INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
|
|
- László Tóth
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy ijektiv! Megoldás Ha a g függvéy értelmezésébe x helyett f ( -et helyettesítük a g ( f ( ) = f ( f ( f ( ) = f ( x = egyelőséghez jutuk A g ijektivitása alapjá f ( x R Elleőrizhető, hogy a = x f ( = x függvéy valóba ijektiv és f ( f ( ) = f ( x R, tehát az f ( = x függvéy az egyedüli megoldás ) Létezik-e olya f:r R ijektiv függvéy, amelyre f ( x ) f (, x R? Megoldás Az adott egyelőtleségbe az x = x egyelet gyökeit helyettesítjük: f (0) f f () f (0) () f f (0) f (0) () f () 0 f (0) 0 f () 0 f (0) = 0 f () = Az f ( 0) = f () = összefüggés alapjá f em lehet ijektiv 3) Létezik-e olya f:r R bijektiv függvéy, amelyre f ( f ( ) = x, x R eseté? Megoldás Bizoyítjuk, hogy ha f:r R bijektiv, akkor f f :R R is az 0 ( f f )( = ( f f )( x ) f ( f ( x )) = f ( f ( x )) f ( x ) = f ( x ) x = x, tehát f f is ijektiv 0 y R z R f ( z) = y (mert f szürjektiv), de erre a z eseté létezik olya x R, hogy f( = z (ismét az f szürjektivitása alapjá, tehát f ( f ( ) = y Ebből következik, hogy bármely y R eseté létezik z R úgy, hogy teljesüljö az ( f f )( z) = y egyelőség, tehát f f is szürjektiv 0 0, f f bijektiv Mivel h:r R h ( = x függvéy em bijektiv az adott egyelőség egyetle f eseté sem teljesülhet Megjegyzés 0 Hasolóa igazolható, hogy ha f:a B és g:b C ijektiv (szürjektiv), akkor g f :A C is ijektiv (szürjektiv) 0 Az előbbi tulajdoság fordítottja em igaz Ahhoz, hogy g f ijektiv legye em föltétleül szükséges, hogy midkét függvéy ijektiv legye Például az f :{,,3} {,,3, } f ( = x é s g : {,,3, } {,,3} ) =, g () =, 3) = 3 és g ( ) = 3 összefüggésekkel értelmezett függvéyekre g f :{,,3} {,, 3}
2 60 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok ( g f )( = x ijektiv, de g em ijektiv Hasolóa az f em szürjektiv és a g f mégis az Az előbbi példa vizsgálatával köye rájöhetük, hogy ha g f ijektiv, akkor az f függvéyek ijektivek kell leie, és ha g f szürjektiv, akkor g is szürjektiv Ezt be is bizoyíthatjuk a lehetetlere való visszavezetés módszerével a) Ha f em ijektiv, akkor létezik x, x A x x úgy, hogy f ( x ) = f ( x )( = y) Ekkor viszot g ( f ( x )) = y) = f x )), tehát ( g f )( x ) = ( g f )(x ) és x x Így g f sem ijektiv b) Ha g em szürjektiv, akkor létezik y0 C \ Im g Mivel Im( g f ) Im g y0 C \ Im( g f ), tehát Im( g f ) C g f sem szürjektiv 3 0 Ha a feladatba az f bijektivitását em kérjük, akkor végtele sok megoldás létezik Egy ilye az f:r R f ( = x függvéy ) Az f:r R függvéy mide valós x eseté teljesíti az ( f ( f ( x )) = f ( ax egyelőséget, ahol a R egy rögzített szám Határozd meg f ( 0) -t majd adjál példát egy ilye függvéyre! (Megyei olimpia, 985, Szilágy megye, Liviu Vlaicu) Megoldás Bizoyítjuk, hogy f ijektiv f ( = f ( f ( f ( x )) = f ( f ( x )) ax = f f ( x )) f ( ) = f ( f ( x )) f ( x = ax Mivel a 0, következik, hogy ( x x = x, tehát f ijektiv Legye f ( 0 ) = α Ha az adott összefüggésbe x = 0 -t helyettesítük, következik, hogy f ( α) = α Mivel f ijektiv az f (0) = α és f ( α) = α egyelőségek csak akkor teljesülhetek, ha α = 0 A példa megszerkesztéséél próbálkozzuk f ( = x alakú függvéyel Behelyettesítés utá az a = 0 egyelethez jutuk, tehát ha a,, akkor ilye alakú függvéy létezik és megfelel Ha a <, akkor az f ( = c si x ar ctg a függvéy egy jó megoldás ( ) 5) Bizoyítsd be, hogy potosa akkor létezik olya f:r R ijektiv függvéy, amelyre f ((a ) a f ( x a) 0, x R ( a R rögzített), ha a =! (Helyi olimpia, Giurgiu, 985, DM Bătieţu- Mircea Trifu) Megoldás Legye és x az x a = (a ) x () egyelet két valós gyöke x Az adott egyelőtleségbe -et majd x -t helyettesítve a ( a f y ) ) 0 x egyelőtleséghez jutuk, ahol y i = ( a ) xi Ebből következik, hogy f ( y) = f ( y ) Tehát f csak akkor lehet ijektiv, ha y = y, vagyis ha x = x Ez akkor valósul meg, ha az () egyelet diszkrimiása em szigorúa pozitív, vagyis ha ) ( i
3 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 6 ( ) a 0 Ebből következik, hogy a = A megoldás teljességéhez a = eseté meg kell aduk egy kokrét f függvéyt, amely ijektiv és teljesíti az adott x egyelőtleséget Kevés keresgéléssel rájöhetük, hogy a = eseté az f ( = függvéy teljesíti a feltételeket) 6) a) Bizoyítsd be, hogy két, Z-t Z-be képező bijektiv függvéy szorzata em lehet bijektiv! a) Szerkesszél két bijektiv függvéyt [ 0, ) -ből [ 0, ) -be, amelyek szorzata is bijektiv! Megoldás a) Legye f,g:z Z két bijektiv függvéy és tételezzük fel, hogy a h:z Z h ( = f ( függvéy is bijektiv A h bijektivitása miatt mide Z eseté létezik olya p Z, hogy h( p ) = p, tehát f ( ) ) és f ( ) ) =, tehát f ( ) = és g ( ) =, vagy f ( ) = és ) = Ha f ( ) =, akkor f ijektivitása miatt f ( ), tehát f ( ) =, és így ) =, ami a ) = f ( ) = eseté is elletmodáshoz jutuk, tehát ha f és g ijektivek a h em lehet bijektiv b) Az f :[ 0, ) [ 0, ) f ( = x függvéyek az ömagával való szorzata is bijektiv Próbálj hasoló tulajdoságú függvéyeket szerkesztei tetszőleges halmazok eseté! Milye halmazokra lehetséges a szerkesztés? 7) Határozd meg az összes f:z Z ijektiv függvéyt, amelyre f ( f ( ) = f (, x Z! (Traia Lalescu emlékversey, 996) Megoldás Ha f ( x 0 ) = a, akkor f ( a) = a, f ( a ) = a és f ( = = egyelőség alapjá elletmodaa g ijektivitásáak Hasolóa mide a eseté Tegyük fel, hogy létezik olya előbbi tulajdoság alapjá az Legye ez x és jelöljük b-vel az { x f ( = } Z, hogy x ) x 0 Az összefüggésbe (x ) -et helyettesítve f ( b) = b b M b x A kapott elletmodás miatt em létezhet olya x 0, hogy f ( x 0 ) x0, tehát f ( = x, x Z x 0 f ( 0 M = x halmazak va legkisebb eleme f x ) értékét x M ( b x Az f ijektivitása alapjá következik, hogy b x, tehát b x Másrészt az adott 8) Határozd meg azt az f: R R függvéyt, amely mide valós x eseté kielégíti az ( f ( ) ( x x x ) f ( = x x x x egyeletet ( rögzített egész)! (IV NMMV 995, Becze Mihály) Megoldás Ha átredezzük az adott egyeletet, a következő összefüggéshez jutuk: ( f ( ( f ( xf ( x x x x ) = 0
4 6 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Ha x 0, a második zárójelbeli kifejezés értéke szigorúa pozitív, tehát f ( = x x = 0 eseté az f 3 (0) = 0 egyelőséget kapjuk, tehát Bizoyítsd be, hogy az f ( x ) = { f ( x ) } [ f ( ] f ( x R 9) egyelőséget mide x R eseté teljesítő függvéy periodikus, majd adjál példát ilye függvéyre (Gazeta Matematică, 7-8/997, Cristiel Mortici) Megoldás Midkét oldal törtrészét majd egész részét vizsgálva kapjuk, hogy { f ( x ) } = { f ( x ) } és [ f ( x ) ] = [ f ( ] mide x R eseté Ebből következik, hogy: f ( x ) = { f ( x ) } [ f ( x ) ] = { f ( x ) } [ f ( ]= { f ( } [ f ( ] = f (, bármely x R eseté, tehát f periodikus és egy periódusa Az f ( = {} x függvéy teljesíti az adott egyeletet 0) a) Bizoyítsd be, hogy létezik két szürjektiv függvéy f, g:n N, amelyek teljesítik az f ( = egyelőséget mide N eseté b) Ha f:n N ijektiv és g:n N szürjektiv, teljesülhet-e az f ( = egyelőség, mide N eseté (GM versey, 997, Maria Adroache és Io Savu) m Megoldás a) Mide szám egyértelműe felírható ( ) alakba, ahol m, N Értelmezzük az f és g függvéyeket a következő módo: v v (k ), ha = (k ) k, v N f ( és v v, ha = (k ) k, v N v v, ha = (k ) k, v N v v (k ), ha = (k ) k, v N Nyilvávaló, hogy midkét függvéy szürjektiv és f ( = mide N eseté, ha = k, k N, ha = k, k N Megjegyzés Az f ( és g (, egyébkét, egyébkét függvéyek is teljesítik a kért feltételeket b) = 0 f (0) = 0, = f () = Ha helyett egy p prímszámot helyettesítük, következik, hogy { f p ), p) } = {, p} ( Az f függvéy ijektivitása alapjá f ( p) = p, tehát f ( ) = és f ( 3 ) = 3 De f ( ) f () {,, } Az ijektivitás alapjá f ( ) = Lehetetlere való visszavezetés módszerét haszálva igazoljuk, hogy f ( =, N Ha ez em vola így, léteze az A = { f ( N f ( val, az A halmaz legkisebb elemét Az eddigiek alapjá f ( ) D (az osztói) Mivel f (, következik, hogy f ) 0 Ez ) } 0 halmaz legkisebb eleme Jelöljük em prímszám, tehát viszot elletmodaa f ijektivitásáak és megválasztásáak, tehát f ( =, N Így g kostas, tehát em szürjektiv (g:n N) 0 ( 0
5 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 63 Jelöljük f ( -el az,,, számok közt előforduló külöböző értékek számát Határozd meg f ( -et! Megoldás Két külöböző esetet vizsgáluk, aszerit, hogy páros, vagy páratla ( x ) x x a) = k > = > ha x k, míg x<k-ra szigorúa kisebb k k k ( x ) x mit Ebből következik, hogy és közt em lehet ezektől k k külöböző egész szám, ha x<k x k eseté ( x ) k x Tehát k x k x k k eseté az kifejezés külöböző értéket vesz fel (0-tól - k k k ig midet), míg k < x k -ra potosa k darab külöböző értéket Összese k (k) tehát k külöböző érték fordul elő az,, számok k k közt k b) Hasolóa godolkodva = k eseté k külöböző értéket k k k, ha m = k kapuk, tehát f ( m) k k, ha m = k k m m Egy képlettel kifejezve írhatjuk, hogy f ( m) = m ) Létezik-e olya ijektiv függvéy, amely az α síkot ömagába képezi, az egyeeseket egyeesekbe és a kokáv sokszögeket kovex sokszögekbe traszformálja? (Gazeta Matematică 6/997, Da Victor Adrei) Megoldás Legye ABC egy háromszög az α síkba és M egy belső potja Ezekek a potokak a képeit jelöljük A -tel, B -tel, C -tel és M -tel A mellékelt ábra jelölései szerit:
6 6 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok ABCM kokáv A' B' C' M' kovex () M' III ACBM kokáv A'C' B' M' kovex () M' I, ABMC kokáv A' B' M' C' kovex (3) M' II tehát ilye függvéy em létezik, mert az M képe három diszjukt tartomáyba kellee, hogy legye 3) Melyek azok az f,g,h:n N bijektiv függvéyek, amelyek teljesítik az f ( g ( h ( = 3 h( egyelőséget, mide N eseté? (Gazeta Matematică, 3/997, Flori Rotaru) Megoldás A számtai-mértai közepek közti egyelőtleség alapjá h( = f ( g ( h ( 3 f ( h( N, tehát f (, N () Ebből következik, hogy f ( 0) = 0, f () tehát f ijektivitása miatt f ( ) = és hasolóa f ( ) = Általába {, m} f (, N f ( m,,, De f ijektiv és így { f ), f (),, f ( m) } {,,, m} ( = Ezt összehasolítva ()-gyel következik, hogy f ( k) = k ha k =, m Mivel ezt bármely m eseté megismételhetjük, következik, hogy f ( =, N A számtai- mértai közepek közti egyelőtleségbe éppe egyelőség va és így f ( = = h( =, N ) Határozd meg az összes f: N N bijektiv függvéyt, amelyre f (,3, N! (Országos tábor, 997, Marius Dadârlat) Megoldás Mide szám egyértelműe felírható a 3 b m alakba, ahol ( m, 6) = Előbb éháy sajátos alakú számra próbáljuk értelmezi f-et: 0 b 0 b = 3 m f ( = 3 = 3 m (mert N ) b b 0 b = 3 m f ( = 3 = 3 m ha b, mert az f ( = = 3 m = 0 b = f ( 3 m) egyelőség elletmodaa f ijektivitásáak b b = 3 m f ( = 3 = 3 m ha b (ellekező esetbe f em vola ijektiv) Ha ezt a godolatmeetet megismételjük, az a b a b f ( 3 m) = 3 m, ha a b összefüggésekhez jutuk Az előbbi eseteket megvizsgálva f-et azo 3 a b m alakú
7 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 65 számokra kell értelmezük, amelyekre a>b Legye m N és ( m,6) = Az előbb már megvizsgált esetek midegyikébe f( 3, tehát az f értéke csak úgy lehet m ha f ( m) = m, m N és ( m, 6) = eseté Hasolóa okoskodva következik, hogy f ( m) = m, f ( f ( 3 3 k m) = m, f ( m) = m, f ( 3m) = 3 m és 3 m) = 3 m Összesítve eddigi eredméyeiket, következik, hogy: a b a b 3 m, ha a b f ( 3 m) a b 3 m, ha a > b 5) Legye f,g:r R két másodfokú függvéy úgy, hogy a domiás tagok együtthatója midkettőbe Határozd meg az összes h:r R másodfokú f függvéyt, amelyre mi( f (, ) h( (, x R! Megoldás Meghatározzuk az f ( = egyelet gyökeit Ez szükséges a legelső kifejezés explicitálásához Legye f ( x ) = x ax b és g ( = x ax b f ( = ( a a )x = b b () Tehát a következő három eset megkülöböztetése szükséges: I f g a = a és b = b f = g = = mi( f, g), tehát az egyetle megoldás a h( = f (, x R függvéy II a = a és b b Feltételezhetjük, hogy b > b f ( <, x R b b x a x b x δ x α β x ax, x R b b ( α ) x ( β a ) x δ 0 x R α α = ( α ) x ( β a ) δ b R α x 0 x Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy β = a (mert egy elsőfokú függvéy b b sosem őrzi meg az előjelét R-e, és δ b, tetszőleges Így b h( = x ax δ, b ahol δ b tetszőleges III a Feltételezhetjük, hogy a > Az () egyelet egyetle megoldása a k a (, x0 ] ( x, ) b b f ( ha x x0 = és mi{ f (, } a a ha x 0 Tehát h teljesíti a következő egyelőtleséget: a a b x a x x x x b (3) x b α β δ, x (, x 0 ]
8 66 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok () a a b b x a x b αx βx δ x x, x [ x 0, ) () α α = Ezt visszahelyettesítve következik, hogy a () α a a b b β x δ x egyelőtleségek mide x R eseté teljesüli a a kell, és x 0 eseté egyelőség áll fe Ez csak akkor lehetséges, ha β= és b δ= b f g, tehát h = az egyetle megoldás ebbe az esetbe 6) Határozd meg az összes f: N N szigorúa mooto függvéyt, amelyre f () = és f ( = f (, N! (Grigore Moisil emlékversey, 997) Megoldás = f () = f () = f (8) = 8 és általába f ( ) = bármely N eseté Mivel f szigorúa övekvő és f ( ) = következik, hogy f () < f () < f (3) < f () < f (5) < < f ( ) < f ( ) = Ez csak akkor lehetséges, ha f ( m) = m, m {,,, } mide eseté megismételhetjük, tehát f ( x N Ezt a godolatmeetet 7) Bizoyítsátok be, hogy ha az f:z Z és g :[0,) [0,) függvéyek bijektivek, akkor a h:r R Megoldás 0 A h ijektivitásáak igazolása [] x ) g { x} h ( = f ( ( függvéy is bijektiv (Megyei olimpia, Iasi, 997, Silviu Boga) Az adott egyelőség alapjá [ h ( ] = f ([ x]) és { ( } { x}) az alábbi implikációk: h ( x ) = h ( x ) [ h ( x )] = [ h ( x )] f ([ x ]) = f ([ x ]) [ x ] = [ x ] h x ) = h( x ) { h( x )} = { h( )} g ({ x }) = { x } { x } = { x } ( x () x = x () y R y = y y f szürjektiv x Z h =, tehát érvéyesek () () ) 0 [ ] { } úgy, hogy f ( x ) = [ y] g szürjektiv x [ 0,) úgy, hogy gx ( ) = { y} Legye x = x x Mivel x Z és x [ 0,) következik, hogy [] x = x és {} x = x, tehát h ( = f ( x ) x ) = [ y] {} y = y Megjegyzés Felmerülhet a kérdés, hogy a tulajdoság fordítottja igaz-e? Ehhez az vola szükséges, hogy ha x [ k, k ), akkor h( midvégig két egész szám közt maradjo (mide k Z eseté Ezt a feltételt em mide függvéy teljesíti (sőt!) 8) Határozd meg azt az f : Q Q Q függvéyt, amelyre teljesülek az alábbi feltételek:
9 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 67 a) f ( x, y) f ( z, t) = f ( xz, yt), x, y, z, t Q ; b) c) f ( x, =, x Q ; f ( x,) x Q Megoldás t = f ( x, y) f z, = f ( xz,) = x z, x, y, z Q y y Ide y = x -et helyettesítve következik, hogy tehát f z, = f ( x, f z, = f ( xz,) = x z, x, z Q, x x f z, = x z, x, z Q Ha helyett y-t helyettesítük, kapjuk, hogy x x z f ( z, y) =, y, z Q y f: a, b a, b övekvő függvéyek va legalább 9) Bizoyítsd be, hogy mide [ ] [ ] egy fix potja (Kaster lemma) Megoldás Tegyük fel, hogy f ( x ha x [ a, b] és legye H = { x [ a, b] x < f ( } H, mert a H és H [ a, b], tehát létezik olya s [ a, b], amelyre teljesül az alábbi két feltétel: 0 h s, h H 0 Ha s' R olya, hogy h s', h H, akkor s s' (s a H halmaz legkisebb felső korlátja vagy szuprémuma) Bizoyítjuk, hogy f ( s) = s Tegyük fel, hogy ez em így va, tehát f ( s) < s vagy f ( s) > s a) f ( s) < s, h H h s f ( h) f ( s) h f ( h) f ( s), h H A 0 -es tulajdoság szerit s f (s), elletmodás b) s < f ( s) f ( s) < f ( f ( s)), tehát f ( s) H és így az 0 -es tulajdoság szerit f ( s) s, ami ismét elletmodás Az előbbi két elletmodás alapjá f ( s) = s, tehát f-ek va legalább egy fix potja Megjegyzés Nagyo sok köyvbe (Pl Gh Sireţchi: Calcul difereţial şi itegral vagy Mircea Gaga: Teme şi probleme de matematică) azt állítják, hogy csökkeő függvéyre is hasolóa végezhető el a bizoyítás Ez em igaz, hisze az, x 0, f :[ 0, ] [ 0, ] f ( = függvéy csökkeő és ics fix potja 0, x, 0) Az f:n N bijektiv függvéyre [, f ( ] < 3(, f ( ) mide N eseté ( [ x, y] az x és y legkisebb közös többszöröse, míg ( x, y) az x és y legagyobb közös osztója) Bizoyítsd be, hogy f ( f ( ) =, N!
10 68 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Megoldás A legagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös közt érvéyes az [ x, y] ( x, y) = x y összefüggés, tehát f ( < 3 (, f ( ) Ha d = (, f ( ), akkor = d u és f ( = d v valamit ( u, v) = Behelyettesítve az adott egyelőségbe következik, hogy u v < 3 A következő három esetet kell megvizsgáli: 0 eset: u = v = = d f ( = f ( f ( ) = 0 eset: u =, v = = d és f ( = d = 3 0 eset: u =, v = = d és f ( = d = Az előbbiek alapjá f (,,, N Tegyük fel, hogy 0 N -ra f ( 0 ) = 0 és f ( f ( 0 )) 0, tehát f ( 0 ) 0 Az f ijektivitása miatt f ( 0 ) = 0 Másrészt f szürjektiv, tehát létezik olya m N, 0 hogy f ( m) = 0 Az () miatt m 0, 0, f ijektivitása valamit az 0 0 megválasztása miatt f = 0, tehát 0 N Hasoló godolatmeettel kapjuk, hogy az 0 f (m) = egyelőséget csak az 0 0 m = teljesítheti, tehát Z Többször 0 megismételve ezt a godolatmeetet következik, hogy Z mide k N eseté k Ez viszot em lehetséges, mert 0 N A kapott elletmodás alapjá 0 f ( f ( 0 )) = 0 Hasolóa elletmodáshoz jutuk az f ( 0 ) = és f ( f (0 )) 0 összefüggésekből is, tehát f ( f ( ) = mide N eseté
Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenKITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenMegoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
Részletesebben194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma
94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,
Részletesebben2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása
59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenDiszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
RészletesebbenA Cauchy függvényegyenlet és néhány rokon probléma
A Cauchy függvéyegyelet és éháy roko probléma Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A függvéyegyeletek egyik alapegyelete a Cauchy függvéyegyelet, amely a következő: Melyek azok az f : R R folytoos függvéyek,
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenKITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA
Kitűzött eladatok 15 KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA 1. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amely teljesítené az alábbi egyenlőségek valamelyikét: a) ( x 1) + (1 x) x, x R; b)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
RészletesebbenValós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok
Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenA felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u
Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {
Részletesebben1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
RészletesebbenÁltalános taggal megadott sorozatok összegzési képletei
Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
RészletesebbenBevezető analízis II. példatár
Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
Részletesebbendr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenIV. A matematikai logika elemei
4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben2.2. Indukció a geometriában
.. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú
Részletesebben= +, n + n + n... + n 3 6n = + = n + n (n 1) n(n 1)(2n 1)
MATEMATIKAI INDUKCIÓ Michael Lambrou. Fejezet. Matematikatörtéeti bevezető A filozófiába és az alkalmazott tudomáyokba az idukció fogalma azt jeleti, hogy egyedi esetekből általáos következtetésre jutuk.
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenPl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. november 9. 1.1. Feladat. Tekintsünk egy E halmazt és annak minden A részhalmazára az A halmaz f A : E {0, 1} karakterisztikus függvényét, amelyet az { 1, x A
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények
9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe
RészletesebbenB1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke
B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)
RészletesebbenEXTREMÁLIS GRÁFOK. SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veronika SZAK: Matematika BSc Tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Szőnyi Tamás
EXTREMÁLIS GRÁFOK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Tölgyes Laura Veroika SZAK: Matematika BSc Taári szakiráy TÉMAVEZETŐ: Szőyi Tamás Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar 010 Tartalom 1. Bevezetés...
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
A skatulya-elv alkalmazásai MEGOLDÁSOK Számelmélet. Tekitsük a, +,, 4 számokat. Ezek száma +, ezért lesz közöttük három, amely azoos halmazba kerül. E három szám közül a legagyobb biztos kisebb a másik
Részletesebben