SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

Átírás

1 SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő diákok számára éháy gyakorlato és feladato keresztül Ezekbe az egész számokkal foglalkozuk: egész számok közötti oszthatóság, az Euklideszi-algoritmus és a legagyobb közös osztó létezése, a prímszámok elemi tulajdoságai, a Diophatoszi-egyeletek éháy speciális esete és még külöféle egyebek Egész számok oszthatósága Legye a pozitív egész számok (vagy természetes számok) halmazáak jelölése Azt modjuk, hogy a osztható a b számmal vagy, ekvivales módo, hogy b osztja a -t, ha létezik, olya c, hogy a = b c Ezt ba vagy ab M képletekkel jelöljük, és azt modjuk, hogy b az a szám osztója, vagy téyezője Hasolóa modhatjuk azt is, hogy az a szám a b többszöröse és ebbe az esetbe a következő jelölést haszáljuk: a = M b Ez a defiíció a em 0 egész számokra is alkalmazható, de a következőkbe mi a pozitív egész számokra szorítkozuk Most a következő elemi oszthatósági feltételekre emlékeztetük: ) Egy a szám osztható -vel, ha az utolsó számjegye páros (azaz osztható -vel); ) Egy a szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel (azaz 0 vagy 5); 3) Egy a szám osztható 3-mal, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal; 4) Egy a szám osztható 9-cel, ha a számjegyeiek összege 9; 5) Egy a osztható 0 -el, ha darab 0-ra végződik Eek a fejezetek az utolsó részéek kivételével, mide természetes szám a tízes számredszerbeli alakjába lesz feltütetve Mutassuk meg, hogy két páratla vagy két páros szám összege (külöbsége) midig egy páros szám Megoldás Legye m és a két páratla természetes szám, ekkor, m = p+, p és = r +, r Ekkor a+ b = ( p+ r + ) és a b = ( p r), amik egyarát páros számok Az az eset, amikor m és egyarát páros, hasoló Gyakorlatok () Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + ) osztható -vel! 3 Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + )( + ) osztható 3-mal! 4 Keressük meg x értékét úgy, hogy x 5 osztható 3-mal (illetve 9 eseté is keressük meg) 5 Mutassuk meg, hogy két egymást követő köbszám külöbsége soha em osztható -vel! 3 3 Megoldás Azt kapjuk, hogy ( + ) = 3 ( + ) + és mivel + ( ) páros, az -es gyakorlat szerit azt kapjuk, hogy két egymást követő köbszám külöbsége midig páratla Keressük meg 7 utolsó számjegyét! Megoldás Jelöljük ld( u) -val az u szám utolsó jegyét! (ld a last digit agol kifejezés rövidítésekét, jeletése: utolsó számjegy) Ekkor 4 ld (7 ) = Mivel 003 = , azt kapjuk, hogy ld (7 ) = 7 ; ld (7 ) = 9 ; 003 ld (7 ) = 3 7 Mutassuk meg, hogy N = osztható 5-tel! 3 ld (7 ) = 3 ;

2 998 Megoldás utolsó jegye midig 6; utolsó jegye megegyezik 7 utolsó 000 jegyével, ami 3 (mivel 999 = ); utolsó jegye megegyezik 8 utolsó jegyével, ami 6 (mivel 000 osztható 4-gyel) Így, N utolsó számjegye a következő összeg utolsó számjegye lesz, = 5, ami 5, ezért N osztható 5-tel 8 Mutassuk meg, hogy N = osztható 0-zel! Mutassuk meg, hogy a = osztható 7-tel bármely eseté 0 Mutassuk meg, hogy a = osztható 3-mal bármely eseté Bizoyítsuk be a 3 mal (vagy 9-cel) való oszthatóság feltételét! Legagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös Egy p > természetes számot prímszámak hívuk, ha csak osztója va: és ömaga Ellekező esetbe összetett számak hívjuk Mide természetes szám egyedi módo kifejezhető a prím osztóiak szorzatakét Két a és b természetes szám eseté a d természetes számot hívjuk a legagyobb közös osztóak, ha ) d a és d b; ) ha c a és c b akkor c d a és b legagyobb közös osztóját mide esetbe egyértelműe meghatározhatjuk és lko( ab, ) vagy egyszerűe ( ab, ) jelöléssel jelöljük, (hasoló módo bevezethető a legkisebb közös többszörös (továbbiakba lkkt(a,b)) fogalma, legye ez az olvasó dolga): Példa lko(4,90) = 6 például, mivel 3 4 = 3 és 90 = 3 5 Két a és b természetes számot, amikre lko( ab, ) =, relatív prímszámokak evezzük Megjegyzés Ha lko( ab, ) = akkor ab akkor és csakis igaz, ha a és b Példa Legye = 360, a = 4 és b = 90 Ekkor a és b (lásd az előző példát), de em osztható a b -vel, mivel lko( ab, ) = 6 Gyakorlatok () Adott a x természetes szám, keressük meg az x számjegy értékét úgy, hogy a megadott számak osztója legye az: a) 5; b) 6; c) Keressük meg az olya összes x3y alakú számot, ami osztható 5-tel! 3 Keressük meg a legagyobb és legkisebb olya 69x7y alakú számot, amik oszthatóak 8-cal! 4 Keressük meg x és y értékét úgy, hogy 45 osztója legye az 4xy számak! 5 Mutassuk meg, hogy a = osztható 56-tal! 6 Mutassuk meg, hogy az > eseté! a = alakú számok oszthatóak 7-tel mide 7 Mutassuk meg, hogy bármely szám eseté az a = szám osztható 8-cal! 8 Mutassuk meg, hogy 30 osztója az 5 - kifejezések bármely pozitív szám eseté

3 + + 9 Mutassuk meg, hogy az a = szám osztható 980-cal bármely eseté! 0 Legye ab, Mutassuk meg, hogy ha 3a+ 5bM 7 akkor, 4 a+ bm7 Fordítva is igaz? Mutassuk meg, hogy 5x + 7yM 3 akkor és csakis akkor igaz, ha x + 3yM 3 ( xy, ) Mutassuk meg, hogy 5a+ 8bM7 akkor és csakis akkor igaz, ha 4a+ 3bM7 ( ab, ) 3 Mutassuk meg, hogy 3a+ 4bM3 akkor és csakis akkor igaz, ha a+ 7bM 3 ( ab, ) 4 Mutassuk meg, hogy a következő számpárok bármely a) 6+ 5 és 7+ 6; b) 0+ 3 és 5+ 4; c ) és eseté relatív prímek: Egy a összetett szám osztóiak a száma, amiek a prím osztói p, p,, p azα, α,, α kitevőkkel redre, azaz a p α = p K p () a következőképpe adható meg: τ( a) = ( α + )( α + )( α + ) () 3 Példa Az a = szám az a = szorzat formájába írható fel, így az osztóiak a száma: (+ ) ( + ) (+ ) (3 + ) = 48 5 Keressük meg az összes olya kétjegyű számot, amiek potosa 3 osztója va! Megoldás A ()-es képletet haszálva arra jutuk, hogy = és α =, azaz a p formájú számok, ahol p egy prímszám A p = 5 és p = 7 eseté kapuk kétjegyű számokat Így, a keresett számok a 5 és 49 Gyakorlatok (3) 6 Keressük meg az összes olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va, és az osztóiak a szorzata 5! 7 Keressük meg az összes olya égyjegyű számot, amiek potosa 5 osztója va! 8 Keressük meg azt a természetes számot, amiek potosa 6 osztója va, továbbá az osztóiak a szorzata a) 95; b) Keressük meg az ab, 7 < ab 85 számokat úgy, hogy potosa 4 osztójuk legye! 0 Keressük meg az összes olya 0-zel osztható számot, amiek potosa 6 osztója va! Keressük meg a legkisebb olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va!

4 Mutassuk meg, hogy em létezik olya 35-tel osztható háromjegyű természetes szám, amiek potosa 9 osztója va a b 3 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya 3 5 alakú számot, amiek potosa osztója va 4 Keressük meg az x, yz, prímszámokat úgy, hogy az potosa 44 osztója legye x y z = 9 3 számak c 5 Keressük meg az olya 3 a b = 5 7 alakú számokat, amelyekre a 7 számak 36-tal több osztója va, és a 49 számak -vel több osztója va, mit az számak Két vagy több természetes szám legagyobb közös osztóját vagy legkisebb közös többszörösét azoba a számok szorzótéyezőkre botása élkül is meg lehet határozi, az úgy evezett Euklideszi-algoritmussal Legye ab, a két szám úgy, hogy, b 0 és b / a Először elosztjuk az a számot a b számmal és így megkapjuk a háyadost és az r maradékot, azaz q a = b q + r, 0 r < b Ezutá lecseréljük az a számot b-re, b-t pedig r -re, és megismételjük az előbbi műveletet: b = r q + r,0 r < r r = r q + r 3 3 M Amikor elérjük az r + = 0 -t, akkor az előző maradék, azaz r a keresett legagyobb közös osztó, azaz lko( ab, ) = r Példa Keressük meg lko(93,5) értékét! Megoldás Azt kapjuk, hogy 93 = = = = = és ezért l ko(93, 5) = 3 Megjegyzés Egyszerű megláti, hogy 93 = 3 3 és 5= 3 7, ami ugyaazt az eredméyt adja 6 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 089 és l ko( ab, ) = Megoldás Azt kapjuk, hogy a = m, b = és lko( ab, ) = Mivel a+ b = 089( = 9), azt kapjuk, hogy m + = 9, ami alapjá a következő relatív prím számpárokat kapjuk: ( m, ) {(,8), (,7), (4,5), (5,4), (7,), (8,)} A keresett számok: (,986),(4,847),(484,605),(847,4),(968,) 7 Keressük két külöböző ab>, számot úgy, hogy lkkt( ab, ) = 667 Megoldás Mivel 667 = 3 9, ezért a két szám a következő lehet: Gyakorlatok (4) a) 3 és 9; b) 3 és 667; c) 9 és 667

5 8 Keressük meg azokat az ab, számokat, amik kielégítik a következő feltételeket: a b = 600 és l kkt( ab, ) = 4 lko( ab, ) 9 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 08 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy 3 a = 7 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy lko( ab, ) = 4 és a b = Keressük meg az ab,, a< bszámokat úgy, hogy lkkt( ab, ) lko( ab, ) = 34 Ezt a részt két gyakorlatiasabb feladattal zárjuk, amik a legkisebb közös többszörös és/vagy legagyobb közös osztó segítségével oldhatóak meg 33 Ha egy iskola diákjait -es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os sorokba redezzük, akkor mide alkalommal egy diák marad ki a sorokból, de ha 7-es sorokba redezzük el a diákokat, akkor mide sor teljes és egy diák sem marad ki Keressük meg az iskolába tauló diákok számáak legkisebb lehetséges számát! Megoldás Mivel lkkt(,3,4,5,6) = 60, ezért a k szám miimális értékét úgy kell megkeresük, hogy A keresett érték a k = 5 (60 k + ) M 7 és így az iskoláak 30 diákja va 34 Egy busz állomásról 4 busz idul 4 külöböző iráyba redre 5, 8, és 8 percekét, 6 és óra között Tudva, hogy először 7:00-kor idul egyszerre mid a égy busz, keressük meg azokat az időpotokat még a ap folyamá, amikor midegyik busz egyszerre idul Megoldás Mivel lkkt(5,8,,8) = 360 és 360 perc = 6 óra, ezért azt kapjuk, hogy a buszok a következő időpotokba idulak mid egyszerre: 7:00; 3:00 és 9:00 Gyakorlatok (5) 35 Ha elosztjuk az a számot 4-gyel, 36-tal, 30-cal és 75-tel, akkor a maradék mide esetbe 5 lesz Keressük meg azt az 0000 a < számot, ami osztható -gyel! 36 Ha egy számot 9-cel, -vel és 5-cel osztuk, akkor az osztási maradék redre 6, 9 és lesz Keressük meg a maradék értékét, ha az számot 80-cal osztjuk! 37 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya háromjegyű számot, hogy 9-cel, 0-zel és 5-tel törtéő osztás eseté is 7 maradékot ad! 38 Keressük meg az összes olya 7-tel osztható háromjegyű számot, hogy -vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 6-tal törtéő osztás eseté ugyaayi maradékot ad! 3 Prímszámok A prímszámokkal és összetett számokkal kapcsolatos feladatok számottevőe változatosak A következőkbe bemutatuk éháy példát 3 Keressük meg az összes olya p prímszámot, amire p + egy égyzetszám

6 Megoldás Ha p+ = akkor p = = ( )( + ), ami összetett szám bármely > eseté Az = esetbe azt kapjuk, hogy p = 3, ami egyetle létező kért prímszám, ami a keresett tulajdoságokkal redelkezik 3 Keressük két a, b prímszámot úgy, hogy a + b = 883 Megoldás A kivételével mide prímszám páratla Mivel a+ b páratla ezért a = vagy b = ami azt adja, hogy b = 88 vagy a = 88, ami egy prímszám (elleőrizzük is!) 33 Mutassuk meg, hogy a + és + számok relatív prímek mide emegatív természetes szám eseté! Megoldás A következőt haszáljuk fel: Lemma Két a és b szám akkor és csakis akkor relatív prím, ha létezek olya p, q egész számok, hogy pa + qb = Így a következő jelölést haszálva: a = +, b = + azt kapjuk, hogy úgy, hogy pa + qb = Ezért + és + relatív prímszámok p = +, q = 4 34 Keressük meg az összes olya prímszámot, amire az + 4 és + 8 számok is prímszámok Megoldás Az + 4 és + 8 számok prímszámok, ha páratla és > (az em prímszám) Legye = k +, k A feladatba lévő három szám ekkor * k +, k + 5, k + 9, k (3) Vegyük észre, hogy k = eseté azt a megoldást kapjuk, hogy 3, 7, Megpróbáljuk leelleőrizi, hogy vajo ez adja-e az egyetle megoldást Ezért megpróbáljuk megmutati, hogy az összes többi értékre, amit a k szám felvehet, a feti listá (3) lévő számok közül legalább az egyik em prímszám lesz Kihaszálhatjuk azt a téyt is, hogy a feti megoldásba a legkisebb szám a 3 A 3-at is figyelembe véve, bármely k szám felírható a következő alakok egyikébe: 3 p, 3p+, 3p+, ( p ) mivel 0, vagy maradékot adhat k 3-mal osztva Ha k = 3p+, akkor k + = 3(p+ ) em prímszám (kivétel a p = 0 esetet, amikor k =, ami a már megtalált megoldást adja meg) Ha k = 3p+, akkor k + 5 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ha k = 3p, akkor k + 9 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ezért egyedül k = eseté, azaz = 3 eseté lesz midhárom megadott szám egyszerre prímszám Gyakorlatok (6) 35 Mutassuk meg, hogy bármely > 3 természetes szám felírható prímszámok összegekét Végezzük el a felírást = 004 esetére 36 Keressük meg az összes olya prímszámot, ami egyarát felírható két prímszám összegekét és külöbségekét is! 37 Három egymást követő prímszám összege +, Keressük meg ezeket a számokat, ha tudjuk, hogy va köztük két egymást követő szám!

7 38 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b- c = 530 és a-b = 966feltételeket! 39 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b = 7 és a+ b + c = 994 feltételeket! 30 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy a+ 0b+ c = 8 3 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy 3a+ 7b+ 9c = 54 3 Keressük meg az ab, prímszámokat úgy, hogy összegük 555 aba, aab és baa is prímszámok és az 33 Keressük meg a p prímszámot úgy, hogy p+, 3p+, 4p+ 3 és 6p + egyarát prímszámok! 34 Keressük meg az összes prímszámot úgy, hogy +, + 6, + 8 és + 4 szité prímek! 35 Keressük meg az összes olya pozitív prímszámot, amire +, + 3, + 7, + 9 és + 5 egyarát prímszámok 36 Határozzuk meg a p számot úgy, hogy a prímek p p,, p 4 + +, p + 0 számok mid 37 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy az számok mid prímek p, +, +, + p+ p+ 38 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy a számok mid prímszámok p p p p p , +, +, +, Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy p, p+ 3, p+ 3, p+ 3, mid prímszámok 3 p Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 4p + egy égyzetszám 3 Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 7p + egy égyzetszám 3 Mutassuk meg, hogy a következő számok összetett számok! 3, 343, 34543, * 33 Mutassuk meg, hogy az a = 0 + 6, szám em egy prímszám Határozzuk meg az a = 5 5 szám jegyeiek a számát! Prímszám-e ez a szám? A + szám prímszám-e? 36 Mutassuk meg, hogy az a = 6 + szám két -él agyobb relatív prímszám szorzata!

8 37 Létezik-e olya természetes szám, hogy az prímszám? 4 3 a = szám egy 38 Bizoyítsuk be az lemmát! 4 Számok más számredszerekbe törtéő megjeleítései Az előző részekbe mide számot a tízes számredszerbeli alakjukba haszáltuk Létezek más számredszerbeli megjeleítések is, amik külöböző okok miatt fotosak: például a -es illetve 6-os számredszerek az iformatikába fotos szerepe stb A kettes számredszer két számjegyet haszál, a 0-t és -et, a hármas számredszerbeli megjeleítés 3 számjegyet haszál: 0-t, -et és -őt és így tovább Hogy jelöljük, hogy az adott N szám egy b alapú számredszerbe va megjeleítve, azt írjuk, hogy N b = 0 eseté elhagyhatjuk a jelölést: ( b) 4 Mutassuk meg, hogy () + (3) + (4) + (5) + (6) =33(8) Megoldás Midegyik számot átalakítjuk a tízes számredszerbeli alakjába: = ; = 3 + = 4; = = ; () (3) (4) = = 3 (5) ; = = 4 3 (6) ; = = 3 33(8) , és leelleőrizzük az egyelőséget Valóba, azt kapjuk, hogy = Határozzuk meg az x számjegy értékét, ha x( x + ) (7) = ( x + ) x (4) Megoldás Igazak kell leie, hogy x + 3 és x Mivel xx ( + ) (7) = 7x+ x+ = 8x+ és ( x + ) x = 4( x + ) + x, így azt kapjuk x = Gyakorlatok (7) 43 Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy ( x) + 36( y ) = Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy 3( x) + 3( y) = 3 45 Háy jegyű a p szám a kettes számredszerbe, ha p = (a tízes számredszerbe)? 46 A kettes számredszerbeli alakjuk felírása élkül határozzuk meg, háy jegyűek az 34 és 567 számok a kettes számredszerbe! 47 Keressük meg a köbszámokat az a = 3 (4), b = 35(6), és c = 7(8) számok közt! 5 Kevert feladatok

9 5 Mutassuk meg, hogy az 444 {{ szám felírható két egymást követő pozitív egész szám szorzatakét szer szer 5 Keressük meg az összes olya háromjegyű abc számot, hogy abc = 8abc 53 Mutassuk meg, hogy abab cd = cdcd ab 54 Mutassuk meg, hogy egyetle + eseté sem leszek az a = 5 + és + b = 5 + számok égyzetszámok 55 Prímszám-e az 007 = + szám? 56 Mutassuk meg, hogy 7 4 em égyzetszám egyetle szám eseté sem! 57 Mutassuk meg, hogy hét egymást követő természetes szám égyzetéek összege osztható 7-tel 58 Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + abc + ab + a = Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + bcd + cd + d = 50 Határozzuk meg az a és b em 0 számjegyeket úgy, hogy aa a0a = bbbb 5 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket úgy, hogy ac b= abc 5 Határozzuk meg az a, b, c, d számjegyeket úgy, hogy abcd = cd bcd 53 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket és az számot úgy, hogy abc abc = cba 6 Megoldások, útmutatók, válaszok 6 Gyakorlatok () ld(983 ) = ld(3 ) = 9, mivel 986 (modulo 4), ld (984 ) ld(4 ) 6 a = = és 986 ld (985 ) = 5 Így ld( N ) = 0 és ezért NM0 5 3 (5 3 + ) = ( + ) + ( + ) = = = 8 7, ezért azt kapjuk, hogy am7 Mivel 0 a = (7 9) (3 7) 3 = = = + = M 7 3 ( ) Legye N = aa- aa a megadott szám Azt kapjuk, hogy

10 N = a 0 + a 0 + K + a 0 + a = K 9 = a(9 + ) + a (9 + ) + + a (9 + ) + a = = M + a + a + K + a + a Ezért NM3, (redre 9-re is) akkor és csakis akkor, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal, illetve redre 9-cel 6 Gyakorlatok () a) x {0,5} ; b) x {0,6} ; c) x = 6 Mivel 5 = 3 5 és lko(3, 5) =, 5 x3y akkor és csakis akkor ha osztható 3-mal és 5-tel is Azt kapjuk, hogy y = 0 és x {, 4,7} ; y = 5 és x {,5,8} 3 ( xy, ) {(0,4), (,), (4,0), (5,8), (7,6),(9,4)} 4 ( xy, ) {(5,0), (0,5), (9,5)} 5 Mivel 56 = 4 39 és lko(4,39) =, ezért elegedő bebizoyítai, hogy N M4 és NM39 Csakugya, így következik, hogy N = ( ) + 3 ( ) ( ) = 39 A, és 984 N = (3+ 3) + 3(3+ 3) (3+ 3) = B 6 és 7 Az 7-hez hasolóa 8 a 5 4 = = ( ) = ( )( + ) = ( -) ( ) ( ) Az és 3 alapjá tudjuk, hogy ( ) ( ) M Mivel 30 = 6 5 és lko(5,6) = ezért azt kell bizoyítauk, hogy am5 Bármely természetes szám felírható a következő alakok egyikébe: {5 k, 5k +, 5k +, 5k + 3, 5k + 4}, k N Ha {5 k, 5k +, 5k + 4}, akkor yilvávalóa am5 Ha = 5k +, akkor + = 5 k + 0 k + 4+ = M 5, míg ha = 5k + 3, akkor + = 5 k + 30 k + 9+ = M 5 9 Az 7-eshez hasolóa 0 Ez a következőből következik: (3a+ 5 b) + 7 (4 a+ b) = 7( a+ b) Visszafelé is yilvávalóa igaz - 3 A 0-hez hasolóa 4 a) Legye d = lko(6+ 5,7+ 6), ami azt jeleti, hogy d és d Ekkor d 6 (7+ 6) - 7 (6+ 5) =, azaz, d = 63 Gyakorlatok (3)

11 3 6 Két esetük lehet, vagy = d d ( d < d ) vagy = d, ahol d, d,d prímszámok A második esetbe az osztók d, d, d 3 de a d 6 = 5 egyeletek icse egész gyöke Így az marad, hogy = dd és a d d dd = 5 kifejezésből azt kapjuk, hogy d = 3 és d = 5 Ezért =5 a keresett szám 7 A számak a következő alakúak kell leie = d 4, d egy prímszám Ezért csak 4 d = 7 eseté lesz egy égyjegyű szám és ekkor = 7 = 40 8 a) = 45 ; b) = 3 9 ab 3 = p, p egy prímszám, vagy ab m ab {74, 77, 8, 85} =, m és prímszám Azt kapjuk, hogy a b 0 Mivel 0 = 5 és 6 = 3, ezért azt kapjuk, hogy = 5 ahol ( a+ )( b+ ) = 6 Ha a =, b =, = 50 ; ha a =, b =, akkor = 0 m p 4 = 3 7 és ie = a b c ahol ( m+ )( + )( p+ ) = 3 7 A legkisebb 6 számot m =, =, p = 6, a = 5, b = 3, c = eseté kapjuk meg, azaz 3 5 = 880 m Legye abc = 7 5 Az osztóiak a száma ( + )( m+ ) = = 3 és m + = 3 Így a legkisebb lehetséges szám a 7 5 = 5 lesz, ami égyjegyű 3 A legkisebb szám a 675 és a legagyobb az 5 (ha elfogadjuk, hogy az a és b szám lehet 0 is) 4 Tudjuk, hogy ( x + )( y + )( z+ ) = 44 Mivel x, y, z prímszámok, ezért a következő szorzatra botást haszáljuk: 44 = ami megadja a megoldásokat: (3,5,5), (5,3,5), (5,5,3) ; } újraíri! 64 Gyakorlatok (4) lko( ab, ) lkkt( ab, ) = a b 4 lko( ab, ) = 600 lko( ab, ) = 0 8 [ ] Így, a = 0, b= 80 vagy a = 80, b= 0 a megoldások 9 3 és a= 77, b= 33 3 ( ab, ) {(4,4), (8,), (,8),(4,4)} 3 Mivel lko( ab, ) a és a lkkt( a, b), ezért következik, hogy lko( ab, ) lkkt( ab, ) ahoa lko( ab, ) (lkkt( ab, ) lko( ab, )), ami szerit 34 lko( ab, ) Alkalmazzuk a következő jelölést d = lko( a, b) Ekkor d {,,7,34} és a megoldások: ( ab, ) {(,35),(5,7), (,36), (4,8), (7,5), (34,68)}

12 65 Gyakorlatok (5) 35 l kkt(4,36,30,75) = 800, így x= 800k+ 5, x Azt kapjuk, hogy x = 705 = + Így 9 ( 3) + és 5 ( + 3) Ezért 80 ( 3) + 3= 80k 36 lkkt(9,,5 = 80), = 9 c + 6; = c + 9 és 5 c3 ( 3) * k = 80k - 3 = 80( k -) + 77 A maradék lkkt(9,0,5) = 90 = 90k + 7 ; {87,997} +, +, azaz, 38 A maradék 0 vagy lehet Ha r = 0 = lkkt(,3,4,5,6,7) k, k {0, 40,630, 840} Ha r = lkkt(,3,4,5,6,7) = 30 és a legkisebb szám a = 30 A megoldások: k, k, azaz, {30, 5, 7, 93} 66 Gyakorlatok (6) 35 Ha = k, akkor = , míg = k + eseté azt kapjuk, hogy = k szer k szor 36 Legye p egy prímszám, p >, így p egy páratla szám Ha q + r = p és q r = p, akkor a q, r számok egyike és a q, r számok egyikéek párosak kell leie, azaz, p = q + = q, ahol q és q prímszámok Ezért p, p és p + mid prímszámok, így p = 5 az egyetle megoldás (bizoyítsuk be!) 37 + = ( + ) M, így a prímszámok egyike páros, azaz egyelő -vel, és így a többi páratla, és így em egymást követő számok Hogy legye két egymást követő prímszám, a 3-ak bee kell leie a halmazba, és a harmadik szám az + 5, ami prímszám = 3 eseté A számok, 3 és 7 38 a = 49, b = 83, c = 39 a =, b = 69, c = 73; a = 69, b =, c = a =, b =, c = és 53 3 a =, b = 3 33 p = 5 34 = 5 35 = 4 36 p = 3 eseté a következő megoldást kapjuk: 3,, 3, 9 Bebizoyítjuk, hogy ez az egyetle megoldás Bármely p természetes szám felírható a következő alakok egyikébe:

13 3 k, 3k +, 3k +, k Ha p = 3k és k >, p egy összetett szám ( p = eseté kapjuk a feti megoldást); Ha p = 3k +, akkor p + = 3(3k + k + ), ami egy összetett szám k ; Ha p = 3k +, akkor p + 0 = 3(3k + 4k + 8), ami egy összetett szám k p p+ p+ 37 Az prímszámak páratlaak kell leie Mivel a,, számok között midig találuk legalább egy M 3+ alakú számot, és legalább egy M 3+ alakú számot (bizoyítsuk be!), ezért a megadott sorozatba akkor és csakis akkor lehetek prímszámok, ha = 3k (és k = ), ellekező esetbe legalább az egyik szám összetett szám lesz Ezért = 3 és a sorozat: p { p+ } { p+ } 3, 3+, 3+, 3+ A következő eseteket vizsgáljuk: p {3 m, 3m +, 3m + m } ) p = 3m eseté azt kapjuk, hogy p 3 m m = ( ) = (7+ ) = M 7+ p+ p ( M7 ) M7 = = + = + p+ = M 7+ 4 p+ és ezért a 3+ = M 7 szám összetett szám m eseté (az m = 0 esetbe p 3 + = 4 egy összetett szám); p+ 3m+ p+ 3m+ ) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3+ = 3+ = 3+ = 3+ = M 7, ami összetett szám m eseté Az m = 0 esetbe egy prímszámokból álló sorozatot kapuk: 3, 5, 7 és ; p 3) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3 + =M 7, egy összetett szám mide m eseté Az m = 0 esetbe p =, és egy prímszámokból álló sorozatot kapuk {3,7,,9} Ezért a feladatuk megoldása ( p, ) {(3,),(3,)} 38 A 53-hoz hasolóa, azt kapjuk, hogy p = 3 és ekkor = Mivel a 3, 3, 3, 3 számok páratlaok, ezért a p számak párosak kell leie, azaz p = Az egymást követő 3, 3, 3, 3 hatváyok utolsó jegyei 3, 9, 7, leszek * valamilye sorredbe bármely eseté Így az egyik hatváy utolsó számjegye 3 lesz és így eek a hatváyak és -ek az összege 5-re fog végződi, azaz osztható lesz 5-tel Így az = 0 vagy = eseteket kaphatjuk, redre a, 3, 5,, 9 és, 5,, 9, 83 megoldásokkal 30 k 4p+ = k p =, k = l +, l és ie 4 p {,5,7} ll ( + ) p =, l Azt kapjuk, hogy 6 3 7p+ = k 7 p = ( k )( k + ) stb A válasz: p = 9 3 3=, 343=, K 33 a = és így a számjegyeiek összege 9, így am9 szer

14 ( ) + { a = 5 = 5 5 = = jegye va Mivel + szer + szer a számjegyeiek összege ( + ) M3, ezért a osztható 3-mal is 35 Vegyük észre, hogy 004 = és ie = ( ) + = ( + )( + ) Így a szám összetett szám a = + = 4 + = (4 + )( ) = 5k, ahol k = K = (5 ) (5 ) + K + (5 ) (5 ) + = M = M 5+, ami relatív prímszám az 5-höz képest 3 szer 37 a = ( + + ) + ( + + ) = ( + + )( + ) = ( + ) ( + ) ami egy * összetett szám, 67 Gyakorlatok (7) 43 x = 5, y = 7 44 x = 7, y = 4 vagy x = 4, y = p = = = { (), így p-ek 004 számjegye va a kettes számredszerbeli alakjába 004 szer < 34 < ; < 567 < Így, 34-ek jegye va és 567-ek 0 jegye va a kettes számredszerbe a = 7 = 3, b = 5 = 5 68 Kevert feladatok 5 a = (+ 0 + K0 ) (+ 0 + K+ 0 ) = = = (+ 0 )= A 0 és 0 + számok oszthatók 3-mal, mivel 0 = = 000 { 3 szer és Továbbá, = = szer 5 abc = 8abc bc = 4 a(bc 5) Megoldások: 8; abab = ab 0

15 54 a = 5000 { és b = 000 { Az a és b számok egyarát oszthatóak 3-mal, de 9-cel szer szer em, így em égyzetszámok 55 Mivel 007 = 9 3, ezért egy összetett szám 56 Bármely égyzetszám felírható a következő alakok egyikébe (bizoyítsuk is be!) Ezutá látjuk, hogy a formájú (ha páratla) 8 k, 8k +, 8k szám 8k + 5 (ha páros) vagy 8k (7 k) + (7k + ) + (7k + ) + (7k + 3) + (7k + 4) + (7k + 5) + (7k + 6) = = M = M7+ = M a =, b = 4; a = 3, b = 9; a = b = a ac b= abc c = 0a (4) b ami azt mutatja, hogy a (5) 6 Az em lehet, hogy c = mivel akkor a (4)-es állításból az következe, hogy 00 = a(0b 9) és így a = 4 (mivel 0 b 9 páratla) és ie 0b 9 = 9 ami lehetetle Ezért c és a (4)-es alapjá azt kapjuk, hogy a 0a 8 (6) b Ha a b {7,8} eseteket megvizsgáljuk, akkor a (6)-osból azt kapjuk, hogy a =, amire a (4)- es em igaz A b = 5 esetbe a (4)-es állításból az következik, hogy a {4,8}, amik em elégítik ki a (6)-ot Ezért a b = eset maradt Az (5)-ből az következik, hogy a páros és a (6)-ból az következik, hogy a 84, azaz a 8 Így a = 8 és akkor a (4)-es szerit azt kapjuk a végé, hogy c = 7 Így, a = 8, b = és c = 7 az egyetle megoldás 5 A 8-hez hasolóa megoldva azt kapjuk, hogy a = 3, b =, c =, d = 5 53 Az egyetle megoldás: a = 9, b = 6, c = 3 és = 97369