10.M ALGEBRA < <

Átírás

1 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < < Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész szám eseté.* Igazoljuk, hogy egy ( + ) <... alakú szám tetszőlegese közel lehet az -hez 5.** Igazoljuk, hogy tetszőleges pozitív egész szám eseté = ( ) 6. Oldjuk meg a valós számok halmazá: ( + ) = Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 8. Oldjuk meg a valós számok halmazá: = = + 6

2 9. Oldjuk meg az alábbi egyeletet a valós számok halmazá: y + y = y 0. Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert: + 6 = y, y y + 6 =..* Oldjuk meg az alábbi egyeletet: = 0. Oldjuk meg a valós számok körébe a = c + egyeletet, ahol a c paraméter értéke egész szám. Mekkora az a és b paraméterek értéke, ha a következő egyeletek végtele sok valós megoldása va? + a + b + =. Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok körébe: ahol a valós paraméter a a + =, 5. Oldjuk meg az alábbi egyeletet a valós számok halmazá: = + 6.* Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: a) 5 + =, b) 9 = 60

3 7.* Oldjuk meg az egyeletet a valós számok halmazá = Határozzuk meg a következő kifejezések potos értékét: 9. Legye a) , b) f ( ) =. Mivel egyelő f( f(f(9)) ), ahol a zárójel-párok száma 00? 0. Oldjuk meg a valós számok körébe a egyeletet + + =. Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: =. Oldjuk meg a valós számok halmazá: + =. Oldjuk meg a valós számok körébe az alábbi egyeletet:. Oldjuk meg a valós számok halmazá: + = =

4 5. Oldjuk meg az alábbi egyeletet a valós számok körébe: + = 0 6. Oldjuk meg a valós számok halmazá: 6 + = 5 6 ( )( ) 7. Milye valós értékekre teljesül a egyelet? = Mely valós számokra teljesül a következő egyelőtleség? A p paraméter milye értékeire lesz potosa egy megoldása a egyeletek? + = p 0.* Dötsük el, hogy az alábbi számok közül melyik a agyobb, ha számokat jelölek: a,...,, a a pozitív a a a + vagy a + a a?.* Az a, b, c valós számok összege 7 és egyik sem kisebb, mit. Igazoljuk, hogy ekkor a + b + c.* Előállítható-e a valamely a ill. b racioális számok segítségével a + b alakba?

5 5 EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMIKUS KIFEJEZÉSEK. Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: = 8, a) ( ) ( ) b) ( ) + ( + ) = 6. Oldjuk meg a valós számok halmazá: = + 9. Oldjuk meg a valós számok halmazá: = 5. Oldjuk meg a valós számok halmazá a következő egyeletet: = Oldjuk meg a valós számok halmazá az alábbi egyeletredszert: y + y+ + =, y+ + y 5 = 6. Oldjuk meg a valós számok halmazá a következő egyeletet: = * Bizoyítsuk be, hogy mide pozitív valós számra teljesül az egyelőtleség < 8.* Határozzuk meg az összes olya, pozitív egészekből álló (, y) y y y = 0 számpárt, amelyekre

6 6 9. Igazoljuk a következő egyelőtleséget: 0. Bizoyítsuk be, hogy az log5 6 + log log log8 5 > y = log ( 7 ) egyeletű görbe potosa egy rácspoto halad át. Bizoyítsuk be, hogy mide -él agyobb, tetszőleges, y, z valós számra teljesül, hogy log y yz log z y z log yz yz. Oldjuk meg a valós számok halmazá a következő egyeletet:. Oldjuk meg az ( 5 ) lg ( 5 ) + + = ( + ) = log egyeletet a pozitív számok körébe.* Igazoljuk, hogyha a, b és c pozitív számok, akkor a a b b c c a b+ c b c+ a c a+ b 5.* Igazoljuk, hogy az összeg em korlátos s = lg + lg lg ( + )

7 7 POLINOMOK. Botsuk fel valós együtthatójú poliomok szorzatára a következő poliomot: + p + q, ahol p és q olya valós számok, melyekre p q < 0. Legye t adott valós szám. Botsuk fel valós együtthatós másodfokú téyezők szorzatára az + t + kifejezést. Adjuk meg azokat az egész számokat, amelyekre az poliom értéke prímszám Bizoyítsuk be, hogy az f ( ) 6 5 = + + poliomfüggvéyek ics valós zérushelye + 5. Va-e valós gyöke a poliomak? p( ) = + 6. Oldjuk meg a valós számok körébe a) + = 0, b) = Oldjuk meg a valós számok körébe a) = + 0, b) = 0.

8 8 8. Tudjuk, hogy az + a + b = 0 egyeletek, ahol a és b adott valós számok, két külöböző valós gyöke va. Mutassuk meg, hogy akkor az egyeletek külöböző valós gyöke va ( b ) a + a = 9.* a) Igazoljuk, hogy az = 0 egyeletek va -él agyobb valós gyöke b) Ezt a valós gyököt -val jelölve számítsuk ki a kifejezés potos értékét 0.* Oldjuk meg a valós számok körébe a) + + =, b) + = 0.. Írjuk fel olya egész együtthatós poliomot, amelyek egyik gyöke a) +, b) +.** Igazoljuk, hogy található olya egész együtthatós poliom, amely a) egyedfokú és gyöke a + +, 5 5 b) ötödfokú és gyöke az + +, c) -ed fokú és gyöke az + +, ahol, egész. Mutassa meg, hogy a valós számok halmazá értelmezett ( ) = + a + b c f + függvéy grafikojá bármely valós a, b, c paraméter eseté va olya pot, amelyre a görbét tükrözve, az ömagába megy át

9 9.* Az és y olya valós számok, hogy y y + 5 =, + 5y = 5. Határozzuk meg + y értékét 5. Létezek-e olya, y és z pozitív számok, hogy + y + z =, ( )( y)( z) = yz? 6.* Bizoyítsuk be, hogy az y y y = 0, + y = egyeletredszerek ics megoldása valós számokba 7. Az, y, z számok pozitívak, továbbá y + y + = 5, y + z = 9, z + z + = 6. Határozzuk meg az y + yz + z kifejezés potos értékét 8. Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert a valós számok körébe: ( c + d + e) ( d + e + a) ( e + a + b) ( ) a + b + c ( b + c + d ) = a, = b, = c, = d, = e.

10 0 9.* Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert a valós számok halmazá: + y = y, y + y z = z, z + z =. 0. Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert a valós számok körébe: + y = z, + y = z, 5 + y = z..* Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá:. Adjuk meg azt az főegyütthatójú, legalacsoyabb fokszámú p( ) poliomot, melyre igaz, hogy ( ) -gyel osztva ( + ) -et, míg ( ) -gyel osztva ( ) et ad maradékul 5 + 5y =.. Határozzuk meg az összes olya k értéket, melyre + y + z osztója lesz az + y + y =, poliomak + y + z + kyz. Oldjuk meg az alábbi egyeletet a valós számok körébe, ha tudjuk, hogy + y + y + y = 5. Keressük meg az összes olya valós együtthatós P poliomot, amelyre a azoosság teljesül P ( + ) = P( ) a) Adjuk meg az összes olya valós együtthatós f ( ) poliomot, amelyre ( ) ( 00) ( ) f = f

11 b) Va-e olya valós együtthatós f ( ) poliom, amelyre ( ) ( ) ( ) f = + f? 7. Melyek azok a valós együtthatós p() poliomok, amelyekre a poliomok azoosak? p( ) p( + ) és p ( + p( )) 8.* A p() olya -ed fokú poliom, hogyha k = 0,,,...,, akkor k p ( k ) =. k + Határozzuk meg p ( + ) -et 9.* Jelöljö az ( ) f -ed fokú egész együtthatós poliomot, ahol. Tudjuk, hogy a poliomak darab valós gyöke va a ] 0;[ itervallumba úgy, hogy em mide gyök azoos. Jelölje a az f ( ) főegyütthatóját. Igazoljuk, hogy a + 0.* Adjuk meg olya, mide valós számra értelmezett f és g, legalább másodfokú poliomfüggvéyeket, amelyekhez em létezik olya h : függvéy, hogy ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) h f + h g = g f. Létezik-e olya poliom, amely mide egész helye egész értéket vesz fel és főegyütthatója?.** A () P poliom sorozatot a következő rekurzióval defiiáljuk: P ) = 0, P ( ) és P ) = P ( ) + ( ) P ( ). 0 ( = ( Határozzuk meg P () gyökeit. Va-e olya p() egész együtthatós poliom, amelyre p ( ) =, p() = 7, valamit p() - ek va egész gyöke?

12 . A p() egész együtthatós poliom olya, hogy létezik égy, párokét külöböző egész szám: a, b, c és d úgy, hogy p( a) = p( b) = p( c) = p( d) = 5. Lehetséges-e, hogy valamely egész szám eseté p( ) = 8? 5. Az a, b, c párokét külöböző pozitív egészek, a p() poliom. Lehetséges-e, hogy p ( a) = b, p ( b) = c és p ( c) 6. Határozzuk meg a P ( ) abszolútértéke kisebb, mit 000, továbbá 7. pedig egész együtthatós = a egyszerre teljesüljö? egész együtthatós poliom kostas tagját, ha tudjuk, hogy ( ) P ( ) P 9 = 9 = 99 Va-e olya p() egész együtthatós poliom, amelyre p ( 0) = 00, ( ) p ( 8) = 50? p = 0 és 8. Az egész együtthatós p() = a + b + c + d + e poliomról tudjuk, hogy mide egész számra p() osztható 7-tel. Igazoljuk, hogy akkor a, b, c, d és e is osztható 7-tel 9.* Legye f ( ) = +. Igazoljuk, hogy mide egész eseté az számok párokét relatív prímek 0.* ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) f, f f, f f f,... Va-e olya f ( ) szám eseté az ( ) ( ( )) ( ( )).* egész együtthatós, 00-ad fokú poliom, amelyre bármely egész ( ) f, f f, f f f,... számok párokét relatív prímek? a) Létezik-e olya 00-edfokú egész együtthatós f ( ) valós -re f ( ) = f ( ) teljesül? b) Ugyaerre a kérdésre mi a válasz az f ( ) f ( ) poliom, hogy végtele sok = feltétel mellett?

13 . P = + + Mutassuk meg, hogy végtele sok olya pozitív egész Legye ( ) szám va, melyre em osztható P ( + ) -el. Legye P ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) P P P P legalább elsőfokú, egész együtthatós poliom, melyek a főegyütthatója pozitív. Igazoljuk, hogy bármely k pozitív egész számhoz található olya egész szám, hogy a számok mid összetettek ( ), ( + ),..., ( + ) P P P k. Mutassuk meg, hogy bármely egész együtthatós -él agyobb fokszámú P Q ( ) P ( ) poliomhoz található olya egész együtthatós Q( ) poliom úgy, ( ) felbotható kostastól külöböző egész együtthatós poliomok szorzatára 5. A párokét külöböző, y, z számokra teljesül, hogy = y y = z z. Határozzuk meg + + y z potos számértékét 6. Tudjuk, hogy a, b és c az + = 0 egyelet valós gyökei úgy, hogy a < b < c. Igazoljuk, hogy akkor 7. Az b a = c b = a c = + a + b poliomak égy külöböző valós gyöke va. Bizoyítsuk be, hogy midegyik gyök abszolút értéke kisebb, mit 8.* Az a és b megoldásai az + = 0 egyeletek. Igazoljuk, hogy akkor ab megoldása lesz az egyeletek = 0

14 9. Jelölje, és az + p + q = 0 egyelet három megoldását. Bizoyítsuk be, hogy ekkor = 5pq Mutassuk meg, hogy az + + összeg teljes égyzet, ha, és az egyelet megoldásai, ahol pozitív egész = 0 5.* Az a + b + c + d poliom együtthatói egész számok, amelyekre teljesül, hogy ad páratla és bc páros. Tudjuk, hogy a poliom midhárom gyöke valós szám. Igazoljuk, hogy a poliom gyökei között va irracioális szám 5. Valamely főegyütthatójú harmadfokú poliomak három valós gyöke va. A gyökök szorzata -vel agyobb az összegükél, égyzetösszegük 0, köbösszegük 6. Melyik ez a poliom? 5. Az a, b, c olya egész számok, hogy az + a + b + c poliomak három párokét külöböző pozitív egész gyöke va, melyek prímszámok, továbbá az a + b + c poliomak va pozitív egész gyöke. Igaz-e, hogy a összetett szám? 5.** Az, y, z valós számok olyaok, hogy + y + z = 0 és yz =. Határozzuk meg maimális értékét y + y z + z 55.* Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert a valós számok körébe + y + z = 0, + y + z = 8, y + z = 058.

15 5 56.** a) Jelölje a p( ) = + poliom legagyobb valós gyökét. 000 Igazoljuk, hogy tizedes tört alakjába a tizedesvessző utá több, mit 00 darab 9-es számjegy szerepel b)jelölje a p( ) = + poliom legagyobb valós gyökét. Igazoljuk, hogy létezik olya pozitív egész szám, amelyre -ek egy pozitív egész 008 számtól vett eltérése kisebb, mit 0 57.** Jelölje,,..., az poliom gyökeit. Igazoljuk, hogy akkor 58.** Tekitsük az ( ) = f = + a a + valós együtthatós poliomot, ahol ai 0, továbbá tudjuk, hogy darab valós gyöke va. Igazoljuk az alábbi állításokat a) f ( ), b) f ( ) ( ) +, ha 0, c) ak, ha,,..., k k =. 59.* Határozzuk meg az összes olya pozitív egész számot, melyre igaz, hogy va olya ± ± ±... ± ± alakú poliom, melyek mide gyöke valós szám 60. Létezik-e olya pozitív egész, hogy si( ) felírható a si poliomjakét? 6.** A P ( ) valós együtthatós poliom olya, hogy P ( ) 0 Igazoljuk, hogy létezik olya Q( ) és R ( ) teljesül mide valós -re. valós együtthatós poliom, hogy mide valós eseté ( ) = ( ) + ( ) P Q R 6.*** Határozzuk meg az összes olya valós együtthatós ( ) hogy mide valós -re ( ) ( ) ( ) f f + = f + + f poliomot, amelyre teljesül,