VII.A. Oszthatóság, maradékos osztás Megoldások

Átírás

1 VIIA Oszthatóság, maradékos osztás Megoldások 11 Igen, mert a 4x = 8 egyenlet megoldható a természetes számok halmazában: x = 2 12 Nem, mert a 4x = 10 egyenlet nem oldható meg a természetes számok halmazában (A 2,5 nem természetes szám) 13 Igen, mert a 4x = 8 egyenlet megoldható a pozitív páros számok halmazában 14 Nem, mert a 4x = 12 egyenlet nem oldható meg a pozitív páros számok halmazában, ugyanis a 3 nem páros szám 15 Nem, mert a 3x = 12 egyenlet nem oldható meg a hárommal osztható pozitív számok halmazában, ugyanis a 4 nem osztható hárommal 16 Nem, mert a 3x = 15 egyenlet nem oldható meg a hárommal osztható pozitív számok halmazában, ugyanis az 5 nem osztható hárommal 2 Bontsuk föl az ekvivalenciákat két implikációra! 21 ( ) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel és 3- mal Ez igaz ( ) Akkor osztható egy szám 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal Ez is igaz, tehát az eredeti kijelentés igaz 22 ( )Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 1-gyel és 6- tal Ez igaz ( ) Akkor osztható egy szám 6-tal, ha osztható 1-gyel és 6-tal Ez is igaz Tehát az eredeti kijelentés igaz Megjegyezzük, hogy ez elég nyilvánvalóan igaz kijelentés, hiszen minden szám osztható eggyel, tehát a kijelentésnek az a része PLQGLJLJD](]]HOÄOHHJ\V]HU&VtWYH NDSMXND]ÄEgy szám akkor és csakis akkor osztható 6-tal, ha osztható 6-tal nyilvánvalóan igaz kijelentést 23 ( ) Ha egy szám osztható 8-cal, akkor osztható 2-vel és 4- gyel Ez igaz ( ) Akkor osztható 8-cal egy szám, ha osztható 2-vel és 4-gyel Ez nem igaz, mert a 12 osztható 2-vel és 4-gyel is, de nem osztható 8-cal Így az egész eredeti kijelentés sem igaz Vegyük észre, hogy az okozza a gondot, hogy a 2 és a 4 legkisebb többszöröse nem 8 120

2 24 ( ) Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 3-mal és 4- gyel Ez igaz ( ) Akkor osztható egy szám 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel Ez is igaz, így az eredeti kijelentés igaz 25 ( ) Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 2-vel és 6- tal Ez igaz ( ) Akkor osztható egy szám 12-vel, ha osztható 2-vel és 6-tal Ez nem igaz, mert például a 18 osztható 2-vel és 6-tal, de nem osztható 12-vel 31 Mivel a 2-vel való oszthatóságot csak az utolsó számjegy befolyásolja, így a KHO\pEHEiUPLO\HQV]iPMHJ\HWtUKDWXQNPtJ a 0, 2, 4, 6 vagy 8 lehet 32 A számjegyek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal Az eddigi számjegyek összege = 17, ezért a fennmaradó két helyre úgy kell számjegyeket írnunk, hogy azok összege 1, 4 vagy 7 legyen Például 0 és 1, 0 és 4, 0 és 7, 1 és 0, 1 és 3, 1 és 6, 1 és 9, 2 és 2, Matematikai szimbólumokkal felírva ( a ; b) ( a; b) A A a + b 1,4,7, { } ( { } ahol A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} $ NHWWYHO YDOy RV]WKDWyViJKR] KDVRQOyDQ D KHO\pEH bármelyik számjegy írható, a SHGLJFVDN2 vagy 6 lehet $ NHWWYHO YDOy RV]WKDWyViJKR] KDVRQOyDQ D KHO\pEH bármelyik számjegy írható, a SHGLJFVDN0 vagy 5 lehet 35 A megoldást a 31 és a 32 feladat megoldásainak a metszete adja, hiszen a 6-tal való oszthatóság kritériuma a 2-vel és 3-mal való oszthatóság 36 Elég a 5 V]iPPDO IRJODONR]QL =0 esetén a =6, =1 esetén a =2, =2 esetén a =6, =3 esetén a =2, =4 esetén a =6, =5 esetén a =2, =6 esetén a =6, =7 esetén a =2, =8 esetén a =6 és =9 esetén a =2 37 A számjegyek összegének oszthatónak kell lennie 9-cel Az eddigi számjegyek összege = 17, ezért a fennmaradó két helyre úgy kell számjegyeket írnunk, hogy azok összege 1 vagy 10 legyen Például 0 és 1, 1 és 0, 1 és 9, 2 és 8, 3 és 7, 4 és 6, 5 és 5, 6 és 4, 7 és 3, 8 és 2, 9 és 1 38 A KHO\pEH EiUPHO\LN V]iPMHJ\ tukdwy D SHGLJ FVDN 0 lehet 121

3 39 A megoldást a 32 és a 33 feladat megoldásainak a metszete adja, hiszen a 12-vel való oszthatóság kritériuma a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság 310 A megoldást a 32 és a 34 feladat megoldásainak a metszete adja, hiszen a 15-tel való oszthatóság kritériuma a 3-mal és az 5-tel való oszthatóság 311 A megoldást a 31 és a 37 feladat megoldásainak a metszete adja, hiszen a 18-cal való oszthatóság kritériuma a 2-vel és 9-cel való oszthatóság Vigyázat, a 3 6 = 18 alapján a 3 és a 6 oszthatósági szabályaival ne próbálkozzunk, mert például a 12 is osztható 3-mal és 6-tal, de nem osztható 18-cal 4 Legyenek a, b, c, d természetes számok (tehát a b nem lehet 0) Ha az a számot b számmal elosztva a hányados c, a maradék d, DNNRUpUYpQ\HVDN YHWNH] VV]HI JJpVa = bc + d 41 Megoldandó az a + b = 410 7b + 10 = a egyenletrendszer Megoldása: a = 360, b = Megoldandó az a + b = b = a egyenletrendszer Megoldása a = , b = A nagyobbik számban a kisebbik szám csak egyszer van meg, tehát a maradék a két szám különbsége lehet csak, ez pedig a feltételek alapján 13 +D D NpW DGRWW V]iPRW FV NNHQWHP D PHJIHOHO RV]WiVL maradékkal, akkor két olyan számot kapok, amelyek éppen oszthatók a keresett számmal: = és = = D D NHUHVHWW QpJ\MHJ\& V]iP RV]WKDWy tel és tel, akkor osztható _]_N Nülönbségével is, nel Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva: ha osztható tel és nel, akkor osztható WHOGHtJ\DNHUHVHWWQpJ\MHJ\& szám osztható = 1975-tel is Más megoldás nincs 511 A lehetséges fölbontások: = = = = = = = = =

4 512 Ez nem lehetséges, mert ha a 32-EONLYRQXQNYDODKiQ\V]RU 4-et, akkor valahányszor (nem feltétlenül ugyanannyiszor) 4 marad 513 Például Mindet felsorolni hosszú lenne, de könnyen kiszámolhatjuk, hány ilyen felbontás létezik A 32-t összesen 33- féleképpen lehet fölbontani két nem negatív egész szám összegére Ezen felbontások közül kilenc esetben mindkét tag osztható 4-gyel, a többi esetben egyik tag sem, azaz összesen 33 9 = 24 PHJIHOHO IHOERQWiV YDQ KD D IHOERQWiVEDQ V]HUHSO tagok sorrendje is számít 521 Például , de a is jó, mert a 0 is osztható 6-tal 522 Ilyen fölbontás nem létezik, mert ha a 36-ból kivonunk valahányszor 6-ot, akkor valahányszor (nem feltétlenül ugyananynyiszor) 6 marad 523 Például Ha két számot, amelyek a 3 többszörösei, összeadunk, szintén a három többszörösét kapjuk, így ilyen felbontás nem létezik 532 Például = Például = Az összeg 5-tel való osztásának maradéka 0, mert a tagok 5- tel való osztásának maradékait összeadva 5-öt kapunk, ami 5-tel RV]WKDWy(J\V]HU&EEHQH]WtJ\tUMiN = 5 0 ( mod 5) A szor-zat 5-tel osztva 1-et ad maradékul, mert 2 3 = 6 1 ( mod 5) A 2x + y kifejezés 5-tel való osztásának maradéka 2, mert = 7 2 ( mod 5) 62 Az összeg 6-os maradéka 1, a szorzaté 4, a 2x + 3y kifejezésé 1 $ N YHWNH] WiEOi]DW MyO V]HPOpOWHWL D PDUDdékok ciklikus YiOWR]iViWDKDWYiQ\NLWHYQ YHNHGpVHPHOOHWW hatványki WHYn) n x maradékai 7-tel osztva 100 Az x tehát héttel osztva 6-ot ad maradékul 123

5 7 A teljes táblázat kitöltésének számolását nem részletezzük Példaként álljanak itt a 3-as oszlopának kitöltéséhez kapcsolódó számolások Térjünk át a konkrét számokról a maradékokkal való számolásra $] HOV VRUEDQ = = 2 ( mod 3) Így a WiEOi]DWHOV UHVHQKDJ\RWWVRUiEDD3-as alá a 2-t kell beírni = = 1 mod 3 A 2 sor: ( ) A 3 sor: = 1 ( mod 3) 9 9 A 4 sor: = = = 1 ( mod 3) Az 5 sor: 11 = ( 1) = 1 ( mod 3) A táblázat többi részének kitöltését nem részletezzük sorszám kifejezés