Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Átírás

1 . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,. a) Számítsd ki a d determinánst, ha a, b és b c a c. b) Igazold, hogy d ( a b c ) ( a b ) ( b c ) ( c a ), bármely abc,, esetén! c) Oldd meg a valós számok halmazán a (5) 0 egyenletet!. Adott a determináns, ahol,, d ki:. b) Számítsd ki: az 0 egyenlet megoldásai. a) Számítsd. c) Számítsd ki a d determináns értékét! 4. Az M ( ) halmazban tekintsük az I, A 0 és X ( a) I aa mátriokat, a. a) Számítsd ki az A mátriot! b) Igazold, hogy X ( a) X ( b) X ( a b ab), bármely ab, esetén! c) Számítsd ki az X () X () X ()... X (009) összeget! 5. Adott az A, mátri. a) Határozd meg az értékét, ha det A 0. b) Igazold az A A I egyenlőséget! c) Határozd meg az azon értékét, amelyre A A Adottak az A, B és 0 I 0 mátriok. a) Számítsd ki a B mátriot! b) Igazold, 4 hogy A. c) Igazold, hogy 4 4 C 6 I, ahol C B A. t t 7. Adottak az X, Y mátriok. Legyen A X Y és B( a) aa I, ahol a és Y az Y mátri transzponáltja. a) Igazold, hogy A 4 6. b) Számítsd ki az A mátri determinánsát! c) 6 9 Igazold, hogy a Ba ( ) mátri invertálható, bármely a \ 4 esetén! a b 8. Az M halmazban adottak az A c d mátri. a) Számítsd ki az a, b, c, d egész számokat, ha t t AI O. b) Számítsd ki a B A A mátri determinánsát! c) Igazold, hogy ha A A I, akkor az t A A mátri determinánsa egy 4-gyel osztható szám Adott az A M ( ) mátri. a) Számítsd ki az A. mátri determinánsát! b) Igazold, hogy A A O. c) Számítsd ki az 0 A A 0 A összeget!

2 0. Adottak az U 0 0, X y X V U, akkor és v 9 V v mátriok, ahol v,, y. a) Igazold, hogy ha ( v 9) 0. b) Határozd meg a v valós szám azon értékeit, amelyekre a V mátri determinánsa zérótól különböző! c) Határozd meg a megoldását!. Adottak az Számítsd ki az. Adott a A 0, I 0 0 A és 0 0 B összeget! c) Határozd meg az y 0 9y 0 0 B A mátri inverzét! egyenletrendszer három különböző mátriok. a) Igazold, hogy A I B. b) Da ( ) 9 determináns, ahol a valós szám. a) Számítsd ki a D (9) determinánst! b) Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 0 a a Da egyenletet! c) Oldd meg a valós számok halmazán a D egyenletet!. Adott az A 5 0 M ( ) mátri. a) Számítsd ki az A A mátriot! b) Oldd meg a 0 n n n n 5 0 det A 5 5 egyenletet, ha ismert, hogy A, n, n. c) Határozd meg a B A A... A mátri transzponáltját! 4. Az M ( ) halmazban adottak az A 4, 4 B mátriok. a) Igazold, hogy AB BA. b) Számítsd ki az A B mátriot! c) Bizonyítsd be, hogy C 5 I, ahol C A B. a) Határozd meg az A A egyenes egyenletét! a b b 0 5. Adott a G A a, b, a halmaz. a) Vizsgáld meg, hogy az I és az b a b O 0 0 mátriok elemei-e a G halmaznak! b) Határozd meg a BM ( ) mátriot, ha a b b ai bb, bármely a, b esetén! c) Igazold, hogy a G halmaz bármely mátriának az b a b inverze is a G halmaz eleme! rang, rendszer

3 m y z m 6. Adott az 5 y z egyenletrendszer, ahol m valós paraméter. a) Határozd meg az m ( m ) y z értékét, ha m 5. b) Határozd meg az m értékét, ha (,, ) megoldása az m egyenletrendszernek. c) Oldd meg az egyenletrendszert m esetén! 7. Adott az y z y z 4 m y 4z egyenletrendszer, ahol m. amelyre a (,, ) megoldása az egyenletrendszernek! b) Oldd meg az ahol m. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m 5. a) Határozd meg az m azon értékét, m 4 m m egyenletet, 8. Adott az y z y az egyenletrendszer, valamint az A( a) a M ( ) mátri. a) 4y a z 4 a Számítsd ki a det( A (4)) determinánst! b) Határozd meg az a azon értékeit, melyekre az Aa ( ) mátri invertálható! c) Ha a \{,}, oldd meg az egyenletrendszert! 9. Adott az b és ay a z a by b z b cy c z c egyenletrendszer, ahol abc,, páronként különböző számok. a) Ha a 0, c, oldd meg az egyenletrendszert! b) Igazold, hogy det( A) a bb cc a, ahol A az egyenletrendszer mátria! c) Igazold, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az ab, és c valós számoktól! y z b 0. Adott az y az 5 egyenletrendszer, ahol a,b y 4z 4. a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátriának determinánsát! b) Ha a és b, oldd meg az egyenletrendszert! c) Határozd meg a b valós számot, ha 0 0 0, y,z az egyenletrendszer megoldása és 0 y0 z0 4. 4y 4z 5. Adott az a 4 y 5z egyenletrendszer, ahol ar. a) Ha a számítsd ki a rendszer y a z 6 mátriának a determinánsát! b) Igazold, hogy a 7,, számhármas nem lehet a rendszer megoldása, bármely a esetén! c) Határozd meg az egyenletrendszer azon,, y z megoldását, amelyre y0 z

4 y z. Adott az y z egyenletrendszer, ahol a. a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátriának y z a determinánsát! b) Ha a 0, oldd meg az egyenletrendszert! c) Határozd meg az a számot úgy, hogy az egyenletrendszer megoldása teljesítse az y z összefüggést! y z. Adott az y z 4 egyenletrendszer, ahol m egy valós paraméter. a) Igazold, hogy bármely m m y 4z valós szám esetén a 0;; számhármas megoldása az egyenletrendszernek! b) Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen! c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m. 5y 4z 0 4. Adott a y z, a egyenletrendszer, és jelölje A az egyenletrendszer mátriát. a) z a Számítsd ki az A mátri determinánsát! b) Oldd meg az egyenletrendszert a esetén! c) Határozd meg azt a legkisebb a természetes számot, amelyre az egyenletrendszer megoldása egy természetes számokból álló számhármas! y z 0 5. Adott az y mz 0 egyenletrendszer, ahol m valós paraméter és A az egyenletrendszer mátria. a) 4 y 5z 0 Számítsd ki az A mátri determinánsát, ha m. b) Határozd meg az m valós paramétert, ha az egyenletrendszer mátriának determinánsa nulla! c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha m. 6. Adott az a y 0, a 4 y 0 egyenletrendszer, a A az egyenletrendszer mátria, valamint az O 0 0 és az 0 I 0 mátri. Jelölje A A A. a) Oldd meg az egyenletrendszert a esetén! b) Igazold az 8 teljesíti az 7. Adott a A A a A a I O egyenlőséget! c) Határozd meg az a értékét, ha az A mátri 9I egyenlőséget! y 4z 5 y z 0 5 4y 7z 4 5 B meg az. Jelölje, egyenletrendszer, ahol,, A az egyenletrendszer mátria, valamint S a B mátri elemeinek összegét. a) Számítsd ki: S 0,0. b) Határozd és valós számokat, ha az A mátri determinánsa nulla és S,. c) Ha 0 és 0, oldd meg az egyenletrendszert! 4

5 ay z 0 a 8. Adott az 4y z 6 egyenletrendszer, ahol a és A = 4 az egyenletrendszer y z 6 mátria. a) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátri invertálható! b) Számítsd ki az A mátriot, ahol A 9. Adott az A A. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha a. ay z a y z egyenletrendszer, ahol a és ay a z a A a az a a egyenletrendszer mátria. a) Igazold, hogy det A a 6a 5. b) Oldd meg a det A 0 egyenletet! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert a 0 esetén! 0. Adott a ay z 0 y z 0 y z 0 egyenleterendszer, ahol a valós szám, és a A a rendszer mátria. a) Számítsd ki a 0 esetén az A mátriot, ahol A A A. b) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátri invertálható! c) Oldd meg az egyenletrenszert a valós számok halmazán, ha a \ 4.. Adott az y z 0 a y 4z 0 egyenletrendszer, ahol a a 4y 6z 0, és A a 4 a rendszer mátria. a) a 4 6 Számítsd ki az A mátri determinánsát a esetén! b) Határozd meg azon a valós számok halmazát, amelyekre det 0 a \,4. A. c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha fura feladatok. Az Oy derékszögű koordináta rendszerben adottak az O (0,0) és An ( n, ) pontok, n. a) Igazold, hogy az O, A, A pontok kollineárisak! b) Hány egyenes megy át legalább két ponton az O, A0, A, A pontok közül? c) Számítsd ki az An, An, An pontok által meghatározott háromszög területét, n.. Az Oy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az O (0,0) és An ( n,n ) pontok, ahol n. b) Számítsd ki az OA A háromszög területét! c) Bizonyítsd be, hogy az An ( n,n ), n pontok kollineárisak! n n 4. Az Oy derékszögű koordináta rendszerben tekintsük az A n log, log9 és B (, ), n n n n pontokat. a) Határozd meg a B és B pontokon átmenő egyenes egyenletét! b) Igazold, hogy An Bn, bármely n esetén! c) Bizonyítsd be, hogy az A n pont rajta van az AA egyenesen bármely n esetén! 5. Az Oy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az O (0,0) és az An ( n,n ) pontok, n. a) Határozd meg az A és A pontokon átmenő egyenes egyenletét! b) Számítsd ki az OA0A háromszög területét! c) Bizonyítsd be, hogy az A, A és A n pontok kollineárisak bármely n, n esetén! n XII-es algebra 5

6 6. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4 4y műveletet. a) Igazold, hogy y ( 4)( y 4) 4, bármely y, esetén! b) Számítsd ki az valós szám esetén az ( 4) értékét! c) Számítsd ki a ( 009) ( 008) értékét, ha a művelet asszociatív! 7. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 6 6y műveletet. a) Igazold, hogy y ( )( y ), bármely y, esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Számítsd ki az 009 értékét, ha a művelet asszociatív! 8. Tekintsük a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a Z6 Z 0,,,, 4, 5. a) Oldd meg a Z6 halmazon a ˆ 5ˆ ˆ Z gyűrűt, ahol ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 halmazban az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst! c) Oldd meg a Z6 halmazon a ˆ y 4ˆ ˆ y 5ˆ egyenletrendszert! 9. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely, y esetén! b) Igazold, hogy, Számítsd ki az E kifejezés értékét, ha a művelet asszociatív! bármely esetén! c) Tekintsük a G A R halmazt, ahol A 0 0, R a) Igazold, hogy A Ay A y, ahol 0 y,. b) A G halmaz a mátriok szorzásával csoportot alkot. Határozd meg a G, csoport semleges elemét! c) Igazold, hogy az f : R G, f ( ) A függvény csoportmorfizmus a R, és G, csoportok között! 4. A valós számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Határozd meg a művelet semleges elemét! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Adj példát olyan ab, \ számokra, amelyek esetén a b. 4. A valós számok halmazán értelmezzük az műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely valós szám esetén. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Számítsd ki: A valós számok halmazán értelmezzük az y y 7( y) 4 műveletet. a) Számítsd ki: ( ). b) Igazold, hogy y ( 7)( y 7) 7, bármely y, esetén! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet, ha a ismert, hogy a művelet asszociatív. 44. Adott az M [ k, ) R, k R halmaz és értelmezzük az y y k( y) k k műveletet, bármely y, esetén. a) Határozd meg a k értékét úgy, hogy. b) k esetén oldd meg az M halmazon az 6 egyenletet! c) Igazold, hogy y M, bármely, y M esetén! 6

7 45. Adott az a 0 a M A( a) ar a 0 a halmaz. a) Igazold, hogy A( a) A( b) A( ab), bármely a és b valós szám esetén! b) Igazold, hogy az A semleges elem a mátriok szorzására nézve az M halmazon! c) Számítsd ki az A() M elem inverzét a mátriok M halmazon tekintett szorzására nézve! 46. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y és y y ( ) műveleteket. a) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenletet! b) Határozd meg az a egész számot úgy, hogy teljesüljön az egyenletrendszert, ahol y,. ( y) 4 a egyenlőség bármely egész szám esetén! c) Oldd meg az ( y) A valós számok halmazán értelmezzük az y y y y 5 y műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy, bármely,y esetén! b) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet, ha ismert, hogy a művelet asszociatív! 48. A valós számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Oldd meg az egyenletet, ahol. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! 49. A valós számok halmazán értelmezzük a y y m műveletet, ahol m valós szám. a) Igazold, hogy a művelet asszociatív! b) Határozd meg az m számot úgy, hogy az e 6 semleges elem legyen a műveletre nézve! c) Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön a egyenlőség! m 50. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold hogy a művelet asszociatív! b) Igazold, hogy bármely,y, esetén ha teljesül az a a egyenlőség bármely esetén! y,. c) Határozd meg az a számot, 5. Az R halmazon értelmezzük az y y y műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy y y y számok halmazán az, bármely,y. b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Oldd meg a valós 0 egyenletet! 5. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Oldd meg a valós számok halmazán az 4 0 egyenletet! b) Határozd meg az a számot úgy, hogy teljesüljön az a a a 408 egyenlőség bármely esetén! c) Számítsd ki az értékét, ha tudjuk, hogy a művelet asszociatív! 5. A Z halmazon értelmezzük az y y, y a by műveleteket, ahol abz,, valamint az f : Z Z, f függvényt. a) Igazold, hogy, bármely Z esetén! b) 7

8 Határozd meg az abz, számokat úgy, hogy a művelet asszociatív legyen! c) Ha ab igazold, hogy az f függvény morfizmus a, csoportok között!, és 54. Adott a G a b a,b R, a b halmaz. a) Igazold, hogy G. b) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy a G halmaz bármely elemének van inverze a G halmazban a valós számok szorzására nézve! 55. A valós számok halmazán értelmezzük az y y meg az halmazban az műveletet. a) Számítsd ki: egyenletet! c) Igazold, hogy ha y z z, akkor y.. b) Oldd 56. A R halmazon értelmezzük az művelet asszociatív! c) Igazold, hogy ha A valós számok halmazán értelmezzük az y y Igazold, hogy y y y y műveletet. a) Számítsd ki: 0. b) Igazold, hogy a R és n 0 n, bármely n N esetén, akkor R. és y y y műveleteket. a) bármely y, esetén! b) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( ) egyenletet! c) Oldd meg az egyenletrendszert! y 0 y y, y, 58. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y ( y ), bármely, y esetén! b) Határozd meg azokat a valós számokat, amelyekre 5. c) Számítsd ki: ( 009) ( 008)... ( ) , ha a művelet asszociatív! 59. Adott a G a b a, b, a b halmaz! a) Igazold, hogy G. b) Igazold, hogy a valós számok szorzására nézve a G halmaz minden elemének van inverze a G ben! c) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! 60. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 8 8y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y 4 y 4 4, bármely, y. esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az 6 egyenletet! c) Számítsd ki , ha a művelet asszociatív. 6. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y és y y y műveleteket. a) Igazold, hogy y y műveletre nézve!, bármely y, esetén! b) Számítsd ki az elem inverzét a c) Oldd meg az y y 7 6 egyenletrendszert, ahol y,. 6. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Határozd meg az valós számot úgy, hogy teljesüljön az 5 6 egyenlőség! c) Adj példát két olyan ab, \ számra, amelyekre a b. 8

9 6. A G, halmazon értelmezzük az y y y y y,, y G y G 6 műveletet. a) Igazold, hogy. b) Igazold, hogy,, y G. c) Igazold, hogy a G halmaz minden eleme invertálható a műveletre nézve! 64. A G 0, \ halmazon értelmezzük az ln y, y, y G műveletet. a) Határozd meg az e 8 egyenlet valós megoldásainak halmazát, ahol e a természetes logaritmus alapja! b) Igazold, hogy y G,, y G. c) Igazold, hogy a művelet asszociatív a G halmazon! 65. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 6 6y műveletet. a) Igazold, hogy y y bármely y, esetén! b) Oldd meg az 5 5 egyenletet a valós számok halmazán! c) Határozd meg az invertálható elemeket a műveletre nézve! 67. Adott a G a b a, b, a b halmaznak! halmaz. a) Vizsgáld meg, hogy 0 és eleme-e a G b) Igazold, hogy y G, bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy ha G, akkor G. 68. A halmazon értelmezzük a y y asszociatív műveletet. a) Számítsd ki a értékét! b) Oldd meg az halmazon az 0 n n n egyenlőtlenséget! c) Adott az A n n és C C C n 6 halmaz. Határozd meg az A halmaz elemeinek számát! 69. A G, halmazon értelmezzük az egyenletet! b) Igazold, hogy y bármely, y G esetén y G. y y y műveletet. a) Oldd meg G halmazban az 4 5 y y y y bármely, y G esetén! c) Igazold, hogy 70. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! c) Határozd meg az n, n számot, ha n n C C. 8,, a maradékosztályok gyűrűje modulo 8. a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az S ˆ ˆ ˆ 4ˆ 5ˆ 6ˆ 7ˆ összeget! b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát! c) Oldd 7. Legyen ˆ ˆ meg a 8 gyűrűben a 5ˆ y egyenletrendszert! ˆ ˆy 5ˆ 9

10 7. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y Oldd meg az egész számok halmazán az Oldd meg az y y 4 0 és az y y y egyenletet! b) Igazold, hogy. c) egyenletrendszert, ahol y,. műveleteket. a) 7. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y műveletet. a) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Igazold, hogy, kommutatív csoport! b) Oldd meg az... = egyenletet az egész számok halmazán! 6szor 74. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y 6 y y,, y. b) Igazold, hogy, bármely E kifejezést, ha a művelet asszociatív. 75. A G, halmazon értelmezzük az f :, 0,, f Igazold, hogy a művelet asszociatív! műveletet. a) Igazold, hogy y y műveletet. a) Számítsd ki: y esetén! c) Számítsd ki az függvény. Igazold, hogy f y f f y, bármely, 76. A valós számok halmazán értelmezzük az y y y y y y műveleteket. a) Igazold, hogy,.. b) Adott az 6 és y G esetén! c) b) Ha e a semleges elem a műveletre nézve e pedig a a semleges elem a műveletre nézve, számítsd ki az e e e e összeget! c) Adott az f :, f a y, esetén! függvény. Határozd meg az a számot, ha f y f f y 77. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4,, bármely műveletet. a) Igazold, hogy bármely ˇ esetén! b) Igazold, hogy e 4 semleges elem a műveletre nézve! c) Határozd meg az halmaz invertálható elemeit a műveletre nézve! 78. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y, y a y műveleteket, ahol a, valamint az függvényt. a) Számítsd ki: 0 f :, f 6. b) Határozd meg azt az a egész számot, amelyre a művelet asszociatív! c) Igazold, hogy a esetén az f függvény morfizmus a, és, csoportok között! 79. A valós számok halmazán értelmezzük az y y ay b, a, b műveletet. a) Határozd meg a számot úgy, hogy a művelet kommutatív legyen! b) Igazold, hogy a és b 6 esetén a műveletre nézve van semleges elem! c) Határozd meg az a és b számokat, ha ( ), bármely esetén! 0

11 80. A valós számok halmazán értelmezzük az y y 4 4y műveletet. a) Igazold, hogy ( y z) ( y) z, bármely, y, z esetén! b) Bizonyítsd be, hogy ( 4) y 4, bármely y, esetén! c) Számítsd ki: ( ) ( 4) 5 ( 6). 8. Adottak az Igazold, hogy I A G, ahol I Igazold, hogy G A,, mátriok, valamint a G A ( ) a mátriok szorzásával csoportot alkot! M halmaz. a) b) Igazold, hogy A Ay A y bármely y, esetén! c) 8. Az egész számok halmazán értelmezzük az y y 7 7y 4 műveletet. a) Határozd meg a semleges elemet a műveletre nézve! b) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenlőtlenséget! c) Igazold, hogy a művelet asszociatív! 8. A pq, számok esetén értelmezzük az egész számok halmazán y p y és y y műveleteket, valamint az : f, f q függvényt. a) Határozd meg a p egész számot úgy, hogy a művelet kommutatív legyen! b) Oldd meg az egész számok halmazán az egyenletet, ha p. c) Határozd meg a q között, ha p. egész számot úgy, hogy az f függvény morfizmus legyen a, és, csoportok 84. A valós számok halmazán értelmezzük a y y y hogy y y műveletet. a) Igazold, , bármely y, esetén! b) Határozd meg a semleges elemet műveletre nézve! c) Számítsd ki: , ha a művelet asszociatív. 85. A valós számok halmazán értelmezett az y y 6 6y 4 asszociatív művelet. a) Igazold, hogy y 6 y 6 6, bármely, y esetén! b) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletet! c) Számítsd ki: A valós számok halmazán értelmezzük az y y y műveletet. a) Igazold, hogy y y, bármely y, esetén! b) Igazold, hogy a művelet asszociatív! c) Számítsd ki: Adott a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a gyűrű, ahol 6 0, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 4, ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst 6 -ban! c) Oldd meg a y 4 egyenletrendszert, ˆ y 5ˆ

12 ahol y, Adottak az 4 f X ax 8X bx 96, Polinomok g X X 4 és h ( X X 4)( X 4) valós együtthatójú polinomok. a) Határozd meg a h polinom algebrai alakját! b) Határozd meg az ab, értékeket úgy, hogy az f és h polinomok egyenlők legyenek! c) Oldd meg en a egyenletet! 89. Adottak az f X ax X és g X polinomok a Z 5 [ X] gyűrűben. a) Határozd meg az a 5 értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen g polinommal! b) Igazold, hogy a esetén f ( X )( X ). c) Oldd meg a ( Z 5,, ) gyűrűben az f( ) 0 egyenletet, ha a. 90. Adottak az f, g 5[ X ], f (a b) X X a b és g X X a b polinomok. a) Határozd meg az ab, 5 értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen! b) Számítsd ki az f (0) f () f () f () f (4) összeget, ha ab. c) Oldd meg a 5 ha ab. 9. Adottak az f, g [ X ], 0 0 f ( X ) ( X ) és halmazban az f ( ) 0 egyenletet, g X X polinomok. a) Bontsd fel a g polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon! b) Igazold, hogy az f polinom nem osztható a g polinommal! c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát! 4 9. Adott az f X mx n polinom, mn,. A polinom gyökei,,, 4. a) Határozd meg mn, értékeket, ha 0 és az f polinom gyökei! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy a polinom gyökeire teljesüljön az 4 összefüggés! c) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon, ha m és n. 9. Adottak az 4 f X ax bx 5X 6 és g X X racionális együtthatójú polinomok. a) Határozd meg ab, értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal! b) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ X ] halmazon, ha a és b. c) Oldd meg a valós számok halmazán a 94. Az egyenletet! f X 9X X 9 polinom gyökei,,. a) Határozd meg az f polinomnak az X polinommal való osztási maradékát és hányadosát! b) Igazold, hogy Oldd meg a valós számok halmazán az f ( ) 0 egyenletet! 95. Adott az 9( ) 8. c) n n n f X ax 5X 4 racionális együtthatójú polinom és az Sn összeg, ahol n és,, az f polinom gyökei. a) Határozd meg az a racionális számot úgy, hogy az f

13 polinomnak az egyik gyöke legyen! b) Oldd meg az f( ) 0 egyenletet, ha a 4. c) Igazold az S 4 4S 5S egyenlőséget, ha a Az [ X ] halmazban adottak az 4 f X X X X és g X X polinomok. a) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát és maradékát! b) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor szám! 97. Adottak az y y. c) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor f( y ) nem racionális 5 f X X X 4 [ X ] és 5 g X X X [ X ] polinomok. a) Számítsd ki az f(0) f() összeget! b) Oldd meg a 5 halmazban az f( ) 0 egyenletet! c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát! 98. Adott az 7, f X f mx X X m polinom. a) Határozd meg az m értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g X polinommal! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy f legyen! c) Számítsd ki az f polinom gyökeinek négyzetösszegét, ha m Az 4 ( ) 6 4, f X f X ax a X X polinom gyökei,,, 4. a) Határozd meg az a értékét úgy, hogy 4 legyen! b) Határozd meg az a értékét úgy, hogy a polinom osztható legyen az X polinommal! c) a esetén bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az X halmazon! 00. Adott az ( ), f X f X m X X polinom. a) Határozd meg az m értékét úgy, hogy a polinom gyökeinek összege legyen! b) Határozd meg az m értékét úgy, hogy az gyöke legyen a polinomnak! c) Ha m 0 bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ X ] halmazon! 0. Adott az 4, f X f X ax ax polinom. a) Határozd meg az a számot úgy, hogy legyen, ahol,, az f polinom valós gyökei! b) Határozd meg az a számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az f polinomnak legyen egy pozitív racionális gyöke! 0. Adott az polinomnak! b) Ha \. 4 X polinommal! c) Határozd meg az a számot úgy, hogy az f X ax X polinom, ahol a. a) Határozd meg az a számot, ha gyöke az f 0. Adottak az f, g X a, határozd meg az f polinom valós gyökeit! c) Igazold, hogy f 0, f X és g X polinomok, valamint a H a bx cx a, b, c halmaz. a) Igazold, hogy g 5, bármely f. b) Határozd meg az f g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát és hányadosát! c) Határozd meg a H halmaz elemeinek számát!

14 04. Adott a X f Z, h X X Z polinomgyűrű. a) Ha g Z X, g X X, számítsd ki g ˆ0 f X X, igazold, hogy 0 harmadfokú polinomot, amelyekre h ˆ h ˆ h ˆ Adott az értékét! b) Ha f, bármely esetén! c) Határozd meg az összes olyan 0 0. f 4X 4mX m 7 X 4mX 4 polinom, ahol m. a) Határozd meg az m számot, ha gyöke a polinomnak! b) Határozd meg az m számot, ha a polinom gyökeinek összege 0. c) Ha m 5, oldd meg a valós számok halmazán az f 0 egyenletet! 06. Adott az f X X a polinom, ahol a. a) Ha 0 b) Igazold, hogy f X X a X X a az f polinom minden gyöke valós! a, oldd meg az f 0 egyenletet!. c) Határozd meg azon a számokat, amelyekre Adott az a a 0 egyenlet, melynek megoldásai,,, 4, ahol a. a) Határozd meg az a számot, ha 4 5. b) Ha a, határozd meg az egyenlet valós megoldásait! c) Határozd meg az a egész szám azon értékeit, amelyekre az egyenletnek legalább egy megoldása egész szám! 08. Adott az f X 4 X 5, f X polinom. a) Bizonyítsd be, hogy f X 6. b) Igazold, hogy a polinomnak nincsenek egész gyökei! c) Bontsd fel a polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az R X halmazon! 09. Adottak az 5 és 009 f X X g a X a X a X a, ahol 0,,..., 009 g X 6 X 6 polinomok. A g polinom algebrai alakja a a a. a) Számítsd ki az f 5 g5 összeget! b) Igazold, hogy az a0 a... a009 szám negatív! c) Számítsd ki a g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát! 0. Adott az f X, f X X ax 8 polinom. a) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az f polinom egyik gyöke legyen! b) Ha a 4, számítsd ki az f polinomnak a osztási hányadosát és maradékát! c) Igazold, hogy ha a, valós!. Adott az az f polinomnak az g X X 4 polinommal való, akkor az f polinom nem minden gyöke 4 f X X ax bx c polinom, ahol abc,,. a) Ha ac és b határozd meg számokat, ha az f polinomnak az X gyel való osztási maradéka. c) Igazold, hogy ha valós! polinommal való osztási maradékát és hányadosát! b) Határozd meg az a, b, c. Adott az f X 4 X ax bx c X X -gyel való osztási maradéka X, valamint az f polinomnak X - a,, akkor az f polinomnak nem minden gyöke polinom, amelynek gyökei,,, 4. a) Számítsd ki az 4 összeget! b) Ha a, b és c 0, számítsd ki az f polinom gyökeit! c) Ha az f polinom gyökei számtani haladványt alkotnak, igazold, hogy ba. 4

15 . Az X halmazban adott az ki f p f X px polinom, ahol p. Az f gyökei,,. a) Számítsd értékét! b) Határozd meg a p számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az X polinommal! c) Számítsd ki az összeget a p függvényében! 4. Adottak az,, valós számok, amelyekre teljesülnek az ; ; és egyenlőségek. a) Számítsd ki az szorzatot! b) Határozd meg abc,, számokat úgy, hogy,, az a b c 0 egyenlet gyökei legyenek! c) Bontsd fel az 4 polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az f X X X 5. Adott az Határozd meg, számát! halmaz. a) Számítsd ki M f X f X ax b ab értékét úgy, hogy f f 6. Az X gyűrűben adott az f X halmazban! f értékét, ha ab. b) 0. c) Határozd meg az M halmaz elemeinek f X X 5 polinom, amelynek gyökei,,. a) Számítsd ki az értéket! b) Számítsd ki azt az a számot, amelyre az f polinom X a polinommal való osztási maradéka 5. c) Számítsd ki az 7. Adott az f X X mx, f X n n n n determinánst! polinom, amelynek gyökei,,. Jelölje S, ahol n. a) Számítsd ki azt az m valós számot, amelyre. b) Igazold, hogy S S ms 0. f, g X, f X X X X és g X X X polinomok. a) Igazold, hogy 8. Adottak az 4 f X g. b) Számítsd ki a g polinom valós gyökeit! c) Számítsd ki az f a értékét, ha a a g polinom egyik gyöke! 9. Adott az, f f X f X px qx r polinom, amelynek gyökei,,. a) Számítsd ki az 0 f különbséget! b) Számítsd ki az Igazold, hogy a kifejezést pqr,, függvényében! c) g X X X polinomnak nem minden gyöke valós! f, g X, f ˆ X 4ˆ X ˆ X és g X ˆ X polinomok. a) Számítsd ki 0. Adottak az f ˆ ˆ 5 g 0. b) Igazold, hogy f (ˆ X ) ˆ g ˆ X ˆ. c) Határozd meg az f polinom 5 halmazban levő gyökeinek számát!. Adott az f X X X polinom, amelynek gyökei,,, és a g X X polinom, amelynek gyökei y, y. a) Számítsd ki az S S különbséget, ha S és S y y. b) 5

16 Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát és hányadosát! c) Számítsd ki az f y f y szorzatot!. Adott az osztható a 4 f X X polinom, amelynek gyökei,,, 4. a) Igazold, hogy az f polinom g X polinommal! b) Számítsd ki az S P szorzatot, ahol S 4 és P 4. c) Számítsd ki a. Legyen T összeget! 8,, a maradékosztályok gyűrűje modulo 8. a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az S ˆ ˆ ˆ 4ˆ 5ˆ 6ˆ 7ˆ összeget! b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát! c) Oldd meg a 8 gyűrűben a ˆ5 ˆ y ˆ ˆ ˆy 5ˆ 4. A polinomok X halmazában adott az Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert! 6 és a f X mx nx hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal. c) Számítsd ki a P f f f f szorzatot, ha m 4 és n. g X X X polinom. a) 0 egyenletet. b) Határozd meg az mn, számokat úgy, 5. Adott a 6,, gyűrű. a) Számítsd ki az invertálható elemek számát a 6,, gyűrűben értelmezett szorzási műveletre nézve! b) Legyen S a ˆ ˆ 5ˆ egyenlet megoldásainak összege, és P az, 6 egyenlet megoldásainak szorzata. Számítsd ki az S P összeget! c) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 6,, gyűrű valamely eleme megoldása legyen az ˆ0 egyenletnek! Adott az f X, f ( X ) X X polinom, amelynek algebrai alakja f a X a X a X a. a) Számítsd ki az a 0 értékét! b) Igazold, hogy f () + f ( ) páros egész szám! c) Határozd meg az f polinom valós gyökeinek számát! 7. Adottak az f, g X, f X X a és g( ) X X polinomok, ahol a. a) A valós számok halmazán oldd meg az f ( ) g( ) egyenletet a esetén! b) Számítsd ki az f polinom gyökeit, ha a polinomnak van egy kétszeres pozitív gyöke! c) Oldd meg az 8. Adott a 6,, egyenletet! b) Számítsd ki a ahol y, 6. gyűrű, ahol 6 0, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ 4, ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f ( ) 5 e g egyenletet, ha a.. a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ 5ˆ ˆ ˆ ˆ determinánst 6 -ban! c) Oldd meg a y 4 egyenletrendszert, ˆ y 5ˆ 6