Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra
|
|
- Zsófia Viktória Balázsné
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algebra Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (felcserélhetőség): a b = b a; a b = b a asszociativitás (átcsoportosíthatóság): (a b) c = a (b c); a (b c) = (a b) c disztributivitás (széttagolhatóság): (a b) c = a c b c (szorzás az összeadásra nézve) Műveletek sorrendje: Ha a műveletsor csak összeadást és kivonást tartalmaz, akkor azokat balról jobbra haladva kell végrehajtanunk. Ezek a műveletek egyenrangúak. Ha a műveletsor csak szorzást és osztást tartalmaz, akkor azokat balról jobbra haladva kell végrehajtanunk. Ezek a műveletek egyenrangúak. Ha a műveletsor tartalmazza mind a 4 alapműveletet és hatványozást is egyszerre, akkor először a hatványozást kell elvégeznünk, majd a szorzást és osztást, végül pedig az összeadást és kivonást. A hatványozás (gyökvonás) a legmagasabb rangú művelet. Ha a műveletsor zárójelet is tartalmaz, akkor először a zárójelen belül szereplő műveleteket kell elvégeznünk az előző pontban foglaltak szerint, majd ezután a többi műveletet. Ha a műveletsor több zárójelet is tartalmaz egymásba foglalva, akkor először a legbelső zárójelben levő műveletet célszerű elvégeznünk. DEFINÍCIÓ: (Inverz művelet) Azt a műveletet, ahol adott az eredeti művelet eredménye és az eredetileg adott két mennyiség közül az egyik (a másikat pedig keressük), inverz műveletnek nevezzük. Az összeadás inverz művelete a kivonás, a szorzásé pedig az osztás. DEFINÍCIÓ: (Algebrai kifejezés) Ha az algebrai mennyiségeket (számokat és betűket), illetve azok egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kötjük össze, akkor algebrai kifejezésről beszélünk.
2 Az algebrai kifejezésben előforduló betűket változóknak (ismeretlennek) nevezzük, melyek egy alaphalmaz elemeit helyettesítik. Az algebrai kifejezésben előforduló számokat (a változók szorzótényezőit) együtthatóknak nevezzük. Az együtthatók és változók közötti szorzás jelet általában elhagyjuk: 7 x = 7x. Példa: 2x 3 3y együtthatók: 2 és 3; változók: x és y DEFINÍCIÓ: (Alaphalmaz) Az algebrai kifejezésben szereplő betűk helyére helyettesíthető számok azon halmazát, melyekre a kifejezést vizsgáljuk, alaphalmaznak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Értelmezési tartomány) Az algebrai kifejezésben szereplő betűk helyére helyettesíthető számok azon halmazát, melyekre a műveletek elvégezhetők, értelmezési tartománynak nevezzük. Az értelmezési tartomány az alaphalmaz egy részhalmaza. Példa: esetén az alaphalmaz lehet R, de az értelmezési tartomány R \ {0}, mert a 0 val x való osztást nem értelmezzük. DEFINÍCIÓ: (Helyettesítési érték) Ha az algebrai kifejezésben előforduló változók helyére az alaphalmaz elemeit írjuk és ezekkel elvégezzük a kijelölt műveleteket, akkor az algebrai kifejezés helyettesítési értékét kapjuk meg. Helyettesítési értéket csak az értelmezési tartományba tartozó elemek esetén számolhatunk. DEFINÍCIÓ: (Értékkészlet) Azon értékek halmazát, melyeket a betűk helyébe számokat helyettesítve a műveletek elvégzése után kapunk, értékkészletnek nevezzük. Példa: 4x esetén, ha az értelmezési tartomány {; 0; ; 2}, akkor az értékkészlet {4; 0; 4; 8}. 2
3 DEFINÍCIÓ: (Azonos algebrai kifejezések) Két algebrai kifejezést azonosnak tekintünk, ha az alaphalmaz bármely elemét helyettesítjük be a változók helyére, a helyettesítési értékük mindig megegyezik. Példa: x 3x = 4x, de 2x2 x 2x, mert az x = 0 nem értelmezhető az első kifejezésre. DEFINÍCIÓ: (Algebrai egész - Algebrai tört) Ha az algebrai kifejezésben nincs tört, illetve az előforduló törtek nevezőjében nincs változó, akkor algebrai egész kifejezésről beszélünk. Ellenkező esetben algebrai törtnek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Egy tagú - több tagú algebrai kifejezés) Azokat az algebrai kifejezéseket, melyekben a számokat és a számokat helyettesítő betűket, illetve azok pozitív egész kitevőjű hatványait csak a szorzás műveletével kötjük össze, egy tagú algebrai kifejezésnek nevezzük. Ellenkező esetben többtagú algebrai kifejezésről beszélünk. DEFINÍCIÓ: (Egynemű - különnemű algebrai kifejezés) Azokat az egytagú algebrai kifejezéseket, amelyek legfeljebb együtthatókban különböznek egymástól, egynemű algebrai kifejezéseknek nevezzük. Ellenkező esetben az algebrai kifejezést különneműnek nevezzük. A különnemű algebrai kifejezésekben az egyes változók nem ugyanazon a hatványon fordulnak elő, vagy nem ugyanazok a változók. Az egynemű algebrai kifejezések összevonhatók: Az összevonást úgy végezzük el, hogy az együtthatókat összeadjuk (kivonjuk), a változókat nem módosítjuk. Példa: 2x 3y különneműek; 8x 2x egyneműek és összevont alakjuk 6x. DEFINÍCIÓ: (Polinom) Az olyan algebrai kifejezést, amelyben a változókon véges számú összeadást, kivonást, szorzást és nem negatív egész kitevőjű hatványozást végzünk, polinomnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Polinom fokszáma) Egy tagú polinom fokszámán a változók kitevőinek összegét, többtagú polinom fokszámán pedig a legnagyobb fokszámú tag fokszámát értjük. A polinom tagjait célszerű csökkenő fokszám szerint rendezni. 3
4 DEFINÍCIÓ: (Hatványozás) Legyen x egy valós szám, n pedig egy pozitív egész szám. Ekkor x n t az x szám n edik hatványának nevezzük, ahol az x n kifejezés olyan n tényezős szorzatot jelöl, amelynek minden tényezője x. Jelöléssel: x n = x x x x. n db Az x et hatványalapnak, az n et hatványkitevőnek, az x n t hatványértéknek nevezzük. Minden valós szám első hatványa önmaga. Jelöléssel: x = x. Minden 0 tól különböző valós szám nulladik hatványa. Jelöléssel: x 0 =. Mivel 0 minden hatványa 0, s minden szám nulladik hatványa 0, ezért az egyértelműség miatt, a 0 0 hatványt nem értelmezzük. Hatványozás azonosságai: TÉTEL: Azonos alapú hatványok szorzata megegyezik azzal a hatvánnyal, amelynél a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Jelöléssel: x m x n = x m n (x R; m, n Z ). Példa: = darab 8 darab = 2 5 TÉTEL: Azonos alapú hatványok osztása megegyezik azzal a hatvánnyal, amelynél a közös alapot a számláló és a nevező kitevőjének különbségére emeljük. Jelöléssel: xm x n = xm n (x R \ {0}; m, n Z ). Példa: darab = darab = 3 4 4
5 TÉTEL: Hatvány hatványa megegyezik azzal a hatvánnyal, amelynél az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Jelöléssel: (x m ) n = x m n (x R; m, n Z ). Példa: (5 8 ) 3 = (5 8 ) (5 8 ) (5 8 ) = (5 5) ( ) ( ) 3 8 darab = 5 24 TÉTEL: Szorzat hatványa megegyezik a tényezők hatványának szorzatával. Jelöléssel: (x y) n = x n y n (x, y R; n Z ). Példa: (2 3) 9 = (2 3) (2 3) 9 darab = ( ) 9 darab ( ) = darab TÉTEL: Tört hatványa megegyezik a számláló és a nevező hatványának hányadosával. Jelöléssel: ( x y )n = xn y n (x, y R; y 0; m, n Z ). Példa: ( 6 7 ) = darab darab = darab = DEFINÍCIÓ: (Negatív egész kitevőjű hatvány) Egy 0 tól különböző valós szám negatív egész kitevőjű hatványa megegyezik a szám reciprokának ellentett kitevőjű hatványával. Jelöléssel: x n = ( x )n. A hatvány fogalmának ilyen módon történő kibővítésénél megjelenik a permanencia elv: a korábban megismert tételek érvényben maradnak az újabb kitevőkön is. Példa: 2 3 = ( 2 )3 = 8 ; ( 5 7 )2 = ( 7 5 )2 =
6 Nevezetes azonosságok (szorzatok): (a b) 2 = a 2 2ab b 2 (a b) 2 = a 2 2ab b 2 a 2 b 2 = (a b) (a b) (a b c) 2 = a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc (a b) 3 = a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a 3 b 3 = (a b) (a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 = (a b) (a 2 ab b 2 ) Példa: (7x 2y) 2 = (7x) 2 2 7x 2y (2y) 2 = 49x 2 28xy 4y 2 TÉTEL: (a b) n = x a n b 0 x 2 a n b x n a b n x n a 0 b n (a b) n = x a n b 0 x 2 a n b x n a b n x n a 0 b n Az x,, x n együtthatókat a Pascal-háromszög segítségével könnyedén kiszámíthatjuk: (a ± b) 0 (a ± b) (a ± b) 2 2 (a ± b) (a ± b) (a ± b) Példa: (x y) 5 = x 5 5x 4 y 0x 3 y 2 0x 2 y 3 5xy 4 y 5 6
7 TÉTEL: a n b n = (a b) (a n b 0 a n2 b a n3 b 2 a b n2 a 0 b n ) a n b n = (a b) (a n b 0 a n2 b a n3 b 2 a b n2 a 0 b n ) Az a n b n re vonatkozó összefüggés csak akkor teljesül, ha n egy páratlan szám. Mindkét esetben az együtthatók rendre - esek lesznek. Példa: x 5 y 5 = (x y) (x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 ) Teljes négyzetté alakítás: A kifejezést úgy alakítjuk, hogy a változó csak egy kéttagú kifejezés négyzetében forduljon elő. Példa: x 2 24x 03 = (x 2) = (x 2) Szorzattá alakítás módszerei: Kiemeléssel: az összeg tagjaiból az azonos szorzótényezőkkel osztva alakítunk ki szorzatot Nevezetes azonossággal Többszörös kiemeléssel (csoportosítással) Kiemeléssel és nevezetes azonossággal (teljes négyzetté kiegészítéssel) Példa: szorzattá alakítás kiemeléssel 8x 3 2x 2 20xy = 4x (2x 2 3x 5y). Többtagú kifejezések szorzata: Többtagú kifejezéseket úgy szorzunk össze, hogy az egyik tényező minden tagjával megszorozzuk a másik tényező minden tagját. A szorzás során ügyelnünk kell az előjelekre (pl.: két negatív szorzata pozitív), illetve a szorzás elvégzése után célszerű az egynemű kifejezéseket összevonni, s a tagokat rendezni. 7
8 Algebrai törtek értelmezési tartományának vizsgálata: A törtek nevezőjében szereplő kifejezések értéke nem lehet 0, mert a 0 val való osztást nem értelmezzük. Amennyiben a nevezőben bonyolultabb kifejezés szerepel, akkor célszerű (ha lehet) azt szorzattá alakítani. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért ezt követően a szorzat tényezői nem lehetnek egyenlők 0 - val. Algebrai törtek egyszerűsítése: Először (ha lehet) alakítsuk szorzattá a számlálóban és nevezőben levő kifejezést is. Ezt követően a számlálóban és nevezőben megjelenő közös tényezőkkel egyszerűsíthetjük a törtet. Az értelmezési tartomány vizsgálatát mindig az egyszerűsítés előtt kell végrehajtanunk, mert az egyszerűsítés után bővülhet az alaphalmaz. Műveletek algebrai törtekkel: Összeadás, kivonás: A műveletek elvégzéséhez először közös nevezőre kell hoznunk a törteket, amihez a nevezők legkisebb közös többszörösét célszerű választanunk. A közös nevező meghatározásához célszerű (ha lehet) szorzattá alakítanunk a nevezőket. A közös nevező megállapítása után a törteket bővítsük úgy, hogy a nevezőjük a közös nevező legyen: amennyivel szorozzuk a nevezőt, annyival szorozzuk a számlálót is. Végül vonjuk össze a törteket, s a kapott törtet hozzuk a legegyszerűbb alakra. Szorzás, osztás: A műveletek elvégzéséhez először az osztást át kell írnunk szorzássá. Ezt követően a nevezőben és a számlálóban levő kifejezést is (ha lehet) alakítsuk szorzattá. Végül a szorzások elvégzése előtt, egyszerűsítsünk a megfelelő tényezőkkel. Összevonáskor figyelni kell arra, hogy a törtvonás zárójelet helyettesít, vagyis ha valamelyik tört előtt negatív jel szerepel, akkor a számlálóban levő kifejezést zárójelbe kell tennünk. Abban az esetben, ha két tag különbségére lenne szükségünk a közös nevezőhöz, de a két tört nevezőjében fordított sorrendben állnak a tagok, akkor ki kell emelnünk az egyik nevezőből () et. Ezt követően, ha a () szeres szorzót el szeretnénk hagyni a nevezőből, akkor 2 a tört előjelét kell megváltoztatnunk. Példa: = 2 = 2. x y (yx) y x 8
9 Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat. (K) Számítsd ki a következő emeletes törtek pontos értékét! (K) Határozd meg, hogy a következő algebrai kifejezések közül, melyek egy tagúak; többtagúak; algebrai törtek; algebrai egészek; egyneműek egymással? Határozd meg a kifejezések együtthatóit! a b c c x 7x 8y 7 ab 3 0xy 7 9 2a 8b a 2 y 3. (K) Határozd meg a következő polinomok fokszámát! 6a 9 b 7 2x 3xy 4xyz 0xy 7 20y 2 z 2 30xy 2 z 3 4. (K) Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét a megadott helyeken! a) 0xy 3z, ha x = 0, 25; y = 2 ; z = 7 5 b) x y z z 3x, ha x = 2; y = 3; z = 4 2 y 5. (K) Végezz összevonást a következő kifejezésekben! a 2 2ab 3a 2 5ab 5a a 2 b 4ab 2 b a 2 b ab 2 3b 3 6. (K) Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 5 (2a 3b) (a b 3) b) ( x 2 y z) ( 2 x y z) c) 4a 2 2ab b 2 (a 2 b 2 2ab) (3a 2 ab b 2 ) d) ( 2 3 x3 3x 2 y 4 xy2 2y 3 ) (3x y3 3 x2 y 2xy 2 ) e) 9a 2 [7a 2 2a (a 2 3a)] f) 3a {2c [6a (c b) c (a 8b 6c]} 9
10 7. (K) Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 7 3 ( 3 2 )5 (2) ( 2 9 )2 0, 4, (K) Döntsd el, hogy az alábbi állítás igaz vagy hamis! A: A negatív egész számok hatványai lehetnek pozitív és negatív értékek is. B: Az egész számok minden egész kitevőjű hatványa egész. C: Összeszorozva 000 től 000 ig az egész számokat az eredmény negatív lesz. 9. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! (3 2 ) (22 3) 4 ( 2 5 ) (3 2 ) 0. (K) Döntsd el számológép használata nélkül, hogy melyik kifejezés értéke nagyobb? 2 2 vagy ( 2 ) vagy vagy 2 8 ( ) 6 vagy (25 0 ) vagy vagy (K) Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések értékét! 5 5 (5 3 ) 8 (5 3 7 ) (3 6 ) (2 3 ) 4 ( 2 )5 ( 4 ) (00 4 ) : (K) Végezd el az alábbi műveleteket! (Az eredményeket pozitív kitevőkkel add meg!) (x 2 y 3 z 4 ) 3 : (x 3 yz 2 ) 3 ( a2 bc 3 3 x 2 y 3) ( a3 b 2 c 2 ) x 2 y 3 ( 2p3 q 2 r 3 4 ) x 5 y : ( p q 2 r 2 2 ) 4x 2 y 3 0
11 3. (K) Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 3x 2 y (2 x 4y 3 xy) b) (d 3 d 2 d ) (d ) c) 2a 2 a (5b 2a) 4a (3a 2 b) 2 d) (a 3) (a 4) (a 2) (a 5) e) (x ) (x 2) (3 4x) 4. (K) Hozd a legegyszerűbb alakra a következő kifejezést, majd számold ki a helyettesítési értéket, ha x = 3 és y = 2! xy 2 {4x 3 [2x 2 y 3 (2x y) (x 2 xy y 3 ) (3y 4 6xy 3 )] 5x 2 y} 5. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 3 3 : [(3 4 6 ) ] ( ) (K) Számítsd ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét! (K) Végezd el a következő műveleteket! (2 x) 2 (5a 3) 2 (x 4y) 2 (7a 0b) 2 (x 3y) (x 3y) (2a 6b) (6b 2a) ( 2 3 x7 y) (y 2 3 x7 ) (4 a) 3 (6x 5) 3 (2a b) 3 (4x 3y) 3 8. (K) Add meg a hiányzó tagokat úgy, hogy teljes négyzeteket kapjunk! a 2 9b 2 x 2 0xy 28ab 49b 2 36 x y2 a 6 b 4 2a 3 b x x6
12 9. (E) Végezd el a következő műveleteket! (a b) 4 (x y) 5 (3a b 5c) 2 (x 2y z) 2 8a 3 b 3 x 3 25y 3 a 6 b 6 x 5 32y 5 (a 2n b 5n3 ) (a 2n b 5n3 ) (2 n n k ) 2 (3 x y) (3 x y) 20. (K) Alakítsd teljes négyzetté a következő kifejezéseket! x 2 4x x 2 2x 43 4x 2 2x 3 2x 2 6x 8 5x 2 20x 3 3x 2 30x (K) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 2 0x 25 2x 2 69y 2 a 3 6a 2 2a 8 2a 0ab 4a 2 2a 5 8x 2 24x 8 600x 3 54xy 4 2xy 24ay 72ab 36bx 49 28a 4a 2 6 a b0 25x 3 75x 2 y 5xy 2 y 3 8a 5 b 6a 3 b 2 2a 4 b 3 8a 2 b 3 2a 4 b 2 8a 6 b x 8 4ax 7b 28a bx 22. (E) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x 3 8 x 2 2x 6x 2 3x 7 a 3 6a 2 a 6 000a 3 b 3 a 2 6a 5 x 4 4 x 4 2x 3 2x 2 2x (K) Határozd meg a következő törtek értelmezési tartományát! x 2 7a 2x y x 7 a 5 x 3y 5 ab 5a 2b 0 9x 2 30xy 25y 2 4a 2 8 2
13 24. (K) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! 43r 4 s 8 t 5 66r 5 s 2 t 3 5a 5a 5b ik 3 i 2 k ik 2 5y 5 6y 8 b a a b 5in 5jn 5jm 5im 2x 4 x 2 4 3a 2 3 7a 7 c 2 6c 9 9 3c 9x 2 8xy 9y 2 2x 2 2y 2 4x 3 y 4xy 3 x 4 y 4 ax bx ay by 7x 7y 25. (E) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! a 3 a 2 a a 4 2a 2 x 2 3x 2 x 2 4x 3 3a 6 a 3 8 x 2 x 2 3x 2 x (x 2 y 2 z 2 2yz) (xyz) (xyz) (x 2 z 2 2xzy 2 ) (a) (a 8 a 4 ) (a 4 a 2 ) (a 2 a) 26. (K) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (4ab) (4ab) (3a2b) 2 5b 2 7a2b (3a) (2a) 2 3a (2a3) 2 28a (2x) 2 (3x) (3x)5x 2 2x 27. (E) Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékeinél! (ab) 3 3ab (ab) b 3 a 6b (ab) (a 2 abb 2 ) b 3 a 2 a 28. (K) Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! (2x) 2 y (x 4 3 ) 6 x 5 x 7 (x 2 y 6 ) 9 6a 3 0ab8 5b2 3a 5 : 4b x 2 6x 9 x2 6x 9 a 6 x 2 9 x 2 3x x 2 25 : x2 5x x 2 2x x 4 4x 2 5x 2 20y 2 5x 0y : 3x 6y 9x 2ab a 2 6b 3a 4b 2 a2 a 3
14 29. (E) Végezd el a törtek osztását, illetve szorzását a változók lehetséges értékeinél! 3a 2 6ab a 2 4b 2 a 4 6b 4 5 (a 2b) 2 x 2 x 2 x 2 2x 2x 2 x 2 a 2 0a 25 a 2 3a 0 : a 5 4a 8 x x 6 2x 9 x 2 6x 9 3a 3 8a 2 27a 5a 5 : a3 9a 0a 30 a 2 5a 6 a 2 7a 2 a 2 3a a 2 4a (K) Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! 2a 5 4 2a 3 5a c 7b 6b 2 c 8a 2 b 2ac 2 5 2a a 3 a a b 5 5 a a 2a 3b a 2 b a b a b 4a 5b ab 2 a 2b b a 3. (E) Végezd el a törtek összeadását, illetve kivonását a változók lehetséges értékeinél! x x 2 x x 2 2x x 2 2x x 2 2a a a 2 3a2 a a 2 3x x 2x 3 x 5x 2 x 3 p p 3 2p 6 2p 2 2p 8 4x 3 3 2x 4 5x 3 x 0x2 3 2x 4x 2 9 x 3 x 2x x 3 x x 2 4a 2 3a 5 a 3 2a a 2 a 6 a 7 8a 2 8b 2 2a 2 3ab 4ab 6b (K) Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! x 2 4 x 3 : x 2 x 3 2 b 5 b 2 6 ( 9 b 5 ) a 2 9 a 2 : ( 5 a 2 ) 4x (3 2x 2) : x 2x ( a 3a2 ) : ( a a 2) x x (2 ) ( ) 3x 7x 3 4
15 33. (E) Végezd el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél! 2 2x 4 2x x 3x 6 3 x2 4 x 2 6 3x 24 2x ( a 6 2a 2 2a 2 2 a 3 ) 4a2 4 2a 2 3 ( a ) : ( a a a ) ( 5a a x 5x 0ax a x a 2 x 2) ( a a x x a x 2ax a 2 x 2) ( x 5 2x 0 x 5 2x x 2) x 5 5x (a b a2 2ab b 2 ) : a2 2ab b 2 a b a 2 b 2 2a 2 ( a 2 2a a 2a 4 ) 2a 2 a 2 a (x 2 ) ( ) x x ( 2x x x 2) ( ) x (a2 3ab a b b) : ( a a b b b a 2ab a 2 b 2) c (6c) c [ 32c 23c ] : c 2 4 2c c2 c c 3 4c 2 4c [( x 2 y 2) x 2 2xyy 2 2 (xy) 3 ( xy )] : x y x 3 y (E) Az a és a b számokra teljesülnek a következő feltételek: a 0; b 0; a b és (a ab ) : ( ab a2 b) (2 b 3a 2b ) = 6. Számítsd ki a kifejezés értékét! a b a b 2b 2 a a b 35. (E) Bizonyítsd be, hogy a páratlan szám! 80a 4a 0 : (2a 5 2a 5 2a 5 ) kifejezés értke minden egész a esetén 2a (E) Tudjuk, hogy a b = 5 és ab = 3. Számítsd ki az a 2 b 2 értékét! 37. (E) Tudjuk, hogy a b = 2 és ab = 7. Számítsd ki az a 3 b 3 értékét! 38. (E) Számítsd ki a következő kifejezés értékét, ha a b =! a 3 b 3 3 (a 3 b ab 3 ) 6 (a 3 b 2 a 2 b 3 ) 5
16 39. (E) Bizonyítsd be, hogy ha x y z = 0, akkor x 3 x 2 z xyz y 2 z y 3 = 0! 40. (E) Mennyi lehet az x x értéke, ha x x =? 4. (K) Írd fel két polinom hányadosaként a következő kifejezést! a b b c c a d (a; b; c 0) 42. (E) A parciális törtekre bontás segítségével határozd meg a kifejezésben az A és B értékét! 3x 8 (x 2) (7x 4) = A B x 2 7x (E) Határozd meg a és b értékét, ha tudjuk, hogy minden x ; x 3 esetén teljesül 2 5 az = a b összefüggés! 2x 2 5x 3 2x x (E) Számítsd ki a 7x 6 3x 5 x 4 5x 2 2x polinom x = 2 helyettesítési értékét a Horner elrendezés segítségével! 45. (E) Mennyi az együtthatók összege az (7x 6 6x 5 5x 4 4x 3 3x 2 2x 2) 207 kifejezés polinom alakjában? 46. (E) Végezd el a következő polinom osztásokat! a) (x 8 x 4 ) (x 2 x ) b) (x 4 3x 3 3x 2 x 6) (x 2) 47. (E) Egyszerűsítsd a következő törtet a változók lehetséges értékeinél! x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 x 2 y 2 6
17 48. (K) Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igaz vagy hamis! A: Bármely két irracionális szám között van racionális szám. B: Bármely két racionális szám között van irracionális szám. C: Van legkisebb pozitív irracionális szám. D: Van legnagyobb racionális szám. E: Két irracionális szám összege lehet racionális. F: Két irracionális szám szorzata lehet racionális. G: Két irracionális szám különbsége lehet racionális. H: Egy racionális és egy irracionális szám összege racionális. I: Egy racionális (nem 0) és egy irracionális szám szorzata irracionális. J: Egy irracionális és egy (nem 0) racionális szám hányadosa irracionális. K: Lehet egy racionális és egy irracionális szám különbsége racionális. 49. (K) Egy farmer lovat vásárolt 60 dollárért és eladta a szomszédjának 70 ért. Később rájött, hogy jobb üzletet is csinálhatott volna, ezért kölcsönkért a feleségétől 0 dollárt, visszavásárolta a lovat a szomszédtól 80 dollárért, és eladta a másik szomszédjának 90 ért. Mennyit keresett az üzleten? 50. (K) Egy szállodában három barát kibérelt 30 dollárért egy lakosztályt, s fejenként 0 0 dollárt adtak a szolgának. Mikor azonban a szolga átadta az összeget a tulajdonosnak, az rájött, hogy a lakosztály csak 25 dollár, s így visszaküldött 5 darab egydollárost. A szolga felfele menet azon gondolkodott, hogy nem tudja szétosztani az 5 darab érmét a három utazó között, így 2 - t zsebre tett, az embereknek pedig visszaadott fejenként dollárt. Így végül mindenki 9 dollárt fizetett, ami 3 9 = 27 dollár, illetve 2 dollár maradt a zsebben, s ez összesen = 29 dollár. Hova tűnt a harmincadik dollár? 7
18 Felhasznált irodalom () Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 200.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 202.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 204.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Gerőcs László; 2006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzsébet; 998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (9) Fuksz Éva; 20.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 0. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (0) Katona Renáta; 2007; Logikai egypercesek; Hungária könyv és társasjáték kiadó; Budapest () Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (2) (3) Saját anyagok 8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.
Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót
2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
Algebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő
2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
2016/2017. Matematika 9.Kny
2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal
Matematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály IV. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész:
3. Algebrai kifejezések, átalakítások
I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
Egyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria II.
Trigonometria II. A tetszőleges nagyságú szögek szögfüggvényeit koordináta rendszerben egységhosszúságú forgásvektor segítségével definiáljuk. DEFINÍCIÓ: (Vektor irányszöge) Egy vektor irányszögén értjük
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Koordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Egyenletek, egyenlőtlenségek XV.
Egyenletek, egyenlőtlenségek XV. Trigonometrikus (nem alap) egyenletek Amennyien az egyenlet nem alapegyenlet, akkor arra törekszünk, hogy a szögfüggvények közötti összefüggések alkalmazásával egyféle
: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...
Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Magasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat
;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Kalkulus. Komplex számok
Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!
Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4
Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Egyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
Racionális és irracionális kifejezések
Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,
5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek
Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Halmazok, intervallumok
Halmazok, intervallumok Alapfogalmak (nem definiált fogalmak): Halmaz, elem, eleme. Jelölés: x A (ejtsd: az x eleme az A halmaznak). Halmaz megadása: A vizsgálatok során mindig feltesszük, hogy a figyelembe
Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
Typotex Kiadó. Bevezetés
Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban
Egész számok értelmezése, összehasonlítása
Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, +3 +
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
Matematika. 1. évfolyam. I. félév
Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése
Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP
J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Mechatronika Modul 1: Alapismeretek
Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Egyenletek, egyenlőtlenségek IX.
Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Szöveges feladatok megoldása: A szöveges feladatok esetén írjunk fel egyenletet a korábban tanultak alapján, majd a kapott másodfokú egyenletet oldjuk meg a megoldóképlet
Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:
Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk
1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása: