Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Átírás

1 Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8) (2 + x) = 8 (1 + 5x) (9x 7) Megoldás: Az egyenletek megoldásához használjuk a mérleg - elvet. Lépésről - lépésre haladva rendezzük az egyenleteket úgy, hogy az egyik oldalon végül csak egy ismeretlen maradjon. a) (x 1) (x + 1) 6x + 1 = x (4 + x) + 2 / zárójel bontás x 2 1 6x + 1 = 4x + x x 2 6x + 12 = x 2 + 4x + 2 / x 2 6x + 12 = 4x + 2 / 12 6x = 4x 10 10x = 10 / 4x / : ( 10) x = 1 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x / zárójel bontás 1 2 (15x 5 6x 2 4x) = 21 9x x 1 2 (5x 10) = 21 10x / zárójel bontás 1 10x + 20 = 21 10x 21 10x = 21 10x / + 10x 21 = 21 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékek megegyeznek, így azonosságot kaptunk, vagyis minden olyan szám megoldása az egyenletnek, amely eleme az alaphalmaznak. 1

2 c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) / zárójel bontás 6x + 10 (x 2 4x + 4) + (x 2 + 2x + 1) = 12x + 6 6x + 10 x 2 + 4x 4 + x 2 + 2x + 1 = 12x x + 7 = 12x + 6 / zárójel bontás / 12x 7 6 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékek nem egyeznek meg, így ellentmondást kaptunk, vagyis az egyenletnek nincs megoldása. d) 6 (x 8) (2 + x) = 8 (1 + 5x) (9x 7) / zárójel bontás 6x 48 6 x = x 9x + 7 x 56 = 1x + 15 / 1x 28x 56 = 15 / x = 71 / : ( 28) x = Mivel a kapott eredmény nem eleme az alaphalmaznak, így nincs megoldása az egyenletnek. 2. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) 2 (2x ) > 5 + 4x b) (1 + x) 2 + x 2 (2x 1) 2 18 c) 0x 4 (8x + 1) < 7 2x Megoldás: Az egyenletekhez hasonlóan oldjuk meg az egyenlőtlenségeket. Ügyeljünk arra, hogy ha negatív számmal osztunk, vagy szorzunk, akkor a reláció iránya megváltozik. a) 2 (2x ) > 5 + 4x / zárójel bontás 4x 12 > 5 + 4x / 4x 12 5 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékekre nem teljesül a reláció, így ellentmondást kaptunk, vagyis nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. 2

3 b) (1 + x) 2 + x 2 (2x 1) 2 18 / zárójel bontás 1 + 2x + x 2 + x 2 4x 2 4x x 2 + 2x + 1 4x 2 4x 17 / 4x 2 2x + 1 4x 17 / + 4x 6x / 1 6x 18 / : 6 x Mivel a kapott eredmény minden értéke része az alaphalmaznak, így ez a megoldás. c) 0x 4 (8x + 1) < 7 2x / zárójel bontás 0x 2x 4 < 7 2x 2x 4 < 7 2x / + 2x 4 < 7 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékekre teljesül a reláció, így azonos egyenlőtlenséget kaptunk, vagyis minden olyan szám megoldás, amely eleme az alaphalmaznak.. Oldd meg a következő nem lineáris egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) (x + 2y) 2 + 5x 10 = 0 b) 15 y + 5x + y = 0 c) (x ) 2 + x + 2 = 0 d) x y = 1 e) 2x (y 6) 2 = 2 f) (x 2 9) (7x 6) 8x = 0 g) (x + 4) (1 y) 6z = 0 h) x 2 + x 2 = 0 i) 7x + 5 2x 8 = 0

4 Megoldás: Néhány egyenlet esetén a megoldásokhoz eljuthatunk úgyis, ha nem a mérleg - elvet alkalmazzuk, hanem megvizsgáljuk az értelmezési tartományt, illetve értékkészletet. a) (x + 2y) 2 + 5x 10 = 0 Mivel egy szám négyzete és abszolútértéke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. Az első tagban két ismeretlen szerepel, ezért először a második tagot kell megoldanunk. 5x 10 = 0 5x = 10 x = 2 Ezt az x értéket behelyettesítve az első tagba megkaphatjuk y-t is y = 0 2y = 2 y = 1 Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 2 és y = 1. b) 15 y + 5x + y = 0 Mivel egy szám abszolútértéke és négyzetgyöke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. A második tagban két ismeretlen szerepel, ezért először az első tagot kell megoldanunk. 15 y = 0 y = 15 Ezt az y értéket behelyettesítve a második tagba megkaphatjuk x-t is. 5x + 15 = 0 5x = 15 x = Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = és y = 15. c) (x ) 2 + x + 2 = 0 Mivel egy szám négyzete és négyzetgyöke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. 4

5 Mivel mindkét tagban egy ismeretlen szerepel, így először az első tagot kell megoldanunk. x = 0 x = Most oldjuk meg a második tagra felírt egyenletet. x + 2 = 0 x = 2 Ezek alapján az egyenletnek nincs megoldása, mert nincs olyan x érték, amelyre a bal oldalon álló két tag egyszerre 0 lenne. d) x y = 1 Mivel a bal oldalon álló két tag értéke mindig nem negatív, így az összegük nem lehet negatív, ezért ennek az egyenletnek nincs megoldása. e) 2x (y 6) 2 = 2 Mivel a bal oldalon álló két tag értéke mindig nem negatív, így az összegük mindig nem negatív, ezért az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Egy lehetséges megoldás a következő: x 1 = 9 2 és y 1 = 2. f) (x 2 9) (7x 6) 8x = 0 Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők 0 - val. x 2 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 7x 6 = 0 x = 9 8x = 0 x = 0 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x 1 = ; x 2 = ; x = 9; x 4 = 0. 5

6 g) (x + 4) (1 y) 6z = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők 0 - val. x + 4 = 0 x = 4 1 y = 0 y = 1 6z = 0 z = 0 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x = 4; y = 1; z = 0. h) x 2 + x 2 = 0 Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: x 2 + x 2 = x 2 x + 2x 2 = x (x 1) + 2 (x 1) = (x 1) (x + 2) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x 1) (x + 2) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők nullával. x 1 = 0 x = 1 x + 2 = 0 x = 2 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x = 1; x = 2. i) 7x + 5 2x 8 = 0 Mivel nullával nem osztunk, ezért a tört nevezője nem lehet egyenlő nullával: 2x 8 0 2x 8 x 4 Egy osztás értéke akkor 0, ha az osztandó 0, vagyis meg kell vizsgálnunk, hogy a tört számlálója mikor lesz egyenló nullával. 7x + 5 = 0 7x = 5 x = 5 Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 5. 6

7 4. Oldd meg a következő nem lineáris egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) (x 4) ( + x) < 0 b) 5x x 0 c) (x 4) (x + ) (x + 7) > 0 Megoldás: Az egyenlőtlenségek esetén is lehetséges a mérleg - elv mellett más módszert alkalmaznunk. A megoldás során az egyenlőtlenség bal oldalát alakítsuk szorzattá, majd vizsgáljuk meg, hogy egy szorzat értéke a tényezők előjelétől függően milyen lehet 0 - hoz viszonyítva. a) (x + 4) ( x) < 0 Egy szorzat értéke akkor kisebb, mint 0, ha a tényezők előjele ellentétes. Tekintsük először azt az esetet, amikor az első tényező pozitív, a második pedig negatív. x 4 > 0 x > 4 + x < 0 x < A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon nincs megoldás. Tekintsük most azt az esetet, amikor az első tényező negatív, a második pedig pozitív. x 4 < 0 x < 4 + x > 0 x > A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: < x < 4. A két ág megoldása külön külön jó megoldás. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: < x < 4. 7

8 b) 5x x 0 Alakítsuk szorzattá az egyenlőtlenség bal oldalát: 5x x = 5x (x + 5) Az egyenlőtlenség tehát felírható a következő alakban is: 5x (x + 5) 0. Egy szorzat értéke akkor nagyobb (vagy egyenlő), mint 0, ha a tényezők előjele megegyezik. Tekintsük először azt az esetet, amikor az első és második tényező is pozitív (vagy nulla). 5x 0 x 0 x x 5 A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: x 0. Tekintsük most azt az esetet, amikor az első és második tényező is negatív (vagy nulla). 5x 0 x 0 x x 5 A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: x 5. A két ág megoldása külön külön jó megoldás. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x 5 vagy x 0. 8

9 c) (x 4) (x + ) (x + 7) > 0 Először számítsuk ki, hogy a zárójeles kifejezések értéke mikor 0. x 4 = 0 x = 4 x + = 0 x = 1 x + 7 = 0 x = 7 Ezt követően osszuk fel a számegyenest a kapott határpontokkal, s vizsgáljuk meg, hogy a kifejezés értéke a kapott rész intervallumokon milyen előjelű (szaggatott vonallal jelöljük a negatív értékeket): A kapott eredményeket táblázatba is foglalhatjuk: x < 7 x = 7 7 < x < 1 x = 1 1 < x < 4 x = 4 x > Egy szorzat értéke akkor pozitív, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, s nincs közte 0. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: 7 < x < 1 vagy x > 4. 9

10 5. Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) 2x ( 5 x x) = b) x 6 2x = 2x 4 x + 2 c) d) e) 7 = 11 5x x x x x 1 5 x x x = x = + x + 4 x 2x + + x x 5 Megoldás: A törtes egyenleteknél első lépésben fel kell írnunk az értelmezési tartományokat (feltételeket), ha van a tört nevezőjében változó, mert a 0 - val történő osztást nem értelmezzük. Ezt követően alakítsuk szorzattá a nevezőket, majd hozzuk közös nevezőre a törteket. Végül a közös nevezővel való beszorzás után oldjuk meg az egyenleteket a mérleg - elv segítségével. A törtek elhagyásánál ügyeljünk arra, hogy a keletkező kifejezést zárójelbe kell tennünk, ha a tört előjele negatív. a) 2x ( 5 x x) = 57 / zárójel bontás 7 4 Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 2x 5x 7 + x 4 = 57 / közös nevező 56x 20x + 21x = x 20x + 21x = 1596 / 28 57x = 1596 / : 57 x = 28 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. 10

11 b) x 6 2x = 2x 4 x + 2 / közös nevező Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 6x 6 2 (6 2x) 6 = 12x 24 (x + ) x 2 (6 2x) = 12x 24 (x + ) 6x x = 12x 24 x 9 10x 12 = 9x / 6 / zárójel bontás / 9x x 12 = / + 12 x = 21 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. c) 7 = 11 5x x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 5x x 5 x 1 10x x 10 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 7 = 11 5 (x + 1) 10 (x + 1) (x + 1) = 120 (x + 1) 120 (x + 1) 120 (x + 1) / közös nevező / 120 (x + 1) = 11 (x + 1) / zárójel bontás = 11x = 11x + 11 / = 11x / : 11 x = 1 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 11

12 d) 2 6x x = + x + 4 x x x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 0 x x 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 2 6x + x ( x) = x + 4 x x x x / ( x) 2 6x + x = ( x) (x + 4) / zárójel bontás 2 5x = 9 x x 4 2 5x = 5 6x / + 6x x + 2 = 5 / x = A kapott eredmény nem felel meg a feltételnek, tehát nincs megoldása az egyenletnek. e) x 1 5 x x = 2x + x + x 5 Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Feltétel: x 0 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. (x 1) (x ) 5x = 5 (2x + ) 5x + x2 5x (x 1) (x ) = 5 (2x + ) + x 2 x 2 x x + = 10x x 2 / 5x / zárójel bontás x 2 4x + = x x + 15 / x 2 4x + = 10x + 15 / + 4x = 14x + 15 / = 14x / : 14 x = = 6 7 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 12

13 6. (E) Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) b) c) d) 5x x 2 + x x = x 2 + 9x x x + x = 4 x 2 4 2x x 2 x 2 + 2x 2 x + = x x + x 2 1 2x + x 2 2x + x 2 = 1 x 1 x 2 + x + 1 x 1 Megoldás: A törtes egyenleteknél első lépésben fel kell írnunk az értelmezési tartományokat (feltételeket), ha van a tört nevezőjében változó, mert a 0 - val történő osztást nem értelmezzük. Ezt követően alakítsuk szorzattá a nevezőket, majd hozzuk közös nevezőre a törteket. Végül a közös nevezővel való beszorzás után oldjuk meg az egyenleteket a mérleg - elv segítségével. A törtek elhagyásánál ügyeljünk arra, hogy a keletkező kifejezést zárójelbe kell tennünk, ha a tört előjele negatív. a) 5x x 2 + x x + 1 x 2 + 9x + x = 2 x + Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 2 + x 0 x (x + ) 0 x 0 vagy x x 2 + 9x 0 x (x + ) 0 x 0 vagy x x 0 x + 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 5x x = 2 x (x + ) x (x + ) x x + (5x ) x (x + ) + = x (x + ) x (x + ) x (x + ) 6x x (x + ) / közös nevező / x (x + ) 1

14 (5x ) (x + 1) + 9 (x + ) = 6x / zárójel bontás 15x 9 x 1 + 9x + 27 = 6x 2x + 17 = 6x / 6x 17x + 17 = 0 / 17 17x = 17 / : 17 x = 1 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. b) x + x = 4 x 2 4 2x x 2 x 2 + 2x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x (x 2) (x + 2) 0 x 2 vagy x 2 2x x 2 0 x (2 x) 0 x 0 vagy x 2 x 2 + 2x 0 x (x + 2) 0 x 0 vagy x 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. x + x = 4 (x 2) (x+2) x (2 x) x (x + 2) x 2 x (x 2) (x + 2) x (x + 2) x (x 2) (x + 2) = 4 (x 2) x (x 2) (x + 2) / közös nevező / x (x 2) (x + 2) x 2 x (x + 2) = 4 (x 2) x 2 x 2 2x = 4x 8 2x = 4x 8 6x = 8 / zárójel bontás / 4x / : ( 6) 14

15 x = 4 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. c) = x x + x 2 1 2x + x 2 Mivel a törtek nevezőjében található változó, így feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 1 x 2 0 (1 x) (1 + x) 0 x 1 vagy x x + x 2 0 (1 + x) 2 0 x 1 1 2x + x 2 0 (1 x) 2 0 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. = 2 5 / közös nevező (1 x) (1 + x) (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 x) (1 + x) 2 (1 x)2 5 (1 + x)2 = (1 x) 2 (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 + x) 2 / (1 x)2 (1 + x) 2 (1 x) (1 + x) = 2 (1 x) 2 5 (1 + x) 2 / zárójel bontás (1 x 2 ) = 2 (1 2x + x 2 ) 5 (1 + 2x + x 2 ) / zárójel bontás x 2 = 2 4x + 2x x 5x 2 x 2 + = x 2 14x / + x 2 = 14x / + 6 = 14x / : ( 14) x = 7 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 15

16 d) 2x + x 2 = 1 x 1 x 2 + x + 1 x 1 Mivel a törtek nevezőjében található változó, így feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 1 0 x 1 x 1 x 2 + x x 1 0 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 2x + x 2 = 1 (x 1) (x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 x 1 / közös nevező 2x (x 1) (x 2 + x + 1) + (x 1) (x 2) (x 1) (x 2 + x + 1) = x 2 + x + 1 (x 1) (x 2 + x + 1) / (x 1) (x 2 + x + 1) 2x + (x 1) (x 2) = x 2 + x + 1 2x + x 2 2x x + 2 = x 2 + x + 1 / zárójel bontás x 2 x + 2 = x 2 + x + 1 / x 2 x + 2 = x + 1 / 2 x = x 1 2x = 1 / x / : ( 2) x = 1 2 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 16

17 7. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x + 2) (x 2) = 12 (x 2 x) 8 b) x 2x 1 2 x x 1 = Megoldás: a) (x + 2) (x 2) = 12 (x 2 x) 8 / zárójel bontás x + 6x x + 8 (x 6x x 8) = 12x 2 12x 8 / zárójel bontás x + 6x x + 8 x + 6x 2 12x + 8 = 12x 2 12x 8 12x = 12x 2 12x 8 / 12x 2 16 = 12x 8 / = 12x / : ( 12) x = 2 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. b) x 2 2x 1 x = 2 + x 1 2 / közös nevező x (4x 2) 6 2x + 9x 6 = 2 2 x 6 11x = 2 6 / 11x 6 2 x 6 = 22x 6 18 / 18 6 x = 22x 6 / 22x 6 25x = 6 / 6 25x = 12 / : ( 25) x = Mivel a kapott eredmény nem eleme az alaphalmaznak, így nincs megoldása az egyenletnek. 17

18 8. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) b) c) d) e) f) g) h) 7 2x x x 2 x > 0 x x x x 1 x 2x 1 > 0 x 2x + 1 > 1 5x 2x 5 x 8 4 < 2 9 Megoldás: Amennyiben a törtek nevezőjében nincs változó, akkor hasonlóan járunk el, mint egyenleteknél. Ha a törtek nevezőjében szerepel változó, akkor nem szorozhatunk be a közös nevezővel, mert nem tudjuk pozitív, vagy negatív - e az értéke (változzon - e a reláció iránya). Ekkor rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalon egyetlen tört, a másikon pedig 0 álljon. Végül vizsgáljuk meg a számláló és nevező előjelét a relációnak megfelelően. a) 7 2x + x x Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 4 (7 2x) x 12 (x 8) / 12 4 (7 2x) + 12x (x 8) 108 / zárójel bontás 148 8x + 12x 9x x x 12 / 4x 148 5x 12 / x / : 5 56 x 18

19 b) x 5 2 2x 1 < 2 Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. (x 5) 6 2 (2x 1) 6 < 12 6 / 6 (x 5) 2 (2x 1) < 12 / zárójel bontás 9x 15 4x + 2 < 12 5x 1 < 12 / + 1 5x < 1 / : 5 x < 1 5 c) 2 x > 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel a számláló egy pozitív szám, ezért a nevező értékének is pozitívnak kell lennie. x > 0 / + x > x A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. 19

20 d) x Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. Egy tört értéke akkor lesz negatív, ha a számláló és nevező előjele ellentétes. Mivel a számláló egy negatív szám, ezért a nevező értékének pozitívnak kell lennie. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. x / 2 x 2 e) 2 x x 4 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 4 0 x 4 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 2 x 0 2 x x 4 > 0 x > 4 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. 20

21 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 2 x 0 2 x x 4 < 0 x < 4 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 2 x < 4. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: 2 x < 4. A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. f) 12 x 1 x > 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 1 x 0 1 x x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 12 x > 0 12 > x 4 > x 1 x > 0 1 > x 1 > x A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 1 > x. 21

22 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 12 x < 0 12 < x 4 < x 1 x < 0 1 < x 1 < x A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 4 < x. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x < 1 vagy 4 < x. A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. g) x 2x + 1 > 1 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 2x x 1 x 1 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. x 2x > 0 / közös nevező x 2x + 1 > 0 2x + 1 2x + 1 x 1 2x + 1 > 0 Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. 22

23 Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. x 1 > 0 x > 1 2x + 1 > 0 2x > 1 x > 1 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: x > 1. Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. x 1 < 0 x < 1 2x + 1 < 0 2x < 1 x < 1 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: x < 1 2. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x < 1 vagy 1 < x. 2 A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. h) 5x 2x 5 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 2x 5 0 2x 5 x 5 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. 2

24 5x 2x / közös nevező 5x 2x 5 + (2x 5) 2x 5 0 x 12 2x 5 0 Egy tört értéke akkor lesz negatív, ha a számláló és a nevező előjele ellentétes. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló pozitív és a nevező negatív. x 12 0 x 12 2x 5 < 0 2x < 5 x < 5 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló negatív és a nevező pozitív. x 12 0 x 12 2x 5 > 0 2x > 5 x > 5 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 5 < x Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: 5 < x A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. 24

25 9. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenséget: x x 5 Megoldás: Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x x 2 x 5 0 x 5! (Alaphalmaz: R) Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. 7 0 x + 2 x 5 (x 5) (x + 2) (x 5) 7 (x + 2) (x 5) (x + 2) 0 4x 29 (x + 2) (x 5) 0 4x + 29 (x + 2) (x 5) 0 Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 4x x 29 (x + 2) (x 5) > 0 első eset: x > 2 és x > 5, amiből x > 5 4 második eset: x < 2 és x < 5, amiből x < 2 Az eredményeket összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: első esetben x > 5, második esetben 29 x <

26 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 4x x 29 (x + 2) (x 5) < 0 első eset: x > 2 és x < 5, amiből 2 < x < 5 második eset: x < 2 és x > 5 4 Az eredményeket összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. A feltétel nincs benne a kapott intervallumokban, így ezek az egyenlőtlenség megoldásai: x > 5, vagy 29 x < Hogyan válasszuk meg a p valós paraméter értékét, hogy az 5p 6 = (x 2) egyenletnek minden valós szám megoldása legyen? Megoldás: Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 5p = x. Abban az esetben teljesül a feltétel, ha azonosságot kapunk. Ezek alapján a megoldás: p = 5 x. 11. Hogyan válasszuk meg a p valós paraméter értékét, hogy az x 2 egyenletnek ne legyen megoldása? Megoldás: Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8p = 26. Abban az esetben teljesül a feltétel, ha ellentmondást kapunk. Ezek alapján a megoldás: p 1 4. p + 1 = 4x

27 12. Oldd meg a következő egyenleteket, ahol p; q; r valós paraméter! a) (x 2) p = p (p + 1) b) 2qx q + x + 1 = 1 2 c) (r 2 + r) x = r 2 + 2r + 1 Megoldás: a) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: px = p (p + ). Amennyiben p = 0, akkor azonosságot kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Amennyiben p 0, akkor az egyenlet megoldása: x = p +. b) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: q + 12 = x ( 4q). Amennyiben q =, akkor ellentmondást kapunk, vagyis nem lesz megoldás. 4 Amennyiben q 12 q, akkor az egyenlet megoldása: x =. 4 4q c) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: r (r + 1) x = (r + 1) 2. Amennyiben r = 1, akkor azonosságot kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Amennyiben r = 0, akkor ellentmondást kapunk, vagyis nem lesz megoldás. Amennyiben r 1 és r 0, akkor az egyenlet megoldása: x = r + 1 r. 1. Add meg az mx + 1 m 2 + x egyenlőtlenség valós megoldásait, ha az m paraméter természetes szám! Megoldás: Alakítsuk át az egyenlőtlenséget a következőképpen: x (m 1) m 2 1. Ha m = 1, akkor azonos egyenlőtlenséget kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Ha m > 1, akkor az egyenlőtlenség megoldása: x m + 1. Ha m < 1, akkor az egyenlőtlenség megoldása: x m