I. Koordinátarendszerek a síkban és a térben, mátrixok

Átírás

1 Koordiátaredszerek mátrixok 0 I Koordiátaredszerek a síkba és a térbe mátrixok Koordiátaredszerek A korábbi taulmáyaitok sorá megismerkedhettetek a sík aalitikus geometriájáak éháy alapfogalmával (koordiátaredszerek távolság szögek egyees egyeletei stb) E paragrafus célja általáosabb koordiátaredszerek bevezetése a síkba és a térbe A vektorok tulajdoságaiak vizsgálatakor láttuk hogy a sík tetszőleges vektora felbotható a síkba két em kollieáris vektor iráya szerit Potosabba ha v és v em kollieárisak akkor bármely v eseté létezek a λ λ valós számok amelyekre v λv+ λv () Ezt az ábra szemlélteti v λ ábra v y λ v ábra v v λ v Ha v és v az xo y derékszögű koordiátaredszer tegelyeiek egységvektorai akkor λ és λ az M pot koordiátái ahol OM a v szabad vektor O -ból kiiduló reprezetása (lásd a ábrát) Ez alapjá ha adott két em kollieáris vektor ( v és v ) és egy adott pot akkor a sík mide potját jellemezi tudjuk az ( ) összefüggésből adódó λ és λ számokkal Ezért a továbbiakba két em kollieáris v és v vektorból és egy rögzített O potból álló hármast síkbeli koordiátaredszerek tekitük Egy v vektor koordiátái- ak azokat a λ és λ számokat tekitjük amelyekre teljesül az ( ) összefüggés Megjegyzés Ez ugyaaz mitha két metsző egyeese rögzíteék egy-egy egységet és egy-egy iráyítást Az egyeesek a v és v O -ból kiiduló reprezetásaiak tartóegyeesei és v illetve v az egységek A fogalmak rögzítéséek céljából a következő értelmezéseket adjuk: Értelmezések Ha O egy rögzített pot a síkba és v v két em kollieáris vektor akkor az ( O v v ) hármast síkbeli koordiátaredszerek evezzük Ha ( O v v ) egy koordiátaredszer a síkba és v λ v + λv λλ akkor azt modjuk hogy v koordiátái az ( O v v ) redszerbe és λ v λ x λ

2 0 Koordiátaredszerek mátrixok Ha M egy pot a síkba és OM λv + λv λλ akkor azt modjuk hogy λ és λ az M pot koordiátái az ( O v v ) koordiátaredszerbe Hasolóképpe értelmezhetjük a térbeli koordiátaredszereket is Ha v v és v em egy síkba fekvő vektorok és v egy tetszőleges vektor a térbe akkor a v felírható v λ v + λ v + λ v alakba ahol λ λ λ Ezt a ábra szemlélteti ( az OM egy olya paralelepipedo testátlója amelyek O -ból kiiduló élei redre a v v és v iráyával egyezek meg) M λ v ábra v λ v v O v Ez alapjá a következő értelmezést adhatjuk: Értelmezés Ha O egy rögzített pot a térbe v v és v em egy síkba fekvő vektorok (az O -ból kiiduló reprezetásaikak végpotjai olya síkot határozak meg amely em halad át O -) akkor az ( O v v v ) égyest térbeli koordiátaredszerek evezzük Ha ( O v v v ) egy térbeli koordiátaredszer és v λ v v + λv + λ akkor azt modjuk hogy λ λ λ a v koordiátái az ( O v v v ) λ v koordiátaredszerbe Ha egy pot a térbe és OM λ v + λ v + λ v M λ O v v v akkor azt modjuk hogy λ és λ az M pot koordiátái az ( ) koordiátaredszerbe Tekitsük az α síkba az xo y derékszögű koordiátaredszert A v és v vektorok O kezdőpotú reprezetásáak végpotja ( 0) illetve (0 ) és tetszőleges M( x y) pot eseté OM x v + y v A koordiáták segítségével ez az összefüggés ( x y) x (0) + y (0) alakba írható ahol a számpárokkal a következő műveleteket végezzük (ezeket már taulmáyoztuk a komplex számok értelmezésekor): λ ( x y) ( λ x λy) x y λ ( x y ) + ( x y ) ( x + x y + y ) x x y y

3 Koordiátaredszerek mátrixok 0 Ezek a műveletek a vektorok skalárral való szorzásáak illetve a vektorok összeadásáak felelek meg A geometriai értelmük a 4 és 5 ábrá látható y ON λom OPOM+ON N( λx λy) y v + v ( x + x y + y ) y + y P M Mx ( y) y y N x x + x x O x x x 4 ábra 5 ábra Feladat Bizoyítsuk be hogy az előbbi műveletek geometriai értelme akkor is megmarad ha valamilye általáosabb síkbeli koordiátaredszerre voatkozak a koordiáták Bizoyítás Legye ( O v v ) egy tetszőleges síkbeli koordiátaredszer és az u illetve v vektorok koordiátái legyeek α α illetve β β Így u αv + αv és v β v v + β Ha λ tetszőleges szám akkor írhatjuk hogy λ u λ ( α ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v+ αv λ αv + λ αv λα v+ λα és u + v ( αv+ αv) + ( βv+ βv) ( αv+ βv) + ( αv+ βv) ( α + β) v + ( α + β) v Tehát igaz a következő két állítás: ) ha az M pot koordiátái ( λ λ és ON λ OM akkor az N pot koordiátái ( λ λ λ λ ) ) ) ha az M pot koordiátái ( α α ) és az N pot koordiátái ( akkor az β β ) OP OM + ON összegvektor P végpotjáak koordiátái ( α + β α + β ) Hasolóképpe írhatjuk át a térbeli vektorokkal végzett művelteket is azok koordiátáira Legye ( O v v v ) egy tetszőleges térbeli koordiátaredszer az u és v koordiátái legyeek ( illetve ( Így α α α ) β β β ) u α v v v + αv + α és v βv+ βv+ β Tehát λ u λ ( αv + αv + αv ) λ ( αv) + λ ( αv) + λ ( αv) ( λα) v + ( λα) v + ( λα) v és u + v ( αv + αv + αv) + ( βv + βv + βv) ( αv + βv ) + ( αv + βv ) + + ( α + β ) ( α + β ) + ( α + β ) + ( α + β ) v v v v v Ez alapjá a koordiátákra értelmezhetjük a következő műveleteket: λ ( α α α ) ( λα λα λα ) α α α λ ( α α α ) + ( β β β ) ( α + β α + β α + β ) α α α β β β y v v

4 04 Koordiátaredszerek mátrixok Megjegyzések Kifejezhetjük koordiáták segítségével a skaláris szorzatot is Ha az u és v vektorok koordiátái az xoy derékszögű koordiátaredszerbe ( x y ) illetve ( x y ) tudva hogy az u és v vektorok skaláris szorzata u v u pr u v és hogy két azoos iráyú vektor szorzata egyelő a hosszúságuk szorzatával ha azoos iráyításúak illetve aak elletettjével ha elletétes iráyításúak kiszámítható hogy a pr v x ( x ) y ( x x yy koordiátái: x + yy + ) amiből azoal adódik hogy a x + y x + y skaláris szorzat: u v x x + yy Hasolóa igazolható hogy ha az u és v térbeli vektorok koordiátái az Ox yz Tudjuk hogy a skaláris szorzat ( ) derékszögű koordiátaredszerbe ( x yz ) illetve ( x y z ) akkor a skaláris szorzatuk: u v x x + yy +z z u v u v cos u v alakba is írható így a koordiáták ismeretébe kiszámíthatjuk a vektorok által bezárt szöget: u v cos ( uv ) u v M Feladat Bizoyítsuk be hogy tetszőleges térbeli v ( O v v v ) koordiátaredszer eseté egy v vektor N O koordiátái egyértelműe meghatározottak v Bizoyítás Feltételezzük hogy a ( α α α ) és a v ( β β β ) koordiáták ugyaazt a v vektort jelölik és P ( α α α ) ( β β β ) Így v αv + αv + αv βv 6 ábra + βv + βv tehát ( α β) v + ( α β) v + ( α β) v 0 ( ) Jelöljük M N és P -vel az ( α β ) v ( α β ) v és ( α β ) v vektorok O -ból kiiduló reprezetásaiak végpotját A ( ) reláció alapjá az MN P súlypotja O Ez em lehetséges mert a v v és v vektorok icseek egy síkba A jelölések egyszerűsítéséek céljából rögzített kezdőpot eseté a vektorokat azoosíthatjuk a koordiátáikból alkotott számhármassal (vagy számpárral) és elhagyhatjuk a vektorjelet Így a v ( ) jelölés az origó (O ) és az A ( ) koordiátájú potok által meghatározott OA szabad vektort jelöli Példák ( ) + ( ) ( ) ( 4 5) ( ) ( ) ( ) v v u

5 Koordiátaredszerek mátrixok 05 ( 4) + ( ) ( 0 ) + ( ) (0 0 ) ( ) ( ) + ( 0 0) ( ) + ( 5) + ( ) ( 8 9) (0 0 0) O ( ) ( ) + ( 0) tehát ha a koordiátaredszer kezdőpotja a v és v vektorok O kezdőpotú reprezetásaiak a végpotjai az A ( ) és B ( 0) potok akkor a 7 ábra C() C( ) pot koordiátái az ( O v v ) koordiátaredszerbe v O B(0) x és ( 7 ábra) (0 ) ( ) (0) + 7 () + ( 5 ) (4) tehát a v (0 ) Az előbbi műveletek -be ( ) is értelmezhetők y A() vektor koordiátái a v ( 0) v ( ) és v (4 ) vektorok valamit az origó által meghatározott koordiátaredszerbe 7 és 5 Ha x ( x x x ) és y ( y y y ) akkor + ( ) és λ x y x y x y x y Példák ( 4) + (0 ) ( 4 7) λ x ( λ x x λx ) λ ( 7 9) + ( ) ( ) ( 7) ( 6 9 ) A eddigiek alapjá éháy fotos probléma merülhet fel: Hogya döthetjük el hogy egy vektorredszerből (két síkbeli vagy három térbeli vektor) származtatható-e koordiátaredszer? Hogya határozhatjuk meg egy vektor koordiátáit egy koordiátaredszerhez viszoyítva? Hogya határozhatjuk meg egy vektor koordiátáit egy koordiátaredszerhez viszoyítva ha ismerjük egy más koordiátaredszerhez viszoyított koordiátáit? Ezekek a problémákak az általáos megoldása új matematikai eszközöket igéyel Próbáljuk megoldai éháy ilye problémát sajátos esetekbe Feladat Dötsük el hogy a v ( ) és v (4 a) vektorok az a paraméter milye értékeire határozak meg egy koordiátaredszert Megoldás A v és v vektorok potosa akkor kollieárisak ha létezik olya λ amelyre 4 λ és a λ Az első egyelőségből λ tehát a 6 eseté v és v egymás meghosszabbításába va ( v λ v ) míg a 6 eseté ( O v v ) egy koordiátaredszer v

6 06 Koordiátaredszerek mátrixok Általába a v ( a b ) és v ( a b ) vektorok potosa akkor esek egymás meghosszabbításába ha létezik olya λ amelyre v v azaz ha 0 Ellekező esetbe ( O v v ) λ ab ab egy koordiátaredszer Feladat Koordiátaredszer-e az ( O v v v ) redszer ha v ( ) v (0 ) és v ( )? Megoldás Elégséges azt megvizsgáli hogy a λ v + λ v + λ v (000) egyelőség teljesülhet-e ha λ λ és λ em mid egyelő ullával (Ha találuk ullától külöböző megoldásokat akkor em lehet koordiátaredszer mert az O koordiátái ( 000) és ezek egyértelműe meghatározottak míg ha em találuk akkor v és v O -ból kiiduló reprezetásaiak végpotjai által meghatározott v sík em tartalmazza O -t és így ( O v v v ) egy koordiátaredszer) λv ( λ λ λ ) λv (0 λ λ ) λv ( λ λ λ ) Összeadva az egyelőségek megfelelő oldalait kapjuk hogy λv + λv + λv ( λ + λ λ + λ + λ λ λ λ ) λ + λ 0 Tehát a λ + λ + λ 0 λ λ λ 0 egyeletredszerhez jutuk Ha az utolsó két egyelőség megfelelő oldalait összeadjuk a λ λ összefüggéshez jutuk Ez alapjá az első egyeletből következik hogy λ λ 0 tehát (a második egyelet alapjá) λ 0 és így ( O v v v ) egy koordiátaredszer Feladat Határozzuk meg a v (7 6) vektor koordiátáit az előbbi koordiátaredszerbe Megoldás A v λv + λv + λ v egyelőség ekvivales a λ + λ 7 λ + λ + λ λ λ λ 6 egyeletredszerrel A redszer megoldása λ λ és λ tehát v koordiátái és Feladat A V ( O v v ) koordiátaredszerbe az u és u vektor koordiátái ( α α ) és ( β β ) Írjuk fel egy összefüggést az u vektor U ( O u u ) redszerbeli ( λ λ és a V ( O v v ) redszerbeli ( λ λ ) koordiátái közt! )

7 Koordiátaredszerek mátrixok 07 Megoldás u λu + λu λ( αv + αv) + λ( βv + βv) ( λα + λβ ) v + ( λα + λβ ) v Tehát ha u koordiátái a V koordiátaredszerbe λ és λ akkor Ezek az összefüggések a λ és λ αλ + β és λ α + λ λ βλ λ ismeretleek függvéyébe megadják a λ -t és a λ -t míg az utóbbi két koordiáta ismeretébe egy egyeletredszert kell megoldauk λ és λ kiszámításához Az eddigiek alapjá látható hogy a vizsgált problémák midegyike bizoyos típusú egyeletredszerek megoldására (illetve a megoldás taulmáyozására) vezetődik vissza Gyakorlatok Dötsd el hogy az alábbi vektorredszerek koordiátaredszert alkotak-e az origóval? a) v ( ) v ( ) b) v ( ) v ( 4) c) v ( ) v ( ) d) v (0 ) v ( 7) e) v ( ) v ( ) v (0 7) f) v ( ) v ( 4) v ( 5) g) v ( ) v (0 ) v (4 4 5) h) v ( a b) v ( b c) v ( c a) ahol a b c és a b c a Írd fel az u ( 9) vektor koordiátáit az ( O v v ) koordiátaredszerbe ha a) v ( ) v (0 ) b) v ( ) v ( ) c) v ( ) v ( ) d) v ( a b) v ( b a) Írd fel az u ( 7) vektor koordiátáit az ( O v v v ) koordiátaredszerbe ha a) v ( 0 ) v ( 0) v (0 ) b) v ( ) v ( ) v ( Feladatok ) Létezek-e olya λ λ és λ természetes számok amelyekre teljesül a λ ( ) + λ ( ) + λ ( ) (45 4) egyelőség? Ha a jobb oldalt ( a b c) -re cseréljük mi a szükséges és elégséges feltétele a b c -re voatkozóa aak hogy létezze λ λ λ megoldás? 5 5 Az ( a b) számpárt mide lépésbe helyettesítjük a a + b a + b számpárral Bizoyítsuk be hogy csupa külöböző számpárokat kapuk!

8 08 Koordiátaredszerek mátrixok A sík ( i j) koordiátájú potjai i 0 j 0 ( i j) (0 0) egy-egy szöcske áll Mide pillaatba egy szöcske ugrik valamelyik másiko át a következő szabály szerit: ha az A potbeli sz öc ske a B potbeli szöcské ugrik át akkor egy olya C potba ugrik amelyre BC AB Lehetséges-e hogy egy idő utá a szöcskék az ( i j ) i j 0 ( i j) ( ) potoko legyeek? Áttérés két síkbeli koordiátaredszer között Az előbbi paragrafusba láttuk hogy ha a V ( O v v ) koordiátaredszerbe az u és u vektorok koordiátái ( α α ) és ( β β ) akkor egy tetszőleges u vektorak az U ( O u u ) koordiátaredszerbeli ( λ λ ) és a V ( O v v ) koordiátaredszerbeli ( λ λ ) koordiátái közt feállak a következő összefüggések: λ αλ + βλ és λ α λ + βλ A továbbiakba megvizsgáljuk hogy ezek az áttérési képletek milye geometriai tartalommal bírak azaz hogya ágyazódak az egyszerű geometriai traszformációk (forgatás yújtás) ezekbe az összefüggésekbe Ha a v és v vektorok helyett az u αv és u βv vektorokat választjuk a koordiátaredszer vektoraiak akkor az α α α 0 és β 0 β β koordiátákat kapjuk tehát λ αλ és λ β λ Ha α β akkor yújtásról vagy középpotos hasolóságról (homotétiáról) beszélük Forgassuk el a v vektort α szöggel és a v vektort β szöggel OE OB EB OB cos α BB ctg ϕ OB cos α OB si α ctg ϕ OB si( α ϕ) ( cos αsi ϕ si αcos ϕ) OB si ϕ si ϕ (ezt az OEB háromszögbe a sziusztételből is felírhattuk vola) u D u v F u 8 ábra β B ϕ M α B A O E v si α Hasoló godolatmeet alapjá írható hogy OF OB si ϕ si( ϕ α) tehát az u koordiátái az ( O v v ) redszerbe és si α si ϕ si ϕ A D - át húzzuk párhuzamosokat az OA és OC egyeesekhez A sziusztétel alapjá si β si( ϕ+ β) OM OD és ON OD si ϕ si ϕ C N

9 Koordiátaredszerek mátrixok 09 tehát u koordiátái az ( O v v ) koordiátaredszerbe si β si( ϕ+ β) és si ϕ si ϕ Az általáos áttérési képlet és az előbbi összefüggések alapjá si ( ) si λ ϕ α α si β si( ϕ β) λ + λ λ + λ + λ si ϕ si ϕ si ϕ si ϕ Ha α β akkor midkét vektort ugyaakkora szöggel forgatjuk el tehát a koordiátaredszert forgatjuk el α szöggel Ebbe az esetbe az áttérési képletek si ( ) si λ ϕ α α si α si ( ϕ α) λ + λ λ + λ + λ si ϕ si ϕ si ϕ si ϕ π Ezekből az összefüggésekből ϕ eseté visszakapjuk a derékszögű koordiátaredszerek forgatásából már ismert összefüggéseket (lásd a komplex számok geometriai alkalmazásait) λ cos α λ + si α λ λ si α λ + cos α λ Gyakorlatok Mi az egyelete az y x + egyeletű egyeesek az ( O v v ) koordiátaredszerbe ha a) v ( ) v ( ) b) v ( ) v ( 4) Bizoyítsd be hogy az egyees egyelete mide ( O v v ) koordiátaredszerbe y ax + b alakú! Háy olya ( x x pot létezik amelyek a koordiátái a koordiátaredszer ) elforgatásával em változak? 4 Bizoyítsd be hogy az O középpotú körök ivariásak az összes O középpotú forgatásra ézve 5 Bizoyítsd be hogy a v v + v és u λ u 0 összefüggések függetleek a koordiátaredszerek megválasztásától Feladatok Bizoyítsd be hogy az előbbi paragrafusba tárgyalt traszformációk segítségével tetszőleges ( O v v ) koordiátaredszer átvihető egy ( O u u ) koordiátaredszerbe a) Írd fel az M( x y) pot koordiátáit egy α majd egy β szögű O körüli forgatás utá kapott redszerbe b) Az előbbi tulajdoság alapjá vezesd le a következő trigoometriai képleteket: cos( α+ β) cos αcos β si αsi β si ( α + β) si αcos β + cos αsi β

10 0 Koordiátaredszerek mátrixok Lieáris leképezések és mátrixok Az eddig vizsgált koordiáta-traszformációk függvéykét is értelmezhetők ugyais az mide eleméek (az új koordiátákak) megfeleltetük egy elemet az -ből (az eredeti koordiátákat) Így az f : f ( λ λ ) ( αλ + βλ α λ + β λ ) függvéyt defiiáltuk Korábba már láttuk hogy a koordiáta-traszformációk kompatibilisek az -be értelmezett két művelettel (a skalárral való szorzással és az összeadással) Potosabba az összeg képe a képelemek összege és a szorzat képe a képelemek ugyaazzal a skalárral való szorzata Ezek a tulajdoságok szimbólumok segítségével a következőképpe fejezhetők ki: f ( x + y) f ( x) + f ( y) x y f ( λx) λf ( x) x λ A továbbiakba az ilye tulajdoságú függvéyeket lieáris leképezésekek evezzük m * Értelmezés Az f : függvéyt ( m ) lieárisak evezzük ha f ( x + y) f ( x) + f ( y) x y f ( λx) λf ( x) x λ Az értelmezésbe szereplő két feltétel egybeolvasztható a következő módo: m Tulajdoság Az f : függvéy potosa akkor lieáris ha f ( αx + βy) αf ( x) + βf ( y) x y α β Bizoyítás Ha f lieáris akkor f ( αx + βy) f ( αx) + f ( βy) αf ( x) + βf ( y) bármely x y és bármely α β eseté Ha teljesül az adott összefüggés akkor β 0 eseté az f ( αx) αf ( x) x és α összefüggéshez jutuk míg α β eseté az f ( x + y) f ( x) + f ( y ) x y összefüggéshez Tehát f lieáris Ez a tulajdoság általáosabba is igaz m Tulajdoság Ha az f : leképezés lieáris akkor p p f αkx k αkf ( k) x k k x k αk k p p Bizoyítás p eseté már bizoyítottuk tehát a matematikai idukció elve alapjá elégséges bizoyítai hogy ha igaz p -re akkor igaz ( p + ) eseté is p+ p p f αkxk f αkxk αp x + + p+ f αkx k + f ( αp+ xp+ ) k k k p p+ αkf ( xk) αp+ f ( xp+ ) αkf ( xk) + k k

11 Koordiátaredszerek mátrixok A lieáris leképezések éháy alaptulajdoságát köye igazolhatjuk: m Tétel Ha f f : lieáris leképezések akkor az f f+ f leképezés is lieáris m Ha az f 0 : leképezés lieáris akkor az f λ f0 leképezés is lieáris bármely λ eseté m m p Ha f : és f : lieáris leképezések akkor f f is lieáris m 4 Ha az f : lieáris leképezés bektív akkor az iverze is lieáris Bizoyítás f ( αx + βy) αf ( x) + βf ( y) x y és α β f ( αx + βy) αf ( x) + βf ( y) Összeadva az egyelőségek megfelelő oldalait kapjuk hogy f ( αx + βy) αf ( x) + βf ( y) x y és α β Tehát f lieáris f ( αx + βy) αf ( x) + βf 0 ( y) x y és α β 0 0 λf ( ) ( ( ) 0 αx + βy α λf0 x ) + β( λf0( y) ) x y és α β λ tehát f lieáris ( f )( ) ( ( )) ( ) f αx + βy f f αx + βy f( αf x + βf( y) ) αf ( ( )) ( ( )) ( )( ) f x + βf f y α f f x + β( f f)( y) bármely x y és bármely α β eseté tehát f lieáris 4 Ha f : m lieáris és bektív akkor f z x f x ( ) ( ) f : z m és Eszerit ha f ( αx + βy) αf ( x) + βf ( y) x y és α β akkor αx + βy f ( αf ( x) + βf ( y) ) x y és α β m De f bektív tehát bármely uv eseté létezik x y úgy hogy u f és v f ( y) Ezekkel a jelölésekkel írhatjuk hogy f ( u ) α + βv αx + βy αf ( u) + βf ( v) Tehát f lieáris ( x) m u v és α β m E paragrafus célja meghatározi az összes f : lieáris függvéy alakját ha m { } eset m Az f : lieáris függvéyekre f ( x ) f ( x ) x f ( ) tehát f ( x) ax x ahol a rögzített szám eset és m A második összefüggés alapjá f ( x ) f ( x ) xf ( ) x ( a b) x ahol a b rögzítettek

12 Koordiátaredszerek mátrixok eset és m A második összefüggés alapjá f ( x) f ( x ) xf ( ) x ( a b c) x ahol a b c rögzített számok 4 eset és m f ( x x ) f ( x 0) + (0 x ) f( x 0)) + f( (0 x ) fx ( ( 0) ) + fx ( (0 ) ) x f( ( 0 ) + xf( (0 ) ) x a+ x b ahol a és b rögzített valós számok 5 eset és m f(( x x )) x f( ( 0) ) + x f( (0 ) ) x ( a b ) + x ( a b ) ( xa + xa xb + xb) ( x x ) 6 eset és m f(( x x ) x f( ( 0) ) + x f( (0 ) ) x ( a b c ) + x ( a b c ) ( xa + xa xb + xb xc + xc) ( x x ) 7 eset és m f( ( x x x )) f( ( x 0 0) + (0 x x )) f( x ( 0 0) ) + f(0 x x ) fx ( (00)) + fx ( (00)) + fx ( (00)) x f( (00)) + x f( (00)) + x f( (00)) xa + xb + xc ( x x x ) ahol a b c rögzített 8 eset és m f(( x x x )) x f( (00)) + x f( (00)) + x f( (00)) x ( a b ) + x ( a b ) + x ( a b ) ( xa + xa + xa xb + xb + xb) ( x x x ) ahol a a b b c c rögzített 9 eset és m f(( x x x )) x f( (00)) + x f( (00)) + x f( (00)) x ( a b c ) + x ( a b c ) + x ( a b c ) ( xa + xa + xa xb + xb + xb xc + xc + xc) ( x x x ) ahol ai b i ci (i ) rögzített valós számok Látható hogy tetszőleges m és eseté hasoló a helyzet Ha e ( ) i i i akkor x ( x x x x ) felírható alakba és ezáltal x xi i i tehát ha ( ) i e f ( x) f x i ei xif ( ei) i i f e -ek a j -edik kompoese ( j m ) a azaz fe ( ) ( a a a a ) i i i im

13 Koordiátaredszerek mátrixok ( ) i j i akkor az f ( x ) j -edik kompoese x a Ha f x -el jelöljük az f ( x ) j -edik kompoesét akkor az f ( x) x a ( j m ) összefüggéshez jutuk j i i A köyebb megértés valamit az írásmód egyszerűsítése céljából újabb jelöléseket vezetük be Az előbbi összefüggéseket írhatjuk a következő alakba: f ( x) a x + a x + a x + + a x f ( x) a x + a x + a x + + a x fm( x) a x + a x + a x + + a m m m mx Látható hogy előyösebb f ( x) kompoeseit oszlopba íri mert így köyebbe át lehet láti az egyes tagok idexeit Ebbe az esetbe az elemeit is oszlopba kell írjuk (mert f ( x ) is egy ilye elem) tehát az f ( x) f ( ) j x illetve j m x [ x ] i i jelölés a következőket jeleti: f ( x) x f ( x) x f ( x) és x f ( ) m x x m (azért írjuk szögletes zárójelbe hogy az eddigi jelöléstől meg tudjuk külöbözteti) Az a számokat egy táblázatba redezhetjük úgy hogy az i -edik oszlop j - i j m edik sorába kerüljö az a Ez a táblázat az f ( e ) j f ( e ) j m j f ( e ) j m j j m m oszlopokból áll és egy-egy ilye táblázat egyértelműe jellemzi az f : lieáris leképezést A továbbiakba ezt a táblázatot az a ji j m szimbólummal jelöljük i ( m sora és oszlopa va) és az f mátrixáak evezzük Kisebb táblázatok eseté kiírjuk aak mide elemét Példák Az f : f(( x x )) ( x + x x + x ) függvéy mátrixa M Az f : f(( x x )) 7 x x x + x x + x 7 függvéy mátrixa M

14 4 Koordiátaredszerek mátrixok Az f : f(( x x x )) ( x + x + x x + x x ) függvéy mátrixa M Értelmezés Az m sort és oszlopot tartalmazó valós elemű táblázatok halmazát M ( )-rel jelöljük és m -es valós mátrixokak evezzük m Hasolóa M m ( X ) azo az m -es mátrixok halmazát jelöli amelyekek mide eleme X -ből va Az -es mátrixot égyzetes mátrixak evezzük és az M ( ) jelölést haszáljuk Megjegyzés Egy m -es X -beli elemeket tartalmazó mátrix felfogható egy F : { } { m} X függvéykét is Gyakorlatok Melyek lieárisak az alábbi leképezések közül? a) f : f ( x) x + x b) f : f ( x) ( x x ) x c) f : d) f : e) f : Írd fel az f : f( ( x x )) x + x x ( x x ) f( ( x x x )) ( x x x x x ) ( x x x ) f( ( x x )) ( x + x x x x + x ) ( x x ) és g lieáris leképezések mátrixát ha + + : a) fx ( x) (x x x + x x + x) ( x x ) b) g ( x x x ) (x + x x x x + x x + x + x ) ( x x x ) Írd fel a következő mátrixokhoz tartozó lieáris leképezéseket: a b a) M 0 b) M c) M b a d) M Megjegyzés Látható hogy rögzített koordiátaredszer eseté a lieáris leképezés mátrixa egyértelműe meghatározott 4 Műveletek mátrixokkal m Feladat Milye szabály szerit kapható meg a g : g( x) λ f ( x) m lieáris függvéy mátrixa az f : lieáris függvéy mátrixából ha λ Megoldás A ge () λ fe () i egyelőségek alapjá az f mátrixáak i i mide elemét kell λ -val szorozi Ez a tulajdoság képezi a következő értelmezés alapját: Értelmezés Ha A a i és λ akkor λa λ a i j m j m

15 Koordiátaredszerek mátrixok 5 Feladat Számítsuk ki az : m f lieáris leképezések mátrixaiak m függvéyébe az f : f f + f lieáris leképezés mátrixát Megoldás Az f ( e ) f ( e ) + f ( e ) i egyelőségek alapjá az f mátrixát i i i megkapjuk az és f leképezések mátrixaiból ha a megfelelő elemeket összeadjuk f Ez a tulajdoság képezi a következő értelmezés alapját: Értelmezés Ha A és B Mm ( ) A a i A+ B a b + B b és i j m j m i j m akkor Feladat Számítsuk ki az f f( x x x ) a x + bx + cx és f : ( ) f x ( a x b x c x : lieáris függvéyek összetett függvéyeiek mátrixát ) a Megoldás Az f + mátrixa M a b c míg az f mátrixa M b c f( f ( x ) f( ( ax bx cx) ) a ax+ b bx+ b bx ( aa + bb + cc) x f ( f ( x x x )) f ( a x + bx + c x ) ( aax + abx + acx bax + bbx + bcx cax + cbx + ccx ) tehát f f mátrixa -es és M [ ] aa + bb + cc alakú míg f f mátrixa ab ac aa -as és M ba bb bc alakú cb cc ca Ez a tulajdoság szolgál a mátrixok szorzásáak alapjául Azt fogjuk modai hogy M M M és M M M Általába az A és B mátrix szorzatát akkor értelmezzük ha a hozzájuk tartozó f A és f B lieáris leképezések összetehetők és az fa fb lieáris leképezés mátrixát evezzük A B szorzatak Ez az értelmezés agyo boyolult ezért olya szabályt kell levezetük amely csak a mátrixok elemeit haszálja Az előbbi feladat alapjá írható hogy a a aa ab ac a b c b [ aa + bb + cc ] (*) és b a b c ba bb bc c c ca cb cc Megjegyzés Látható hogy általába A B B A Próbáljuk további sajátos esetek vizsgálatából rájöi az általáos szabályra Az első kérdés amelyre választ keresük az hogy mikor szorozható össze egy A mátrix egy m B mátrixszal Ha A M ( ) akkor létezik olya f : amelyek A a mátrixa Hasolóa ha B m M p ( ) akkor létezik egy olya q A f B : q p amelyhez

16 6 Koordiátaredszerek mátrixok redelt mátrix éppe a B Az A B szorzat akkor létezik ha az fa fb összetett függvéy értelmezett vagyis ha p Eszerit az A B szorzat csakis akkor létezik ha az A oszlopaiak száma egyelő a B soraiak számával Ebből az is látszik hogy egy m -es és egy q-s méretű mátrix szorzata egy m q -s mátrix a Tekitsük az A B és b mátrixokat Az eddigiek alapjá az A B c szorzat létezik és egy -es mátrix Az : : A A B A B fa ( ) ) f ( x x x ) (x + x + x x + x + ) és f ) ( ax bx cx össze- x (x ) B tettje f f : f f ( x) ( a + b + c) x ( a + b + c x) tehát a + b + c A B a + b + c Ebből látszik hogy előbb az A első sorát szoroztuk a (* ) szabály szerit a B -vel (ebből kaptuk a szorzat első sorát) majd az A második sorát szoroztuk (* ) szabály szerit B -vel és így kaptuk a szorzat második sorát Ez a tulajdoság általáosítható: Tétel Ha A M m () és B M p( ) akkor a C A B mátrixra igazak a következők: C M m p () c a ikbkj (c az A -edik soráak ( a ) és a B j -edik oszlopáak ( b b b ) a i j skaláris szorzata) i ai i k a j j Példák 0 0 ( ) ( ) + 0( 4) + ( ) ( ) + + ( 4) + ( 4) + ( 4) ( ) ( ) A továbbiakba szükségük lesz éháy sajátos mátrixra Értelmezés Az f : f ( x ) x bármely x eseté leképezés mátrixát egységmátrixak evezzük és I -el jelöljük Tulajdoság I 0 0 tehát ha δ az I i -edik soráak és j -edik oszlopáak f B

17 Koordiátaredszerek mátrixok 7 ha i j eleme akkor δ (ezt Kroecker szimbólumak is evezzük) 0 ha i j A I I A A bármely A M ( ) eseté Bizoyítás 0 f ( e i ) e i tehát ha e i akkor f ( e i ) i -edik kompoese és a többi 0 0 A szorzás értelmezése alapjá a C A mátrix elemei c I a δ ik kj k alakúak A Kroecker szimbólum értelmezése alapjá ebbe az összegbe csak egy tag marad az amelybe k j Így c a i j tehát C A (valós mátrixok esetébe a mátrixokhoz tartozó lieáris leképezések segítségével az f f f azoosságra vezetődik vissza a vizsgált tulajdoság ) m Értelmezés Az f : f ( x ) (0000) bármely x -re leképezés mátrixát ullmátrixak evezzük és 0 -el jelöljük (Ha m akkor egyszerűe csak 0 Tulajdoság 0 m mide eleme 0 m -et íruk) Nyilvávaló a következő három tulajdoság: A A A bármely A M ( ) eseté m m m m A+ ( A ) ( A) + A 0 m A Mm ( ) ahol A A Az értelmezett műveletek segítségével most már kelethetjük a következő tételt: Tétel Ha f : lieáris leképezés akkor létezik olya A M m ( ) mátrix amelyre f ( x) A x bármely x eseté Az A mátrix oszlopai az f ( e i ) vektorok Ugyaakkor látható hogy a koordiáta-traszformációk és lieáris leképezések taulmáyozásáál A x B m alakú egyeletredszerekhez jutuk ahol A M ( ) adott mátrix b adott vektor és x ismeretle Az ilye redszereket evezzük lieáris egyeletredszerek 5 A műveletek tulajdoságai A mátrixokkal végzett műveleteket a függvéyekkel végzett műveletek segítségével értelmezhetjük Az értelmezések alapjá a műveletek tulajdoságai (kommutativitás asszociativitás stb) átöröklődek a mátrixokra is Ezek a tulajdoságok igazolhatók a függvéyek felhaszálása élkül is A továbbiakba felsoroljuk ezeket a tulajdoságokat és éháyat be is bizoyítuk m

18 8 Koordiátaredszerek mátrixok Tétel A+ B B + A A B M ( ) m ( A+ B) + C A+ ( B + C) A B C M m ( ) A+ + A A A M ( ) 0m 0m m 4 A+ ( A ) ( A) + A 0 m A M m ( ) 5 α ( β A) ( αβ) A α β A M ( ) 6 α ( A+ B) α A+ αb m α A B M ( ) m 7 ( α+ β) A αa+ βa α β A M ( ) 8 A ( B C) ( A B) C A M ( ) B M ( ) C M ( ) m 9 A ( B + C) AB + AC A M ( ) BC M ( ) m m p pq m 0 ( B + C) A BA+ CA A M ( ) B C M ( ) A I I A A A M ( ) p m Bizoyítás () Legye D A + () B és D B + A Az értelmezés alapjá () () d a + b és d a + b ha i és j m De a + b b + a () tehát d ( d ) és így D () D ( ) Hasolóa igazolható a 4 5 és 6 tulajdoság (mert az itt szereplő műveleteket elemekét értelmeztük) Első bizoyítás (csak valós mátrixok esetébe) m p q p Tekitsük azokat az fa : fb : és fc : lieáris leképezéseket amelyekhez az A B és C mátrixok tartozak Az ( A B) C mátrix az ( fa fb) fc függvéyhez tartozik míg az A ( B C) mátrix az fa( fb fc) függvéyhez tartozik Mivel a függvéyek összetétele asszociatív ( f f ) f f f f Tehát ( A B) C A ( B C) A B C A ( B C) () Második bizoyítás Bevezetjük a következő jelöléseket A B D () () () () D () () D C E () E Mm q B C és A D Világos hogy E E ( ) () Az értelmezés alapjá () () dik ailblk e dik c kj p p () Tehát e ailb lk ckj ailblkckj l () Hasoló módo d lj blkckj () és így e a b c p k k l k l p () () e aildlj k l p il lk kj l k

19 Koordiátaredszerek mátrixok 9 Tehát az a kérdés hogy egy i j felcserélhető-e vagyis írhatjuk-e hogy x m x alakú összegbe az összegzési sorred x () * i j j i Vizsgáljuk meg midkét oldalát külö-külö Redezzük az ( i j m ) egy táblázatba úgy hogy az X x i m x j j m m x elemeket mátrixhoz jussuk -az i -edik sor elemeiek összege tehát x a sorösszegek összege i j vagyis a táblázat elemeiek összege m x -az j -edik sor elemeiek összege tehát x a oszlopösszegek összege i j i Mivel ebbe az esetbe is a mátrix elemeiek összegét számoltuk ki a (*) egyelőség () igaz Tehát e () e i m j q és így ( A B) C A ( B C) Értelmezés Ha A M ( ) akkor értelmezhetjük az A mátrix hatváyait a következő módo: 0 A I A A A A A A A A A A A A A 4 A A A A A A A A A A A + és általába A A A A szorzás asszociativitása biztosítja hogy a hatváyokra érvéyesek legyeek a következő tulajdoságok: m p m A A A + p m p A M ( ) m p m p ( A ) A m p A M ( ) m m m * ( λ A) λ A m A M ( ) λ Megoldott feladatok a b Bizoyítsuk be hogy ha A akkor A ( a + d) A+ ( ad bc) I c d O Bizoyítás a b a b a + bc ab + bd A A A c d c d ac + dc bc + d tehát a + bc ab + bd ( a + d) a ( a + d) b A ( a + d) A+ ( ad bc) I ac dc bc d + ( a + d) c ( a + d) d + + ad bc ad bc 0 0 0

20 0 Koordiátaredszerek mátrixok Megjegyzés Általába aza égyzetes mátrix főátlójá levő elemek összegét az A mátrix yomáak evezzük és TrA -val jelöljük Tehát ha A a akkor i j a b TrA aii Az ad bc külöbséget az A c d mátrix determiásáak i evezzük és deta -val jelöljük Így a feladatbeli egyelőség A ( Tr A) A+ ( deta) I 0 alakba írható A későbbiekbe erre az egyelőségre Cayley-Hamilto tétel ( ) éve foguk hivatkozi Oldjuk meg a egyeletredszert ha X Y M ( ) 8 5 X Y X + Y Megoldás Beszorozzuk az első egyelet midkét oldalát -vel és a második egyelet midkét oldalát -mal majd összeadjuk a kapott egyelőségek megfelelő oldalait: 6 0 4X 6Y 0 6 Így X Hasoló módo kapjuk hogy 9X + 6Y Y 4 X Megjegyzés A megoldásból látható hogy éha érdemes a mátrixokkal végzett műveletek tulajdoságát haszáli és em érdemes visszatéri a mátrix elemeire (Ha ugyais felírtuk vola hogy X x i és Y y i akkor hat darab -es j j egyeletredszert kellett vola megoldauk) Ezek a tulajdoságok a szorzás kommutativitásától és az osztástól eltekitve ugyaazok mit a valós (komplex) számokkal végzett műveletek tulajdoságai Bizoyítsuk be hogy ha A B M ( ) és AB BA akkor ( ) A+ B A + AB + B és A B ( A+ B)( B A)

21 Koordiátaredszerek mátrixok Bizoyítás ( A+ B) ( A+ B)( A+ B) ( A+ B) A+ ( A+ B) B A + BA+ AB + B A + AB + B ( A B)( A B) ( A B) A ( A B) B A BA AB B A B Megjegyzés Mivel a mátrixokkal végzett összeadás és szorzás a kommutativitástól eltekitve ugyaazokkal a tulajdoságokkal redelkezik ha egy feladat biztosítja a két mátrix szorzatáak felcserélhetőségét akkor az illető mátrixokkal ugyaolya algebrai műveleteket végezhetük mit a valós (komplex) számokkal (egyelőre az ivertálhatóságtól eltekitük) Így például Newto biomiális tételéek bizoyítása meg egyéb rövidített számolási szabályok is érvéyesek leszek Érvéyes tehát a következő tétel: Tétel Ha A B M ( ) és AB BA akkor ( ) k k k k k k a) A B A B ( A + A B + + AB + B ) k + k + k k k b) A + B ( A+ B) ( A A B + AB + B k ) k k k k k k k c) ( A+ B) A + CkA B + CkA B + + Ck AB + B A a A i j aii i 4 Ha akkor Tr Bizoyítsuk be a következő tulajdoságokat: a) Tr ( λ A) λ Tr A A M ( ) b) Tr( A+ B) Tr A+ Tr B A B M ( ) c) Tr ( A B) Tr( B A) A B M ( ) Bizoyítás ( ii ) a) Tr ( λ A) λa λ a λtr A i i b) Tr( A+ B) ( a + b ) a + b Tr A+ Tr B ii ii ii ii i i i c) Jelöljük C -vel és D -vel az A B illetve B A szorzatot ii Tr( AB) TrC c a b De a kettős összegzés eseté az összegzési sorred megcserélhető így sajátos esetbe Tr ( AB) Tr( BA) ii ji i i j Tr( BA) Tr D djj bjia j j i Alkalmazás Bizoyítsuk be hogy ha A B M ( ) akkor az AB BA I egyelőség em teljesülhet Bizoyítás Ha két mátrix egyelő akkor a yomuk is egyelő De Tr I és Tr( AB BA) Tr( AB) Tr( BA) 0 tehát az egyelőség em állhat fe

22 Koordiátaredszerek mátrixok 5 Tekitsük az lim A mátrixot Megoldás Az ( ) A a + A mátrixokat ha Számítsuk ki a A ( ) i j a ( ) mátrixsorozatról potosa akkor modjuk hogy koverges ha az ( sorozatok kovergesek i j eseté lim + lim 0 és lim lim 0 tehát lim A 0 Gyakorlatok Számítsd ki az A+ B A B A+ B mátrixokat ha A 0 és B 0 Oldd meg a következő egyeleteket: 7 5 a) + X 0 b) X Végezd el a kelölt műveleteket: 0 a) b) c) d) a a e) + 4 [ ] f) a b c b b 4 5 a b c c c a b c g) b c a ε ε ε ahol ε és ε a harmadredű egységgyökök ε c a b ε ε ε h) a b a b b a b a

23 Koordiátaredszerek mátrixok 4 Számítsd ki az A 0 mátrix -edik hatváyát ha {4} 5 Számítsd ki az A 5A+ 6I kifejezést ha A 5 6 Oldd meg a következő egyeletredszereket: 0 a) X Y b) X + Y I 4 4 X Y 0 X + Y Számítsd ki az A A és A mátrixokat ha A ε ε ε ε és ε egy harmadredű egységgyök 8 Oldd meg a következő egyeleteket: 0 a) X 0 X M ( ) b) X I X M ( ) 7 6 c) X 0 X M ( ) d) X 8 7 X M ( ) 9 Bizoyítsd be hogy végtele sok olya X M mátrix létezik amelyre A I 0 Határozd meg azokat az X M ( ) mátrixokat amelyekre X X k k ε ε Számítsd ki a összeget ahol ε harmadredű egységgyök és ε k 0 k k k ε ε ε Feladatok Határozd meg az A M ( ) mátrix alakját ha A X X A bármely X M ( ) k Bizoyítsd be hogy ha A 0 ( A M ( ) ) és k \{ } akkor A 0 Bizoyítsd be hogy ha A M ( ) akkor bármely k eseté létezik k α β úgy hogy A A k k k k I 4 Bizoyítsd be hogy ha A B M ( ) BA B és 4AB + I BA akkor AB BA

24 4 Koordiátaredszerek mátrixok a a b b 5 Adott az a a egyelőség Bizoyítsd be hogy ha a a a a számtai haladváyba va akkor b b b 4 b b 4 4 b és b 4 b is számtai haladváyt alkot 6 Bizoyítsd be hogy ha A M ( ) akkor végtele sok olya X M ( ) mátrix létezik amelyre X ( Tr A) X + ( det A) I 0 7 Bizoyítsd be hogy ha A B M ( ) és Tr A Tr B 0 valamit A + B A B akkor AB BA 8 Bizoyítsd be hogy ha A A A ( ) akkor a B A I mátrixra teljesül a B I egyelőség 9 Bizoyítsd be hogy ha A B M ( ) mátrixok mide sorába az elemek ( ) M összege akkor az A B szorzat is redelkezik ezzel a tulajdosággal 0 Ha A a t i akkor A -vel jelöljük a a ji i mátrixot és A j m j m traszpoáltjáak evezzük (úgy kapjuk az A mátrixból hogy az elemeit tükrözzük a főátlóra ézve) Bizoyítsd be hogy ( ) t t t A+ B A + B ( ) t t t A B B A t Egy A M ( ) mátrixot akkor evezük ortogoálisak ha A A I Határozd meg az összes M ( ) -beli ortogoális mátrixot Milye traszformáció mátrixa lehet ez? Bizoyítsd be hogy két ortogoális mátrix szorzata is ortogoális Az X M ( ) mátrixot főátlós mátrixak evezzük ha x 0 bármely i j eseté Bizoyítsd be hogy X potosa akkor főátlós mátrix ha X A A X bármely főátlós A mátrix eseté 4 Háy olya A Mm ( ) mátrix létezik amelyek mide eleme a { 0 } halmazba va? 5 Háy olya m -es mátrix létezik amelyek mide eleme + vagy és mide sorába és oszlopába az elemek szorzata 6 Mátrixok hatváyozása 6 Heurisztikus godolatmeetek A műveletek tulajdoságaiak vizsgálatakor láttuk hogy ha A Mm ( ) akkor bármely eseté rekurzíva értelmezhető az A -edik hatváya Gyakra szükségük lehet az A explicit alakjára (elemeire) Ebbe a paragrafusba olya módszereket ismertetük amelyekek segítségével külöösebb találékoyság élkül is ki tudjuk számítai az A -t ha A M ( ) vagy A M ( ) Előbb próbáljuk éháy ilye feladatot megoldai mide egyéb előismeret élkül

25 Koordiátaredszerek mátrixok * Feladat Számítsuk ki A -t ( ) ha A Megoldás Kiszámítjuk A éháy hatváyát és megpróbáluk valamilye szabályszerűséget észrevei A A A A A 0 A 0 A A A 0 A 0 és így A 0 bármely Tehát ha A ha ha Feladat Számítsuk ki A -t ha A 0 Megoldás A A A A kiszámított hatváyok alapjá megsejthetjük hogy k k A 0 k Ezt matematikai idukció módszerével bizoyítjuk Feltételezzük hogy A A A A tehát a matematikai idukció elve alapjá A 0 bármely eseté a b * Feladat Számítsuk ki az A 0 a+ b (a b ) mátrix -edik hatváyát ( )

26 6 Koordiátaredszerek mátrixok Megoldás a b a b a ab + b A 0 a b 0 a b ( a + b) a ab b a b + a a b + ab + b A 0 ( a b) 0 a b ( a + b) 4 4 a a b + ab + b a b a 4a b + 6a b + 4ab + b 4 A 4 0 ( a b) 0 a b ( a + b) Az eddigi eredméyek alapjá megsejthetjük hogy bármely eseté a ( a + b) a A 0 ( a + b) () * Ezt a matematikai idukció módszerével igazolhatjuk A bizoyítás teljességéhez csak + az szükséges hogy A -et kiszámítsuk ha A a feltételezett egyelőséget teljesíti a ( a + b) a a b a a b + ( a + b) a a b + A + 0 ( a b) 0 a b ( a + b) a ( a + b) a + 0 ( a + b) tehát a matematikai idukció elve alapjá (*) teljesül Gyakorlatok Számítsd ki a következő mátrixok -edik hatváyát: x x 0 e e a 0 a 0 a x a) A e 0 0 b) A b c) A d) A a a 0 a 0 e) A 0 f) A 0 g) A 0 h) A i) A j) A A rekurzív sorozatok módszere Láthatjuk hogy ha A alakját megsejtjük akkor a bizoyítás a megoldás köyebb része Néha azoba em tudjuk azoal felíri az A alakját csak éháy elemét vagy az elemek közti összefüggést vesszük észre Ilyekor érdemes a hiáyzó elemek helyett sorozatokat bevezeti és ezekek a tulajdoságait vizsgáli

27 Koordiátaredszerek mátrixok 7 Feladat Számítsuk ki A -t ha A Megoldás Kiszámítuk éháy hatváyt: A 0 A 0 A Az eddigi számolások alapjá sejtésük körülbelül így éz ki:? A Persze a jobbik eset az amikor látjuk hogy az 6 0 számsorozatba az egymásutái számok külöbsége 4 Ez alapjá ugyais a jobb felső sarokba ( + ) áll Ha ezt valaki mégsem veszi észre akkor a következőképpe segítheti az idukcióját: a Feltételezhetjük hogy A 0 bármely eseté ahol ( a ) egy 0 0 sorozat A szorzás elvégzése sorá az a + a A A A egyelőséghez jutuk Ez bizoyítja hogy a feltételezésük helyes (tehát a főátló alatt valóba 0 áll a főátló -esek és felette ) és bármely eseté a a + + ( + ) A rekurzió alapjá a a + a a + ( ) a a + ( ) a a a + a + ( + ) a a ( ) + +

28 8 Koordiátaredszerek mátrixok ( + ) Tehát bármely eseté A Megjegyzés Ha a jobb felső sarok eleme sejtésből származott akkor ezt idukcióval szükséges igazoli míg a sorozat haszálata eseté az idukció felesleges (mert az idukciós lépést már elvégeztük!) Feladat Számítsuk ki az A mátrixot ha A 0 Megoldás A A A A 5 A 8 5 Az előbbi számok alapjá ehéz megmodai az -edik tag alakját viszot mideféle szabályosságot észlelhetük Például a mellékátló két eleme egyelő egymással a bal felső sarokbeli elem egyelő a mellékátló levő szám és a jobb alsó sarokba levő szám összegével ( ) az A elemeiből éháy átkerül A + -be a következő módo: az A bal felső + sarkába levő elem az A mellékátlójára kerül az A mellékátlójá levő pedig az A + jobb alsó sarkába a + b b Észrevételeik alapjá A b a alakú és a + b illetve b a + + b Ezekkel az idukciós feltevésekkel a + b b a + b a + b + A b a 0 a + b b tehát a matematikai idukció elve alapjá feltevésük helyes Így b a és a + b a + + b összefüggésből a+ a+ + a bármely eseté Ez egy lieáris rekurzió és az általáos tagja a c r + c r alakú ahol r az r r 0 karakterisztikus egyelet gyökei Az a és a 0 feltételekből a 5 a+ a+ és így A a a + Megjegyzés Az F a + jelöléssel a Fiboacci sorozat jelet meg tehát F F + A F F A következő módszerél láti fogjuk hogy egyáltalá em véletle hogy az A mátrix mide eleme ugyaabból a rekurzióból származik +

29 Koordiátaredszerek mátrixok 9 Gyakorlatok Számítsd ki a következő mátrixok -edik hatváyát a a a a 0 a a) A a a a b) A 0 b 0 c) A 0 a a a a 0 a 0 a a b a d) A b 0 b e) A f) A b a b 0 a 0 a b a 6 A karakterisztikus egyelet módszere a b A Cayley-Hamilto ( ) tétel alapjá ha A akkor c d A ( a + d) A ( ad bc) I Így bármely eseté + A ( a + d) A ( ad bc) A a b Tehát ha A bármely eseté akkor c d a+ b+ a+ b+ a b ( a + d) ( ad bc) c+ d + c+ d + c d Eszerit az ( a ) ( b ) ( c ) és ( d ) sorozatok ugyaazt az x ( a + d) x ( ad bc rekurziót teljesítik (csak a kezdőértékek mások) + + ) x Ez egy másodredű lieáris rekurzió amelyek megoldását cr + cr ha > 0 a ( c + c) r ha 0 r ( c cos ϕ+ c si ϕ) ha < 0 alakba keressük ahol az r ( a + d) r + ( ad bc) 0 egyelet diszkrimiása r r az egyelet gyökei > 0 eseté r az egyelet gyöke 0 eseté és r ( cos ϕ ± isi ϕ) a gyökök < 0 eseté (lásd az aalízis részt!) Az előbbiek alapjá bármely -es mátrix -edik hatváya kiszámolható Megjegyzés A Cayley-Hamilto tétel általáos ( -es mátrixokra voatkozó) alakjáak bizoyítása utá ezt a módszert kiterjeszthetjük tetszőleges mátrixokra is

30 0 Koordiátaredszerek mátrixok Megoldott feladatok 7 Számítsuk ki A -t ha A 4 Megoldás Tr A deta tehát a karakterisztikus egyelet r 8r és a gyökök r 5 valamit r a b A tehát ha A akkor c d a k 5 + k b k 5 + k4 c k5 5 + k6 d k7 5 + k8 ahol a k k k8 kostasokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg Az a 7 és a 6 egyelőségek alapjá 5k + k 7 5k + 69k 6 tehát k és k Hasoló módo kapjuk a k k 4 k k 6 k 7 és k 8 értékeket tehát bármely eseté ( 5 ) 4 8 A Számítsuk ki A -t ha A Megoldás Tr A 4 deta ( ) 4 tehát a karakterisztikus egyelet a b r 4r és a gyökök r Ha A bármely eseté c d akkor az ( a ) ( b ) ( c ) és ( d ) sorozatok általáos tagjai ( k+ k) 0 4 alakba keresedők A 4 8 tehát a és a 0 alapjá k + k k + k 0 Ebből következik hogy k k Tehát a ( ) bármely eseté Hasoló számolások alapjá b c és d + ( + ) tehát bármely eseté

31 Koordiátaredszerek mátrixok ( ) A ( + ) 0 Számítsuk ki A -t ha A 4 Megoldás Tr A deta 4 tehát a karakterisztikus egyelet r r és a gyökök r ± i π π cos + isi Az a b A jelöléssel c d a π π cos + k si k Mivel A a k + k 0 redszerhez jutuk A megoldások k k tehát k + k π π a cos si Hasoló számolások eredméyekét π si + π b c si cos si d π π + Tehát π π π cos si si A 4 π π π si cos + si Megjegyzés Ezt az eredméyt köye meg is sejthetjük mert + 6 -ra a mellett megjeleő mátrix ugyaaz mit -re Ez a módszer alkalmas mide -es (sőt megfelelő kiterjesztéssel -es) mátrix hatváyozására Bizoyos feladatok esetébe létezek egyszerűbb lehetőségek A következő két módszer ilye egyszerűbb lehetőséget tár fel Gyakorlatok Számítsd ki a következő mátrixok -edik hatváyát: 4 a) A b) A 5 5 c) A

32 Koordiátaredszerek mátrixok a b 64 Az alakú mátrixok hatváyozása b a A koordiáta-traszformációk taulmáyozásáál láttuk hogy az α szögű forgatás mátrixa ilye alakú Sőt ha egy ilye forgatást egy yújtással összeteszük akkor bármilye ilye alakú mátrixot megkapuk mert a b a b cos si a b a b ϕ ϕ + + a b a b b a + + b a si ϕ cos ϕ a + b a + b ahol ϕ arctg b De darab ϕ szögű forgatás összetétele egy ϕ szögű forgatás és a cos ϕ si ϕ cos ϕ si ϕ így si ϕ osϕ si ϕ cosϕ () * c Megjegyzés A trigoometriai összefüggések alkalmazásával ez számolással is elleőrizhető ugyais cos ϕ si ϕ cos ϕ si ϕ si ϕ cosϕ si ϕ cosϕ cosϕcosϕ siϕ siϕ cosϕsiϕ + siϕcosϕ ( cos ϕ si ϕ si ϕ cos ϕ) cosϕ cos ϕ si ϕsiϕ cos( ϕ + ϕ) si ( ϕ + ϕ) si( ϕ + ϕ) cos( ϕ + ϕ) A (*) egyelőség alapjá a b cos ϕ si ϕ ( a b ) + b a si ϕ cos ϕ 65 A felbotás módszere ahol ϕ arctg b a A műveletek tulajdoságaiak vizsgálata sorá láttuk hogy ha AB BA ( A B M ( ) ) akkor k k k k k k ( A+ B) A + C A B + C A B + + C AB + B k k k k Tehát ha az X mátrix felbotható két egymással felcserélhető mátrix összegére akkor elégséges ezeket a mátrixokat hatváyozuk és a megjeleő kombiatorikus összegeket kiszámoluk A legegyszerűbb ha a felbotás egyik tagja α I alakú mert ekkor az α I B B αi egyelőség teljesül

33 Koordiátaredszerek mátrixok a b c a b Feladat Ezzel a módszerrel számítsuk ki az X 0 a + b és Y 0 a b 0 0 a mátrixok -edik hatváyát 0 b 0 b X a I + 0 b tehát szükséges megvizsgáli a B 0 b mátrix hatváyait 0 b 0 b 0 b B B és így azt sejthetjük hogy általába B 0 b 0 b 0 b + 0 b 0 b 0 b bármely eseté Mivel + 0 b 0 b az előbbi egyelőség helyes 0 b (a matematikai idukció elve alapjá) Másrészt ( a I ) a I tehát 0 X a I + Ca B + Ca B + Ca B + + Ca B a Ca b + Ca b + + C ab + b 0 a + Ca b + Ca b + + C ab + b Newto biomiális tétele alapjá a + C a b + C a b + + C ab + b ( a + b) a ( a + b) a és így X 0 ( a + b) 0 b c 0 b c Y a I b tehát C 0 0 b mátrix hatváyait érdemes kiszámítai 0 0 b Kapjuk hogy C és C tehát Y a I + C a C + C a C 0 a 0 0 Ca b Ca c 0 0 Ca b 0 a Ca b a

34 4 Koordiátaredszerek mátrixok ( ) a a b a c + a b 0 a a b 0 0 a Gyakorlatok Számítsd ki a következő mátrixok -edik hatváyát: a + b 0 a a 0 b a) A 0 b 0 b) A 0 a + b 0 a 0 a + b b 0 a c) A 0 d) A Feladatok cos x si x Számítsd ki az A mátrix -edik hatváyát és bizoyítsd be si x cos x hogy lim A Oldd meg az alábbi egyeleteket ha X M ( ) : a) X 4 6 b) X 0 0 6x + Számítsd ki az f : \ { } f ( x) függvéy edik iteráltját x + (az f f f függvéyt) 4 Az A M ( ) mátrix eseté jelöljük a b c és d -el az A mátrix elemeit Mi a szükséges és elégséges feltétele aak hogy az ( a ) ( b ) ( c ) és ( d ) sorozatok kovergesek legyeek?