Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Átírás

1 Függvények 015. július Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független változó, azaz az x helyére írjuk be a bels függvényt. El ször legyen f a küls és g a bels függvény. g(x) = x f() = cos()+() f(g(x)) = cos x+( x) Fordított esetben a g független változója helyére írjuk be f hozzárendelését. f(x) = cos x + x g() = () g(f(x)) = cos x + x. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = Megoldás: f(x) = x 1 + x g(x) = tg x g(f(x)) =? g(g(x)) =? x 1 + x g() = tg () g(f(x)) = tg ( x ) 1 + x g(x) = tg x g() = tg () g(g(x)) = tg (tg x). Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = 1 x + x g(x) = e x f(g(x)) =? f(f(x)) =? Megoldás: g(x) = e x f(x) = 1 ()+() f(g(x)) = 1 e x +(e x ) = 1 e x +e x f(x) = 1 x+x f() = 1 ()+() f(f(x)) = 1 (1 x+x )+(1 x+x ) Rendezés után kapjuk, hogy: f(f(x)) = x x + x x + 1 1

2 . Feladat: Írja be a hiányzó függvényeket! (a) (b) (c) f(x) = sin(x + ) g(x) =? f(g(x)) = sin x Megoldás: Az a kérdés, hogy milyen bels függvényt írjunk sin(x+ ) -ben az x helyére, hogy az eredmény csak x legyen? Ez éppen x, így g(x) = x. f(x) =? g(x) = cos x f(g(x)) = cos x + cos x Megoldás: Mivel cos x-t a küls függvényben az x helyére írtuk, így ha az összetett függvényben cos x-t visszaírjuk x-re, megkapjuk a küls függvényt. Azaz Végeredmény: f(x) = x + x f(x) = x g(x) =? g(f(x)) = x 1 + x g(x) = x 1 + x 5. Feladat: Határozza meg a következ f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! x f(x) = x 5x + 6 Megoldás: f(x) = x x 5x + 6 Azt kell megvizsgálni, hogy milyen x-ek esetén tudunk helyettesítési értéket számolni.a hozzárendelésben szerepel négyzetgyök és osztás. Tudjuk, hogy négyzetgyököt csak nemnegatív számok halmazán értelmezhetjük. Másrészt az osztás miatt azt kell megnézni, hogy milyen x-re lesz a nevez nulla. Azaz x 5x + 6 = 0 x 1; = 5 ± 5 = 5 ± 1 Tehát az osztást két esetben nem tudjuk elvégezni, ha x 1 = és x =. Így a legb vebb értelmezési tartomány D f = [0; [\{; }

3 6. Feladat: Határozza meg a következ h : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! h(x) = ln( x x ) Megoldás: Ebben az esetben a logaritmus miatt csak olyan x értékekhez létezik helyettesítési érték, amelyekre x x pozitív értékeket vesz fel. Tehát vizsgáljuk meg x x > 0 egyenl tlenséget. Els ként oldjuk meg x x = 0 egyenl séget. x 1; = ± + 1 = ± Tehát x x = 0, ha x 1 = vagy x = 1. Most már vizsgálhatjuk az egyenl tlenséget. A gyökök ismeretében ábrázoljuk a y = x x egyenlet parabolát. Mivel x együtthatója negatív, a görbének maximuma van. Majd olvassuk le, hogy milyen x esetén lesz a helyettesítési érték pozitív. Tehát Dh =] ; 1[. Feladat: Határozza meg a következ g : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! x g(x) = x 9 Megoldás: A hozzárendelésben osztás és negyedikgyök szerepel. Így az alábbi kikötéseket kell tennünk. Negyedikgyök alatt csak nemnegatív szám állhat, így teljesülni kell, hogy x 9 0 x 9 x Megjegyzés:Ugyanezt a számhalmazt kapjuk, ha ábrázoljuk az y = x 9 egyenlet parabolát és az ábráról leolvassuk, hogy milyen x-ekre teljesül az egyenl tlenség. Mivel x 9 = 0 x = 9 x = ±

4 és x együtthatója pozitív így a görbe következ képpen néz ki: Tehát x 9 0 x vagy x Az osztás miatt pedig a következ egyenl séget kell vizsgálni: x 9 0 x 9 Tehát x 9 16 x 5 x 5 A két feltétel alapján, g értelmezési tartománya azon x pontok halmaza lesz, amelyekre mindkét feltétel egyidej leg teljesül, azaz x és x 5 Másképp x vagy x és x ±5 Dg =] ; ] [; [\{±5} 8. Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! f(x) = log (x) + 5 Megoldás: Négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám állhat, így log (x) log x 5 kell, hogy teljesüljön. Kezdjük az egyenl séggel: log x = 5 log x = log 5 x = 5

5 Felhasználva, hogy f(x) = log x függvény szigorúan monoton növekv, ezért log x 5 = log 5 x 5 Végeredmény: D i = [ [ 1 ; 9. Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! f(x) = ln(10 x) x 5 Megoldás: Logaritmus miatt az alábbi kikötést kell tenni: 10 x > 0 x < 5 Négyzetgyök miatt teljesülni kell, hogy x 5 0 x 5 Keressük meg azon pontokat, amelyek mindkét feltételnem megfelelnek. Tehát f legb vebb értelmezési tartománya: [ [ 5 D f = ; Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! (1 ) x f(x) = 81 Megoldás: Négyzetgyök miatt az alábbi kikötést kell tennünk: ( ) 1 x 81 0 x 81 = Mivel 1-nél nagyobb alap esetén az exponenciális függvény szigorúan monoton n, ezért x x Tehát D f =] ; ] 5

6 11. Feladatok: Határozza meg a k vetkez h : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! h(x) = ln 5x + Megoldás: Logaritmus miatt az alábbi egyenl tleség kell, hogy teljesüljön: 5x > 0 x > 0 Az osztás miatt: ln 5x + 0 ln 5x = ln e 5x e Mindkét feltételt gyelembe véve az értelmezési tartomány: Másképp felírva: x > 0 és x 1 5e D f = ]0; [ \{ 1 5e } 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Megoldás: h(x) = 5 log (6 x) + A h függvény hozzárendelési utasítása számunkra azt mutatja meg, az értelmezési tartomány tetsz leges x értékéhez, a kijelölt m veleteket alkalmazva, milyen y érték tartozik. Az inverzfüggvény hozzárendelésénél azt keressük, hogy az értékkészletként kapott tetsz leges y-hoz milyen x tartozik. Tehát inverz meghatározásánál y = log (6 x) + egyenletb l fejezzük ki x-t. y = 5 log (6 x) + y 5 = log (6 x) Írjuk fel a jobboldalt -es alapú logarítmus alakjában. log y 5 = log (6 x) Azonos alapú logaritmusok egyenl ségénél argumentumaik is megegyeznek. y 5 = 6 x 6

7 Rendezzük x-re az egyenletet. x = 6 y 5 = 1 y 5 Tehát kifejeztük x-t y függvényeként, azaz meghatároztuk az inverzet. Mivel függvények megadásánál a megszokott jelölés az, hogy y-t adjuk meg x függvényként, így a kapott egyenletben cseréljük fel x-t y-nal. Tehát az inverzfüggvény hozzárendelési utasítása: f 1 : y = 6 x 5 = 1 x 5 Megjegyzés: Inverz meghatározásánál szokás már a kiindulási egyenletben felcserélni x-t y-nal, majd kifejezzük y-t. Mindkét lépéssorozat elfogadott. 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! f(x) = x 5 x Végeredmény: Fejezzük ki x-t y segítségével az egyenletb l. y = x 5 x Szorozzuk meg mindkét oldalt x-val és rendezzük x kifejezéseit a baloldalra. y( x) = x 5 Fejezzük ki x-t. y xy = x 5 x( y 1) = 5 y x = y 5 1 y Cseréljük ki x-t y-nal, majd egyszer sítsünk -1-gyel. y = x x Az inverzhozzárendelés: f 1 (x) = x x

8 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Megoldás: g(x) = e x + 5 y = e x + 5 Fejezzük ki x-t. y 5 = e x Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. ln y 5 Rendezzük az egyenletet x-re. Cseréljük ki x-t y-nal. Tehát az inverz: x = 1 y = 1 g 1 (x) = 1 = ln e x = x ( ln y 5 ) + ( ln x 5 ) + ( ln x 5 ) Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Végeredmény: g(x) = 5 x 1 y = ( log 5 (x + 1)) 16. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényt, majd olvassa le a függvény legb vebb értelmezésitartományát és értékkészletét! f(x) = cos(x) Megoldás: Alkalmazzunk függvénytranszformációt. El ször ábrázoljuk f 1 (x) = cos x-t. Majd következik f (x) = cos(x). Az el z függvényt zsugorítsuk a felére x tengely mentén. Majd ábrozoljuk f (x) = cos(x) -t. Az el z függvényt két egységgel lefele eltoljuk y tengely mentén. Tehát D f = R R f = [ ; 1] 8

9 1. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényeket, majd olvassa le a függvények értékkészletét! f(x) = (x + ) g(x) = ln( x) + Megoldás: Függvénytranszformációt alkalmazva, ábrázoljuk az alábbi függvényeket: f1(x) = x f(x) = x f(x) = (x + ) El ször -szoros nyújtást alkalmazunk az y tengely mentén, majd eltoljuk a görbét két egységgel balra az x tengely mentén. Df = R Rf = [0; [ Ábrázoljuk az alábbi függvényeket: g1(x) = ln x g(x) = ln( x) g(x) = ln( x) g(x) = ln( x)+ A bels mínusz tükrözi a függvényt az y tengelyre. A küls mínusz tükrözi az x tengelyre, majd egységgel felfele toljuk az y tengely irányában. Dg = R Rg = R 9

10 18. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényeket, majd olvassa le a függvények értékkészletét! { { x ha x 1 f(x) = x g(x) = x ha x > ha x < 1 1 x ha x 0 Megoldás: y { x hax 1 x + 1 hax < 1 x 10

11 y { x ha x > 0 1 x ha x 0 x 19. Vizsgafeladat: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát, értákkészletét, majd határozza meg az inverzét! (a) f(x) = 6 x + 1 Megoldás: Négyzetgyök miatt f csak olyan x pontokban van értelmezve, amelyekre 6 x 0, azaz x. Tehát D f =] ; ]. Az értékkészlet meghatározásához vizsgáljuk meg, hogy milyen értékeket vesz fel 6 x. Ha x, akkor 6 x minden nemnegatív értéket egyszer felveszi helyettesítési értékként, így 6 x is végig fut az összes nem negatív számokon, azaz 6 x 0 6 x 0 6 x Tehát R f = [1; [ Az inverzfüggvény hozzárendelésének meghatározásához y = 6 x + 1 egyenletb l fejezzük ki x-t. Emeljünk négyzetre y = 6 x + 1 y 1 = 6 x ( ) y 1 = 6 x Majd rendezzük az egyenletet x-ra ( ) y 1 x = 1 11

12 Cseréljük ki x-t y-nal és írjuk fel az inverzfüggvényt: ( x 1 ) D f 1 = [1; [ R f 1 =] ; ] és f 1 (x) = 1 (b) (c) x 15 f(x) = + x Megoldás: Az osztás miatt f csak olyan x pontokban lehet értelmezve, amelyekre + x 0, azaz x. Tehát D f = R\{ } Az értékkészlet meghatározásához rendezzük át a hozzárendelési utasítást: f(x) = x 15 + x = x x = (x + ) + x = + x Mivel +x nulla kivételével minden értéket felvesz, ezért f(x),azaz R f = R\{}. Az inverzfüggvény meghatározásához rendezzük x-re y = x 15 +x egyenletet. Tehát az inverzfüggvény: y = x 15 + x y( + x) = x 15 y + xy = x 15 xy x = 15 y x(y ) = 15 y 15 + y x = y D f 1 = R\{} R f 1 = R\{ } és f x (x) = x Megoldás: f(x) = x+5 Exponenciális függvény bármely lehetséges alap esetén minden valós számra értelmezve van. Így D f = R Egy exponenciális függvény (bármilyen is az alapja) csak pozitív értéket vesz fel, így x+5 > 0 x+5 < 0 1

13 Tehát R f =] ; [. Inverzfüggvény meghatározása: x+5 < y = x 5 x 5 = y Vegyük mindkét oldal -es alapú logaritmusát: Cseréljük fel x-t y-nal. Tehát az inverzfüggvény: log x 5 = log ( y) x 5 = log ( y) x = log ( y) + 5 y = log ( x) + 5 D f 1 =] ; [ R f 1 = R f 1 (x) = log ( x) + 5 (d) Megoldás: D f = R f = R f(x) = (x + ) x = (y + ) x 6 = (y + ) 5 5 x 6 = y + ( y = 1 ) 5 x 6 Tehát az inverzfüggvény: ( D f 1 = R f 1 = R f 1 (x) = 1 ) 5 x 6 1

14 (e) f(x) = log (x 1) + 11 Megoldás: Logaritmus miatt teljesülni kell, hogy x 1 > 0 x > D f = ]; [ R f = R x = log (y 1) + 11 x 11 = log (y 1) log x 11 = log (y 1) x 11 = y 1 y = x = 1 x

15 Innen x x > 0 ha x < 0 vagy x > 1 Oldjuk meg 15 x 0 egyenl tlenséget. Kezdjük egyenl séggel: x = 0 15 = x x = 15 x1 = 15 x = Ábrázoljuk az y = 15 x egyenlet parabolát és olvassuk le, hogy milyen x esetén teljesül az egyenl tlenség Vizsgafeladat: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! (a) f(x) = ln(x x) 16 x Megoldás: A négyzetgyököt és logartmust gyelembe véve, az alábbi egyenl tlenségeket kell vizsgálni: x x > 0 és 15 x 0 Oldjuk meg x x > 0 egyenl tlenséget. Kezdjük egyenl séggel: x x = 0 x(x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Ábrázoljuk az y = x x egyenlet parabolát és olvassuk le, hogy milyen x esetén teljesül az egyenl tlenség.

16 Innen (b) x 0 ha x Foglaljuk össze, hogy milyen x-ekre van értelmezve f függvény: és x < 0 vagy x > x Keressük meg a két számhalmaz metszetét: [ [ ] ] Df = ; 0 1; x g(x) = ln(x + x 1) Megoldás: A logaritmust és az osztást gyelembe véve az alábbi kikötéseket kell tennünk: x + x 1 > 0 és ln(x + x 1) 1 Vizsgáljuk el sz9r a x + x 1 > 0 egyenl tlenséget. x + x 1 = 0 x1; = 1 ± = 1 ± x1 = x = 16

17 Készítsünk egy ábrát y = x + x 1 egyenlet paraboláról és olvassuk le, hogy milyen x-ekre lesz pozitív. x + x 1 > 0 ha x < vagy x > Vizsgáljuk meg a x + x 1 1 feltételt. x + x 1 = 0 Így x1; = 1 ± = 1 ± 5 x1 = x = 1 5 x + x 1 1 ha (c) x Az értelmezési tartomány:, 1 vagy x 1 5, 1 x < vagy x > és x, 1 vagy x, 1 Másképp felírva: Df =] ; [ ]; [\{, 1;, 1} g(x) = x x + Megoldás: Négyzetgyök miatt az alábbi egyenl tlenséget kell vizsgálni: x x + 0 1

18 Egy tört akkor pozitív, ha számlálója és nevez je azonos el jel. Másrészt egy tört akkor nulla, ha számlálója nulla. Így két esetet kell vizsgálni. x 0 és x + > 0 vagy x 0 és x + < 0 Ha számláló és nevez pozitív: x 0 és x + > 0 x és x > Azaz x. Ha számláló és nevez negatív: x 0 és x + < 0 x és x < Azaz x < Tehát Így x x + 0 ha x vagy x < D f =] ; [\[ ; [ (d) x + 1 h(x) = x+ + Megoldás: Az értelmezési tartomány megadásához a két gyököt és az osztást gyelembe véve, az alábbi egyenl tlenségeket írhatjuk fel x-re: x és x és x+ + 0 Vizsgáljuk els ként a x egyenl tlenséget. x x 1 Oldjuk meg a x egyenl tlenséget. x x + 1 > 0 Két pozitív számra vonatkozó egyenl tlenséget kell megoldani, így mindkét oldalt négyzetre emelhetjünk. x + 1 x Mutassuk meg, hogy nincs olyan x, amelyre x+ + = 0 teljesül. x+ > 0 x+ + > minden x R esetén 18

19 Összefoglalva x-re az alábbi egyenl tlenségeket kaptuk: x 1 és x Így D f = [; [ (e) k(x) = ln (( ) 1 x ) Megoldás: Mivel bármely lehetséges alapú logaritmus függvény csak pozitív számok halmazán van értelmezve, így ( ) 1 x > 0 kell, hogy teljesüljön. Oldjuk meg el ször az egyenl séget. ( ) 1 x = 0 ( ) 1 x = ( ) 1 x = = ( ) 1 log 1 x = log 1 0, 1 Tehát az egyenl ség x 0, 1-re teljesül. Térjünk vissza az egyenl tlenségre. Használjuk fel, hogy 1 alapú exponenciális függvény szigorúan mooton csökken, így ( ) 1 x > = ( ) 1 log 1 x < log 1 0, 1 Végeredmény: D k =] ; 0, 1[ y x 19