Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Átírás

1 Algebrai egész kifejezések (polinomok)

2 Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m 68m = 776m Kerület K = (a b) = (107m 68m) = 0m

3 Az összeadás és a szorzás műveletének tulajdonságai összeadás szorzás kommutatív a b = b a a b = b a asszociatív (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) A szorzás disztributív az összeadásra nézve. a (b c) = a c b c

4 Eg-eg matematikai probléma általánosítása esetén gakran használunk betűket. Ezt a problémától függően nevezhetjük változónak, határozatlannak vag ismeretlennek. A betűs kifejezések használatakor minden esetben fontos megadnunk, hog az általunk használt betűk mel számhalmaz elemeit helettesítik. Ez a számhalmaz az alaphalmaz.

5 Algebrai kifejezés Algebrai kifejezést kapunk, ha a benne szereplő menniségeket (számokat, betűket), illetve azok egész kitevőjű hatvánait vag gökeit a nég alapművelet véges számú alkalmazásával kötünk össze. Például: a b a ( )(a 7b)

6 A betűket szorzó számokat egütthatónak nevezzük. Egüttható Változó A szorzás jelét általában nem tesszük ki: = ; 6 a b = 6ab ; a b c = abc

7 Egváltozós és többváltozós kifejezések Egváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak eg betű szerepel. pl.:, 16 1, a, b 11 A több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozós kifejezésnek nevezzük. pl.: 6a 7b,, z

8 Algebrai egész kifejezés Algebrai egész kifejezésről beszélünk akkor, ha az algebrai kifejezésben nincs tört, vag az előforduló tört nevezőjében nincs változó. pl.:, 16 1,, a b 11

9 Algebrai tört kifejezés Algebrai törtkifejezésről beszélünk akkor, ha az algebrai kifejezésben előforduló tört nevezőjében van változó. pl.: 1, 1, Eg algebrai tört értelmezési tartománán a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát értjük, melnek elemeit a változó helére beírva a kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetőek.

10 Egtagú kifejezés Olan algebrai kifejezések, melekben a számokat és a számokat helettesítő betűket, illetve azok pozitív egész kitevőjű hatvánait csak a szorzás műveletével kötjük össze. Például: a b 1 7 ab c

11 Fokszám Egtagú kifejezések fokszáma a benne szereplő betűk kitevőinek összege. Például: ötödfokú 8 1a b 1 harmadfokú nolcadfokú elsőfokú 9 nulladfokú

12 A polinom A polinom egtagú algebrai kifejezések összege. Például: 7 9 Azokat a tagokat, melek csak egütthatóban térnek el egmástól, egnemű tagoknak nevezzük. Például: 8 A polinomban az egnemű tagokat összevonhatjuk.

13 A polinom fokszáma A polinomban szereplő legnagobb fokszámú tag fokszámával egenlő. Például: másodfokú: 1; a harmadfokú: 6a a Csak eg betűt tartalmazó polinomok tagjait olan sorrendben szoktuk írni, hog a tagok fokszáma csökkenjen. Például: 7 8 1

14 A P() = a n n a n 1 n 1 a a 1 a 0 alakú kifejezés egváltozós polinom, ahol R, a n, a n 1, a, a 1, a 0 valós számok a polinom egütthatói, a n 0 és n N. n a polinom fokszáma.

15 Algebrai törteknek, felírhatók két polinom hánadosaként, ahol a nevezőben lévő polinom legalább elsőfokú. (Nevezőben van betű.) 6

16 Műveletek polinomokkal

17 Egnemű tagok összeadása, kivonása Egnemű tagok között el lehet végezni az összevonást. (Az egütthatókat összevonjuk, és a kapott számot megszorozzuk a közös betűkifejezéssel.) Például: 7 = 6 a b 6ab a b 7 a b 7ab = a b ab

18 Feladat: 6 8 = 9 7 (célszerű az egnemű tagokat azonos módon aláhúzni.) 6 7 = ( ) 9 p q p q 6pq (p q p q pq ) = (először a zárójelet kell felbontani; ha a zárójel előtt jel van, akkor a zárójel elhagásakor minden tag előjelét ellentétesre változtatjuk.) p q p q 6pq p q p q pq = 7p q p q 11pq

19 Eg tag szorzása eg taggal Eg tagot eg taggal úg szorzunk, hog az egütthatókat összeszorozzuk, majd az azonos betűkkel is elvégezzük a szorzást. Például: a a = 1a

20 Feladat: a b c a b 6 c = a a b b 6 c c = 0a b 9 c z z z z z = = r q p 9 r r q q p p 6 r q p r q p 6 = =

21 Eg tag szorzása több taggal Eg tagot több taggal úg szorzunk, hog az eg taggal a több tag minden tagját megszorozzuk. Például: ( ) = 6 1

22 Feladat: ( ) ( ) n m k n k 1 1 n k 8 km n 7 k n k z z ac ab c b a = = = =

23 Több tag szorzása több taggal Több tagot több taggal úg szorzunk, hog az egik többtagú összeg minden tagját a másik többtagú összeg minden tagjával megszorozzuk. Például: (a b) (a ab b) = 6a 10a b ab összevonás után: 9ba 1 ab b = 6a 10a b 11ab 1 ab b

24 Feladat: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 7ab a b ba 6ab a b a b a = = = = = n m k n k 1 1 n k m 6k n km 8 n m 8k km n 7 kn n k km =