Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Átírás

1 Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész számot jelentenek, hacsak nem jegyzünk meg mást róluk. Egy adott számkörben egységeknek nevezem azokat a számokat, amik a számhalmaz minden elemének osztói. A természetes számok halmazában az egység: az 1. Az egész számok halmazában az egységek: 1 és 1. A páros számok halmazán nincsenek egységek. Valódi osztók Minden szám osztható az egységekkel és önmagával (illetve önmaga egységszereseivel). Ezért ezeket az osztókat nem valódi osztóknak nevezzük. Egy szám valódi osztói azok az osztók, amelyek nem egyenlők valamely egységgel, vagy a szám valamelyik egységszeresével. Prímszámok Az egész számok négy nagy csoportra oszthatók: I. A nulla II. Az egységek: ők mindennek osztói a halmazban (egymásnak is). III. Felbonthatatlanok (az egész számok halmazában ők a prímszámok): azok a számok, amiknek nincs valódi osztójuk (csak az egységek ill. a szám egységszeresei az osztók). Úgy is fogalmazhatunk, hogy az egész számok körében azok a prímek, amiknek négy osztójuk van: maga a szám, az 1, illetve ezek ellentettjei. IV. Összetett számok: azok, amiknek van valódi osztójuk. Az eraszthotenészi szita Prímszámokat az ún. eraszthotenészi szita segítségével lehet keresni. Egymás után írjuk 2-től a természetes számokat addig, amíg keresni akarunk. Első lépésben bekarikázzuk a 2-est, majd minden többszörösét kihúzzuk. Utána megkeressük a megmaradt legkisebb prímszámot, ezt bekeretezzük, a többeseit pedig kihúzzuk. Ezt a műveletsort folytatjuk. Előbb-utóbb minden számot vagy bekarikázunk, vagy kihúzunk. A bekarikázott számok a (pozitív) prímszámok, a kihúzottak pedig az összetett számok. A számelmélet alaptétele Minden szám sorrendtől és egységszeresektől eltekintve egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Ezt az egyértelmű felbontást nevezzük a szám prímtényezős felbontásának. Ezt a tételt középiskolában nem bizonyítjuk, de megjegyezzük, hogy a páros számok körében ez például nem teljesül. A 36 = 6 6 és 36=2 18 ugyanis két különböző felbontás; a 6, a 2 és a 18 ugyanis felbonthatatlanok ezen a számhalmazon. A prímek száma végtelen. Ez egy tétel. Bizonyítása indirekt: Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van. Ekkor fel lehet sorolni őket, sőt a felsorolás véget is ér. Legyen egy ilyen felsorolás: p 1; p 2; p 3; ; p n. Elvileg ebben a sorozatban van az összes prím. Szorozzuk őket össze. A szorzathoz adjunk 1-et. A kapott szám valamennyi felsorolt prímszámmal osztva 1 maradékot ad, tehát egyikkel sem osztható. Ekkor viszont vagy prím (de minden felsorolttól különbözik, tehát nem is soroltuk fel mindegyiket, ellentmondásra jutottunk); vagy nem prím, de akkor felbontható prímek szorzatára; tehát van prímosztója. De ez a prímosztó biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen azok egyikével sem osztható. Ez is ellentmond annak, hogy minden prímet felsoroltunk. Mindenképpen ellentmondásra jutunk tehát, ezért a kiindulási feltétel hamis: nem igaz, hogy csak véges sok prímszám van. Megjegyzés: a bizonyítást nem kötelező indirekt módon elvégezni. Elég megmutatni, hogy akármennyi véges prímszámból éppen az előző bizonyításban leírt módszerrel legalább egy új prímet lehet képezni. Ez azt jelenti, hogy a prímek száma felülről nem korlátos, tehát végtelen sok van belőlük. Lnko, lkkt. (A természetes számok halmazán érvényes definíciók) Két szám legnagyobb közös osztóján a közös osztók legnagyobbikát értjük. Meghatározása: a törzstényezős felbontásban szereplő közös tényezőket vesszük az előforduló legkisebb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. Két szám legkisebb közös többszörösén a közös többszörösök legkisebbikét értjük. Meghatározása: a két szám törzstényezős felbontásában szereplő összes tényezőt vesszük az előforduló legnagyobb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. A lnko és a lkkt szorzata Tétel: két szám lnko-ja és lkkt-e összeszorozva a két szám szorzatát adja eredményül. Bizonyítás: Tekintsük a két szám prímtényezős felbontását. Válasszunk ki egy prímtényezőt. A két szám szorzatában ez a prímtényező a két előforduló hatványkitevő összegére van emelve. A lnko és lkkt összeszorzásakor kapott szám felbontásában ugyancsak. ( ) Ez minden prímtényezőre elmondható. Az a b és a lkkt(a;b) lnko(a;b) számok prímtényezős felbontása tehát megegyezik. A SZAT-vel összhangban ezek szerint a két szám is megegyezik. 1. Határozzuk meg a 90 összes egész osztójának az összegét! 1.H a.) Soroljuk fel az 54 összes osztóját az egész számok halmazán! b.) Hány olyan 100-nál kisebb egész szám van, amelynek a 17 és a 49 is osztója? 2. Soroljuk fel az 5ab 2 kifejezés osztóit! 2.H a.) Határozzuk meg a 3a 2 b 3 és a 9ab 4 kifejezések legnagyobb közös osztóját! b.) Lehetséges-e, hogy 7 osztója a 9a 3 b 2 kifejezésnek, ha a nem osztható 7-tel? c.) Lehetséges-e, hogy 729 osztója a 2n 2 m 3 kifejezésnek, ha n és m prímszámok? 3. Határozzuk meg az x 2 y 2 kifejezés osztóit! 3.H a.) Bizonyítsuk be, hogy az x 3 8 kifejezés mindig osztható x 2 +2x+4-gyel, ha x egész. b.) Igazoljuk, hogy az x 2 25 kifejezés mindig osztható x+5-tel! c.) Határozzuk meg az x x x x 80 kifejezés összes elsőfokú polinom osztóját, ha tudjuk, hogy (x+2) az egyik! 4. Bizonyítsuk be, hogy a (4k+1) 2 5 kifejezés minden egész k esetén osztható 4-gyel! 4.H a.) Igazoljuk, hogy a (3k+2) 2 (3k+1) kifejezés minden egész k-ra osztható 3-mal!

2 b.) Bizonyítandó, hogy az 5-tel osztva 3 maradékot adó számok négyzete 5-tel osztva 4 maradékot ad. c.) Mutassuk meg, hogy (2n+1) 2 1 mindig osztható 4-gyel! (Sőt: 8-cal is, erről később ) 5. Határozzuk meg az összes olyan c egész számot, amelyre a 12/c kifejezés is egész! 5.H a.) Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre a 40/n kifejezés is egész! b.) Melyek azok az x egészek, amelyekre 128/x is egész szám? c.) Melyek azok a k természetes számok, amelyekre 72/(3k) is természetes szám? 6. Határozzuk meg az összes olyan m egész számot, amelyre a 42/(m+2) kifejezés pozitív egész szám lesz! 6.H a.) Milyen egész t számok esetén lesz a 6/(t 7) kifejezés pozitív egész? t eleme a {13; 10; 9; 8; 6; 5; 4; 1} halmaznak. b.) Adjuk meg azokat az m egész számokat, amelyekre 24/(m + 13) természetes szám! c.) Melyek azok a c természetes számok, amelyekre -50/(c 111) egész szám? 7. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az (n+2)/(n 4) kifejezés is egész szám lesz! 7.H a.) Határozzuk meg az összes olyan k egész számot, amelyre a (k+8)/k kifejezés is egész szám lesz! b.) Melyek azok az m egész számok, amelyekre az (m + 2) / (m 10) kifejezés természetes szám? c.) Adjuk meg az összes olyan n természetes számot, amelyre (n + 5) / (3 n) egész! 8. Oldjuk meg a (3+m) (2 n) = 9 egyenletet a pozitív egész számok halmazán! 8H. a.) Adjuk meg az (x 2) (y 5) = 6 egyenlet összes egész megoldás-párját! b.) Oldjuk meg az (a+4) (b 7) = 50 egyenletet az egész számok halmazán! c.) Mely egész számpárok oldják meg az xy + y = 18 egyenletet? 9. Oldjuk meg az xy 4x + 6y = 1 egyenletet az egész számok halmazán! 9.H a.) Ha két egész szám összegéhez hozzáadjuk a szorzatát, 36-ot kapunk. Melyik lehet ez a két egész szám? b.) Határozzuk meg az xy + x + 5y = 3 egyenlet összes egész megoldáspárját! c.) Oldjuk meg a 2a + 8b = ab diofantikus egyenletet! 10. Bizonyítsuk be, hogy (a b) osztója a n b n -nek! felelés kérdés is! 10.H a.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n +b n -nek, ha n páratlan szám! felelés kérdés is! b.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n b n -nek, ha n páros szám! c.) Bizonyítsuk be, hogy (x 1) osztója (x k 1)-nek, ha k pozitív egész szám! 6. Osztási maradék Egy egész szám n-nel való osztási maradékán a vizsgált szám és a nála nem nagyobb n-nel osztható számok legnagyobbikának különbségét értjük. Az n-nel osztható számok k n alakba írhatók. Az n-nel osztva 1 maradékot adó számok k n+1 alakba írhatók. Az n-nel osztva 2 maradékot adó számok k n+2 alakba írhatók. stb. Az 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok halmazát 1-es maradékosztály modulo 4 -nek nevezzük, vagy a 4 osztó 1-es maradékosztályának. Jele: (n). (Kézírásban: karikás 1-es.) Az (n) halmaz elemei: 1; 5; 9; 13; továbbá -3; -7; -11; ; rövidebben: {4k+1 k egész} = (4) Hasonlóan: {4k+2 k egész} = (4); {4k+3 k egész} = (4) {4k k egész} = (4) Megjegyzés: elvileg egy maradékosztályt bármelyik képviselőjével jelölhetünk. Például (4) = (4), de a jobb átláthatóság kedvéért a végtelen sok képviselő közül azt szokás választani a maradékosztály megadásánál, amely az n osztó esetén 0 és n-1 közé esik. Megállapodás: a modulust (osztót) hosszabb fejtegetésnél elegendő egyszer (az elején) kiírni, amennyiben ez az egész leírás során ugyanaz. A fentiekből következik, hogy n-nel oszthatóság szempontjából n darab maradékosztály létezik. A maradékosztályok között különleges műveleteket végezhetünk: értelmezhető közöttük az összeadás, a kivonás és a szorzás művelete. (Az osztás mint a szorzás megfordítása nem működik, amint azt majd látni fogjuk.) A értelmezése (4): Kérdés: ha egy 2-es és egy 3-as maradékosztálybeli számot összeadok, mondhatok-e valami általános törvényszerűséget az összeg maradékáról? A válasz: igen. Adjuk össze a 4k + 2 és a 4m + 3 számokat. Az első a 2-es, a második a 3-as maradékosztályból való, amennyiben k és m egészek. Az összeg: 4k m + 3 = 4k + 4m + 5 = 4k + 4m = 4 (k + m + 1) + 1. A zárójelben egész szám áll, így azt kaptuk, hogy az összeg az 1-es maradékosztályba került. Általánosságban kimondható a következő tétel: Legyen adott az n osztó és két tetszőleges (akár megegyező) maradékosztálya. A két maradékosztályból tetszőlegesen választott egy-egy elem összege a választástól függetlenül mindig ugyanabba a maradékosztályba tartozik. - Ezt a maradékosztályt nevezhetjük a két maradékosztály összegének. Hasonlóan határozható meg két maradékosztály szorzata és különbsége is. A hányadossal nem ilyen egyszerű a helyzet. Az osztás a szorzás megfordított művelete. Mivel például 4 2 = 8 (12) és 4 5 = 8 (12), ezért a 8:4 művelet eredményéről nem tudhatjuk, hogy 2 vagy 5 (sőt lehet 8 és 11 is). (Más szóval: nem igaz a fenti tétel osztásra. Vizsgáljuk a 8 és a 4 maradékosztályt mod 12. Ha a 8-as maradékosztályból a 20-at, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados 5, az 5-ös maradékosztályba kerül. Ha viszont a 8-as maradékosztályból a 44-et, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados a 11-es maradékosztályba tartozó lesz. Így az osztásnál nem mindig ugyanabba a maradékosztályba kerülünk.) Maradékosztályok hányadosát ezért általában nem értelmezzük. Összeg, különbség, szorzat osztási maradéka egyenlő a tagok/tényezők osztási maradékainak összegével, különbségével, szorzatával, illetőleg ezek osztási maradékával. Biz: egyszerű, de hosszú. HF. 11. Végezzük el a következő műveleteket a mod 5 maradékosztályok körében! H a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 8-as osztási maradékosztályok körében! a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 3-as osztási maradékosztályok körében! Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 8-cal osztva?

3 H Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 6 szerint (azaz 6-tal osztva, modulo 6)? Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 5-tel osztva? H Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 9-cel osztva? Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 7-tel osztva? 14.H a.) Milyen maradékot adnak a 4 hatványai 11-gyel osztva? b.) Milyen maradékot adnak a 3 hatványai 8-cal osztva? c.) Milyen maradékot adnak a 9 hatványai 5-tel osztva? d.) Milyen maradékot adnak az 5 hatványai 12-vel osztva? e.) Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 9-cel osztva? 15. Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 7-tel osztva? H Határozzuk meg a következő számok maradékát a megadott modulus mint osztó szerint! (2) (3) (7) (10) (8) Oszthatósági szabályok (ismétlés, HF): 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 2 n -nel; illetve 5-tel, 25-tel, 125-tel, 5 n -nel. 3-mal és 9-cel 6-tal, 12-vel, 24-gyel, 120-szal. 11-gyel Tétel: n darab egymást követő egész szám közül pontosan egy darab lesz n-nel osztható. Bizonyítás: az n darab egymást követő egész szám mindegyike különböző maradékot ad n-nel osztva, így különböző maradékosztályokba tartoznak. Tudjuk, hogy n darab maradékosztály van n szerint, így mindegyik maradékosztályba pontosan egy elem kerül. Ez igaz a 0 maradékosztályra is, tehát pontosan egy 0 maradékosztálybeli elem van az n szám között, így pontosan egy osztható közülük n-nel. Tétel: Ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható ezek legkisebb közös többszörösével is. Bizonyítás: vizsgáljuk a szám törzstényezős felbontását és ebben egy tetszőleges p prím kitevőjét, ez legyen k p. Mivel a szám a-val osztható, a-ban p kitevője legfeljebb k p; hasonlóan b-ben is legfeljebb ennyi. Ebből következik, hogy lkkt(a; b) törzstényezős felbontásában is a vizsgált p kitevője legfeljebb annyi, mint az eredeti szám felbontásában. Ez a tény bármely p-re elmondható, azaz lkkt(a; b) minden törzstényezőt legfeljebb annyiadik hatványon tartalmaz, mint a vizsgált szám. Ez éppen azt jelenti, hogy osztója neki. 21. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő természetes szám szorzata osztható 6-tal. 21.H a.) Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő természetes szám szorzata osztható 24-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy öt egymást követő természetes szám szorzata osztható 120-szal! c.)* Bizonyítsuk be, hogy n darab egymást követő természetes szám szorzata osztható n!-sal! 22. Bizonyítsuk be, hogy a n 3 +23n kifejezés osztható 24-gyel, ha n osztható 8-cal! 22.H Bizonyítsuk be, hogy 6 osztója az n 3 +11n-nek! 23. Bizonyítsuk be, hogy az 57 osztója 7 n+2 +7 n+1 +7 n -nek! (n pozitív egész). 23.H a.) Bizonyítsuk be, hogy a 6 n+2 6 n n kifejezés biztosan osztható 31-gyel! (n pozitív egész). b.) Igazoljuk, hogy a 8 n n n+2 kifejezés biztosan osztható 3 4 -nel, ha n pozitív egész szám! 24. Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám 8-cal osztható-e? 24.H a.) Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám négyzetszám-é? b.) Hogyan lehet megállapítani egy szám törzstényezős felbontásáról, hogy a szám 6-tal osztható-e? c.) Egy szám törzstényezős felbontásában minden kitevő osztható 3-mal. Mit állíthatunk biztosan a számról? 25. Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 7-tel! 25.H a.) Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 11- gyel és 13-mal! b.) Egy kétjegyű számot háromszor leírunk egymás után. Igazoljuk, hogy az így kapott szám osztható 37-tel, 13-mal és 7-tel is! 26. Két szám legnagyobb közös osztója 6, legkisebb közös többszöröse 108. Melyik lehet ez a két szám? 26.H a.) Két szám legnagyobb közös osztója 14, legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet ez a két szám? b.) Két szám lnko-ja 2, lkkt-e 91. Melyik lehet ez a két szám? c.) Két szám lnko-ja 8, lkkt-e 360. Mennyi a két szám négyzetösszege? 27. Egy buszvégállomásról az 1-es buszok 15 percenként, a 2-es buszok 24 percenként követik egymást. Reggel 6 órakor egyszerre indul egy 1-es és egy 2-es busz a végállomásról. Melyik a következő olyan időpont, amikor ismét egyszerre indulnak ezek a buszok? 27.H a.) Egy út egyik oldalán 30 méterenként fák, a másik oldalán 42 méterenként villanyoszlopok sorakoznak. Egy helyen pontosan szemben áll egymással egy fa és egy villanyoszlop. Hány méterenként ismétlődik meg ez a találkozás? b.) Egy templom tornyában délben két haranggal harangoznak hosszasan. Az egyik 1,4 másodpercenként, a másik 1,8 másodpercenként üt egyet. Egy adott pillanatban egyszerre üt mindkét harang. Mikor következik be legközelebb ez a jelenség? 28. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 48-cal! 28H. a.) Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 8-cal! b.) Igazoljuk, hogy négy egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 192-vel! 29. Bizonyítsuk be, hogy 2 7 n + 1 mindig osztható 3-mal! 29.H a.) Bizonyítsuk be, hogy 5 13 n + 4 mindig osztható 3-mal! b.) Bizonyítsuk be, hogy n n+1 bármilyen pozitív egész n esetén osztható 16-tal! 30. Lehet-e 46 egymást követő természetes szám összege osztható 46-tal? 30.H a.) Lehet-e 46 egymást követő páros szám összege osztható 46-tal? b.) Igaz-e, hogy 2009 egymást követő természetes szám összege 2009-cel biztosan osztható? 31. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 7-tel osztva 6; 8-cal osztva 7; 9-cel osztva pedig 8 maradékot ad? 31.H a.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 4-gyel osztva 3; 5-tel osztva 4; 7-tel osztva pedig 6 maradékot ad? Bizonyítsuk be, hogy két tetszőleges ilyen tulajdonságú szám különbsége osztható 140-nel! b.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely 7-tel osztva 5, 8-cal osztva 6 és 10-zel osztva 8 maradékot ad? 32. A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 45-tel! 32H. a.) A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 36-tal! b.) Az 1x8x3y hatjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 72-vel! 33H. Bizonyítsuk be, hogy osztható 120-szal!

4 Négyzetszámok osztási maradékai Példa: Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 3-mal osztva? Állítás: A maradék 0 vagy 1 lehet, 2 sohasem. Bizonyítás: az egész számokat három csoportba sorolhatjuk: 3k alakú számok; ezek négyzetei: (3k) 2 = 9k 2 = 3 3k 2, tehát 0 maradékot adnak 3-mal osztva. 3k+1 alakú számok; ezek négyzetei: (3k+1) 2 = 9k 2 +6k+1 = 3 (3k 2 +2k)+1, ezek tehát 1-et adnak maradékul 3-mal osztva. 3k+2 alakú számok; ezek négyzetei (3k+2) 2 = 9k 2 +6k+4 = 9k 2 +6k+3+1 = 3 (3k 2 +2k+1)+1, ezek is 1-et adnak tehát maradékul 3- mal osztva. A világ összes egész számát négyzetre emeltük, és sohasem kaptunk 2-es maradékot. Állításunkat ezzel igazoltuk. 33. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 8-cal osztva? 33.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 4-gyel osztva? 0 vagy 1. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 6-tal osztva? 34. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 10-zel osztva? 34.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 5-tel osztva? b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 16-tal osztva? 35. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám negyedik hatványa? 35.H a.) Milyen maradékot adhat egy egész szám negyedik hatványa 5-tel osztva? b.) Melyik maradékosztályba tartozhat egy egész szám negyedik hatványa mod 8? 36. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám harmadik hatványa? 36.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 7-tel osztva? 0; 1; 2; 4. Sosem lehet 3; 5; 6. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 11-gyel osztva? 0; 1; 3; 4; 5; 9. Sosem lehet 2; 6; 7; 8; Legyen t egész szám. Mennyi lehet a t szám maradéka 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? (Több feladat, rendesen dolgozzuk ki, fontos!) 37.H a.) Milyen számjegyre végződhet az r kifejezés, ha r egész szám? b.) Legyen b egész szám. Mennyit ad maradékul a b ! szám 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? c.) Mi lehet a 8-as maradéka az x 4 + y számnak, ha x és y egészek? d.) Legyen c egész szám. Milyen maradékot adhat a (c + 2) (c 2) + 5 kifejezés 8-cal osztva? 38. Az y számról tudjuk, hogy egész. Mennyi lehet a maradéka az y 2 2 számnak 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 8-cal, 10-zel és 16-tal osztva? 38.H a.) Az e 2 11 számot 6-tal osztjuk. Mi NEM lehet a maradék, ha e egész szám? b.) Mennyi lehet a 4-es osztási maradéka a 3 2 u 2 kifejezésnek, ha u egész szám? c.) Határozzuk meg az (x 13) (x + 13) szorzat 5-tel való osztási maradékát, ha x egész szám! Minden lehetséges megoldást adjunk meg! d.) Adjuk meg az (a 2 + b) (a 2 b) szorzat utolsó számjegyének lehetséges értékeit, ha a és b egész számok és b nem nulla! e.) Milyen számjegyre végződhet a (2x+1) 4 (4y 2) 4 kifejezés, ha x és y egész számok? 39. Adjuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre p 2 +2 is prím! 39.H a.) Keressük meg az összes olyan n egész számot, amelyre n 2 és n egyaránt prím! b.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p+14 és p+28 is prím! c.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p vagy p (legalább az egyikük) prím! 40. Bizonyítsuk be, hogy két páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! 40H. a.) Bizonyítsuk be, hogy három páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! b.) Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egész szám négyzete közül kiválasztható úgy kettő, hogy különbségük 8-cal osztható legyen! 41. Keressük meg az összes olyan négyzetszámot, amely csupa egyforma számjegyből áll! 41.H a.) Keressük meg az összes olyan egész számot, amelyiknek a negyedik hatványa csupa egyforma számjegyekből áll! 0; 1; -1. b.) Hány olyan egész szám van, amelynek a négyzete csupa egyforma számjegyből áll? 42. Lehet-e négyzetszám az az egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 42.H a.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek számjegyei a 0, 2, 3, 5 számok, valamilyen sorrendben? Igen. b.) Van-e olyan négyzetszám, amely csupa 0-ból és 3-asokból áll? Nincs. c.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában 2009 darab 1-es és valahány 0 szerepel? Nincs. 43. Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 8 minden egész n esetén osztható 3-mal! 43.H a.) Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 6 + n 8 minden egész n esetén osztható 4-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy n 4 + n 8 + n 12 + n 16 + n 20 minden egész n esetén osztható 5-tel! 44. Van-e olyan prímszám, amelyik osztható egy négyzetszámmal? 44.H a.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 2 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy négyzetszámmal? Van. b.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 7 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy páros négyzetszámmal? Van. Jó munkát!

5 Az eraszthotenészi szita Keressük meg a prímszámokat 1 és 1000 között!