Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
|
|
|
- Ágoston Gábor Barta
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet november 12.
2 A feladat
3 A feladat Kalmár László Matematikaverseny, 8. osztály, országos döntő, 2001, 1. versenynap, 4. feladat
4 A feladat Kalmár László Matematikaverseny, 8. osztály, országos döntő, 2001, 1. versenynap, 4. feladat Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz:
5 A feladat Kalmár László Matematikaverseny, 8. osztály, országos döntő, 2001, 1. versenynap, 4. feladat Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2.
6 A feladat Kalmár László Matematikaverseny, 8. osztály, országos döntő, 2001, 1. versenynap, 4. feladat Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2.
7 Hogyan fogjunk neki? Három megközelítési irány:
8 Hogyan fogjunk neki? Három megközelítési irány: Általános iskolás Általános iskolás (csak(!) általános iskolás anyagot használó) megoldás keresése. Minél egyszerűbb(!?) ilyen keresése.
9 Hogyan fogjunk neki? Három megközelítési irány: Általános iskolás Általános iskolás (csak(!) általános iskolás anyagot használó) megoldás keresése. Minél egyszerűbb(!?) ilyen keresése. Középiskolás Közép/emelt szintű érettségi anyagát használó módszer keresése. Minél egyszerűbb(!?) ilyen keresése.
10 Hogyan fogjunk neki? Három megközelítési irány: Általános iskolás Általános iskolás (csak(!) általános iskolás anyagot használó) megoldás keresése. Minél egyszerűbb(!?) ilyen keresése. Középiskolás Közép/emelt szintű érettségi anyagát használó módszer keresése. Minél egyszerűbb(!?) ilyen keresése. "Lényeget" kereső A feladat "lényegének" megértése a cél. Hogy lehet egy ilyen feladatot kitalálni?
11 Az általános iskolás: mit tud, ami hasznos lehet? Mit tanul egy általános iskolás?
12 Az általános iskolás: mit tud, ami hasznos lehet? Mit tanul egy általános iskolás? MOZAIK: Sokszínű matematika - 8. TARTALOMJEGYZÉK Algebra
13 Az általános iskolás: mit tud, ami hasznos lehet? Mit tanul egy általános iskolás? MOZAIK: Sokszínű matematika - 8. TARTALOMJEGYZÉK Algebra 1. Algebrai kifejezések (emlékeztető) 2. Hogyan oldunk meg egyenleteket, egyenlőtlenségeket? 3. Többtagú algebrai kifejezések szorzása 4. Összeg, különbség négyzete (kiegészítő anyag) 5. Összeg és különbség szorzata (kiegészítő anyag) 6. Kiemelés, szorzattá alakítás 7. Algebrai törtek (kiegészítő anyag) 8. Egyenletek megoldása szorzattá alakítással 9. Vegyes feladatok
14 Az általános iskolás: első ötlet A feladat még egyszer Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2.
15 Az általános iskolás: első ötlet A feladat még egyszer Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2. Első ötlet: Szorozzunk be (a b)(a c)(b c)-vel!
16 Az általános iskolás: első ötlet A feladat még egyszer Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2. Első ötlet: Szorozzunk be (a b)(a c)(b c)-vel! a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c).
17 Az általános iskolás: első ötlet A feladat még egyszer Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2. Első ötlet: Szorozzunk be (a b)(a c)(b c)-vel! a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = Bontsuk fel a zárójeleket! = x 2 (a b)(a c)(b c).
18 Vigyázat! Könnyen így járhatunk:
19 Az általános iskolás: első ötlet a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c).
20 Az általános iskolás: első ötlet a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c). A felbontás után a bal oldalon 24 ötödfokú tag lesz (pl. a 2 x 2 b), a jobb oldalon "csak" 8.
21 Az általános iskolás: első ötlet a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c). A felbontás után a bal oldalon 24 ötödfokú tag lesz (pl. a 2 x 2 b), a jobb oldalon "csak" 8. Ez nagyon fáradságos munka, egyáltalán biztosak lehetünk abban, hogy ha végigcsináljuk, sikerrel járunk?
22 Az általános iskolás: első ötlet a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c). A felbontás után a bal oldalon 24 ötödfokú tag lesz (pl. a 2 x 2 b), a jobb oldalon "csak" 8. Ez nagyon fáradságos munka, egyáltalán biztosak lehetünk abban, hogy ha végigcsináljuk, sikerrel járunk? (Azaz összevonások után azonosságot kapunk?)
23 Az általános iskolás: első ötlet a 2 (x b)(x c)(b c)+b 2 (x a)(x c)(c a)+c 2 (x a)(x b)(a b) = = x 2 (a b)(a c)(b c). A felbontás után a bal oldalon 24 ötödfokú tag lesz (pl. a 2 x 2 b), a jobb oldalon "csak" 8. Ez nagyon fáradságos munka, egyáltalán biztosak lehetünk abban, hogy ha végigcsináljuk, sikerrel járunk? (Azaz összevonások után azonosságot kapunk?) A válasz: IGEN. Egyetemi anyag
24 Az általános iskolás: egyszerűbb megoldás?
25 Az általános iskolás: egyszerűbb megoldás? Ügyes kiemelésekkel (melyek megtalálása kellő gyakorlatot igényel), szelídíthető a számolás, de egy ilyen megoldást megtalálni lehet, hogy több idő, mint felbontani a zárójeleket.
26 Az általános iskolás: egyszerűbb megoldás? Ügyes kiemelésekkel (melyek megtalálása kellő gyakorlatot igényel), szelídíthető a számolás, de egy ilyen megoldást megtalálni lehet, hogy több idő, mint felbontani a zárójeleket.
27 A középiskolás A feladatunk 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2.
28 A középiskolás A feladatunk 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2. Megoldás. Első megfigyelés: x valamilyen szempontból megkülönböztetett szerepet játszik.
29 A középiskolás A feladatunk 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2. Megoldás. Első megfigyelés: x valamilyen szempontból megkülönböztetett szerepet játszik. Rendezzünk mindent tagot a bal oldalra, rögzítsük a, b, c-t és tekintsünk úgy a bal oldalra, mint x függvényére. 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a +b2 +c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) x 2 = 0. f (x) = 0.
30 A középiskolás Megoldás. 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a +b2 +c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) x 2 = 0. A bal oldal (rögzített a, b, c mellett) legfeljebb(!) másodfokú polinomfüggvény,
31 A középiskolás Megoldás. 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a +b2 +c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) x 2 = 0. A bal oldal (rögzített a, b, c mellett) legfeljebb(!) másodfokú polinomfüggvény, melynek jól láthatóan gyökei a, b, c.
32 A középiskolás Megoldás. 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a +b2 +c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) x 2 = 0. A bal oldal (rögzített a, b, c mellett) legfeljebb(!) másodfokú polinomfüggvény, melynek jól láthatóan gyökei a, b, c. Azt tudjuk, hogy egy másodfokú függvénynek 0, 1 vagy 2 darab gyöke lehet,
33 A középiskolás Megoldás. 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a +b2 +c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) x 2 = 0. A bal oldal (rögzített a, b, c mellett) legfeljebb(!) másodfokú polinomfüggvény, melynek jól láthatóan gyökei a, b, c. Azt tudjuk, hogy egy másodfokú függvénynek 0, 1 vagy 2 darab gyöke lehet, ennek pedig 3 (különböző) gyöke van, tehát a bal oldalon valóban az azonosan 0 polinomnak kell állnia. Készen vagyunk.
34 Egy gyakorlati probléma Adottak pontok a koordináta-rendszerben (pl. mérési eredmények), illesszünk rájuk "szép" függvényeket.
35 Egy gyakorlati probléma Adottak pontok a koordináta-rendszerben (pl. mérési eredmények), illesszünk rájuk "szép" függvényeket.
36 Egy gyakorlati probléma Adottak pontok a koordináta-rendszerben (pl. mérési eredmények), illesszünk rájuk "szép" függvényeket. Mi számít szép függvénynek?
37 Egy gyakorlati probléma Adottak pontok a koordináta-rendszerben (pl. mérési eredmények), illesszünk rájuk "szép" függvényeket. Mi számít szép függvénynek? (Sok szempontból) legszebb függvények: polinomfüggvények.
38 Egy gyakorlati probléma Probléma. Adjunk meg egy olyan legfeljebb n-edfokú p(x) polinomot, melyre különböző x 0, x 1,..., x n helyeken p(x 0 ) = c 0, p(x 1 ) = c 1,..., p(x n ) = c n. (1)
39 Egy gyakorlati probléma Probléma. Adjunk meg egy olyan legfeljebb n-edfokú p(x) polinomot, melyre különböző x 0, x 1,..., x n helyeken p(x 0 ) = c 0, p(x 1 ) = c 1,..., p(x n ) = c n. (1) Megoldás. Észrevétel: elegendő lenne olyan polinomokat találnunk, melyek az adott helyek egyikén az adott értékeket veszik fel, a többi helyen pedig 0-t, hiszen ezek összege megfelelő lenne.
40 Egy gyakorlati probléma Probléma. Adjunk meg egy olyan legfeljebb n-edfokú p(x) polinomot, melyre különböző x 0, x 1,..., x n helyeken p(x 0 ) = c 0, p(x 1 ) = c 1,..., p(x n ) = c n. (1) Megoldás. Észrevétel: elegendő lenne olyan polinomokat találnunk, melyek az adott helyek egyikén az adott értékeket veszik fel, a többi helyen pedig 0-t, hiszen ezek összege megfelelő lenne. Tulajdonképpen elegendő lenne olyan polinomokat találnunk, amelyek az adott helyek egyikén nem 0 értéket vesznek fel, a többin pedig 0-t, hiszen ezeket megfelelő konstansokkal beszorozva megkapnánk az előző észrevételben óhajtottakat.
41 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen.
42 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen. Milyen konstanssal kell ezeket beszorozni, hogy x = x i helyen éppen c i helyettesítési értéket adjanak?
43 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen. Milyen konstanssal kell ezeket beszorozni, hogy x = x i helyen éppen c i helyettesítési értéket adjanak? Ez sem nehéz, legyen: p i (x) = c i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ).
44 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen. Milyen konstanssal kell ezeket beszorozni, hogy x = x i helyen éppen c i helyettesítési értéket adjanak? Ez sem nehéz, legyen: p i (x) = c i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ). Ezekkel tehát már megadhatjuk a keresett polinomunkat, ugyanis: p(x) = p 0 (x) + p 1 (x) p n (x).
45 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen. Milyen konstanssal kell ezeket beszorozni, hogy x = x i helyen éppen c i helyettesítési értéket adjanak? Ez sem nehéz, legyen: p i (x) = c i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ). Ezekkel tehát már megadhatjuk a keresett polinomunkat, ugyanis: p(x) = p 0 (x) + p 1 (x) p n (x). Ezt a módszert Langrange-interpolációnak nevezik.
46 Egy gyakorlati probléma Megoldás (folytatás). (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) jól láthatóan ilyen. Milyen konstanssal kell ezeket beszorozni, hogy x = x i helyen éppen c i helyettesítési értéket adjanak? Ez sem nehéz, legyen: p i (x) = c i (x x 0 )(x x 1 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 )(x i x 1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ). Ezekkel tehát már megadhatjuk a keresett polinomunkat, ugyanis: p(x) = p 0 (x) + p 1 (x) p n (x). Ezt a módszert Langrange-interpolációnak nevezik. Megjegyzés. Tetszőleges c 0, c 1,..., c n valós számokhoz és különböző x 0, x 1,..., x n helyekhez pontosan egy megfelelő polinom létezik, ezt konstruáltuk meg.
47 Példa Lagrange-interpolációra Írjuk fel az f (x) = x 2 függvényre három pontja alapján a Lagrange-interpolációs polinomot.
48 Példa Lagrange-interpolációra Írjuk fel az f (x) = x 2 függvényre három pontja alapján a Lagrange-interpolációs polinomot. Nyilván a kapott másodfokú függvény meg kell, hogy egyezzen x 2 -tel.
49 Példa Lagrange-interpolációra Írjuk fel az f (x) = x 2 függvényre három pontja alapján a Lagrange-interpolációs polinomot. Nyilván a kapott másodfokú függvény meg kell, hogy egyezzen x 2 -tel. Legyen a három különböző pontunk a b c. Ekkor az előbb meghatározott Lagrange-interpolációs polinom:
50 Példa Lagrange-interpolációra f (x) = x 2 = p 1 (x) + p 2 (x) + p 3 (x) =
51 Példa Lagrange-interpolációra f (x) = x 2 = p 1 (x) + p 2 (x) + p 3 (x) = 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b).
52 Példa Lagrange-interpolációra f (x) = x 2 = p 1 (x) + p 2 (x) + p 3 (x) = 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b). Kalmár László Matematikaverseny, 8. osztály, országos döntő, 2001, 1. versenynap, 4. feladat Az a, b, c adott, különböző számok. Igazoljuk minél egyszerűbben, hogy a következő egyenlőség minden x-re igaz: 2 (x b)(x c) (x a)(x c) (x a)(x b) a + b2 + c2 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = x 2.
53 Egy "triviális" alkalmazás Egyenes egyenlete. Keressük az (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) pontokon átmenő egyenes egyenletét.
54 Egy "triviális" alkalmazás Egyenes egyenlete. Keressük az (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) pontokon átmenő egyenes egyenletét.
55 Egy "triviális" alkalmazás Egyenes egyenlete. Keressük az (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) pontokon átmenő egyenes egyenletét. Megoldás. Fogalmazzuk át a problémát. Keressük azt az elsőfokú f (x) polinomot, melyre f (x 1 ) = y 1, f (x 2 ) = y 2.
56 Egy "triviális" alkalmazás Egyenes egyenlete. Keressük az (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) pontokon átmenő egyenes egyenletét. Megoldás. Fogalmazzuk át a problémát. Keressük azt az elsőfokú f (x) polinomot, melyre f (x 1 ) = y 1, f (x 2 ) = y 2. Lagrange-interpolációval ez: y = f (x 1 ) x x 2 x 1 x 2 + f (x 2 ) x x 1 x 2 x 1 = y 1 x x 2 x 1 x 2 + y 2 x x 1 x 2 x 1, melyet átrendezve a már ismert összefüggést kapjuk.
57 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...?
58 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,...
59 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró...
60 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró... A megoldás: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64,...????????
61 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró... A megoldás: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64,...???????? f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8 alapján Lagrange interpoláljunk:
62 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró... A megoldás: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64,...???????? f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8 alapján Lagrange interpoláljunk: (x 0)(x 1)(x 2) 8 (3 0)(3 1)(3 2) +4 (x 0)(x 1)(x 3) (2 0)(2 1)(2 3) (x 0)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3) (1 0)(1 2)(1 3) (0 1)(0 2)(2 3) =
63 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró... A megoldás: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64,...???????? f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8 alapján Lagrange interpoláljunk: (x 0)(x 1)(x 2) 8 (3 0)(3 1)(3 2) +4 (x 0)(x 1)(x 3) (2 0)(2 1)(2 3) (x 0)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3) (1 0)(1 2)(1 3) (0 1)(0 2)(2 3) = = x 3 + 5x + 6 6
64 Egy apró feladat Folytassuk! 1, 2, 4, 8,...? 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., 2 n,... Ennyire azért nem apró... A megoldás: 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64,...???????? f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 8 alapján Lagrange interpoláljunk: (x 0)(x 1)(x 2) 8 (3 0)(3 1)(3 2) +4 (x 0)(x 1)(x 3) (2 0)(2 1)(2 3) (x 0)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3) (1 0)(1 2)(1 3) (0 1)(0 2)(2 3) = = x 3 + 5x Hf.: Bizonyítsuk be, hogy x db. általános helyzetű sík éppen ennyi részre osztja a teret!
65 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Feladat. Adott ABC háromszög és síkjában egy P pont. Igazoljuk, hogy PA BC + PB CA + PC AB 3.
66 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Feladat. Adott ABC háromszög és síkjában egy P pont. Igazoljuk, hogy PA BC + PB CA + PC AB 3. Megoldás. A komplex (Gauss-féle) számsíkon fogunk dolgozni. Legyenek az A, B, C, P pontok helyvektorainak megfelelő komplex számok rendre a, b, c, x.
67 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Feladat. Adott ABC háromszög és síkjában egy P pont. Igazoljuk, hogy PA BC + PB CA + PC AB 3. Megoldás. A komplex (Gauss-féle) számsíkon fogunk dolgozni. Legyenek az A, B, C, P pontok helyvektorainak megfelelő komplex számok rendre a, b, c, x. A konstans 1 polinomra, mint legfeljebb másodfokú polinomra felírva a Lagrange-interpolációs polinomot az a, b, c pontokban: (x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) + + (c a)(c b) (a b)(a c) (b a)(b c) = 1.
68 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Megoldás. Felhasználva a háromszög-egyenlőtlenséget és a komplex számok abszolútértékének megfelelő tulajdonságait, az előzőből x a x b x b x c x a x c + + c a c b a b a c b a b c 1,
69 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Megoldás. Felhasználva a háromszög-egyenlőtlenséget és a komplex számok abszolútértékének megfelelő tulajdonságait, az előzőből adódik, mely éppen x a x b x b x c x a x c + + c a c b a b a c b a b c 1, PA PB CA CB + PB PC AB AC + PA PC BA BC 1.
70 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Megoldás. Felhasználva a háromszög-egyenlőtlenséget és a komplex számok abszolútértékének megfelelő tulajdonságait, az előzőből adódik, mely éppen r = PA CB, s = PB CA, t = PC AB alakú. x a x b x b x c x a x c + + c a c b a b a c b a b c 1, PA PB CA CB + PB PC AB AC + PA PC BA BC 1. jelöléssel ez rs + st + rt 1
71 Valami nagyon más (vagy mégsem?) Megoldás. Felhasználva a háromszög-egyenlőtlenséget és a komplex számok abszolútértékének megfelelő tulajdonságait, az előzőből adódik, mely éppen r = PA CB, s = PB CA, t = PC AB x a x b x b x c x a x c + + c a c b a b a c b a b c 1, PA PB CA CB + PB PC AB AC + PA PC BA BC 1. jelöléssel ez rs + st + rt 1 alakú. Felhasználva az ismert (r + s + t) 2 3(rs + st + tr) egyenlőtlenséget, ebből éppen PA BC + PB CA + PC AB = r + s + t 3(rs + st + tr) 3.
72 Köszönöm a megtisztelő figyelmet! 1 1 A vetítés anyaga megtalálható lesz a honlapomon: Megjegyzéseket, észrevételeket, véleményeket, egyszerűbb megoldásokat szeretettel várok: kunosadam@gmail.com
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
Magasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Egyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
A Fermat-Torricelli pont
Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. november 26. Huhn András Díj 2014 Így kezdődött... Valamikor 1996 tavaszán, a Kalmár László Matematikaverseny megyei fordulóján, a hetedik osztályosok versenyén. [Korhű
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-
. modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az
y + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
MATEMATIK A 9. évfolyam 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK KÉSZÍTETTE: VIDRA GÁBOR, DARABOS NOÉMI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott
I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
Polinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz
Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
3. Algebrai kifejezések, átalakítások
I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,
Polinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Matematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály IV. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész:
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság):
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő
6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban
2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9
Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek
= 1, azaz kijött, hogy 1 > 1, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz
Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az
Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44. 00 009 + 008 007 +... + 4
NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
Kalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7