1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

Átírás

1 1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor ami meroleges az egyenesre az adott pontban. Másképp az egyenes adott pont beli irányvektorára meroleges vektor. Egyenes irány vektora egy pontban: egy olyan vektor ami egyállású az egyenessel az adott pontban. Irányszög: az egyenes és az x-tengely által bezárt szög Iránytangens(meredekség): az irányszög tangense Egyenes irány vektoros megadása: Legyen v(v 1, v 2 ) az irány vektor, és P(x 0, y 0 ) egy pontja az egyenesnek. Ekkor az egyenes egyenlete felírható a következo képpen: v 2 x v 1 y = v 2 x 0 v 1 y 0 Egyenes Normál vektoros megadása: Legyen n(n 1, n 2 ) a normál vektor, és P(x 0, y 0 ) egy pontja az egyenesnek. Ekkor az egyenes egyenlete felírható a következo képpen: n 1 x + n 2 y = n 1 x 0 + n 2 y 0 Azonos ponthoz tartozó irány vektor és a normál vektor közötti kapcsolat: Legyen P R 2 az egyenes egy pontja, valamint v,n az ehez a ponthoz tartozó normál-, illetve irányvektor. Ekkor < v, n > skalár szorzat 0, mivel merolegesek. Ennek következménye, hogy ha ismert v(v 1, v 2 ) akkor n eloállítható a következo képpen: n( v 2, v 1 ), illetve n(v 2, v 1 ) alakban. Ez viszont fordítva is igaz, ha ismert egy normálvektor, akkor a koordináták felcserélésével, és az egyik koordináta 1 szeresével eloállítható az irány vektor. Meredekség: Ax+By = c típusú egyenlet átalakításakor kapjuk: y = A B x + c B ahol a meredekség az nem més mint az A B, és az Y tengelyt a c B pontban metszi. 1

2 2. 2. hét 2.1. Alapfogalmak 1. Vektorok a vektor, ha a R n (n > 0,n N). a 1 a 2 a(a 1, a 2, a 3,..., a n ), vagy a 3 a vektor elemei. a n skalár szorzat < a, b >= a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b a n b n = < a, b >= a b = a b cos (α),ahol α a két vektor által bezárt szög, azaz a hajlásszög. a vektor hossza: 2 a a Skalár szorzat jelentése: A skalár szorzás egy vetítés,a vektor b vektorra történő vetítése: (a i b i ) i=1 a, b b b b 2. Becslés Hogyan is néz ki ez? b egység hoszzú (egység vektor). Írjuk fel ennek a tudatában a skalár szorzatot: b < a, b >= a b b b cos (α) = a cos (α) Ami pedig nem más mint a b-n való képe(b-re vett merőleges vetülete).(lásd cos definíciója:cos = b a ) És ezt szorozzuk meg a b egységvektorral, ami ennek a vektornak az irányát b mondja meg. 2

3 Polinomok P(x) R[n] (n N, n 0), azaz P egy valós n-ed fokú polinom, ha P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 Ekkor a n, a n 1,..., a 1, a 0 R a polinom együtthatói, a n 0 pedig a polinom főegyüttatója. x a Polinom változója, tetszőleges valós szám. n = 0 esetben konstans polinomról beszélünk. Polinom nagyságrendi becslése. Amikor szeretnénk becsülni egy polinom értékét nagy x-ek esetén, akkor érezhetően a legmagasabb fokú tag lesz a domináns, a többi eltörpül nagyságrendileg, ha elég nagy x-et veszünk. Ezt a következő képpen tudjuk leírni: P(x) = a i x i = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, (a n > 0) i=0, akkor megadható olyan R, m, M R : R, m, M > 0, hogy x R esetén m x n P(x) M x n Ekkor az m x n polinomot a P nagyságrend-őrző alsó becslésének (NRAbecslésének), az M x n polinomot P nagyságrend-őrző felső becslésének(nrfbecslésének) nevezzük. Tehát egy becsléshez a következőket kell kiszámolni: m > 0, M > 0, R > 0 NRF-becslés Legyen P(x) egy valós polinom. P(x) = a i x i = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, (a n > 0) i=0 Ekkor egy NRF-becslés meghatározása a következő lépésekből áll: 1. lépés: Hagyjuk el a negatív együtt hatós tagokat 2. lépés: Ekkor már tudjuk, hogy P minden tagja pozitív, vagy 0. Most az összes tag fokát változtassuk meg n-re. (a i x n ) = x n i=0 i=0 a i És ekkor M := n i=0 a i, valamint R lehet 1. NRA-becslés Legyen P(x) egy valós polinom. P(x) = a i x i = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, (a n > 0) i=0 Ekkor egy NRA-becslés meghatározása a következő lépésekből áll: 1. lépés: Hagyjuk el n-nél kisebb fokszámú pozitív együtt hatós tagokat 3

4 2. lépés: Ekkor már tudjuk, hogy P minden tagja negatív, vagy 0. Azaz a következő formában néz ki: a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 Tegyük fel, hogy n 2 és a n 1 = 0, ekkor a n 1 helyére eg negatív számot írunk, páldául 1-et(hiszen így is csökkentjük a polinom értékét). Tehát tudjuk, hogy n 0, ekkor alakítsuk át a polinomot a következő képen: a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 = a n x n (a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 ) Már láttuk, hogyan kell egy polinomot, felülröl becsülni, így megkeressük az a n 1 -ed fokú részpolinomnak a felső becslését. Legyen ez M 1, valamint a küszöb:r 1. Tehát tudjuk, hogy x R, x > R 1, azaz a n 1 x n a 1 x + a 0 M 1 x n 1 P(x) a n x n (a n 1 x n a 1 x + a 0 ) a n x n M 1 x n 1 = = a n 2 xn + a n 2 xn M 1 x n 1 = a ( n 2 xn + x n 1 an ) 2 x M 1 Ekkor, ha x et olyan nagyra választjuk, hogy a n 2 x M 1 0 x 2M 1 a n,akkor elhagyható, és amit kaptunk: P(x) a n 2 xn azaz m := a ( n 2 xn, és R := max R 1, 2M ) 1 a n Racionális tört kifejezések: Racionális tört kifejezésnek nevezzük a következő alakó polinomokat: P(x) Q(x), ahol P és Q is valós polinomok. Azaz két polinom hányadosát nevezzük racionális tört kifejezésnek. Racionális tört kifejezések becslése Legyen P 1, P 2 két polinom. Legyen P 1 n-ed fokú, P 2 k-ad fokú. Tekintsük ezek becsléseit: m 1 x n P 1 (x) M 1 x n, (x > R 1 ) Tehát, m 2 x n P 2 (x) M 2 x n, (x > R 2 ) m 1 P 1(x) M 2 P 2 (x) M 1, ( x > max (R 1, R 2 )) m 2 Azaz m := m 1 M 2, M := M 1 m 2, R := max (R 1, R 2 ). 4

5 3. 3. hét 3.1. Alapfogalmak 1. Nevezetes azonosságok: (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a b) a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2 ) a n b n = (a b) (a n 1 + a n 2 b + a n 3 b b n 1 )(a, b R) a n b n = (a+b) (a n 1 a n 2 b+a n 3 b 2 a n 4 b 3 + b n 1 )(a, b R 2 n) VIGYÁZAT! Csak akkor, ha n páros (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3ab 2 + 3ac 2 + 3a 2 b + 3bc 2 + 3a 2 c + 3b 2 c + 6abc 2. Pascal háromszög: Polinom gyöke α R a P polinom gyöke, ha P(α) = 0. Az x α elsőfokú polinom, pedig az α gyökhöz tartozó gyöktényező Az a n b n azonosság segítségével bebizonyítható, hogy α R akkor és csak akkor gyöke a P polinomnak, ha x α kiemelhető P-ből. Azaz Q polinom, hogy Biz.: Vonjuk ki a két egyenletet! P(x) = (x α) Q(x), (x R) P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 0 = P(α) = a n α n + a n 1 α n a 1 αa 0 a n (x n α n ) + a n 1 (x n 1 α n 1 ) + a 1 (x α) Ezek közül bármelyik tagból kiemelhető x α, az a n b n azonosság alapján. Következmény: Látható, hogy ha P n-ed fokú polinom volt akkor Q n 1-ed fokú polinom, tehát ha sorozatosan(iterálva) használjuk ezt a módszert akkor legfeljebb n darab gyököt találhatunk. Tehát egy n-ed fokú polinomnak legfeljebb n darab gyöke lehet! 4. Másodfokú polinom megoldó képlete ax 2 + bx + c = 0 b ± b 2 4ac 2a = x 1,2 5

6 5. Gyöktelenítés Ha a nevezőben egyetlen egy gyökös kifejezés van, és mellette semmi más, akkor egyszerűen bővítjük a törtet a nevezővel! Pl.: x + 2 x2 5x = (x + 2) x 2 5x x 2 5x Ha a nevező egy két tagú összeg, akkor bővítjük a törtet a nevező konjugáltjával.pl: x + 2 x3 + 2 x 5 14x = (x + 2)( x x 5 14x 2 ) 2 ( x x 5 14x 2 )( x x 5 14x 2 ) Most használjuk az a 2 b 2 = (a+b)(a b) összefüggést úgy, hogy a = x 3 + 2, illetve b = x 5 14x 2 (x + 2)( x x 5 14x 2 ) (x 3 + 2) (x 5 14x 2 ) 6

7 4. 4. hét 4.1. Alapfogalmak 1. Állítás, kijelentés: Egyszerű állító mondatok, nem tartalmazhat kérdést, óhajt, sóhajt, stb. 2. Igazságtartalom Az állítás logikai értéke. Pl.: 15 > 3 állítás igaz 10 < 20 állítás hamis 3. alaphalmaz Néhány kijelentés változókat is tartalmaz, melyek értékeiket egy halmazból vehetik fel. Ezt a halmazt nevezzük alaphalmaznak, és az ilyen kifelyezéseket nyitott kifejezéseknek. Néhány példa: x + 8y 123, (x, y R) 4. igazsághalmaz Az igazsághalmaz tartalmazza a változók azon értékeit, ahol az állítás igaz 5. kvantorok jel jelenti, hogy minden (univerzális kvantor), és a jel jelenti, hogy létezik / van olyan (egzisztenciális kvantor). Ezeket a jeleket nevezzük kvantoroknak, és segítségével nyitott állításokból, új állításokat képezhetünk.pl.: x R : x 2 0 Logikai értéke igaz. x R : x Logikai értéke hamis, mivel létezik olyan szám, hogy a kifejezés kisebb mint 0( x Rx 2 1 < 0) x R : x Logikai értéke igaz. pl: x = 5 x R y Rx 2 + y 2 > 1 Logikai értéke igaz 6. kvantoros kifejezések tagadása A kvantorjelet megcseréljük, és az állítás tagadását vesszük.pl: Tagadása x R y Rx 2 + y 2 > 1 x R y Rx 2 + y következmény Legyen A(x) és B(x) két nyitott formula, ahol x Ω Ekkor ha az A(x) állítás igaz, akkor B(x) állítás is igaz kijelentést következtetésnek nevezzük. Jele: A(x) B(x) Más megfogalmazások: 7

8 A(x) elégséges feltétele B(x) -nek B(x) szükséges feltétele A(x) -nek ( B(x) szükséges ahhoz, hogy A(x) igaz legyen ) 8. akkor és csak akkor, ekvivalenciák A(x) és B(x) két nyitott formula, ahol x Ω. Ha A(x) B(x) és B(x) A(x), akkor azt mondjuk, hogy a két állítás ekvivalens. Ilyenkor a második formulát az első megfordításának nevezzük, valamint azt mondjuk, hogy az következtetés megfordítható. Más megfogalmazások: A(x) ekvivalens B(x)-vel A(x) szükséges és elégséges feltétele B(x)-nek A(x) akkor és csak akkor igaz, ha B(x) is igaz 8

9 5. 5. hét 5.1. Alapfogalmak 1. Teljes Indukció Legyen A(n) egy állítás (Indukciós feltétel). Legyen m Z rögzített szám (Ahonnan az indukció indul, álltalában 0, 1, 2). Ekkkor ha n Z m < n : A(m) A(n) A(n + 1) igaz, akkor az A(n) állítás igaz n Zn > m-re. Azaz, ha igaz az, hogy létezik egy küszöb, amelyre igaz, hogy bármely nála nagyobb számra, és a rákövetkezőjére is igaz az állítás. 2. Binomiális együtthatók Legyen k, n N, k n, akkor 0! := 1 n n! := j (1 n) j=1 ( ) n := k n! k!(n k)! Kombinatorikában használt jelentés: n elem közül hány-féle képpen tudunk kiválasztani k elemet. Tulajdonságai: ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) ( ) n n = = n 1 n 1 ( ) ( ) n n = k n k Azaz a binomiális együtthatók szimmetrikusak. Lásd Pascal Háromszög. És ez alapján: ( ) n (a + b) n = a n i b i i 3. Bernoulli Számok A bernoulli számok nem törzsanyag inkább érdekesség. A Bernoulli számok nagyon sok helyen használatosak a matematikában, most természetesen csak azt mutatom meg, amire nekünk érdekes. Nézzük a következő összeget: S m (n) = k m = 1 m + 2 m + 3 m + + n m Erre az általános formula: k=1 S m (n) = 1 m + 1 i=0 m ( ) m + 1 B k n m+1 k k k=0 9

10 Itt a B k a k. Bernoulli szám. A Bernoulli számok előállítása: Rekurzívan: Explicit képlettel: m 1 ( ) m B m (n) = n m Bk (n) k m k + 1 B m (n) = m k=0 k=0 k l=0 ( ) k (n + l) m l k

11 6. 6.hét 6.1. Alapfogalmak 1. Másodfokú polinom: a, b, c R a 0: P(x) = ax 2 + bx + c (x R) 2. Teljes négyzetté kiegészítés ( P(x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) = a [ ( = a x + 1 ) ] 2 b + c 2 a a b2 = 4a 2 [ ( = a x + 1 ) ] 2 b + 4ac 2 a 4a b2 = 2 4a 2 [ ( = a x + 1 ) ] 2 b b2 4ac = 2 a 4a 2 ( = a x + 1 ) 2 b b2 4ac 2 a 4a Legyen, u := b 4ac b2, v := 2a 4a Ekkor a fenti formula a következő képpen írható fel: És mire tudjuk ezt használni? P(x) = ax 2 + bx + c = a(x u) 2 + v P ábrázolása: a: ennyivel nyúlik meg a parabola u: ennyivel tolódik jobbra az x tengely mentén v: ennyivel csúszik el az y tengely mentén P abszolút szélsőértékeit tudhatjuk meg: u-ban fogja felvenni a minimumát/maximumát (a > 0 minumum, a < 0 maximum), és ez az érték v lesz. Polinom gyökeinek kiszámításához: a(x u) 2 + v = 0 (x u) 2 = v a x u = ± v a x = u ± v a = b 2a ± = b 2a ± b2 4ac 2a 11 4ac b2 4a 2 = = b ± b 2 4ac 2a

12 3. Megoldó képlet Diszkrimináns: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a b 2 4ac 4. Viete formulák x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a Levezetésük: x 1 + x 2 = b + b 2 4ac + ( b) b 2 4ac 2a = b a x 1 x 2 = ( b + b 2 4ac)( b b 2 4ac) 2a = b2 b 2 + 4ac 4a 2 5. Alakja: A másodfokú polinom alakját tekintve egy parabola. Ez lehet alulról zárt(felülről nyitott), vagy felülről zárt(alulról nyitott a értékétől függően: a > 0 alulról zárt parabola a < 0 felülről zárt parabola 6. Előjele Tegyük fel, hogy ez egy alúlról zárt parabola(a > 0). Ekkor a polinom előjele a diszkrimináns függvényében a következő képpen alakul: = c a { P(x) > 0 x (, b 2 x1 ) (x 4ac > 0 2, + ) P(x) < 0 x (x 1, x 2 ) b 2 4ac 0 P(x) 0 b 2 4ac < 0 P(x) > 0 Ha felülről zárt akkor csak annyi változik, hogy a relációk megfordulnak. 12