Számelmélet. Oszthatóság

Átírás

1 Számelmélet Oszthatóság

2 Egy szám mindazok az egész számok, amelyek az adott számban maradék nélkül megvannak. Pl: 12 osztói: 12=1x12=(-1)x(-12)=2x6=(-2)x(-6)=3x4=(-3)x(- 4) Azt is mondhatjuk, hogy 12 az 1,12,2,6,3,4 számok Jelölés: 3 12 (3 osztója 12-nek) (12 es dividible con 3) 5ł12 (5 nem osztója 12-nek) (12 no es dividible con 3)

3 FELADAT 1. Igaz??Es verdad? 6 72, 13 39, 15 76, 1. Írjuk fel a következő számok osztóit:?cuáles son los divisores de estos números? 12, 21, 32, 49, 71 Egy természetes szám osztható, ha un número es divisible con 2, si la última cifra termina en 0,2,4,6,8 ha az utolsó számjegye/páros/ ( 0; 2; 4; 6; 8) Egy természetes szám osztható, ha ha a szám 0-ra végződik Egy természetes szám osztható, ha ha a szám 0-ra, vagy 5-re végződik Egy természetes szám osztható, ha ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal Un número es dividible con 3, si la suma de las cifras es dividible con 3

4 Egy természetes szám osztható, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel Egy természetes szám osztható, ha ha a számjegyeinek összege osztható 9cel FELADAT 1. Mikor osztható egy természetes szám 6tal? Cuándo / En qué caso se divide un número con 6? 1. 12vel? Y con 12? k-1. (2005. május 3+4 pont) a) Igaz-e, hogy számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk? (indokolás)?es posible mezclar las cifras de en una manera que el número siempre será divisible con 3? 3. b) Gábor olyan sorrendben írja fel számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen. Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken? (indokolás)!cambia el orden de las cifras del número en una manera que será divisible con 4!

5 Számelmélet Prímszámok

6 osztó Többszörös Négyzetszám, osztók száma 2-es oszthatósági szabály 3, 4,5, 6,7, 9, 10,12, 21

7 FELADAT 15-k-8. (2008. május 2 pont) A 2X3 háromjegyű szám osztható 3-mal. Mennyi lehet az x számjegy értéke? 2X3 es un número que se divide con 3.?Cuál será la cifra x? k-3. (2006. május 4 pont) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!?verdad o falso? a) Ha egy természetes szám 4-gyel osztható, akkor páros. Si un número es dividible con 4, es par. b) Ha egy természetes szám páros, akkor osztható 4-gyel. Si un número es par, es dividible con 4. c) Ha egy természetes szám osztható hattal és tízzel, akkor osztható hatvannal Si un número es dividible con 6 y 10, es dividible con 60.

8 Azok a természetes számok, melyeknek pontosan két osztója van, az 1 és önmaga.(nem valódi osztók) un número primo es un entero mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Végtelen sok prímszám van. Un sinnúmero de numero primo Az 1 nem prím! PL: 2;3;5;7

9

10 Prímszámok k-13. (2010. május 2 pont) Sorolja fel a 2010-nek mindazokat a pozitív osztóit, amelyek prímszámok!!coloca todos los divisores primos del número 2010! 15-k-14. (2010. október 4 pont) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz és melyik hamis! I. Minden prímszám páratlan. Todos los números primos son pares. II. Létezik páratlan prímszám. Existe primos impares.

11 : Amelynek kettőnél több osztója van Minden összetett szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára. todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. PL: 12=2x2x3

12 Számelmélet LNKO,LKKT

13 Összetett szám Prím Prímtényezős felbontás Melyek prímek? 35, 37,1, 21, 2, 11

14 FELADAT 15-k-16. (2011. október 2 pont) Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at!!Escribe el número 420 como producto de primos! Írjuk fel 60 prímtényezős felbontását és osztóit. Hogyan határozhatók meg az osztók a felbontásból? Írjuk fel a osztóit. Írjuk fel 18, és 24 osztóit a prímtényezős felbontás segítségével Melyek közösek? Melyik a legnagyobb?

15 Közös osztó az a szám, amely mindkét számnak osztója. Legnagyobb közös osztó, a közös osztók közül a legnagyobb. Jele: (6;4)=2 Máximo común divisor(mcd) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto. Notacion (6;4)= 2 Sokszor eléggé sokáig tart meghatározni több szám összes osztóját, és kiválasztani a közösen előfordulók közül a legnagyobbat, ezért: Két vagy több szám legnagyobb közös osztóját Úgy határozzuk meg, hogy a számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a felbontásban szereplő közös prímeket az előforduló legkisebb hatványkitevőn összeszorozzuk. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. Ha 2 szám LNKO-ja 1 akkor a 2 számot mondjuk. :

16 FELADAT 540 és 504 legnagyobb közös osztóját. (360;756)=? Mi lehet a 1/9 és 1/12 számok közös nevezője? Hány közös nevezőt tudunk felsorolni? Melyikkel érdemes számolni? Határozzuk meg a 1/18 és 1/24 közös nevezőjét. Állítsuk elő prímtényezős felbontását is.

17 Két számnak végtelen számú közös többszöröse van. A legkisebb közös többszörös a közös többszörösök közül a legkisebb. Jele: [6;4]=12 el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos. Notacion: [6;4]=12 A legkisebb közös többszörös a prímtényezős felbontásból a következőképp számolható: a számokat prímtényezőkre bontjuk, majd a felbontásban szereplő közös prímeket az előforduló legnagyobb hatványkitevőn összeszorozzuk. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente.

18 15-k-10. (2009. május 3 pont) Írja fel 24 és 80 legkisebb közös többszörösét! Számítását részletezze! Mennyi? Cálcula! (36;24), (124;84) [36;24], [124;84] 15-k-15. (2011. május 2 pont) Adottak a következő számok: a = és b = Írja fel a és b legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! A kért számokat elegendő prímtényezős alakban megadni.