvéy, akkor f l d F F.

14 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 5. Adottak az f, g:, ˇ, f l g l és függvéyk. a) gazold, hogy f gy primitív függvé-y a g -k! b) Számítsd ki az f g d értékét! c) Határozd mg az a; ha a f d. 6. Adottak az f, g:, ˇ, f és l g függvéyk. a) gazold, hogy f d l. b) gazold, hogy g d. c) gazold, hogy létzik ; g f. 7. Adottak az 7 l d itgrálok, bármly Ą sté. a) gazold, hogy ki:. c) Bizoyítsd b, hogy 8. Adottak az mg -t, flhaszálva az, bármly Ą sté! valós számot, úgy, hogy l. b) Számítsd d itgrálok, ahol Ą. a) gazold, hogy. b) Határozd hogy, bármly Ą, sté! 9. Adottak az f, g:, ˇ, f l és g azoosságot, mly igaz bármily sté! c) gazold, függvéy a g függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az g f d. b, hogy 5. Adottak az f, g: ki az ˇ ˇ, f és g 5 99 f g d értékét! c) gazold, hogy f g d. 5. Adottak az, : f F, f és F függ-véy az f függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az h:,, h függvéyk. a) gazold, hogy az f f g d értékét! c) Bizoyítsd függvéyk. a) Számítsd ki: f d. b) Számítsd F függvéyk. a) gazold, hogy az f d értékét! c) Számítsd ki a f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét!

15 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 5. sté értlmzzük az f :,, f és f f t dt függvéyt. a) Számítsd ki f -t, ha,. b) Bizoyítsd b, hogy f l d. c) Számítsd ki :, g, g( ) f( ),, függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! 6. Adott az f :,, f f d. b) Számítsd ki az f függvéy. a) Bizoyítsd b, hogy d értékét! c) Határozd mg a k pozitív valós számot úgy, hogy az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és k gyltű gysk által határolt síkidom trült k lk lgy! 65. Adott az : f, f függvéy. a) Számítsd ki az f d értékét! b) Számítsd ki f d értékét! c) Határozd mg a p valós számot úgy, hogy a h:,, h f p,, függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogata miimális lgy! 66. a) Számítsd ki az f b d értékét! b) Bizoyítsd b, hogy d. c) Adott az :, függvéy és az a, b és c szigorúa pozitív valós számok. gazold, hogy ha az f f d, f c a f, d, d számok gy számtai haladváy három gymás utái tagja, akkor az a, b, c számok gy mértai haladváy gymásutái tagjai! 67. Adottak az f, F:,, f és l függvéy az f függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az F függvéyk. a) gazold, hogy az F F l d értékét! c) Határozd mg a m valós paramétrt úgy, hogy az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és 68. Adott az : primitív függvéy határértékt! f, f m gyltű gysk által határolt síkidom trült lgy!,, függvéy. a) gazold, hogy az f függvéyk va l,, -! b) Számítsd ki az ( ) f ( ) d értékét! c) Számítsd ki a f t dt 5

16 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 69. Adott az f :,, itgrált! b) Határozd mg f ( ) f d értékét! 7. Adott az f :,, f ha. b) Számítsd ki az f, függvéy. a) Számítsd ki sté az sté az a; számot, ha f a d. c) Számítsd ki az f d f d C, függvéy. a) gazold, hogy f d értékét! c) Számítsd ki a h:,, h f f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! 7. Adott az f :, f függvéy. a) Számítsd ki az f d értékét! b) Bizoyítsd b, hogy az f függvéy bármly primitív függvéy övkvő a, itrvallumo! c) Bizoyítsd b, hogy f d f d f d f d. 7. Adott az f :,, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! b) Számítsd ki az értékét! c) Számítsd ki a 7. Adott az : f () t dt f f, határértékt! függvéy. a) gazold, hogy f d értékét! c) Bizoyítsd b, hogy f d. f d. b) Számítsd ki az f ( ) d 7. Adott az : f :,, h f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! b) Határozd mg az f függvéy azo F : primitív függvéyét, amlyr F(). c) Számítsd ki a f t dt 9 9 f, függvéy. a) Számítsd ki a h határértékt! 6

17 tgrált ttzív Matmatika Érttségi 75. Adottak az : f, f f d. b) Határozd mg a :, g amlyr tljsül a Adott az f :, f függvéyk, bármly * sté. a) gazold, hogy g f függvéy azo G primitív függvéyét, G gylőség! c) Számítsd ki az f d értékét, sté!, függvéy. a) gazold, hogy az f függvéyk va primitív l, függvéy az -! b) gazold, hogy f d. c) Számítsd ki a h : ;, h 7 6 f függvéy grafikus képék O koordiátatgly körüli forgatása által mghatározott forgástst térfogatát! 77. Adottak az F, f : R R, F f függvéyk. a) gazold, hogy az F függvéy az és f függvéyk gy primitív függvéy! b) Számítsd ki az F függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét! c) Számítsd ki az F f d értékét! 78. Adottak az f, g:, R, f és g függvéyk. a) Számítsd ki f d. b) Határozd mg a g függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét! c) Számítsd ki a 79. Adottak az f :, R, f f d értékét! b) Határozd mg az f () t dt határértékt! függvéyk, bármly * sté. a) Számítsd ki f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és gyltű gysk által határolt síkidom trültét. c) gazold, hogy f9 d l. 8. Adottak az f : R R, f függvéyk, bármly sté. a) Számítsd ki f d, ha R. b) Határozd mg az f függvéy grafikus kép, az O koordiátatgly, valamit az és f d f d, bármly N gyltű gysk által határolt síkidom trültét! c) gazold, hogy sté! 7