194 Műveletek II. MŰVELETEK A művelet fogalma
|
|
- Gabi Biró
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya, aztá a természetes számok szorzásával Erre épült késő az egész számok összeadása, kivoása, szorzása, majd ugyaezek a műveletek racioális, valós és komplex számokra Ugyacsak a műveletek körée sorolhatók a (pozitív) valós számok hatváyozása, a mátrixok összeadása, a mátrixok szorzása, függvéyek összetétele, halmazok egyesítése, metszete, vektorok összeadása, st Késő láti fogjuk, hogy műveletek értelmezhetők tetszőleges halmazo is, ilye érteleme műveletek tekithető például a fizikáa izoyos részecskék találkozásakor végemet fúzió, kémiáa izoyos reakciók, iológiáa a kereszteződések, st Vizsgáljuk meg, hogy mi a közös a fete felsorolt műveleteke Elsősora midig megadtuk, hogy milye halmazo értelmeztük a műveletet Például a természetes számok összeadása külöözik a racioális számok összeadásától, legfelje ayit modhatuk, hogy a egy részhalmazá, az halmazo az összeadás megegyezik a természetes számok összeadásával (lásd késő: idukált művelet) Tehát fotos az, hogy kikössük: milye halmazo értelmezzük a műveletet Az elő említett műveletek midegyike a kitütetett halmaz tetszőleges két eleméek egyértelműe megfeleltet egy harmadikat Például: a) Természetes számok összeadásakor, a 34, számok összege 3 4 = 7, modhatjuk, hogy a ( 34, ) számpárak megfeleltetük az összeadás műveletével egy számot az halmazól Általáa, a, -re az ( a, ) a megfeleltetés írható fel ) Valós számok kivoásakor is hasolóa járuk el, csak más a kitütetett halmaz és a megfeleltetési szaály Például, 8 eseté a (, 8) valós számpárak a kivoás műveletével megfeleltetjük a 8 = 3 valós számot c) Halmazok egyesítése Mivel ee az esete a művelet két halmazak feleltet meg egy harmadikat, a kitütetett halmaz egy halmazcsalád, általáa az X em üres halmaz részhalmazaiak a családja, vagyis a P ( X ) Tehát az M, N P ( X) halmazokra az ( MN, ) redezett halmazpárak megfeleltetjük az M N P ( X) halmazt: ( MN, ) M N P ( X) A megfeleltetés egyértelmű d) m -es mátrixok összeadása Ee az esete a kitütetett halmaz az ( ) Az AB M ( ) mátrixok eseté ( AB, )-ek megfeleltetjük az M m,, m, A B M m, ( ) mátrixot: ( AB, ) A B Mm, ( ) e) A H halmazo értelmezett, értékeit H -ól vevő függvéyek összetétele Most a kitütetett halmaz az f : H H típusú függvéyek halmaza Jelöljük ezt a halmazt H H -al Tehát, f H f g H eseté az (, ) H g H függvéyt Például, ha H, f g redezett párak megfeleltetjük az = f, g :, f ( x ) = x és
2 Műveletek 95 g( x) = x, x, akkor ( f, g ) f g és ee az esete ( f g) ( x) = g( x) = A megfeleltetés most is egyértelmű x A feti példákól kitűik, hogy a művelet tulajdoképpe egy függvéy, ϕ : M M M, ahol M a kitütetett halmaz Értelmezés Legye M egy em üres halmaz A tetszőleges ϕ : M M M függvéyt az M halmazo értelmezett első műveletek evezzük Az értelmezés alapjá a ϕ első művelet mide ( xy, ) M M redezett ϕ elempárak megfeleltet egyetle M -eli elemet: ( xy, ) ϕ ( xy, ) M Általáa ϕ helyett a,,, :,,,,, st jeleket szoktuk haszáli Ha a művelet additív, akkor a jelölést, ha multiplikatív, akkor a jelölést haszáljuk Az elői a) példa eseté a természetes számok halmazá értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Hasolóa, az -e értelmezett összeadás a :, ( xy, ) x y függvéy Most már yilvávaló a külöség a természetes számok és a valós számok halmazá értelmezett összeadás között: két külööző függvéyről va szó, viszot a függvéy leszűkítése -re megegyezik a függvéyel Általáa helyett egyszerűe csak a jelt írjuk, ha em áll fe az összetéveszthetőség veszélye A c) példa eseté : P( X) P( X) P ( X), ( MN, ) M N Megjegyzések A első művelet általáosítja az eddig tault sajátos műveletek töségét, viszot például a mátrixok szorzását em Valóa, a XI osztálya taultak alapjá egy m -es mátrixot összeszorozhatuk egy k -s mátrixszal és eredméykét egy m k -s mátrixot kapuk, viszot két m -es mátrixot csak akkor tuduk összeszorozi, ha m = Ezek alapjá általáa a mátrixok szorzását em értelmezhetjük ϕ : M M M függvéykét Ezért a továiaka, ha a mátrixok szorzását tekitjük mit műveletet, akkor csak az -es mátrixok halmazá foguk dolgozi, ahol : "": M ( ) M ( ) M ( ), vagy "" : M ( ) M ( ) M ( ) Ez a hia feloldható, ha a műveletet még általáosaa értelmezzük: em ϕ : M M M típusú függvéykét, haem ϕ = ( M M, M, R) típusú relációkét, ahol R = {(( x, y), z) ( M M) M ( x, y) ϕ z } Az ( xy, ) és z elemek akkor vaak ϕ relációa, ha az x és y elemeke elvégezhető a művelet és aak eredméye z A mátrixok szorzását értelmezheték a következő módo Legye M az összes mátrixok halmaza, típusuktól függetleül A megszokott mátrixszorzást jelölje a művelet Két M -eli mátrixól alkotott ( AB), pár szorzatát csak akkor képezhetjük, ha A és B összeszorozhatók, ezért M -e a
3 96 Műveletek szorzást a ϕ = ( M, M, R) reláció jellemzi, amely szerit az ( AB, ) és A B típusú elemek lehetek csak relációa, és csak akkor, ha A B elvégezhető A következőke eltekitük ettől az észrevételtől és első művelet alatt midig egy ϕ : M M M függvéyt foguk értei Mivel a első művelet egy jól értelmezett függvéy, a művelet eredméye mide xy, M eseté egyértelmű Ha ϕ : M M M egy művelet, akkor a ϕ ( xy, ) = xϕy M elemet a művelet eredméyéek evezzük, mide x, y M-re 3 A első műveletet szokás iáris első műveletek is evezi (mivel két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet) 4 A első művelet két M -eli elemek feleltet meg egy M -eli elemet, tehát az eredméy is midig az M halmaza va Ie adódik a első jelző Értelmezhetük külső műveletet is, lásd például a Vektorterek paragrafust Addig viszot művelet alatt midig első műveletet foguk értei 5 A műveletet azért értelmezzük az M M Descartes szorzato, mert léyeges az elemek sorredje Legye például : a valós számok kivoása ( 35, ) 3 5= és ( 53, ) 5 3=, tehát a művelet eseté fotos, hogy milye sorrede írtuk a számokat: (a kivoás em kommutatív) Az eddigi példák már ismert műveletek voltak A következő példáka új műveleteket vezetük e a) Összeadás mod és szorzás mod R -e Jelöljük R = : R {0,,,, } Értelmezzük az összeadást és a szorzást R -e: : R R R, x y : = az ( x y) -ak -el való osztási maradéka, xy, R; -el az egész számok -el való osztási maradékaiak halmazát, ahol : R R R, x y : = az xy -ak -el való osztási maradéka, xy, R Vegyük észre, hogy az elői műveletek jól értelmezettek, mert két tetszőleges R -eli elem összege és szorzata mo d egyértelmű és R -e va Például, R -e az összeadást 5 és a szorzást az alái tálázatokkal jellemezhetjük (lásd késő: művelettála) ) Összeadás és szorzás -e Az I fejezete evezettük a faktorhalmazt Értelmezzük az összeadást és szorzást -e: : xy, x y : = x y,, ; :, x y : = x y, xy,
4 Műveletek 97 Általáa a és helyett a és jelöléseket haszáljuk, ha egyértelmű, hogy melyik műveletről va szó Így például az x y esetée a yilvá -eli összeadást jelet, míg az x y kifejezése az összeadás a szokásos összeadás - e Vizsgáljuk meg, hogy jól vaak-e értelmezve az elői műveletek: egyértelmű-e az eredméy és -ől va-e? Az eredméy -e va az értelmezés alapjá Vizsgáljuk az egyértelműséget Meg kell ézzük, hogy az x és y osztályok két külööző reprezetására, az x, x x és y, y y egész számokra teljesül-e az x y = x y egyelőség Mivel x, x x kl, úgy, hogy x = k x és x = l x és hasolóa a, úgy, hogy y = a y, y = y Így x y = k a x y, vagyis ( x y ) ( x y) = ( a k), ahol a k, tehát ( x y ) ( x y) és így x y Az x y(mod ) ekvivalecia relációk azo tulajdosága alapjá, hogy ha u ~ v, akkor u osztálya megegyezik v osztályával, írhatjuk, hogy x y = x y Hasolóa, x y = x y, tehát x y = x y, vagyis az összeadás -e egyértelmű Hasolóa igazolható, hogy a szorzás is egyértelmű Az elői jelöléseket haszálva, xy = ( k x)( a y) = ( ak ky ax) xy, tehát xy xy= ( ak ky ax), ahol ak ky ax, vagyis xy ( mod) Megjegyzés Ha elkészítjük a 5 xy művelettáláit, észrevesszük, hogy az összeadás művelettálája megegyezik az R -eli összeadás művelettálájával, ha em vesszük 5 figyeleme, hogy a -eli elemeket 0,,, 3, 4 -pal jelöltük Hasoló összefüggés 5 áll fe a szorzásra is c) Permutációk szorzása S -e H Legye H = { 3,,,, } és jelöljük S -el a H -ak azt a részhalmazát, amely { : ijektív} csak a ijektív függvéyeket tartalmazza: S = f H H f Legye σ S A σ függvéyt megadhatjuk egy kétsoros tálázat segítségével: 3 σ = σ() σ( ) σ( 3) σ( ) Mivel σ ijektív függvéy, ezért a σ(), σ( ),, σ( ) elemek párokét külöözek tehát az,,, számok egy permutációját alkotják Ez a permutáció jellemzi a σ függvéyt, ezért S elemeit -ed fokú vagy -ed redű permutációkak szoktuk evezi Az elői észrevétel alapjá S -ek! eleme va Mivel a ijektív függvéyek összetétele ijektív, és az összetétel egyértelmű, értelmezhetjük a S S S műveletet (a függvéyösszetétel S -e): :
5 98 Műveletek στ eseté ( σ τ)( k) : = σ τ( k), k =,, S ( ) Például, S elemei a következő permutációk: 3 3 σ = 3, σ 3, 3 =, 3 σ = σ = 4 3, 3 σ, σ 3 = 5 3 = 6 3 A függvéyösszetételt S -e a permutációk szorzásáak szokás evezi Megoldott feladatok Vizsgáljuk meg, hogy az alái megfeleltetések műveletek-e a megadott halmazo? x y a) xy,, ( xy, ) x y: = ; x y ) xy,, ( xy, ) x y: = ; c) xy,, ( xy, ) x y: = xy; d) xy,, ( xy, ) x y: = xy; e) z, z, ( ) z, z z z : = z z, ahol a és műveletek redre a megfelelő halmazo értelmezett összeadás és szorzás Megoldás Meg kell vizsgáluk, hogy a megfeleltetések ϕ : M M M típusú függvéyek-e? x y x y a) Mivel xy, eseté értelmezett, egyértelmű és, valóa művelet -e x y ) Létezik olya xy,, hogy, ezért a megfeleltetés em lesz x y 3 művelet -e Például x = és y = -re = c) x = és y = -re xy =, tehát em lesz művelet -e d) Mivel xy, eseté xy egyértelmű, a megfeleltetés valóa művelet lesz -o e) Ee az esete azért em lesz művelet, mert a megfeleltetés em egyértelmű (vagyis em lesz - értelmezett, értékeit -ől vevő függvéy, csak most más okól, mit az eddigi ellepéldáka: a felvett értékek -e maradak, csak éppe em leszek egyértelműek) Például x =, y = i -re x y = i = ± i
6 Műveletek 99 Az elői példák alapjá, ha egy megfeleltetésről azt kívájuk elleőrizi, hogy művelet-e, akkor meg kell vizsgáluk, hogy ϕ : M M M típusú függvéy-e, ahol M a kitütetett halmaz Ez általáa két lépése törtéik: ) Egyértelmű-e az eredméy? ) Az eredméy az M halmaza va-e? A halmaza értelmezzük az x y műveletet úgy, hogy xyzt,,, eseté teljesüljeek az alái feltételek: a) ( x y) ( z t) = ( x z) ( y t) ; ) x x = ; c) x = x Számítsuk ki mat Megoldás Ha a)-a y = x és t = értékeket helyettesítük, kapjuk, hogy x ( x x) z ( xz) = x, xz, Felhaszálva a ) és c) feltételeket, következik, hogy z = xz, x, z Az utói összefüggése x -et x x -szel z helyettesítve, kapjuk, hogy z x =, xz,, vagyis a művelet potosa a x 7 szokásos osztás a halmaza Tehát 7 43 = 43 Műveletekre ézve zárt részhalmazok Idukált művelet Vizsgáljuk a :, a : = a, a, műveletet Ha a és tetszőleges zérótól külööző természetes számok, akkor a = a = a a a, -szer tehát a, -ra a és azt modjuk, hogy az halmaz zárt (stail) részhalmaza -ak a műveletre ézve Hasolóa, a, eseté em áll fe az a összefüggés, mert például a =, = -ra = a, tehát em stail részhalmaza -ak a műveletre ézve A feti észrevételek alapjá a művelet leszűkítése az halmazra szité művelet lesz, jelöljük ezt a műveletet -gyel, :, x y = x y, x, y Azt modjuk, hogy a művelet a művelet -ra való leszűkítése, vagy a által idukált művelet -a Mivel em stail részhalmaza -ak -ra ézve, ezért em idukál műveletet -o Értelmezés Adott az M halmazo egy ϕ művelet Az M -ek egy H részhalmaza a ϕ műveletre ézve zárt (vagy stail) részhalmaza az M -ek, ha xy, H ϕ ( xy, ) H
7 00 Műveletek Ha H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, akkor a H halmazo értelmezhetük egy ϕ műveletet a következőképpe: ϕ : H H H, ϕ ( xy, ) : = ϕ ( xy, ), xy, H A ϕ műveletet a ϕ művelet H -ra voatkozó leszűkítéséek, vagy a ϕ által H -a idukált műveletek evezzük Példák A :, ( a, ) a műveletre ézve,,,, stail részhalmazai -ek Az idukált műveletek potosa a megfelelő számhalmazo értelmezett összeadások leszek : Az ":":, ( a, ) a: műveletre ézve stail részhalmaza -ak, mert két zérótól külööző racioális szám háyadosa racioális Az idukált művelet a zérótól külööző racioális számok osztása A halmaz em stail részhalmaza -ak, mert -a az osztás em első művelet 3 A "" : műveletre ézve = z z páratla stail { } részhalmaza -ek, mert két páratla szám szorzata páratla, viszot például H = z z < 0 em stail részhalmaz { } 4 Az : műveletre ézve (függvéyek összetétele) az U = { f f ( 0) = 0} részhalmaz stail részhalmaza -ek, mert f, g U f ( 0) = 0, g( 0) = 0 ( f g) () 0 = f ( g() 0 ) = 0 f g U 3 Műveletek tulajdoságai Az,,,, számhalmazoka végzett és műveletek eseté megszoktuk, hogy izoyos tulajdoságok midig teljesülek Így em merül fel kérdés például akkor, amikor -e azt írjuk, hogy 3 5 = 0, holott visszatekitve a műveletek értelmezésére, a c-t em értelmeztük, csak a -t Tehát, ha a c-t akarjuk értelmezi, el kell döteük, hogy milye sorrede végezzük el a két műveletet: először elvégezzük az ( a ) -t és az eredméyhez hozzáadjuk a c -t, tehát a c = (a ) c, vagy máskét járuk el, a ( c)- hez adjuk alról az a -t: a c = a ( c) Valós számok összeadásáál ez midegy, mert az összeadás asszociatív: ( a ) c = a ( c), ac,, Viszot ha tekitjük a, a : = a műveletet, akkor a c-ek ics értelme, mert c c c c c a c = a c = a =a és a ( c) = a = a és általáa a a ( ) ( ) c : Hasolóa megszoktuk, hogy az a = egyelőség midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a kifejezést, tehát a = a c = c, c és ugyaez feáll a szorzásra is Vajo tetszőleges művelet eseté, ha : M M M, a,, a, M úgy, hogy a = és a =, akkor feáll-e az a a = összefüggés?
8 Műveletek 0 A válasz igelő, a művelet értelmezése alapjá: mivel a művelet jól értelmezett aa, =, = = függvéy, ezért az ( ) egyelőségől (a és a a feltétel szerit) ( ) következik a ( aa, ) = (, ) összefüggés (mert a megfeleltetés egyértelmű), ami potosa az a a = összefüggést jeleti Ezt a tulajdoságot evezzük a helyettesítés törvéyéek, és eől következek azok a tulajdoságok, hogy egyelet midkét oldalához hozzáadhatjuk ugyaazt a számot, az egyeletet szorozhatjuk ugyaazzal a számmal, az egyelőség változása élkül Ugyaakkor láttuk, hogy valós számok eseté a szorzás kommutatív, vagyis a,, a = a, viszot ez a tulajdoság mátrixok szorzására, vagy függvéyek összetételére em érvéyes A következőke általáosa tárgyaljuk a műveletek éháy tulajdoságát 3 Asszociativitás Az elői példa alapjá adott M halmaza értelmezett : M M M művelet eseté az a,, c M elemekre a c -ek általáa ics értelme, mert em midegy, hogy milye sorrede végezzük el a műveleteket: általáa ( a ) c a ( c) Értelmezés A : M M M, ( xy, ) x yműveletet asszociatív műveletek evezzük, ha ( a ) c = a ( c), a,, c M eseté Asszociatív művelet eseté ármilye (, ac, ) M M M számhármasra elletmodásmetese eszélhetük az a c elemről, értelmezés szerit a c : = ( a ) c = a ( c), tehát a zárójeleket elhagyhatjuk Példák asszociatív és em asszociatív műveletre,,,, -e az összeadás és szorzás asszociatív műveletek Az X em üres halmaz eseté P ( X )-e az egyesítés, a metszet és a szimmetrikus külöség asszociatív műveletek (lásd az I fejezetet) 3 M ( ) -e az összeadás és a szorzás asszociatív műveletek, a XI osztálya taultak alapjá E 4 E -e a függvéyek összetétele asszociatív művelet Az utói tulajdoságot igazoljuk: legyeek f, gh, : E Etetszőleges függvéyek x E eseté (( f g) h)( x) = ( f g) ( h( x) ) = f [ g( h( x) )] = [( )( )] ( ( ))( ) = f g h x = f g h x, tehát ( f g) h = f ( g h) 5 R -e az összeadás mod és a szorzás mo d asszociatív műveletek Bizoyítás Mivel az összeg maradéka egyelő a maradékok összegéek maradékával, tetszőleges a,, c R eseté a ( c) = a ( c) osztási maradéka -el ; ( a ) c = ( a ) c osztási maradéka -el
9 0 Műveletek Viszot -e az összeadás asszociatív, tehát a ( c) = ( a ) c, ezért az - el való osztási maradékuk is megegyezik, tehát ( a ) c = a ( c) Hasolóa igazolható a szorzás asszociativitása is 6 -e az összeadás és szorzás asszociatív A izoyítást ugyaúgy végezzük el, mit R -e y 7 -e az x y : = x, xy, műveletre y y ( x y) z x z = z = x, xyz,, és y z y z x ( y z) = x = x, xyz,, 4 Tehát z 0 eseté ( x y) z x ( y z) és így a művelet em asszociatív Megoldott feladatok Igazoljuk, hogy az :, a : = a a, a, függvéy egy em asszociatív művelet -e Bizoyítás valóa művelet, mert a, eseté a a és a egyértelmű (vagyis a függvéy jól értelmezett) Igazoljuk, hogy em asszociatív Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a ( c c) a c c = = ac a ac a c c és ( a ) c = ( a a ) c = ac ac c a a c Az a ( c) = ( a ) c egyelőség csak akkor teljesül, ha ac a ac a c c = ac ac c a a c Ez ekvivales az ac = c egyelőséggel, ami em teljesül mide a,, c eseté (em áll fe például a = és c = eseté) Így a művelet em asszociatív Igazoljuk, hogy a :, a : = a a művelet asszociatív Megoldás Köye elleőrizhető, hogy valóa művelet Ha a,, c tetszőlegesek, akkor a ( c) = a ( c c) = a c c a ac ac = = a c ( a ac c) ac és ( a ) c = ( a a) c = a a c ac c ac = = a c ( a ac c) ac, tehát a ( c) = ( a ) c, ac,, 3 Az m valós paraméter mely értékeire lesz a :, a : = a a m, a, művelet asszociatív? Megoldás ac,, eseté a ( c) = a ( c c m) = ac a ac am a c 4 4c m m = = ac ( a ac c) ( m ) a 4 4c 3m ;
10 Műveletek 03 ( a ) c = ( a a m) c = = ac ( a ac c) 4a 4 ( m c ) 3m Az ( a ) c = a ( c) egyelőség csak akkor teljesülhet mide a,, c eseté, ha m = 4, tehát m = Mit láttuk, tetszőleges művelet eseté em áll móduka három elem szorzatáak az értelmezése És így ehéz haszálható elméletet kidolgozi a műveletről és a halmazról, amelye értelmezett a művelet Ahhoz, hogy három elemet össze tudjuk szorozi, szükségük va az asszociativitásra Viszot ha égy elem szorzatát kell kiszámoluk, akkor asszociatív művelet eseté is, ismét tö lehetőség va: a c d = a ( c d), vagy a c d = ( a c) d, vagy a c d = ( a ) ( c d)? Ezért az asszociativitás ismét keveset árula el a halmazo értelmezett műveletről, ha a c d em lee egyértelmű A következő tétel értelmée az asszociativitás elégséges feltétel ahhoz, hogy az a a a kifejezés egyértelmű legye, tetszőleges \{ 0,, } eseté Tétel Ha egy asszociatív művelet M -e, akkor az a a kifejezés egyértelműe meghatározott,, 3 és a, a,, a M eseté Bizoyítás A matematikai idukció módszerét alkalmazzuk = 3 -ra az a a kifejezés egyértelmű az asszociativitás miatt a 3 Ha elfogadjuk, hogy m eseté a a a egyértelmű, eseté, a M i ahol i =,, akkor az a a a kifejezés összes lehetséges kiszámolása az m ( a a a ) ( a am a ) j j m esetre vezetődik vissza, ahol j {,,, m} Az idukciós feltétel szerit midkét zárójel egyértelmű, így csak azt kell igazoli, hogy tetszőleges j, j {,,, m} -re ( a a a ) ( a a ) = ( a a ) ( a a ) () j j m j j m Feltételezhetjük, hogy j < j Ekkor az A= a a a, B = a a, j j j C = a a jelöléseket evezetve és felhaszálva, hogy az idukciós feltevés j m szerit A, B és C egyértelműek, () ekvivales az ( A B) C = A ( B C) összefüggéssel, ami teljesül az asszociativitás miatt, tehát a matematikai idukció elve alapjá, és a M, i =, eseté a a a egyértelmű 3 Kommutatív műveletek i Értelmezés Az M halmaza értelmezett műveletet kommutatívak evezzük, ha a, M eseté a = a Példák kommutatív és em kommutatív műveletre Az,,,, halmazoka a szorzás és összeadás kommutatív műveletek
11 04 Műveletek Az M ( ) halmaza a mátrixok összeadása kommutatív, viszot a mátrixok szorzása em kommutatív 3 Az -e értelmezett függvéyösszetétel em kommutatív Ezt egy ellepélda segítségével igazoljuk Legye f, g :, fx ( ) = 3x és gx ( ) = x ( f g) ( x) = 3x, valamit ( g f) ( x) = ( 3x) = 9x, tehát f g g f, vagyis az összetétel em kommutatív -e 4 R -e a és műveletek kommutatív műveletek 5 -e a és műveletek kommutatív műveletek 6,,, -e a kivoás em kommutatív művelet 7 Legye Ox y egy síkeli koordiátaredszer Értelmezzük a síkeli potok halmazáa a következő műveletet: :, eseté ( x, y ) ( x, y ): = ( x x,y y ) ( x, y ), ( x, y ) eseté ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x x, y y ) ( x, y ) ( x, y ) kommutatív, írhatjuk, hogy x, y, x, y ( ) ( ) Mivel a valós számok összeadása = = =, tehát az így értelmezett összeadás a síkeli potok halmazáa kommutatív művelet Megjegyzések A 7 példáa értelmezett művelet megegyezik a síkeli szaad vektorok összeadásával, amivel már találkoztatok a IX osztálya Az asszociativitás és kommutativitás örökletes tulajdoságok, vagyis ha ϕ : M M M egy művelet és H stail részhalmaza M -ek a ϕ műveletre ézve, valamit ϕ a ϕ által H -a idukált művelet, akkor ϕ asszociativitásáól ϕ következik asszociativitása és ϕ kommutativitásáól következik ϕ kommutativitása A izoyítást csak a kommutativitásra végezzük el xy, H, ϕ ( xy) = ϕ( xy, ) (), Viszot ϕ kommutatív és xy, H xy, M, tehát írhatjuk, hogy ϕ( xy, ) = ϕ(y, x) H (), mert y, x H () és () alapjá ϕ(,) xy ϕ (, yx) ϕ (, yx), vagyis ϕ kommutatív művelet H -a = = Ez a megjegyzés a következőke sokat fog köyítei az egyes tételek izoyításá, illetve feladatok megoldásá, segítségével izoyos eseteke hivatkozhatuk az asszociativitás (kommutativitás) örökletességére és em kell azt izoyítauk 33 Semleges elem A : művelet eseté tudjuk, hogy létezik egy 0 -val jelölt elem -e, amelyre feáll, hogy m eseté 0 m = m 0 = m és ez az elem az egyedüli, amely ezzel a tulajdosággal redelkezik 0-t a semleges eleméek evezzük a műveletre voatkozóa Hasolóa, a : műveletre
12 Műveletek 05 voatkozóa semleges elem, mert m = m = m, m Ugyaezek a megállapítások érvéyesek az számhalmazokra is = 0 0 M ( ) -e a 0 = mátrix az összeadásra ézve és I a szorzásra ézve semleges elem: 0 A= A 0 = A, A M ( ) ; I A= A I = A, A M ( ) Eltekitve a kitütetett halmaztól és művelettől, láthatjuk, hogy a semleges elem ugyaazzal a tulajdosággal redelkezik, ezért kézefekvő a következő általáosítás: Értelmezés Az e M elemet semleges elemek evezzük a : M M M műveletre ézve, ha x M eseté e x = x e = x Vegyük észre, hogy az értelmezés megegedi, hogy M -e egy adott műveletre ézve tö semleges elem is legye Bár eddigi tapasztalataik sorá ez em fordult elő, vizsgáljuk meg általáa a kérdést Feltételezzük, hogy ee, M két külööző semleges elem M -e, a : M M M műveletre ézve Az értelmezés alapjá e e -re írhatjuk, hogy e e = e (e semleges elem), valamit e e = e (e semleges elem), ahoa következik, hogy e = e, ami elletmodás, tehát M -e ha létezik semleges elem, akkor az egyértelmű Tehát kijelethetjük a következő tételt: Tétel Ha az M halmaza értelmezett műveletre voatkozóa létezik semleges elem, akkor csak egy ilye va Megjegyzések Az utói tétel egyelemű M halmaz eseté triviális, mert ee az esete egy művelet értelmezhető és aak potosa egy semleges eleme va Additív művelet eseté a semleges elemet zéruselemek evezzük, és 0-val jelöljük Multiplikatív művelet eseté a semleges elemet egységelemek evezzük, és -gyel jelöljük Ezek a jelölések em kötelezők, majd késő, a kétműveletes algerai struktúrákál lesz szerepük Általáa tetszőleges művelet eseté az e jelölést haszáljuk 3 Kommutatív művelet eseté az a e = e a összefüggés fölösleges, tehát modhatjuk, hogy e semleges elem, ha a M eseté a e = a 4 Általáa tetszőleges : M M M műveletre, ha e M úgy, hogy a e = a, a M, akkor azt modjuk, hogy e jooldali semleges elem Hasolóa értelmezhető a aloldali semleges elem is: Legye : M M M egy művelet Ha létezik e M úgy, hogy e a = a, mide a M eseté, akkor e -t aloldali semleges elemek evezzük Nyilvávaló, hogy ha a : M M M műveletre ézve létezik al- és jooldali semleges elem, és ezek megegyezek, akkor ez az elem egye semleges elem is a műveletre ézve M -e 5 Fotos kihagsúlyozi, hogy a semleges elemet milye műveletre ézve és milye halmaza tekitjük A művelet kihagsúlyozásáak fotossága yilvávaló, hisze
13 06 Műveletek például a valós számok szorzása és összeadása két külööző semleges elemmel redelkezik A halmaz kijelöléséek fotosságát az alái példa szemlélteti: x 0 x Köye elleőrizhető, hogy az A= ( ) M x 3 x 0 x halmaz stail részhalmaza ( ) -ek a mátrixok szorzására ézve Míg M3 I 3 M3 ( ) -e a szorzásra ézve a semleges elem az I mátrix, addig az A halmazak em eleme, viszot létezik semleges eleme az idukált szorzásra ézve: E = = 0 0 Igazoljátok, hogy E A valóa semleges elem Példák -e az összetevésre ézve az f :, f ( x) = x, x függvéy semleges elem X eseté P ( X )-e írhatjuk, hogy A= A = A, A P ( X) és B = X B = B X, B P ( X), tehát semleges elem az egyesítésre ézve és X semleges elem a metszetre ézve 3 -e semleges elem (zéruselem) az összeadásra ézve és 0 semleges elem (egységelem) a szorzásra ézve 4 -a az összeadásra ézve ics semleges elem = z z stail részhalmaza -ek a szorzásra ézve, és a szorzás által a 5 { } halmaza idukált műveletek ics semleges eleme ( ) 6 S -e a permutációk szorzására ézve létezik semleges elem: 3 e = 3, vagyis az idetikus permutáció Megoldott feladatok Taulmáyozzuk a aloldali, jooldali semleges elem, illetve a semleges elem létezését a következő műveletek eseté a) :, a : = a a ; ) :, a : = a a ; c) :, a : = a a; a d) : (, ) (, ) (, ), a : = ; a e) vektorok összeadása a tére; f) vektorok szorzása (vektorszorzat) a tére; g) szimmetrikus külöség P ( X )-e 3
14 Műveletek 07 Megoldás a) A művelet kommutatív, tehát a aloldali, illetve jooldali semleges elem megegyezik a semleges elemmel, ha az utói létezik Általáa úgy határozzuk meg a semleges elemet, illetve aak létezését, hogy feltételezzük, hogy létezik és ehelyettesítve e -t a művelet értelmezésée, kiszámoljuk a kokrét értékét Ha köze elletmodáshoz jutuk, akkor az idirekt izoyítás, vagy lehetetlere való visszavezetés (reductio ad asurdum) módszere alapjá em létezik semleges elem, ha pedig em, akkor a kapott érték lesz a semleges elem Ee az esete csak az a e = a, a összefüggést kell vizsgáluk, mert a művelet kommutatív, tehát ae a e = a, a, ha létezik az e semleges elem Átalakítva az elői összefüggést, kapjuk, hogy e( a ) = 0, a és eek az összefüggések e = 0 midig megfelel, ezért, felhaszálva a semleges elem egyértelműségét is, a műveletre ézve -e a semleges elem a 0 ) Ee az esete a művelet em kommutatív, tehát az a e = e a = a, a összefüggés szerit ae a e = ea e a = a kell teljesüljö mide a értékre, vagyis a e = e a, a, ami lehetetle, tehát ics semleges elem Vizsgáljuk meg a aloldali, illetve jooldali semleges elemek létezését Ha létezik jooldali semleges elem (e ), akkor az eleget tesz az a e j j összefüggések, mide a eseté, tehát ae a e = a, a, vagyis e = 0 jooldali semleges elem Baloldali semleges elem em létezik, mert az j ea e a= a, a e ( a ) = a, a összefüggést egyetle valós szám sem elégíti ki mide a eseté (Például a = -re, ics olya e valós szám amelyre 0 = e 0 = ) c) Hasoló a ) pothoz, tehát em létezik semleges elem -e a műveletre ézve, viszot e = 0 aloldali semleges elem és em létezik jooldali semleges elem d) Elő vizsgáljuk meg, hogy jól értelmezett-e a művelet Az egyértelműség yilvávaló, tehát csak azt kell elleőrizi, hogy tetszőleges a, (, ) eseté az a (, ) összefüggés teljesül-e Mivel ( a )( ) > 0, mide a, eseté, írhatjuk, hogy a a > 0, tehát a > ( a) A jo oldalo szereplő zárójel szigorúa pozitív, ha a, ( ), Tehát oszthatjuk az egyelőtleséget ( a) -vel, a és az >, a, ( ), összefüggést kapjuk a Hasolóa, az ( a) ( ) > 0, a, (, ) összefüggést felhaszálva, a kapjuk, hogy <, a, (, ) a A feti észrevételek alapjá jól értelmezett első művelet a ( ), itervallumo A művelet kommutatív, tehát elégséges a jooldali semleges elem létezését j j
15 08 Műveletek vizsgáli Feltételezzük, hogy e (, ) úgy, hogy a e = a, a (, ), a e vagyis = a, a (, ) Átalakítva az elői összefüggést, írhatjuk, hogy ae a e = a a e, a (, ) ea ( )= 0, a (, ), ahoa az e = 0 eredméyt kapjuk Tehát a (, ) halmaza a műveletre ézve a semleges elem a 0 e) A ullvektor yilvá semleges elem az összeadásra ézve, tehát e = ( 000,, ) = 0 f) Nem létezik semleges elem a vektorszorzatra ézve a tére (mert a szorzat midig merőleges a téyezőkre és így em lehet egyik téyezővel sem egyelő) g) Az üres halmaz semleges elem a szimmetrikus külöségre ézve P ( X )-e Határozzuk meg az m, paramétereket úgy, hogy az alái műveletre ézve legye -e semleges elem: :, a : = a a m m, a, Megoldás Ha létezik az e semleges elem, akkor kell teljesüljö az a e = e a = a összefüggés mide a eseté, tehát ae a me m = ea e ma m = a, a, ahoa az (m ) e = ( m ) a, a és () ea ( ) = a( m) m, a () összefüggéseket kapjuk ()-ől következik, hogy m =, tehát a () összefüggés szerit ea ( ) = a( ), a eseté Átalakítva ezt az összefüggést, az ae ( ) e= 0, a összefüggést kapjuk, ami csak akkor e = 0 teljesülhet, ha e = 0, tehát = 0 és e =, vagy = és e = Összefoglalva, a műveletre ézve -e csak akkor va semleges elem, ha = m és {, 0 } 34 Ivertálható elemek (szimmetrizálható elemek) Értelmezés Legye : M M M egy olya asszociatív művelet, amelyre ézve létezik M -e az e semleges elem Azt modjuk, hogy az a M elem ivertálható M -e a műveletre ézve, ha a M úgy, hogy a a = a a = e Ha létezik ilye a, akkor azt az a M szimmetrikusáak vagy iverzéek evezzük Tapasztalataik alapjá, ha egy adott asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve az a M elemek va iverze, akkor az egyértelmű Például -e az összeadásra ézve iverze, mert ( )= ( ) = 0, általáa pedig a ( a) = ( a) a = 0, a A szorzásra egyedül a 0 elemek ics a = a = a iverze és általáa a eseté a Mide a, illetve a eseté a ( a) és elemek egyértelműe meghatározottak Feltehetjük a kérdést, a hogy általáa, ha : M M M egy asszociatív, semleges elemmel redelkező
16 Műveletek 09 művelet és x M egy ivertálható elem M -ől, akkor létezhet-e x -ek két külööző iverze A választ a következő tétel adja meg: Tétel Ha az x M elemek x M szimmetrikusa a : M M M asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre ézve, akkor x egyértelmű Bizoyítás Feltételezzük, hogy x M úgy, hogy x x = x x = x x = x x = e Írhatjuk, hogy x = x e = x ( x x ) = (x x) x = e x = x, vagyis x az x egyedüli iverze Megjegyzések Az asszociativitás az egyértelműség izoyításához szükséges Adjatok példát olya em asszociatív, semleges elemmel redelkező műveletre, amelyre ézve va olya x elem, amelyek tö iverze va! Additív művelet eseté az a M elem szimmetrikusát az a elletettjéek evezzük és általáa ( a) -val jelöljük Multiplikatív művelet eseté az a M szimmetrikusát a iverzéek evezzük és a -el jelöljük Tehát x ( x ) = ( x) x = 0 és x x = x x = 3 Az egységelem midig ivertálható, iverze ömaga 4 Kommutatív művelet eseté elégséges az x x = e feltétel 5 Ha x az x M szimmetrikusa a műveletre ézve, akkor x is ivertálható és ( x ) = x Példák, feladatok -e az összeadásra ézve egyedüli ivertálható elem a semleges elem, hasolóa a szorzásra ézve is -e az összeadásra ézve mide elem ivertálható: a ( a ), a ( a ) = ( a) a = 0 A szorzásra ézve csak a és ivertálhatók, midkettőek ömaga az iverze 3 -a az összeadásra ézve mide elem ivertálható, a szorzásra ézve pedig egyedül a 0 em ivertálható 4 M ( ) -e -ra ézve mide elem, -ra ézve pedig csak azok az A mátrixok ivertálhatók, amelyekre feáll a deta 0 összefüggés 5 X halmaz eseté P ( X )-e az egyesítésre ézve egyedül az ivertálható A metszetre ézve az egyedüli ivertálható elem ismét csak a semleges elem: az X 6 -e a függvéyösszetételre ézve csak a ijektív függvéyek ivertálhatóak 7 S -e mide permutáció ivertálható, mert ijektív függvéy és iverze is per- mutáció Megoldott feladatok Legye : M M M egy asszociatív, egységelemes művelet és x, y M két ivertálható elem, az x és y iverzekkel Igazoljuk, hogy ( x y) is ivertálható és ( x y ) = y x
VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése
RészletesebbenFüggvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenAlgebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest
Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenII. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK
Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenA lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.
2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11
RészletesebbenKitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenBevezetés az algebrába komplex számok
Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.
Részletesebbendr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár
dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenA primitív függvény és a határozatlan integrál 7
A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye
RészletesebbenFüggvények határértéke 69. III. Függvények határértéke
Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenValós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok
Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
RészletesebbenHiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenBSc Analízis I. előadásjegyzet
BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenXXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
RészletesebbenFONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK
FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenKombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk
RészletesebbenI. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok
Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
Részletesebben3 1, ( ) sorozat általános tagjának képletét, ha
Gyakolatok és feladatok. Hatáozd eg a kvetkező, ekuzíva ételezett soozatok általáos tagját: a), = = " ³, ; (felvételi feladat,99., Teesvá), b),, =, = " ³ ; (felvételi feladat, 99., Teesvá) c) =, = 4 =
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
Részletesebben