A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u"

Máté Kerekes
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f { v u : u T } : E( v) 6 Tétel ( ) Legye ( ) Megjegyzés: A tétel em bztosít egyértelmûséget R T u IR : u és u < vagy u Tektsük például az ( ) halmazt Az ( ) { } I teret és a : ( ) < potot legjobba közelítõ T -bel potok ( ) és ( ) 6 Defícó A T V halmaz szgorúa kovex ha u u T u u a λ u + λ u : < λ halmaz potja a T belsõ potja { ( ) } < 6 Tétel (!) V ormált tér T V T szgorúa kovex és kompakt halmaz Ekkor v V! u ~ T legjobba közelítõ elem 6 Tétel ( ) Legye ( ) Legye ( ) w W ~ legjobba közelítõ elem 6 Defícó A ( ) V ormált tér W V véges dmezós altér Ekkor v V V ormált teret szgorúa ormáltak evezzük ha f g V f g f + g f + g eseté λ IR hogy g λ f azaz f g leársa összefüggõ Megjegyzés: Ha egy ormált térbe a orma skalárs szorzatból származk akkor szgorúa ormált 6 Tétel (!) V szgorúa ormált tér W V véges dmezós altér Ekkor v V! w ~ W legjobba közelítõ elem Legye ( )

2 6 Egyeletes közelítés [ a Legye V C[ a polomot melyre : W Ρ C -be : f C[ a f P [ a f : max f Keresük olya P Ρ x { f P : P Ρ } E ( f ) f : Ekkor P -et az f függvéyt egyeletese legjobba közelítõ legfeljebb -edfokú polomjáak evezzük 65 Tétel Tetszõleges f C[ a polom f P azaz m { f P : P Ρ } E ( f ) eseté! P Ρ egyeletese legjobba közelítõ : 66 Tétel (Weerstrass I approxmácós tétele) Tetszõleges f C[ a és ε > eseté! P Ρ melyre f P < ε 67 Tétel (Alteráló potok tétele) Tetszõleges f C[ a eseté P Ρ az egyeletese legjobba közelítõ polom akkor és csak akkor ha + { } x : a x x x b + potredszer melyre f ( x ) P ( x ) ε ( ) E ( f ) + + E f f P max f x P x ( ) ahol ε { } és ( ) 68 Tétel (de La Vallée-Pouss tétele) Tetszõleges f C[ a P x [ a ( ) ( ) + Q eseté tegyük fel hogy az { } x x x + potredszerre sg ( f ( x ) Q ( x )) ε ( ) ( + ) ahol { + } Ekkor bevezetve a : m f ( x ) Q ( x ) 69 Tétel Tektsük a [ ] δ + és f Q ( ) C teret ekkor x : a b ε : jelöléseket ( f ) δ m P t mo P Ρ mo ahol Ρ a legfeljebb -edfokú fõegyütthatós polomok halmazát és t az -edfokú fõegyütthatós Ifajú Csebsev polomot jelöl Bzoyítás Fogalmazzuk át a fet feladatot approxmácós feladattá P x Q ahol Q Ρ Igazoljuk hogy a Q x t feltételekek Az x Q t hbafüggvéyek + db szélsõértéke va a [ ] : polom eleget tesz az alteráló potok tételébe leírt tervallumba és ezek ± értéket veszek fel alterálva (lásd Ifajú Csebsev polomról taultak) Mvel t ezért Q az approxmácós feladat megoldása Ezzel a tételt bzoyítottuk E

3 Kdolgozott példák tervallumo egyeletese legjobba közelítõ ulladfokú polomot Megoldás Alkalmazzuk az alteráló potok tételét Keressük a P c alakú egyeletese legjobba közelítõ polomot Próbáljuk k az x x alteráló potokat írjuk fel az alterálás egyeletet x c d c d Példa Írjuk fel az f x függvéyt a [ ] x c d c d megoldása: c d Elleõrzzük az alteráló potok tételéek feltételet A : f P x egyelet x megoldása és az tervallum végpotja: x Mvel h ( ) és h ( ) így h d x h hbafüggvéy lehetséges szélsõértéke a h Tehát az egyeletese legjobba közelítõ ulladfokú polom P és ( f ) Példa Írjuk fel az f x függvéyt a [ ] E tervallumo egyeletese legjobba közelítõ elsõfokú polomot Megoldás Alkalmazzuk az alteráló potok tételét Keressük a P ax + b alakú egyeletese legjobba közelítõ polomot Próbáljuk k az x x x alteráló potokat írjuk fel az alterálás egyeletet Mvel a hbafüggvéy derválható és az tervallum belsõ x potjába a hbafüggvéyek szélsõértéke va így a h ( x ) feltételt s írjuk fel b d b d a x ax b d x x b megoldása: b d a b d a x a x x Elleõrzzük az alteráló potok tételéek feltételet A h : f P x x + hbafüggvéy lehetséges szélsõértéke a h x egyelet x megoldása és az tervallum végpotja: x x Mvel h ( ) h és h ( ) Így h d

4 Tehát az alteráló potok tétele alapjá az egyeletese legjobba közelítõ elsõfokú polom P x és E ( f ) Példa Írjuk fel az f x függvéyt a [ ] közelítõ másodfokú polomot tervallumo egyeletese legjobba Megoldás Alkalmazzuk az alteráló potok tételét Keressük a P ax + bx + c alakú egyeletese legjobba közelítõ polomot Próbáljuk k az x x x x alteráló potokat írjuk fel az alterálás egyeletet Mvel a hbafüggvéy derválható és az tervallum belsõ x x potjába a hbafüggvéyek szélsõértéke va így a h ( x ) ( ) feltételt s írjuk fel c d a x ax bx c d 9 x ax bx c d b x megoldása: 6 a b c d c x x ax b x ax b d Elleõrzzük az alteráló potok tételéek feltételet 9 A h : f P x x + x hbafüggvéy lehetséges szélsõértéke a 6 9 h x x + egyelet x x megoldása és az tervallum végpotja: 6 x x Mvel h ( ) h h és h ( ) Így h d Tehát az alteráló potok tétele alapjá az egyeletese legjobba közelítõ másodfokú 9 polom P x x + és E ( f ) 6 Példa Alkalmazzuk az 69 Tételt az f x függvéyt a [ ] tervallumo egyeletese legjobba közelítõ legfeljebb másodfokú polom elõállítására Megoldás A feladat megoldásához a t Csebsev polom meghatározása szükséges T T x A Csebsev polomokra tault rekurzót alkalmazva T x x x x és T x ( x ) x x x Ie a fõegyütthatóval ( ) osztva t x x E ( f ) és P x x x x az f -et egyeletese legjobba közelítõ legfeljebb másodfokú polom

5 5 Példa Írjuk fel az f s függvéyt a [ π] tervallumo egyeletese legjobba közelítõ -edfokú polomot π π Megoldás Rajzoljuk fel a függvéy grafkoját és vegyük észre hogy az xk + k 6 k potokba f ( ) ( ) k k 5 és f Így az alteráló ( 5) potok tétele alapjá edfokú polom x k ( ) P az egyeletese legjobba közelítõ legfeljebb - 5

Hasonló dokumentumok

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk