10. évfolyam, első epochafüzet

Átírás

1 0. évfolyam, első epochafüzet Tulajdonos: (Ismétlés: algebra, függvények)

2

3 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Tartalom Amit tudni kell... Műveletek algebrai kifejezésekkel, egyenletek egyenlőtlenségek... 5 Összevonás...5 Szorzás, osztás...5 Elsőfokú egyenletek...8 Szöveges feladatok...9 Elsőfokú egyenlőtlenségek...9 A lineáris függvény...0 A nemlineáris függvények és a függvény-transzformáció... Másodfokú algebrai kifejezések...9 Nevezetes szorzatok...9 Szorzattá alakítás...9 Kiegészítés teljes négyzetté...0 Magasabbfokú azonosságok... Harmadfokú azonosságok... **Negyed, ötöd,. fokú azonosságok... Algebrai törtek... Egyenletek, egyenlőtlenségek...6 Algebrai törtes egyenletek, egyenlőtlenségek...6 Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek...6 A diszkrimináns...7 A gyöktényezős alak...7 A Viète-formulák (avagy összefüggés a gyökök és az együtthatók között)...8 Vegyes feladatok másodfokú egyenletekre...8 A másodfokú függvény... A másodfokú függvény és a másodfokú egyenlet... Hatványozás ismétlése...8 Műveletek hatványokkal...8 A negatív kitevőjű hatvány...8 Számok normálalakj...9 Vegyes feladatok hatványokr...0 Hatvány függvények... Feladatgyűjtemény... Műveletek algebrai kifejezésekkel... Egyenletek, egyenlőtlenségek...6 Gyökök és együtthatók...8 Lineáris függvények...9 Nemlineáris függvények...50

4 ELSŐ EPOCHAFÜZET Amit tudni kell az epocha végére Fogalmak: algebrai kifejezések, változó, együttható, egytagú, többtagú, egynemű, egyenlet, egyenlőtlenség, másodfokú egyenlet, diszkrimináns, gyöktényezős alak, függvény, lineáris függvény, meredekség, nemlineáris függvények, konvex, konkáv, zérushely, hatvány függvény, páros páratlan, hatvány, normálalak Összefüggések: nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, a lineáris függvény hozzárendelési szabálya, másodfokú gyökei közötti összefüggés, másodfokú gyökei és szélsőértékek közötti összefüggés, függvények és egyenletek közötti kapcsolat, hatványozás azonosságai Eljárások: műveletek elvégzése algebrai kifejezésekkel (szorzás, osztás, összevonás, zárójel felbontás), szorzattá alakítás, kiegészítés teljes négyzetté, algebrai törtek egyszerűsítése, elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása, másodfokú egyenletek megoldása, lineáris és nemlineáris függvények vizsgálata, függvények ábrázolása, függvény-transzformáció, számolás hatványokkal, normálalakkal Az epocha értékelése: 70% az epochazáró 0% az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják adni. (5-5). További 0 pontot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése. ami fontos az évben Ebben az évben a tételekre és bizonyításokra fogunk figyelni, hogy mit is jelent egzaktul kimondani egy állítást és ezt be is kell tudni bizonyítani. Az utolsó epochában mindenki be fog számolni az addig előforduló valamely tételből/tételekből és bizonyításából. Ezért már most érdemes készíteni egy füzetet, amiben ezeket gyűjtögetitek az utolsó epochár

5 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Műveletek algebrai kifejezésekkel, egyenletek egyenlőtlenségek Összevonás. Vonj össze mindent, amit lehet! 8 a + ( b a) + 5a ( x + 6x ) ( x + x 8) 5 7 a + a + a + a [ 5x ( x + { 6x } )] e. 7 ab 5ab + ab + a b ab + ab a b f. x + x 5x Szorzás, osztás. Végezd el a kijelölt műveleteket! x x 5x 5y 5 : 5 5 ( ) ( y ) 5 y 5d : d 5 e. x x 8 f. 8x : 6x a h. ( 8 abc) : ( ca) g. 6 b ( 5b a ) i. 5 ( c ) c j. ( 5x y z) : ( 5xyz) k. 5 ( d ) d l. ( b ): ( b). Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékei mellett! 0a ab a b 5 5 d x 5d x 6 6 p q p q 5

6 ELSŐ EPOCHAFÜZET. Végezd el a szorzásokat, osztásokat! Rendezd az összegeket csökkenő fokszám szerint! 5( y ) ( 5 x + 0) : 5 ( a + ) a ( x x ): x e. ( ) ( x + 5) x f. ( b 9b + 6b ): b g. 6 ( x + ) x h. ( x 8 + x ): 5. Bontsd fel a zárójeleket a műveletek elvégzésével! Ahol lehet, vonj össze! ( x )( x + 5) ( x x + 7)( x ) ( 6 y )( y ) ( y + x 5)( y 8x ) 6. Számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! (Előbb hozd a kifejezést a legegyszerűbb alakra, és csak a végén helyettesíts be!) A füzetbe dolgozz! ( 5)( x + ) ( x + 5)( x ) x ha ( 7)( y ) ( y )( y + ) y ha ( )( a ) + ( a + 6)( a 5) ( a 7a + ) 7 x 5 y 9 a 5, a ha 6 7. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékei mellett! Ne feledd, hogy ( ) ( x y) y x! Kikötés! a b b a b b a 5d 5n 5m ( c b) ( b c) ( i j) ( j i) 6

7 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Tudnivaló A) Azokat a műveleteket, amelyekben a betűk felcserélése esetén az eredmény nem változik, kommutatívnak nevezzük. Az alapműveletek közül ilyen az összeadás és a szorzás. Pl és B) Azokat a műveleteket, amelyekben a betűk tetszőlegesen csoportosíthatók, asszociatívnak nevezzük. Az alapműveletek közül ilyen az összeadás és a szorzás. Pl. ( + ) + 7, + ( + 7) és ( ) 5 60, ( 5) 60 Emlékeztető Ha betűkkel és számokkal műveleteket végzünk, akkor algebrai kifejezéseket kapunk. Az algebrai kifejezésekben előforduló betűket változóknak nevezzük. A változók valamely előre megadott alaphalmaz elemeit jelentik. (Általában az alaphalmaz a valós számok halmaza; ha nem, akkor külön meg kell adni az alaphalmazt.) Az algebrai kifejezés helyettesítési értékét kapjuk meg, ha a változó helyébe beírjuk az alaphalmaz elemeit és a kijelölt műveleteket elvégezzük. Az algebrai kifejezésben szorzótényezőként előforduló számokat együtthatónak nevezzük. Pl.: a b + ab kifejezésben a és a együttható. Egytagúnak nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás és osztás fordul elő, vagy a műveleti sorrend szabályait szem előtt tartava, az utolsó levégzendő művelet szorzás vagy osztás. Többtagúnak mondjuk, ha összeadás vagy kivonás szerepel, nem zárójelezett formában. Egyneműnek mondjuk azokat az egytagú algebrai kifejezéseket, amelyeknek csak az együtthatóik különböznek. Pl.: a b és a b. Összevonni csak egynemű algebrai kifejezéseket tudunk. Ilyenkor összevonjuk az együtthatókat, a betűkifejezések változatlanok maradnak. Pl.: a b + a b 5a b. Zárójeles kifejezések összevonásánál alkalmazzuk a számoknál tanultakat: Pl.: 5a + ( a ) 5a + a 8a vagy 5 a ( a ) 5a a + a + Algebrai kifejezések szorzása és osztása esetén: a) ha egytagú a kifejezés, akkor az együtthatókkal elvégezzük a kijelölt műveletet, a betűkre pedig a hatványozás szabályait alkalmazzuk. 5 5a b 5b Pl.: a b 5a b c 5a b c vagy. 5a b a 7

8 ELSŐ EPOCHAFÜZET b) többtagú kifejezésekkel úgy végezzük el a műveletet, hogy az egyik tényező minden tagját összeszorozzuk a másik tényező minden tagjával. Pl.: vagy vagy ( a + b) 5a + ab 5a 5 ( 5a + )( a + b) 5a + 6a + 5ab + b ( 5a + b + )( a + b) 5a + ab + 6a + 5ab + b + b 5a + 8ab + 6a + b Elsőfokú egyenletek Minden egyenlethez, egyenlőtlenséghez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet, egyenlőtlenséget. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásainak, vagy az egyenlet, egyenlőtlenségek gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldáshalmazát. A megoldáshalmazt szokás számegyenesen is ábrázolni. Ez különösen az egyenlőtlenségeknél érdemes használni. 8. Emlékezz! Mi az a mérleg elv? Mit lehet illetve nem lehet megtenni az egyenlet egyenlőtlenség mindkét oldalával? Mikor van gyök vesztés, illetve mikor nyersz hamis gyököt? 9. Milyen x-re teljesül az egyenlőség? (Figyelj, a törtvonal zárójelet helyettesít!) (Az egyenlet megoldása után ellenőrizz!) 8 x ( 5 x) 6 ( x + 9) x ( x 5) 5x( x) ( x )( x + ) x x x + x + x e. 5x + 6x 5 7x f. 6x 5x 6 x + 5 g. x + x + 5 x x x + 8 8

9 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Szöveges feladatok 0. Egy télikabát ára decemberben 800 Ft volt nem fogytak így leértékelték őket. Január végén a kiárusításkor kétszer annyi százalékkal szállították le az árát így 900 Ft lett az új ár Hány százalékosak voltak az árleszállítások?. Béláék januárban betettek a bankba 5000 Ft, a következő év januárjában tudtak csak hozzá tenni 8000 Ft-t, de ebben az évben a kamatokat is megemelték januártól 8%-kal. így a következő évben mikor kivették a pénzüket 5560 Ft-ot kaptak. Mekkorák voltak a kamatok a két évben?. A termelők a táp, a benzin st árának emelkedése miatt úgy emelték meg a tej árát, hogy zuhanni kezdett a fogyasztás. ezért csökkentették a megemelt árat úgy, hogy félszer annyi százalékkal csökkentették, mint amennyivel emelték. Így a vaj csak 8%-kal lett csak magasabb az eredetinél. Hány százalékkal emeltek első körben?. Egy bank 5% kamatot fizet minden évben a betétekre. Mekkora összeget tettek be Szabóék három évvel ezelőtt, ha most 0000 Ft-ot vettek ki?. **00000 Ft kölcsönt szeretnénk felvenni, ennek 5/8-át a barátok összeadják, így csak a maradékot kell felvenni a banktól %-os éves kamatr Hány hónap alatt tudjuk kifizetni, ha havonta maximum 0000 Ft-ot tudunk a törlesztésre fordítani? 5. Egy dl 0%-os ecethez, mennyi vizet öntsünk, hogy 8%-os oldatot kapjunk? 6. Egy % dl és egy dl 7%-os alkoholt összeöntve hány százalékos lesz az koktélunk? Mennyi narancslevet öntsünk hozzá, hogy 6%-os oldatot kapjunk? 7. Péter édesanyja korának az ötödétől -vel több, a húgáétól -gyel több, aki édesanyjuk korának épp a hetede. Hány évesek? 8. Karcsi és Ricsi testvérek. Egyik héten egyikük, másik héten a másikuk takarítja ki a szobájukat. Karcsi 5 perc alatt, Ricsi 5 perc alatt takarítja ki. Mennyi idő lenne, ha közösen tennék meg a takarítást? Elsőfokú egyenlőtlenségek 9. Gyűjtsd össze, hogy mi az azonosság, ellentmondás és mi a különbség az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásában! Írásban dolgozz, a füzetben! 0. Oldd meg az egyenlőtlenségeket, és a megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen! x + x 6x + x x + 5 < x x x 9x + < 9

10 ELSŐ EPOCHAFÜZET. Van-e megoldása a következő egyenlőtlenségeknek? A megoldásokat ábrázold számegyenesen! Figyelj a megadott alaphalmazra is! és x 5 x x + < 5x + 0, 5 és x Z x x x x és x 0 5 x x 9x + + < és x Q x ( x + )( x ) < 8 + x ( ) A lineáris függvény. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal! 5 + f ( x ) x ( ) g x x h ( x) x ( ) i x x + a) b) c) d). Ábrázold a füzetbe a következő függvényeket, majd írd be a betűjeleket a következő oldalon a megfelelő helyre! a( x) x b ( x) c( x) 0 d ( x) x e. e ( x) x+ 5 f. f ( x) x 7 g. g ( x) x+ h. h( x) 5 x 5 0

11 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK konstans függvény: szigorúan monoton csökkenő: szigorúan monoton növekvő: egymásra merőlegesek: elsőfokú függvény: átmegy az origón: zérushelye egész szám: helyettesítési értéke 0-nál :. Írd a megfelelő függvénynek betűjelét az állításokhoz! (Ábrázolás nélkül döntsd el!) a ( x) x+ 7 b( x) x 8 Illeszkedik a c ( x) x+ d ( x) e. e ( x) x+ f. f ( x) x+ 5 g. g( x) x 5 h. h( x) x 7 P(; ) pontra: Q(-; 6) pontra: R(-; -) pontra: S(5; -) pontra: Nem illeszkedik egyik pontra sem: 5. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! (Jellemzés: értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, y tengellyel való metszéspont, menete), 5x xa, x [ ; ) x + xa, x ( ; ] 6. Előbb ábrázold a füzetedbe a függvény grafikonját, majd add meg a hozzárendelési szabályt! Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel nő. Átmegy a (0; ) ponton, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel nő. Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel csökken. Átmegy a (0; ) ponton, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel csökken. e. Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel nő. f. Átmegy a (0; ) ponton, és az x tengely pozitív irányában egységet haladva egységgel nő.

12 ELSŐ EPOCHAFÜZET 7. A következő függvények közül ábrázolás nélkül válogasd ki azokat, amelyeknek grafikonja egyenes! Választásod indokold is! f : xa 5 x + h : xa x k : xa x q : xa x + x x m : xa r : xa s : xa x + n : xa x +, x N x 5 g : xa ( x + ) + 5( x ) 6( x ) l : xa x x ( x ) + 5( x ) és a 8. Válaszolj a kérdésekre úgy, hogy az f ( x) x 5 a g ( x) x+ ( x) x 000 h függvényeken illusztrálod válaszod! Hogyan lehet kiszámolni, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt? Hogyan lehet zérushelyet (x tengellyel való metszéspontot) számítani a hozzárendelési szabály alapján? Mit jelent, hogy egy függvény helyettesítési értéke mennyi egy megadott x érték esetén? Hogyan válaszolhatsz arra a kérdésre, hogy hol vesz fel a függvény egy megadott értéket? A LINEÁRIS FÜGGVÉNY Azokat a függvényeket, melyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvénynek nevezzük. A lineáris függvények hozzárendelési szabálya mindig a vagy f ( x) mx + b vagy y my + b x mx + b Az m a függvény meredekségét jelöli alakú A meredekség megmutatja, hogy az x tengely pozitív irányába egy egységet haladva mennyivel változik a függvény értéke. Ha m > 0 akkor nő, és ha m < 0 akkor csökken a függvény értéke A b értéke megmutatja, hogy a grafikon hol metszi az y tengelyt. Ha a hozzárendelés f ( x) mx alakú, vagyis a b értéke nulla, akkor a grafikon áthalad az origón. Az ilyen hozzárendelés esetén, ha x értékét valahányszorosára változtatjuk, akkor y értéke is ugyanannyi szorosára változik, vagyis egyenes arányosságról beszélhetünk. Ha a hozzárendelés f(x)b alakú, vagyis m értéke nulla, akkor a függvény értéke állandó (konstans), nem is függ az x-től. Ilyen esetben a grafikon egy x tengellyel párhuzamos egyenes. A függvény helyettesítési értéke alatt az xa f ( x) értjük. Tehát az ( x) 5 x + akkor 7 a, tehát ( ) 7 f. f, Lineáris függvény zérushelye, az az x, amihez a szabály 0-t rendel. Az előző példában a zérushely a 5. A függvény menete a meredekségtől függ, most m 5, azaz csökkenő.

13 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 9. Oldd meg grafikusan! x x x x x 6 < 5 x x > x A nemlineáris függvények és a függvény-transzformáció 0. Ábrázold az alapfüggvényeket és egyszerű transzformáltjaikat, részfeladatonként külön koordinátarendszerbe, színessel! (Ha kell, készíts értéktáblázatot!) f : xa x h : xa g : xa x + x f : xa x g : xa x 5 h : xa ( x + ) f ( x) g h ( x) x x + x ( x) f ( x) [ x] g( x) { x} + h( x) 5sgnx. Ábrázold és jellemezd a függvényeket (a táblázat szerint)! : x x a a ( ) b : xa x c : xa x 5 d : a + x ÉT ÉK Zh Tm Min Max Növekvő Csökkenő a b c d

14 ELSŐ EPOCHAFÜZET. Ábrázold és jellemezd a függvényeket (a táblázat szerint)! a : xa 5 x b : xa x 5 ( ) c : xa x + d : xa x 6 ÉT ÉK Zh Tm Min Max Növekvő Csökkenő a b c d. Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát!

15 . Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát! ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 5. Rajzold be a koordináta-tengelyeket, ha adott a függvény grafikonja és a hozzárendelési szabály! Figyelj a szélsőértékekre! Milyen típusú és hol mennyit vesz fel? Kiolvasható a hozzárendelési szabályból? xa x xa x ( ) a xa x x ( x ) + 5

16 ELSŐ EPOCHAFÜZET Most figyelj a zérushelyekre! Milyen kapcsolat van a zérushelyek és a szélsőérték helyek között? Ábrázold a következő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját! A a : xa x : x x + e : xa x f : xa x + B ( ) C i : xa x+ : x x b a ( ) j a ( ) c : xa x d : xa x+ g : xa x h : xa + x k : xa x + l : xa + x 7. Ábrázold a következő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját! és az Értelmezési tartomány hogyan szűkíti! a a x [ ;] c : xa ( x ) x ( ; ) A : x x B ( ) e : xa x C : xa x+ + x R g : xa x ] ; ] x : x x + x 0;5 i x [ ; [ k a ( ) ] ] 8. Ábrázold a következő összetett függvényeket! a ( x) x a ( x) ( x ) b ( x) x c ( x) x c ( x) x b ( x) ( x ) c ( x) ( x ) d ( x) ( x ) Hány zérushelye van függvényeknek? Mi mondható el a szélsőértékhelyekről? És értékekről? Milyen a menetük?

17 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 9. **Ábrázold a következő összetett függvényeket! a ( x) x + x + b ( x) x 5 x 5 ha ha ha x < x < x c ( x) x x + 7 d ( x) e. e ( x) x x x 5 x f. f ( x) x 6x + 5 g. g ( x) x 8x + 7 7

18 ELSŐ EPOCHAFÜZET Függvény-transzformáció: Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt (pl. f ( x) x ) meghatározó szabályhoz egy pozitív számot adunk, akkor a grafikon az y tengellyel párhuzamosan, a hozzáadott értéknek megfelelően, pozitív irányba tolódik el (pl. g ( x) x + ). Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó szabályhoz egy negatív számot adunk, akkor a grafikon az y tengellyel párhuzamosan, a hozzáadott értéknek megfelelően, negatív irányba tolódik el (pl. ( x) x Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt (pl. f ( x) x ) meghatározó művelet elvégzése előtt x-hez egy pozitív számot adunk, akkor a grafikon az x tengellyel párhuzamosan a hozzáadott értéknek megfelelően, negatív irányba tolódik el (pl. g x x +. ( ) Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó művelet elvégzése előtt x-hez egy negatív számot adunk, akkor a grafikon az x tengellyel párhuzamosan a hozzáadott értéknek megfelelően, pozitív irányba tolódik el (pl. h ( x) x ). h ). Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt (pl. f x x ) meghatározó szabályt mínusz eggyel ( ) megszorozzuk, akkor a grafikon tükröződik az x tengelyre (pl. p( x) x ). Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó szabályt valamilyen pozitív, egynél nagyobb számmal megszorozzuk, akkor a grafikon függőleges irányban a szorzó számszorosára nyúlik meg (pl. g(x)). Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó szabályt valamilyen pozitív egynél kisebb számmal megszorozzuk, akkor a grafikon függőleges irányban a szorzó számszorosával zsugorodik össze (pl. h(x)). 8

19 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Másodfokú algebrai kifejezések Nevezetes szorzatok 0. Párosíts össze a kifejezéseket! (Lehet, hogy van páratlan!) ( a + ) ( a +) a ( a )( a + ) e. ( a + )( a + ) A. a B. a + a + C. a + a + D. a a + E. a +. Végezd el a műveleteket! ( x + ) ( a + b) ( y ) ( b c) e. ( z + 5)( z 5) f. ( 6 c a)( 6c + a). Végezd el a műveleteket! ( x + y) ( 7 y 5z) ( z + 6x)( z 6x) ( 8a + b ) 7 e. ( 0b 9c ) 5 5 f. ( 7c b 5a )( 7c b + 5a ) Szorzattá alakítás. Írd le a tanult szorzattá alakítási módszereket! Minden módszer mellé írj példát is!. :... példa:... :... példa: példa:.... Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a + 0a + 5 b b + 6 c 9 d + d e. e e f., f 9

20 ELSŐ EPOCHAFÜZET 5. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! x + xy + 9y 9y 70y + 5 x ab + 6a + b e. 6 69c 6c b + b f. 5a 6b 6. Bontsd szorzattá, amennyire csak lehet! (A füzetbe dolgozz!) 5x 5y y a ab + b b ab + a e. a ( x + ) + b( x + ) f. x( 5 a) ( 5 a) g. y ( x + ) x( x + ) h. * x xz x + z i. * a + a a a j. ** a ab + b k. 6 ** x x + x + x l. *** x + x + m. *** x + 6x Kiegészítés teljes négyzetté 7. Párosíts össze a kifejezéseket a hiányzó részekkel! (Mindegyik teljes négyzet legyen!) Utána írd fel a kifejezést zárójeles alakban! x A. 0 x x B. 8 x x C. 6 x 9x D. x e. x E. 8 x 8. Egészítsd ki teljes négyzetté! (Segítség: A másodfokú és az elsőfokú tag alapján határozd meg, hogy mi kerül a zárójelbe, utána számold ki a maradékot!) x x +... ( x... ) y + 6 y +... ( y +... ) a 0 a +... ( a +... ) b + b +... (...b +...) e. x + x +... ( x +... ) f. y + y +... ( y +...) g. 9 a + 6a +... ( a +...) h. 5 b 0b +... ( 5 b...) 9. Egészítsd ki az alábbi kifejezéseket teljes négyzetté! ( ) x + xy c + cd p q x z 9 e a b 50. Írd fel teljes négyzet segítségével a kifejezéseket! (A négyzetre emelés elvégzésével ellenőrizheted megoldásod helyességét.) Pl.: x + 6x + 7 ( x + ) y y + x x x + x + 5 y y + 6 e. y 6y 8 f. x + x g. * x x h. * 9y + y 0

21 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 5. ** Írd fel teljes négyzet segítségével a kifejezéseket! x + x z + z 0 0, y + y Figyeld meg a példát, és mintájára oldd meg a feladatokat! Példa: x 6x + ( x x) + ( x ) ) + ( x ) + ( x ) + x 8x + 5 x + x 8 x + 7x x 5x Egyszerűsítsd a törteket! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!) * Számítsd ki! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!) * Számítsd ki a törtek értékét! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!) ( ) ( ) ** Végezd el a műveleteket! (Ne feledkezz meg az összevonásról!) ( a + b)( a ab + b ) ( a + b)( a a b + ab b ) ( a b)( a + ab + b ) ( a b)( a + a b + ab + b ) Mit tapasztalsz az összevonások után?......

22 ELSŐ EPOCHAFÜZET Magasabbfokú azonosságok Harmadfokú azonosságok 57. Írd fel zárójel nélkül! ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) ( a + ) ( a + ) ( a + ) ( a + ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) 58. Párosítsd össze a kifejezéseket! (Nem biztos, hogy mindegyiknek van párj) x 6x + x 8 x + x + 6x x + 8 e. + x + x x y + xy y A. ( ) x x B. ( ) x x C. ( ) x x D. ( ) x y x E. ( ) 59. * Végezd el a zárójelek felbontását! x ( x + y) ( z x) ( a + ) ( b ) e. ( ) z + f. p q 60. ** Egészítsd ki! (Visszaszorzással ellenőrizd, hogy helyesen gondolkodtál-e!) + b ( a b) (...) b ( a b ) (... ) a + a 6. *** Bontsd szorzattá, amennyire csak lehet! a + a + + x x + 6x x y 7 e. a b + ab f. x 6 6

23 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK **Negyed, ötöd,. fokú azonosságok 6. Írd fel zárójel nélkül! A végeredmény rendezd a-ra csökkenő hatvány szerint! ( a + b) ( a + b)( a + b) ( a + b)( ( a + ) ( a + )( a + ) ( a + )( ( a b) ( a b)( a b) ( a b)( ( a ) ( a )( a ) ( a )( 5 e. ( a + b) ( a + b)( a + b) ( a + b)( 5 f. ( a b) ( a b)( a b) ( a b)( Mit tapasztalsz? Hány tagú lesz az összeg? Mi mondható el az együtthatókról? Fel tudnád írni, akár rögtön is? ( a + b) 6 ( a b) 6 ( a + ) 6 ( a ) 6

24 ELSŐ EPOCHAFÜZET Algebrai törtek 6. Bontsd szorzattá a számlálót és a nevezőt kiemeléssel vagy nevezetes szorzatok alkalmazásával, majd egyszerűsíts! (Ne feledkezz meg a kikötésről sem! Emlékszel, a nevezőben nem lehet nulla! Miért?) c c + cd rs + bs s + st a a a ef e + ef n + n e. na + nb b 9 f. b ( ) g. 5x 5y ** x + y h. a b ** b a i. x ** x j. b 6b + 9 ** b k. x x + 9 ** x l. 6 y + 9y ** y 6. Végezd el a törtek összevonását! (A lehető legkisebb közös nevezővel dolgozz!) m + 5 m a 5b a b a a a + + a a e. + + a f. + a a x x Dolgozz a füzetbe! Először alakítsd szorzattá amit lehet, utána egyszerűsíts, majd végezd el a szorzásokat és osztásokat! (Tegyél kikötést is!) a ab b * b a x * x x e. e + eg eg + g * : e g g. x x * : x + x + b b ** : 0b + 0b + x + 5 x 9x ** + x x + x f. a b a + b *** + ab : a b 66. ** Dolgozz a füzetbe! Bontsd szorzattá a számlálót és a nevezőt, utána egyszerűsítsd a törteket! (A szorzattá alakítás történhet kiemeléssel, vagy nevezetes azonosság alkalmazásával.) A kikötéseket is írd fel! x + y x + x y + xy + y x + x y + xy + y x + xy + y

25 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK x + x + x + + e. x x y + xy y x y g. 5x 5 x 9x + 9x x 6x + x 8 x x + f. x 6x y + 6xy y x 6xy + y Nevezetes szorzatok: I. II. ( A + B) A + AB + ( A B) A AB + B B III. ( A + B) (A B) A B A + B A + A B + AB + B IV. ( ) A B A A B + AB B V. ( ) ** VI. A + B ( A + B)( A AB + B ) ** VII. A B ( A B)( A + AB + B ) Ezek nagyon hasznos összefüggések, sokszor egyszerűsítik a számolást, érdemes őket fejből tudni! 5

26 ELSŐ EPOCHAFÜZET Egyenletek, egyenlőtlenségek Algebrai törtes egyenletek, egyenlőtlenségek 67. Oldd meg az egyenleteket! Először, ahol lehet, alakíts szorzattá a tanult azonosságok vagy kiemelés segítségével, és egyszerűsíts! Ne feledkezz meg a kikötésekről! x x + x + x 8x + 6 7x + 5 x 5x x x + 5x 68. Milyen valós számokra teljesül? Ne felejtkezz el a kikötésékről! x x + < 0 > 0 x x 5 5 a y 0 > 0 a y e. d c + < 0 f. * + < 0 d d c + g. b x * h. * < b + x 69. **Mely valós számokra igaz? ( x ) 0 x x + 6x + 5 < 0 x ( x + ) > 0 5 x x + x 5 0 x 70. Milyen valós számokra teljesülnek a következő egyenletek? (Kikötés, ellenőrzés!) f. x x x x x x 9x + x x x + x + 5 x x 5 x x 9 x x 5 x x + 6x e. + 0 x + x x 6 x + x ( x ) g. x x + x 9 Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek h. x x x 8 6x x + + x x 7. Add meg az egyenletek megoldását! (Ha lehet, ne használd a megoldóképletet! Alakíts szorzattá, logikázz! Figyelj arra, hogy az összes megoldást megtaláld!) x 5 x ( x 5) x + 6x e. 0 0 x x + g. 00 x h. 0x, i. x j. ( x 0 ) x 0 k. x + 5 0x l. 5x 0x 0 x f. ( )( ) 6

27 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 7. ldd meg az egyenleteket! x x 6 0 x + 8 x x 0 x 5x 0 e. 8x 6x f. x ( x ) ( x )( x 5) g. ( ) ( )( ) ( ) h. i. x + x + x + x x x x 7x x x 0 x x x 5 ( ) ( x + ) 5 A diszkrimináns 7. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány valós megoldása van a következő egyenleteknek! (Vizsgáld a diszkriminánst!) x 5x x x x + 7x 0 x + x 7 5x e. 5x 6 x 7x f. x 5x 0 x g. x x h. 5x x i. x + 9x + 0 j. x + 6x + 5x k. x 7x 5x x l. x 7 9x x 7. ** Határozd meg az a x + x + 0 egyenletben az a paraméter értékét úgy, hogy ne legyen megoldása a valós számok körében! egy valós gyöke legyen! két különböző valós gyöke legyen! 75. ** Határozd meg az x + b x egyenletben az b együttható értékét úgy, hogy ne legyen megoldása a valós számok körében! egy valós gyöke legyen! két különböző valós gyöke legyen! A gyöktényezős alak 76. Mi a megoldása az alábbi egyenleteknek? (Ne feledd, egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla!) ( x )( x + 5) 0 ( x )( x + 8) 0 x ( x + 7) 0 ( x )( x 7) 0 e. ( x 9)( 7 5x) 0 f. ( x )( x )( x ) Írj fel egy másodfokú egyenletet, melynek a gyökei és 5 és -6 0 és és Írd fel szorzat alakban a másodfokú algebrai kifejezéseket! x 5x + 6 x + 7x 0 x x 6 x + 5x 7

28 ELSŐ EPOCHAFÜZET 79. Egyszerűsítsd az algebrai törteket! A kikötésről ne feledkezz meg! x 5x + 6 x + 0 x x + 7x 0 6x + 6 x + 5x x x 6 x 80. Egyszerűsítsd az algebrai törteket! (Kikötés!!!) x x * x + 6x + 5 x + x ** x + x e. 6x + x ** x + 5x g. x x 0 ** x 7x 5 x x * x x + x + x 6 ** x + x f. x + x ** x x + h. x + x 5 ** x + x + 5 A Viète-formulák (avagy összefüggés a gyökök és az együtthatók között) 8. Add meg az egyenletek megoldását, majd keress összefüggés a kapott gyökök összege illetve szorzata, valamint az eredeti egyenlet között! x 5x x + 7x 0 0 x x 6 0 x + 5x 0 8. Bizonyítsd be, hogy ha egy másodfokú egyenletben a főegyüttható értéke nulla (a ), akkor a két gyök összege az elsőfokú tag együtthatójának ellentettje ( x + x b ), a két gyök szorzata pedig a nulladfokú tag ( x x c )! 8. Ha a másodfokú egyenlet általános alakja: ax + bx + c 0, és két gyöke x és x, b c akkor a gyökök és együtthatók között x + x illetve x x összefüggések a a állnak fenn. Ezeket Viète-formuláknak is nevezzük. Bizonyítsd be, hogy ez mindig teljesül! 8. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg az x + 0x + 0 egyenlet gyökeinek összegét és szorzatát! Vegyes feladatok másodfokú egyenletekre 85. Oldd meg a ( ) ( x + 5)( x ) + x egyenletet az egész számok halmazán! 86. Oldd meg a 6 ( x + ) ( x ) ( x + x ) 87. Oldd meg a ( + )( x ) Oldd meg a ( + )( x) + x 9 x egyenletet a valós számok halmazán! x egyenletet a negatív számok halmazán! x egyenletet a pozitív számok halmazán! 8

29 89. Tegyél kikötést, majd oldd meg az egyenleteket! ( + x ) 6 + x x x x x x + x 6 + x x ( x + ) x x + * x x + x x + x 6 e. * + x x + x 6 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK f. 6 * + x x + x g. x 7 ** + + x 9 x x + x + h. x 7 ** + + x 9 x x + x + i. 6 x ** x x x j. x *** x x + x + x *** Az ax + 7x + 0 egyenlet egyik gyöke x. Határozd meg a másik gyököt és a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját! 9. *** Az x bx egyenlet egyik gyöke x 5. Határozd meg a másik gyököt és a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját! 9. Egy x8 cm-es kép körül egyenlő szélességű keret van. Határozd meg a keret szélességét, ha a keret területe a kép területének 75%! 9. Két egymás utáni páratlan szám szorzata 599. Add meg a két számot! (Lehetnek negatív számok is!) 9. Egy téglalap alakú kert hosszabb oldala a rövidebb kétszeresénél 5 méterrel nagyob A kert területe 8 m. Milyen hosszú a két oldal? Hány méternyi kerítésre lesz szükség a bekerítésre, ha egy m-es kapu helyét kihagyják? 95. Egy derékszögű háromszög egyik befogója cm-rel hosszabb, mint a másik, területe pedig 6 cm. Mekkora a két befogó? Számítsd ki az átfogót és a háromszög kerületét is! 96. Két szomszédos pozitív számot összeszorozva a szorzat 79-cel lesz nagyobb a két szám közül a kisebbiknél. Melyik volt a két szám? 97. Egy társaság karácsonyi partit rendezett. Mindenki apró meglepetéssel készült a társaság többi tagja számár Összesen 7 ajándék cserélt gazdát. Hányan voltak a partin? 98. Van-e olyan konvex sokszög, melynek 90 átlója van? 9

30 ELSŐ EPOCHAFÜZET 99. Egy négyzet egyik oldalát 6cm-rel megnöveljük, a másikat ugyanennyivel csökkentjük, így egy 6 cm területű téglalapot kapunk. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala, és területe? 00. Egy téglalap egyik oldala cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 7 cm. Mekkorák az oldalai? Számítsd ki a kerületét és a területét! 0. Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 70. Melyik ez a három szám? 0. Bonts fel a 0-et két olyan pozitív egész szám szorzatára, melyeknek az összege! 0

31 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK A másodfokú egyenlet Tétel: Nullára rendezett általános alakja: ax + bx+ c 0, ahol a, b,c R ; a 0. Ennek megoldását az *** Bizonyítás: x, b± b ac megoldóképlet segítségével kaphatjuk meg. a b c. Emeljünk ki a -t: a x + x+ 0 a a b b c. A zárójelen belül alakítsunk teljes négyzetté: a x a a a b b ac. A két utolsó törtet hozzuk közös nevezőre: a x + 0 a a b b ac. Osszuk el az egyenletet a -val ( a 0 ): x + 0 a a b b ac 5. Rendezzük: x + a a (Mivel a baloldalon egy nemnegatív szám áll, ezért csak akkor van megoldás, ha a jobboldali kifejezés is ilyen, vagyis b ac 0 ) 6. Ha ismerjük egy szám négyzetét, akkor négyzetgyökvonással az abszolút b b ac értékéhez jutunk, ezért: x+ ± a a b b ac 7. Átalakítás után: x ± a a b b ac 8. Ahol lehet, gyököt vonunk: x ± a a A törteket közös törtvonalra írva, megkapjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x, b± b ac a A levezetésből az is kiderül, hogy a megoldások száma a diszkrimináns előjelétől függ: ha b ac ha b ac > 0, akkor két megoldás van, 0, akkor egy megoldás van, ha b ac < 0, akkor nincs megoldása az egyenletnek. b ac kifejezés, vagyis a

32 ELSŐ EPOCHAFÜZET ***Bizonyítás:. Szorozzunk be a -val a x + abx + ac 0 b b. Alakítsunk teljes négyzetet ax + + ac 0 b b. A konstans tagokat vigyük át a másik oldalra ax + ac. Hozzuk közös nevezőre a jobb oldalt 5. Vonjuk gyököt b ax + b ax + ± b b ac ac 6. Vigyük át a ax b ± b ac 7. Hozzuk közös nevezőre b ± ax b ac 8. Osszuk el a -val b ± b ac x, a Gyöktényezős alak Ha az ax + bx+ c 0 másodfokú egyenlet két gyökét x és x jelöli, akkor átírható alakúr A Viète-formulák ( x x )( x x ) 0 a Tétel: Ezek a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket adják meg: *** Bizonyítás: x + x x x c a b a b+ b ac b b ac b x+ x + a a a b a ( b) ( b ac ) b ( b ac) b+ b ac b b ac ac x x a a a a a c a

33 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK A másodfokú függvény 0. Vizsgáljuk meg a másodfokú alapfüggvényt, vagyis az ( ) Rajzold le a füzetbe a grafikonját, majd döntsd el, hogy igaz-e, hogy f x x függvényt! a függvény grafikonja szigorúan monoton növekvő, ha az x értéke pozitív? a függvény grafikonja szigorúan csökkenő, ha az x értéke negatív? a függvény grafikonjának töréspontja van (nem sima ) az x 0 helyen? a függvényértékek között nincs sem legkisebb, sem legnagyobb? e. ha x helyére egyre nagyobb pozitív számot helyettesítünk, akkor az f(x) is egyre nagyobb? f. ha x helyére egyre kisebb negatív számot helyettesítünk, akkor az f(x) is egyre kisebb? g. a függvény minden valós számhoz nemnegatív számokat rendel? h. a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre? i. a függvény értékkészletébe minden nemnegatív szám beletartozik? j. a függvény grafikonja a [; ] intervallumban a (; ) és (; 9) pontokat összekötő szakasz alatt van? Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konvex, ha grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény grafikonjának pontjai felett vannak. Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konkáv, ha grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény grafikonjának pontjai alatt vannak. 0. Milyen változást eredményeznek a hozzárendelés szabályában a megadott geometriai-transzformációk? (Kiindulási alap az f ( x) x.) Melyik esetben marad konvex a függvény, és mikor változik konkávvá? Az x tengelyre vonatokozó tengelyes tükrözés: Az origóra vonatkozó középpontos tükrözés: A v(0; ) vektorral való eltolás: A w(-; 0) vektorral való eltolás: e. A u(; -) vektorral való eltolás: f. Függőleges irányú kétszeresre nyújtás:

34 ELSŐ EPOCHAFÜZET 05. Az ( ) f x x függvény grafikonjának melyik geometriai transzformációival nyerhetők a következő függvények? Vizsgáld meg a függvények konvexitását is! a( x) ( x ) b( x) x + 5 c( x) x d( x) ( x+ 6) e. e( x) ( x) f. f ( x) ( x ) 06. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket! (Először alakítsd át a hozzárendelési szabályt teljes négyzetté kiegészítéssel!) a( x) x 0 x+ 5 b( x) x + 6 x+ c( x) x x+ d( x) x x 07. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket! a( x) x x+ 8 b( x) x 8 x c( x) x + x d( x) x + 6 x Döntsd el az előző két feladat függvényeiről, hogy igaz-e rájuk az állítás! Nincs zérushelye: Két zérushelye van: Egy zérushelye van: Alulról nézve konvex: e. Alulról nézve konkáv: f. Van minimuma: g. Van maximuma: 09. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket! ** a( x) x + 8 x+ ** b( x) x + x+ 9 ** c( x) x + x ** d( x) x + x+ x 8 x e. ** e( x) + 6 f. *** f ( x) x 6 x+ 8 g. *** g( x) x + 8 x 9 + h. *** h( x) x x+ A másodfokú függvény és a másodfokú egyenlet 0. Az x + 6 x+ 9 0 egyenlet diszkriminánsa 0. Mit tudunk ennek alapján elmondani az f ( x) x + 6 x+ 9 függvény grafikonjáról?. Számold ki az f ( x) x x+ 0 függvény zérushelyét? Hol lesz ennek a függvénynek a szélsőértéke? (Maximum vagy minimum?)

35 . Számold ki az f ( x) x + x 0 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK függvény zérushelyét? Hol lesz ennek a függvénynek a szélsőértéke? (Maximum vagy minimum?). Egy g ( x) függvényről tudjuk, hogy a zérushely kiszámítására felírt másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív, és az x együtthatója pozitív. Milyen tulajdonságait lehet megállapítani ennek alapján? És ha még azt is tudjuk, hogy a két zérushely és 5?. Hol lesz az f ( x) x x függvény zérushelye? Milyen x-ekre lesz a függvény értéke pozitív illetve negatív? Ábrázold az x x > 0 egyenlőtlenség megoldását számegyenesen! 5. Egy másodfokú függvény két zérushelye -5 és. A másodfokú tag együtthatója negatív. Mit tudsz a függvényről ennek alapján? (Készíthetsz vázlatos ábrát is.) 6. Mit tudunk az f ( x) ax + bx + c függvény a és c értékeiről és a zérushelyét megadó másodfokú egyenlet diszkriminánsáról akkor, ha a függvénynek maximuma van az x pontban, és ez a pont a grafikonon az x tengely alatt található. a c D a függvény grafikonja az y tengelyt pozitív és az x tengelyt két helyen negatív értékekben metszi. a függvény minimuma az x tengelyt érinti a függvény minden értéke pozitív. e. a függvény grafikonja áthalad az origón, és maximuma az x -ban van. 7. Válaszolj a kérdésekre úgy, hogy nem ábrázolod a függvényt! f ( x) x x+ 0 Hol metszi a függvény az x, illetve az y tengelyt? Maximuma vagy minimuma van? Melyik a szigorúan monoton növekvő szakasza? Melyik a szigorúan monoton csökkenő szakasza? e. Alulról nézve konvex vagy konkáv? 8. Válaszold meg az előző feladat kérdéseit az alábbi függvények esetében! * a( x) x + 6 x 5 * b( x) c x x 8 x x + 5 x+ x x d x ** ( ) ** ( ) 5 5

36 ELSŐ EPOCHAFÜZET A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY Azokat a függvényeket nevezzük másodfokúnak, melyek az ( ) f x x függvényből transzformáció segítségével állíthatók elő. Ezek közös jellemzői, hogy a hozzárendelési szabályt megadó képletben a változó legmagasabb hatványkitevője. Ilyenek pl.: g ( x) x ; ( x + ) y + ; xa x + x ; xa ( x ) Az ilyen függvények grafikonját értéktáblázat vagy függvény-transzformáció segítségével tudjuk elkészíteni. A grafikon parabola formájú. A hozzárendelési szabály általánosan: f ( x ) ax + bx + c Ha az a értéke negatív akkor a parabola konkáv (vagyis lefelé nyílik), ha az a értéke pozitív, akkor a konvex (vagyis felfelé nyílik). Az első esetben maximuma a második esetben minimuma van a függvénynek. A hozzárendelési szabályból az is leolvasható, hogy a grafikon az y tengelyt c-nél metszi. A függvény zérushelyét az ax + bx + c 0 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg. Ez azt jelenti, hogy amennyiben az egyenlet diszkriminánsa negatív, akkor a nincs zérushelye, vagyis a grafikon nem metszi az x tengelyt. Ha a diszkrimináns 0, akkor egy zérushelye van, vagyis a grafikon érinti az x tengelyt. Ha a diszkrimináns pozitív, akkor két zérushelye van, vagyis két pontban metszi az x tengelyt. A grafikon elhelyezkedését mutatja az alábbi ábra, a főegyüttható (a) előjele és a zérushelyek függvényében:. Két zérushely esetén a parabola szimmetriája miatt a szélsőérték helye a két zérushely számtani közepe. 6

37 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 9. Oldd meg grafikusan ( ) x x! 0. Oldd meg grafikusan ( x + ) x!. Oldd meg grafikusan ( ) 5 x 9 x!. Oldd meg grafikusan ( ) < x!. Oldd meg grafikusan ( + ) + 5 x!. Oldd meg grafikusan x + x + 5 5! 5. Oldd meg grafikusan x + x +! 6. Oldd meg grafikusan az egyenlőtlenségeket! x + 6x 7 0 x 8x e. x 9x x x 8 < 0 x + 7x + 6 > 0 f. x 9x Egy kisiparos gumikacsákat gyárt. Új fröccsöntőgépet állítanak be és az előállítási költséget a darabszám (x) függvényében az k ( x) x 50x összefüggés írja le. Mekkora darabszám esetén lesz a legkisebb az egy darabra jutó költség és ez mennyi? 8. **Bontsd fel a 0-et két olyan összeadandóra, hogy a szorzatuk maximális legyen! 9. **Bontsd fel a harmincat úgy két összeadandóra, hogy a négyzetösszegük minimális legyen! 0. ** m hosszú dróthálóval egy téglalap alakú területet szeretnénk leválasztani. Úgy, hogy az egyik oldala a ház falához csatlakozzon. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a területe maximális legyen?. **Egy 0 illetve 5 m-es derékszögű háromszögbe téglalapokat írunk, úgy, hogy a téglalap egyik derékszöge egybeesik a háromszögével, a többi csúcsa pedig a háromszög oldalain helyezkedik el. Mekkorák a maximális területű téglalap oldalai? 7

38 ELSŐ EPOCHAFÜZET Hatványozás ismétlése Műveletek hatványokkal. Add meg a számok legegyszerűbb alakját! Számolj prímtényezőkkel és a hatványozási azonosságokkal! (A -ben és -ben először végezz prímtényezős felbontást!) Dolgozz a füzetbe! ** Számolj gyorsan és ügyesen, számológép haszálata nélkül! A negatív kitevőjű hatvány. Írd fel a számokat negatív kitevő nélkül! 5 e. 5. Számítsd ki! 5 5 f. x ( 5 ) y h. ( ) g f g. 0, 0 h. 5 5 e i. 0, j Fejtsd meg, melyik számot kell kilencedik hatványra emelni, hogy 8 -t kapjunk; hatodik hatványra emelni, hogy 7 -t kapjunk; 8 tizenhatodik hatványra emelni, hogy 6 -t kapjunk; 8 nyolcadik hatványra emelni, hogy -nél kisebb számot kapjunk; e. harmadik hatványra emelni, hogy -nél nagyobb számot kapjunk! 8

39 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK Számok normálalakja 7. Írd fel az adatokat normálalakban! A Föld és az Androméda köd távolsága: km (Az SI mértékrendszerben méterben kellene felírni, tedd meg ezt is!) A Nap tömege: kg Egy szénatom súlya: 0, g g hidrogénben számú atom van. 8. Írd fel az adatokat normálalakban! A Nap-Föld közepes távolság: km Az Egyenlítő hossza: km A proton tömege: 0, g Az elektron tömege: 0, g e. A sárga fény hullámhossza: 0, m QQ 9. Az elektromos vonzást az F k Coulomb törvény írja le, ahol r Mekkora erővel taszítja egy mást két cm-re lévő elektron? 9 k Mekkora erővel vonzza egymást egy cm-re lévő proton és egy elektron? mm. A tömegvonzás általános törvénye F γ, ahol r vonzza a Nap a Földet? 8 γ, 8 0. Mekkora erővel. ** Érdekes számítások: Mekkora lenne a Föld tömege, ha színaranyból lenne? (A föld térfogata: k kg 0 m, az arany sűrűsége: 9,.) dm Egy érett mákgubóban k 000 mákszem van. Ideális körülmények között a következő nyáron akár mindegyikből nőhet egy új tő, amely legalább egy gubót tartalmaz. Mennyi idő múlva borítaná mák az egész földet, ha 00 mákszem felülete mm? (A szárazföldek felszíne összesen k 5 millió km.) A Kossuth rádió hullámhossza kereken 555 m. Hányszorosa ez a sárga fény hullámhosszának? Hány méter egy fényév? 9

40 ELSŐ EPOCHAFÜZET Vegyes feladatok hatványokra. Rendezd növekvő sorrendbe a számokat! (Alakítsd át úgy a számokat, hogy látható legyen a nagyságuk viszonya! A füzetbe dolgozz, az átalakításokat is írd le! A számológép használata itt nem érvényes.) Segítség: az a)-ban mindent írj át - nak a hatványaként, a b)-ben normálalakba! ; ; 0,000 05; 0 ; ; ; ; 7 ; 7 6 7,67 0 ; 76 :0 ; 0, ; ;. Rendezd növekvő sorrendbe! 5 5 ; 0 0 ; 5 ; ; ; ; Mit írhatunk helyébe, hogy az egyenlőség @ 5 > f. < 0, ** Vizsgáld meg, hogy az összeadás és a szorzás műveleti azonosságai a felcserélhetőség (kommutativitás) és a csoportosíthatóság (asszocivitás) 5 érvényesek-e a hatványozás esetében is! Azaz igaz-e, hogy 5, illetve ( ) ( )? (Állításodat indokold is!) x 7. Tudjuk, hogy. Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! x+ x x x e. x x+ x x+ x+ f. g Tudjuk, hogy x. Számold ki a következő kifejezések pontos értékét! 9 + x x x x 9 e. 9 x f. + x g. x x+ x

41 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK A hatvány: Hatványozás, hatványozási azonosságok n + a, n N Egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. Ha n, akkor a a. Az a a hatvány alapja, n a kitevő, az eredmény, amit a művelet elvégzése után eredményként kapunk az a hatványérték. Hatványozási azonosságok: Azonos a hatvány alapja: k l k+ l.) a a a.) a a Azonos a hatvány kitevője:.) k k ( ) k k k l a, l l k > és a 0.) a a b k k b a b k a és a 0; b 0 b de vigyázz: a k l k± l ± a a ; k k ( ) k Hatvány hatványozása: a b a ± b a l a, k k l 5.) ( ) k l ± ; ( a ) a k l A negatív kitevőjű hatvány Megállapodás szerint: a 0 n a n a ahol a a 0 kivételével bármilyen szám lehet. Miért állapodnak meg így a matematikusok? Azért, mert Pl. a : a és a hatványozás azonosságai szerint a : a a a 0 a a ; 5 vagy 5 a a 5 a a a Ezzel a megállapodással a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak (permanenciaelv). Normál alak: Ha egy számot, olyan kéttényezős szorzatként írunk át, hogy az egyik tényező és 0 közé essen (lehet is), a másik tényező pedig 0 valamilyen egész kitevős hatványa (akár pozitív, akár negatív) legyen.

42 ELSŐ EPOCHAFÜZET Hatvány függvények 9. Ábrázold egy koordináta rendszerben az h x x f ( x) x ( ) 5 g ( x) x i ( x) x Mit tapasztalsz? A hatvány kitevője és a konvexitás milyen kapcsolatban van? Ha egy függvény tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre, akkor páros függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, x ; x ÉT x f x f. és x, akkor ( ) ( ) x Ha egy függvény középpontosan szimmetrikus az origóra, akkor páratlan függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, x ; x ÉT x f x f. és x, akkor ( ) ( ) x Milyen függvény a párosság szempontjából az abszolút érték ( x x ) reciprokfüggvény f ( x)? x f illetve a...

43 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK 50. Ábrázold az f ( x) x ; ( x) x + g függvényeket és jellemezd! ÉT ÉK ZH Szélső é. és hely menete konvexitás paritás TM f ( x) g ( x)

44 ELSŐ EPOCHAFÜZET Feladatgyűjtemény Műveletek algebrai kifejezésekkel f. Az alábbi kifejezésekben végezd el a lehetséges műveleteket, és rendezd a tagokat csökkenő fokszám szerint! a a + a + a a 5a + a + a b b + b + b b b + b b + b + b cd c + d + c d c + 5d cd + d c cd ( a a + ) ( a a ) ( a + 5a ) e. ( x x ) ( x x ) ( x + x + ) ( x x ) f. ( a a + ) + ( a + a ) ( a + a + ) g. ( x x + ) + ( x + x ) ( x x + x ) ( x x + x ) f. Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét, ha a -, a + b a + b + 6 a 0b + a b + 5 a + a b + b a 7 b f. Az alábbi kifejezésekben végezd el a lehetséges műveleteket! a a + a a + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( a ) ( a ) a + a ( a b) ( a + ) ( 8a + ) ( a + ) b + ab ( a ) ( a b) 6 ( a ) ( a + b) b ( 9a) f. Végezd el a négyzetre emeléseket! A füzetbe dolgozz! b ( a + 7) ( 8 b) ( 7 + b) ( y + x) e. ( x y) f. ( 0 b) a g. ** ( x + z) h. ** ( x y ) ( i. ** 8a 5b ) 5 7 j. ** x + y k. ** x y l. **( z + x + y) 6 m. **( x + y z) n. ** x y z 5 7 f5. Alakítsd át négyzetté! a + 8a + 6 b 0b + 5 c + c + 9 x 0x + 00 e. ** d 0d + 00 f. ** x 8 + 0x + 5 g ** x + 6x y + 9y h. 6 ** 0, 5x 6xy + 6y f6. ** Bontsd fel a zárójelet! ( a + ) ( b ) ( x + y) ( 5 d ) e. *** ( c + ) f. *** ( d x )

45 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK f7. Végezd el a műveleteket! ( ) ( x + ) ( 7) ( x + 7) x ( y + 5) ( y 5) x ( 5a + ) ( 5a ) e. ** ( y 6) ( y + 6) f. ** ( x 5a ) ( x + 5a ) f8. Végezd el a műveleteket! ( a ) ( a ) ( a + ) + ( a + ) ( x + ) ( x ) + ( x + ) + ( x 7) ( 5x + ) ( x ) + ( x + ) ( x ) ( x 5) ( x + 5) ( x 5) + ( x + ) ( x ) f9. ** Bontsd fel a zárójelet és vonj össze! ( ) ( x + x + ) x ( y + 5) ( y 5y + 5) ( x + ) ( 9x x + 6) f0. Egészítsd ki teljes négyzetté a kifejezéseket! a a x + x + 6 a + 6a + x 8x + 0 e. a 0a + f. x + 0x + 50 g. x + x + h. ** x 6x + 6 i. ** x 6x + j. ** x + x + k. ** x + x + l. ** 5x 0x 7 f. Alakítsd szorzattá a kifejezéseket! a a + a 6x 0x + x b + 8b + 8b b 5x 5x + 0x e. 6a 9a + a f. 5 x x + x g. 5 a b 5a b + 0a b h a b + 7a b ab f. ** A csoportosítás módszerével alakítsd szorzattá! ab + b a + a ax + bx + a + b ax + 5y + 0x + ax ab 8 x + a bx e. 6 a bx b + ax f. ax + b 8bx a g. 6 ax + 0b + 5a + 8bx h. 0bx + a x 9ab f. Alakítsd szorzattá a kifejezéseket! 6x 5 9a 00b 6b 9x 6 6x y e. x 0x + 00 f. 6a 8a + 9 g. 6x h. 6 8x i. 6x + x + 6 j. x x + 6x k. x + x + x l. x + 8x + 5 m. x x n. *** a 7 o. *** x + 6 p. *** 7a + 5b f. Számológép használata nélkül számítsd ki a műveletek eredményét!

46 ELSŐ EPOCHAFÜZET f5. Az a és b számokról azt tudjuk, hogy az a + b és a b -7. Számítsd ki értékét! f6. *** Mennyi az együtthatók összege az ( ) a + x x + kifejezés polinom alakjában? f7. *** Egy téglalap kerülete 7 cm. A téglalap minden oldalára kifelé négyzeteket rajzolunk. A négy négyzet területének összege 6 cm. Mekkora a téglalap területe? f8. *** Két szám különbsége, a szorzatuk 7. A számok megadása nélkül határozd meg a köbeik különbségét! f9. Egyszerűsítsd a következő törteket! 5 7a b x ( x ) a b 6 ( ) x x a( a 5) a ( 5 a) 0a + 0a 5a + 5a e. 5 8a 8a x y + 0xy f. 0a + 0a 6x y + 0xy g. 9x 5 x 0x i. 8xy 6y + x ** 6x 9 k. x + 0x x + x + 6 h. x x + x j. 6ax + 9a + 8x + ** ax + 5a + x + 0 l. 6x x 0 x + x + 0 f0. Végezd el a következő szorzásokat és osztásokat! Egyszerűsíts! 5 6 7a b 0x y a b a b : 6 50x y a b 7x y 8xy x + xy xy y xy y x + x y f. Végezd el az algebrai törtek összevonását! 5 x + x x 5 6a a + a a + e. x + x + x + x x 0x 5 f. Egyenletek, egyenlőtlenségek f. Oldd meg az egyenleteket! x x x x x 5 x + x + e. x x 6 x x 0a 5a b 0ab 0b : 7a + ab ab + b 5 + y y y a + 5a + 8a + a + 9 a + a 5a + 9a + 5 a + 5 a + 0 x x + x + x + x 9 x + x x + f. 8 + x + x 5 x x 0 b

47 ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK f. Oldd meg az egyenlőtlenségeket! x x + x + x x + x + 5 x x + 5 < e. ( x ) ( x) > x x x + 0 x x x x 5 x 7 x + x + g. h f. ( ) ( ) ( ) f. Oldd meg a hiányos másodfokú egyenleteket! x 5x 0 x + 7x 0 x 0 x e. x 9 0 f. x g. x 8x h. x x f5. Oldd meg az egyenleteket! x 6x x + x 0 x + x x + 9x x + 8 e. x 5x + 6 x + 9x + 5 f. x 6x + 5 0x + g. x 5x 0 h. x + x i. x + x 9 0 j. 6x + 5x + 0 f6. Oldd meg az egyenleteket! + x + x ( x )( ) 6 ( x + )( x ) ( x + 5) 5x ( x ) x + x x 8 e. x + x + x + x x g. x x + x + x i. x + 5 x x + x x + x 9 5 x x f. x + x 5 x x h. x + x x x + j. x + x + x x x + x f7. A megadott számhalmazon oldd meg az egyenleteket! x + 5 x 5 00 x + x 8 + ; x R + 0 x 5 x + 5 x 5 x + x x 6 x + x + ; x R x + x x 5x x x + 9x + x x + x 6 y - + 6a a a + 7 e. * ; y R f. * ; y y y a 9 + a a 6 + b b b d g. * ; b Q h. * b + b 6 b d + d d d f8. ** A c paraméter mely értékeire lesz az 5x x + c 0 egyenletnek két különböző valós megoldása? egy valós megoldása? Milyen c esetén nincs valós gyök? ; x R ; x R + a R ; d N 7

48 ELSŐ EPOCHAFÜZET f9. ** Az ax + 6x 0 egyenletben határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek az egyik megoldása x - legyen! az egyenletnek egy valós megoldása legyen! az egyenletnek két különböző megoldása legyen! az egyenletnek ne legyen valós megoldása! f0. *** Az ( m + ) x + m 0 mx egyenletben határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek két különböző valós megoldása legyen! egy valós gyöke legyen! ne legyen valós megoldása! f. *** Bizonyítsd be, hogy az 5 ( 5k + ) x + 5k + 6k + 0 különbsége k minden értékére ugyanakkora! x egyenlet gyökeinek f. *** Milyen összefüggés áll fenn az a, b, c számok között, ha a következő egyenletnek van valós megoldása? Mi lesz ekkor a megoldás? Gyökök és együtthatók ( a + b + c ) x + ( a b + c) x + 0 f. Alakítsd szorzattá a másodfokú kifejezéseket! x + x 6 b + 7b + x 6x + 6 a + a 5 e. y + 6y + 60 f. z + 7z + 7 g. x x 9 h. a + 8a + 98 i. a + 8a + j. 6x + 7x 5 k. b 9b + 8 l. c + c + f. Írj fel olyan egyenletet, melynek gyökei és - és 7 - és -6 és -5 e. 6 és -6 f. és g. 0 és - h. 5 és i. 7 7 és j. és k. és l. és f5. Írj fel olyan egész együtthatós másodfokú egyenletet, melynek egyik gyöke - f6. Egyszerűsítsd a törteket! x + 7x + x + x 8 x x x 0 7x 5 x + x 5 x + x + 5 f7. ** A x + 5x 0 egyenlet megoldása nélkül határozzuk meg a gyökök összegét a gyökök szorzatát a gyökök reciprokának összegét a gyökök négyzetösszegét 0x 8x x + x 8