Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Átírás

1 Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok március Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését, illetve csökkenését az els derivált el jeléb l tudjuk vizsgálni. Ha ugyanis egy adott helyen egy függvény deriváltja pozitív, akkor ott növekszik a függvény, ha pedig negatív a derivált, akkor csökken a függvény. Ahol pedig 0 a derivált, ott lehet széls értéke a függvénynek. Els lépésként mindenképpen meg kell vizsgálnunk, mi a legb vebb halmaz, amelyen a derivált értelmezhet, majd ezen a halmazon vizsgáljuk a derivált el jelét. Jelen esetben a derivált minden valós számra értelmezhet, azaz D f = IR. Ezután következhet a derivált el jelének vizsgálata. Mivel egy függvény általában olyan helyen vált el jelet, ahol értéke zérus, így határozzuk meg, hol veszi fel a derivált a 0 értéket. Oldjuk meg tehát az f () = 0 egyenletet. Most a konkrét esetben ez a következ : ( + 2)( 5) 2 = 0. Használjuk fel, hogy egy szorzat csak úgy lehet egyenl 0-val, ha valamelyik tényez je 0. Így az egyenlet két egyszer bb egyenletre bontható. + 2 = 0 vagy ( 5) 2 = 0 Ezen egyenletek megoldásai: = 2 és = 5. Ha nem szeretnénk sokat írni, akkor ezután célszer egy táblázatot készítenünk, amiben a derivált el jelét tüntetjük fel, majd ebb l a következtetést az eredeti függvény növekedésére illetve csökkenésére. A derivált zérushelyei az értelmezési tartományt részekre bontják, s az így kapott részeken belül biztosan nem vált el jelet a derivált. Ezért a táblázat els sorában az értelmezési tartomány részeit adjuk meg. A második sorban tüntetjük fel azt, hogy az adott részen milyen el jel a derivált, s végül a harmadik sorban következtetünk a függvény növekedésére vagy csökkenésére. A zérushelyeket is írjuk be az 1

2 értelmezési tartomány részei közé, mert ezeken a helyeken lehet széls értéke a függvénynek. Jelen esetben a két zérushely három részre bontja a valós számok halmazát. A kisebb zérushelynél kisebb számok, azaz < 2, két zérushely közötti számok, azaz 2 < < 5, valamint a nagyobb zérushelynél nagyobb számok, azaz 5 <. Ezeket a részeket jelöljük a táblázat els sorában, valamint a két zérushelyet. A táblázat, egyel re csak els sorát kitöltve, az alábbi módon néz ki. f f < 2 = 2 2 < < 5 = 5 5 < Töltsük ki ezután a második sort is. Vizsgáljuk meg, milyen el jel a derivált az értelmezési tartomány egyes részein. Azt már tudjuk, hogy = 2 és = 5 estén a derivált zérus, így ezekre a helyekre 0-t írunk. A három intervallumon legegyszer bben úgy dönthet el a derivált el jele, ha veszünk egy számot, ami az adott intervallumba esik, és azt behelyettesítjük a deriváltba. Amilyen el jel értéket kapunk, olyan el jel a derivált az egész intervallumon. Els ként vegyünk tehát egy 2-nél kisebb számot, pl. legyen = 3. Helyettesítsük ezt a deriváltba. f ( 3) = ( 3 + 2)( 3 5) 2 = 64 Negatív értéket kaptunk, így < 2 estén a második sorban azt tüntetjük fel, hogy a derivált negatív. Vegyünk ezután egy 2 és 5 közé es számot, pl. legyen = 0. Most ezt helyettesítjük a deriváltba. (Ha választhatjuk a 0-t, akkor célszer azt választani, mert azt könny helyettesíteni.) f (0) = (0 + 2)(0 5) 2 = 50 Pozitív értéket kaptunk, így 2 < < 5 estén a második sorban azt tüntetjük fel, hogy a derivált pozitív. Végül vegyünk egy 5-nél nagyobb számot, pl. legyen = 6. Helyettesítsük ezt a deriváltba. f (6) = (6 + 2)(6 5) 2 = 8 Most is pozitív értéket kaptunk, így 5 < estén a második sorban azt tüntetjük fel, hogy a derivált pozitív. Ha kitöltjük a második sort is, akkor táblázatunk a következ : < 2 = 2 2 < < 5 = 5 5 < f neg. ( ) 0 poz. (+) 0 poz. (+) f 2

3 Most töltsük ki a harmadik sort is, írjuk be az intervallumokon, hol n és hol csökken a függvény. A derivált zérushelyeinél pedig tüntessük fel azt, hogy van-e, s ha igen, akkor milyen jelleg széls érték (SZÉ) van. Ha < 2, akkor negatív a derivált, itt tehát csökken a függvény. Ha 2 < < 5 vagy 5 <, akkor pozitív a derivált, ezeken az intervallumokon tehát n a függvény. Az = 2 helyen el jelet vált a derivált, így ezen a helyen van széls értéke a függvénynek. Mivel az = 2 hely el tt negatív a derivált, azaz csökken a függvény, utána pedig pozitív a derivált, azaz n a függvény, így ezen a helyen lokális minimum van. Az = 5 helyen a derivált nem vált el jelet, el tte is, és utána is pozitív a derivált, így ezen a helyen nincs széls érték, itt is növekv a függvény. A teljesen kitöltött táblázat így a következ : < 2 = 2 2 < < 5 = 5 5 < f neg. ( ) 0 poz. (+) 0 poz. (+) f csökk. ( ) lok. min. n ( ) nincs SZÉ, n ( ) n ( ) A kész táblázat alapján már csak válaszolnunk kell a kérdésre. Amint látható, a függvény növekszik, ha 2 <, vagy másképp fogalmazva, a ( 2, ) intervallumon n a függvény. 2. Feladat: Hol csökken az f() függvény, ha deriváltja f () = 3 + 4? Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az el z höz, így ugyanúgy járhatunk el. Els lépésként határozzuk meg, mely halmazon értelmezhet a függvény deriváltja. A nevez nem lehet zérus, így D f = IR \ { 4}. Ezután oldjuk meg az f () = 0 egyenletet = 0 Egy tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát elég az 3 = 0 egyenlettel foglalkoznunk. Ennek = 3 a megoldása. Nézzük ezután, milyen részekre kell bontanunk az értelmezési tartományt. Az el z feladatban szerepelt, hogy a derivált zérushelyei bontják részekre az értelmezési tartományt, mert általában ezeken a helyeken változik meg a derivált el jele. De nem csak zérushelyen változhat egy függvény el jele, hanem olyan helyen is, ahol nincs értelmezve. Gondoljunk pl. az 1 függvényre, amely nincs értelmezve az = 0 3

4 helyen. A negatív értékekre negatív ez a függvény, a pozitív -ekre pedig pozitív. Nincs tehát zérushely a 0-ban, hisz a függvény itt nem is értelmezett, de a függvény el jele mégis változik. Amikor készítjük a táblázatot, akkor tehát nem csak a derivált zérushelyével kell részekre bontani az értelmezési tartományt, hanem az értelmezési tartományban lev szakadási hellyel is. Készítsük el most a táblázatot, egyel re az els sorát kitöltve. A szakadási helyen azonban a második és a harmadik sorban jelölhetjük, hogy ott a derivált nem értelmezett, így a függvényr l sem tudunk semmit mondani. f f < 4 = 4 4 < < 3 = 3 3 < X X Ezután vizsgáljuk meg az értelmezési tartomány részein a derivált el jelét, és ebb l határozzuk meg, n vagy csökken ott a függvény. Vegyünk egy 4-nél kisebb számot. Legyen pl. = 5, s helyettesítsük ezt a deriváltba. f ( 5) = = 8 Pozitív értéket kaptunk, tehát < 4 esetén pozitív a derivált, ebb l következ en itt n a függvény. Vegyünk egy 4 és 3 közé es számot. Legyen pl. = 0, s ezt is helyettesítsük a deriváltba. f (0) = = 3 4 Negatív értéket kaptunk, tehát ha 4 < < 3, akkor negatív a derivált, s így itt csökken a függvény. Végül vegyünk egy 3-nál nagyobb számot is. Legyen pl. = 4, és helyettesítsük ezt a deriváltba. f (4) = = 1 8 Pozitív értéket kaptunk, így ha 3 < akkor pozitív a derivált, tehát ekkor n függvény. Mivel a derivált értéke az = 3 helyen el jelet vált, így ezen a helyen van lokális széls értéke a függvénynek. Mert a derivált negatívból pozitívba megy át, így ezen a helyen lokális minimum van. Ezután kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. < 4 = 4 4 < < 3 = 3 3 < f + X 0 + f X lok. min. 4

5 A kitöltött táblázat alapján válaszolhatunk a feladat kérdésére. A függvény csökken, ha 4 < < 3. Másképp fogalmazva, a függvény a ( 4, 3) intervallumon csökken. 3. Feladat: Hol és milyen jelleg széls értéke van az f() függvénynek, ha deriváltja f () = ( 2) 2 ln? Megoldás: Az el z két feladat megoldásából láthattuk, hogy egy függvény széls értékeinek meghatározásához is azokra a lépésekre van szükség, mint a növekedés és a csökkenés vizsgálatához. Így járjunk el hasonlóan, mint az el z két feladatban. Els ként vizsgáljuk meg, mely halmazon értelmezhet a függvény deriváltja. Most a ln miatt ki kell kötnünk, hogy csak pozitív értékeket vehet fel, így D f = IR +. Ezután oldjuk meg az f () = 0 egyenletet. ( 2) 2 ln = 0 Arra hivatkozunk, hogy szorzat csak akkor lehet zérus, ha valamelyik tényez je 0. Így az egyenletet egyszer bb egyenletekre bontjuk. ( 2) 2 = 0 vagy ln = 0 Az els egyenlet megoldása nyilván = 2. A második egyenlet mindkét oldalát tekintsük úgy mint kitev t, s az e számot emeljük fel ezen kitev kre. Így a bal oldalon olyan kompozíciót kapunk, amiben egy függvény és inverze szerepel, így ott egyszer en áll. ln = 0 e ln = e 0 = 1 A derivált zérushelyei tehát az 1 és a 2. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, egyel re csak az els sort kitöltve. Figyeljünk oda, hogy az értelmezési tartomány most csak a pozitív valós számok halmaza. Így az els részben nem elég < 1-et írni, ott 0 < < 1-nek kell szerepelni. f f 0 < < 1 = 1 1 < < 2 = 2 2 < Ezután vizsgáljuk a derivált el jelét az egyes részeken, s ebb l következtessünk a növekedésre vagy a csökkenésre. A 0 < < 1 egyenl tlenségnek eleget tesz pl. az = 0.5 f (0.5) = (0.5 2) 2 ln A derivált értéke itt negatív, tehát ezen az intervallumon csökken a függvény. 5

6 Az 1 < < 2 egyenl tlenségnek pl. az = 1.5 tesz eleget. f (1.5) = (1.5 2) 2 ln A derivált értéke ezen a helyen pozitív, ebb l következ en ezen az intervallumon n a függvény. Végül a 2 < egyenl tlenségnek eleget tesz pl. az = 3. f (3) = (3 2) 2 ln A derivált pozitív ezen a helyen, így itt is n a függvény. Az = 1 helyen a derivált el jele megváltozik, így itt a függvénynek lokális széls értéke van. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a függvénynek. Az = 2 helyen a derivált nem vált el jelet, így ezen a helyen nincs széls értéke a függvénynek. Mivel el tte és utána is pozitív a derivált, így ezen a helyen is n a függvény. Töltsük ki ezután a táblázat második és harmadik sorát is. 0 < < 1 = 1 1 < < 2 = 2 2 < f f lok. min. nincs SZÉ, A függvénynek tehát csak az = 1 helyen van lokális széls értéke, ahol lokális minimuma van. 4. Feladat: Hol konve az f() függvény, ha második deriváltja f () = ( 1)( + 6) 3? Megoldás: Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konve, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a második derivált el jelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második deriváltja, ott konve a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény. Természetesen ilyenkor azzal kell kezdenünk, hogy megállapítjuk, hol értelmezhet a második derivált, és ezen a halmazon vizsgáljuk az el jelét. Jelen esetben minden valós számra értelmezhet a második derivált, azaz D f = IR. Ezután határozzuk meg a második derivált zérushelyeit, azaz oldjuk meg az f () = 0 egyenletet. ( 1)( + 6) 3 = 0 Mivel szorzat egyenl 0-val, így ez két egyenletre bontható. 1 = 0 vagy ( + 6) 3 = 0 Ezen egyenletek megoldásai: = 1 és = 6. 6

7 Most hasonló táblázatot célszer készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az els, hanem a második derivált el jelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált el jele. Ha egyel re csak az els sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz. f f < 6 = 6 6 < < 1 = 1 1 < Ezután vizsgáljuk meg a második derivált el jelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, ahogyan a korábbiakban vizsgáltunk el jelet, azaz mindegyik részb l kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítettük. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényez k el jelét, és ebb l következtetünk a szorzat el jelére. Ha pl. < 6, akkor nyilván 1 < 0, azaz a derivált els tényez je negatív. Persze ekkor + 6 < 0 is teljesül, amib l ( + 6) 3 < 0 is következik, tehát a második tényez is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz < 6 esetén pozitív a második derivált, s ebb l következ en itt konve a függvény. Hasonlóan, ha 6 < < 1, akkor 1 < 0, és + 6 > 0 ( + 6) 3 > 0, azaz a szorzat egyik tényez je negatív, másik tényez je pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény. Végül ha 1 <, akkor 1 > 0, és + 6 > 0 ( + 6) 3 > 0, tehát mindkét tényez pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konve a függvény. Mivel a második derivált mindkét zérushelyében ( = 6, = 1) megváltozik a második derivált el jele, így mindkét helyen ineiós pontja van a függvénynek. Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. < 6 = 6 6 < < 1 = 1 1 < f f konve ( ) in. p. konkáv ( ) in. p. konve ( ) Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konve, ha < 6 vagy ha 1 <. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a (, 6) (1, ) halmazon konve. 7

8 5. Feladat: Hol konkáv az f() függvény, ha második deriváltja f 5 () = ( + 3)( 4)? Megoldás: Az el z feladat megoldásában ismertetettek szerint járunk el. Vizsgáljuk meg, mely halmazon értelmezhet a függvény második deriváltja. Mivel a nevez ben nem állhat 0, így és 4 0. Ezekb l következik, hogy 3 és 4. A második derivált értelmezési tartománya tehát: D f = IR \ { 3, 4}. Ezután oldjuk meg az f () = 0 egyenletet. 5 ( + 3)( 4) = 0 Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszer bb egyenletet kapunk. 5 = 0 Ennek az egyenletnek azonban nincs megoldása, hiszen 5 értéke pozitív minden valós esetén. A második deriváltnak tehát nincsen zérushelye. Mivel egy függvény el jele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve, így bár nincs a második deriváltnak zérushelye, de az értelmezési tartományt a szakadási helyek mégis részekre bontják. Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következ t kapjuk. < 3 = 3 3 < < 4 = 4 4 < f X X f X X A szakadási helyeken egyb l jelölhettük, hogy mivel ott nem létezik a második derivált, így a függvényr l sem mondhatunk semmit. Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált el jelét. Most olyan törtünk van, melynek számlálója minden esetén pozitív, így csak a nevez t kell vizsgálnunk, ami egy szorzat. Itt megtehetjük, hogy külön vizsgáljuk a tényez k el jelét. Ha < 3, akkor + 3 < 0 és 4 < 0, tehát a nevez pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebb l következ en a függvény konve. Ha 3 < < 4, akkor +3 > 0 és 4 < 0, tehát a nevez negatív, így a második derivált is negatív. Ebb l következ en a függvény konkáv. Ha pedig 4 <, akkor +3 > 0 és 4 > 0, tehát a nevez pozitív, így a második derivált is pozitív. Ebb l következ en a függvény konve. Immáron kitöltethetjük a teljes táblázatot. 8

9 < 3 = 3 3 < < 4 = 4 4 < f + X X + f X X A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a ( 3, 4) intervallumon konkáv. 6. Feladat: Hol van ineiós pontja az f() függvénynek, ha második deriváltja f () = ( 7) 6 (e 1)? Megoldás: Most is a második derivált értelmezési tartományának vizsgálatával kezdjük. Jelen esetben ez az összes valós szám, azaz D f = IR. Oldjuk meg az f () = 0 egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet ineiós pontja, ahol a második deriváltja 0. ( 7) 6 (e 1) = 0 Mivel a bal oldal szorzat, ezt egyszer bb egyenletekre bontjuk. ( 7) 6 = 0 vagy e 1 = 0 Az els egyenlet megoldása nyilván = 7. A második egyenletet rendezzük át. e 1 = 0 e = 1 Vegyük mindkét oldal logaritmusát. ln(e ) = ln 1 Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszer en szerepel. = ln 1 = 0 A második egyenlet megoldása így = 0. Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az = 0 és az = 7. Ezek után a táblázat els sora kitölthet. f f < 0 = 0 0 < < 7 = 7 7 < Vizsgáljuk ezután a második derivált el jelét. Mivel olyan szorzat, aminek els tényez je nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitev j hatvány, így csak a második tényez el jelével kell foglalkoznunk. Ha < 0, akkor e < 1, ezért e 1 < 0. Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a függvény. Ha 0 < < 7, akkor e > 1, ezért e 1 > 0. Így itt pozitív a második derivált, tehát konve a függvény. 9

10 Ha 7 <, akkor e > 1, ezért e 1 > 0. Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konve a függvény. Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az = 0 helyen el jelet vált a második derivált, így itt ineiós pontja van a függvénynek. Viszont az = 7 helyen a második derivált nem vált el jelet, így itt nincs ineiós pont. Töltsük ki a teljes táblázatot. < 0 = 0 0 < < 7 = 7 7 < f f in. p. nincs in. p, A függvénynek tehát az = 0 helyen van ineiós pontja. 2. Összetett feladatok 1. Feladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és széls érték szempontjából az 2 f() = ( + 1) függvényt! 2 Megoldás: Amikor egy függvényt valamilyen szempontból vizsgálunk, akkor els ként mindig az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Jelen esetben ki kell kötnünk, hogy a nevez nem lehet 0, s ebb l az következik, hogy 1. A függvény értelmezési tartománya tehát: D f = IR \ { 1}. A monotonitás vizsgálata azt jelenti, hogy meghatározzuk, hol n, hol csökken a függvény. Ehhez el kell állítanunk a függvény deriváltját. Alkalmazzuk a törtekre vonatkozó deriválási szabályt. f () = 2 ( + 1)2 2 2( + 1) (( + 1) 2 ) 2 Ez ilyen formában nagyon csúnyán néz ki, ezért próbáljunk alakítani rajta. Emeljünk ki a számlálóban, amit csak lehet, a nevez t pedig írjuk egyetlen hatványként. f 2( + 1)[( + 1) ] () = ( + 1) 4 Ezután egyszer sítsünk, és a szögletes zárójelen belül vonjunk össze. f 2 () = ( + 1) 3 A derivált minél egyszer bb alakra hozása azért fontos, mert ezután meg kell oldanunk az f () = 0 egyenletet, valamint vizsgálnunk kell majd a derivált el jelét. Ha a derivált bonyolult alakban van felírva, 10

11 akkor mind az egyenlet megoldása, mind az el jel vizsgálata nehézségekbe ütközik. Általában elmondhatjuk, hogy ha lehet ség van kiemelésre, akkor ezzel a lehet séggel élni kell, s törtek esetében egyszer sítsünk, ha erre lehet ség van. Most oldjuk meg az f () = 0 egyenletet, hogy megkapjuk, hol lehet széls értéke a függvénynek. 2 ( + 1) 3 = 0 Tört csak úgy lehet egyenl 0-val, ha számlálója 0, így egyszer bb egyenletet kapunk. 2 = 0 = 0 Ezután a szokásos módon táblázatot készíthetünk. Els ként csak az els sort töltsük ki, melyben feltüntetjük az értelmezési tartomány részeit, melyeken belül már nem változik a derivált el jele. Az értelmezési tartományt a derivált zérushelye és az értelmezési tartományban lev szakadás bontja részekre. f f < 1 = 1 1 < < 0 = 0 0 < X X Most vizsgáljuk meg a derivált el jelét az egyes részeken. A derivált tört, így külön vizsgálhatjuk a számláló és a nevez el jelét, amib l következtethetünk a tört el jelére. Ha < 1, akkor a számláló, azaz 2 negatív, és a nevez, azaz (+1) 3 is negatív, így a derivált ekkor pozitív. Ebben az eesetben tehát n a függvény. Ha 1 < < 0, akkor 2 negatív, de ( + 1) 3 pozitív, így negatív lesz a derivált. A függvény tehát ekkor csökken. Ha 0 <, akkor 2 is pozitív, és ( + 1) 3 is pozitív, azaz pozitív lesz a derivált. Ebb l következ en itt n a függvény. Az = 0 helyen a derivált el jele megváltozik, így itt széls értéke van a függvénynek. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a függvénynek. Készítsük el a teljes táblázatot. < 1 = 1 1 < < 0 = 0 0 < f + X 0 + f X lok. min. 11

12 A táblázattal így megadtuk, hogy hol n, és hol csökken a függvény, valamint hol, milyen jelleg széls értéke van. Már csak egyetlen feladatunk van, megadni a széls érték nagyságát. Helyettesítsük be a függvénybe azt a helyet, ahol széls értéke van. 0 2 f(0) = (0 + 1) 2 = 0 A lokális minimum értéke tehát 0. függ Feladat: Vizsgáljuk meg konveitás szempontjából az f() = e vényt. Adjuk meg az ineiós pont(ok) koordinátáit is! Megoldás: Els ként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevez nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy 0, azaz D f = IR \ {0}. Ezután állítsuk el a függvény második deriváltját, mert a konveitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. Az els derivált el állításakor összetett függvényt deriválunk. Küls függvény az e, bels függvény pedig az 1. ( ) f 1 () = e 1 1 = e ( 1) 1 = e ( 2) A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk. ( ) f 1 () = e ( 2) 1 + e ( 2) = [ = e 1 ( 2)] ( 2) 1 + e (2 3) 1 = e e 3 Amint az korábban már szerepelt, ilyenkor célszer kiemelni, amit csak lehet. Figyeljünk oda, hogy a hatványokból azt emeljük ki, ahol kisebb a kitev, s ez most az 4. Ha pedig az 3 -ból kiemelünk 4 -t, akkor ott fog maradni. f 1 () = e 4 (1 + 2) A negatív kitev s hatvány helyett törtet is írhatunk. Így a második derivált a következ alakot ölti: f 1 () = e Miután a második deriváltat sikerült egyszer bb alakra hozni, oldjuk meg az f () = 0 egyenletet. 1 e = 0 Az els tényez nem lehet egyenl 0-val, hiszen az eponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel. Ennek következtében elég csak a második tényez ben lev törtet vizsgálnunk. 12

13 = 0 De a tört csak úgy lehet 0, ha a számlálója 0, így az egyenlet még tovább egyszer södik = 0 Ennek megoldása pedig = 0.5. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az els sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban lev szakadási hely osztja részekre. f f < 0.5 = < < 0 = 0 0 < X X Vizsgáljuk ezután a második derivált el jelét a különböz részeken. Az 1 e, valamint az 4 csak pozitív értékeket vehet fel, így elég csak az el jelét vizsgálnunk. Ha < 0.5, akkor < 0, így a derivált negatív, s ebb l következ en itt konkáv a függvény. Ha 0.5 < < 0, akkor > 0, s ezért itt konve a függény. Ha pedig 0 <, akkor > 0 ismét, így itt is konve a függvény. Az = 0.5 helyen el jelet vált a második derivált, így ezen a helyen ineiós pontja van a függvénynek. Töltsük a teljes táblázatot. < 0.5 = < < 0 = 0 0 < f 0 + X + f in. p. X Ezután már csak az ineiós pont második koordinátáját kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a függvénybe az = 0.5 értéket, ahol az ineiós pont van. f( 0.5) = e 0.5 = e 2 1 Az ineiós pont koordinátái tehát: ( 0.5, e 2 ) 3. Feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f() = ln( 2 + 1) függvényen! Megoldás: Egy teljes függvényvizsgálat során minden olyan szempontból elemezzük a függvényt, amir l korábban már szó esett. Célszer pontokba szedni a vizsgálat lépéseit, nehogy valami elmaradjon. A vizsgálati szempontok egy lehetséges csoportosítása a következ : 13

14 (a) Az értelmezési tartomány meghatározása. (b) A grakon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. (c) Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. (d) Határértékek az értelmezési tartomány szélein. (e) Monotonitás és széls érték vizsgálata. (f) Konveitás vizsgálata, ineiós pontok meghatározása. (g) Grakon rajzolása. (h) Az értékkészlet meghatározása. Hajtsuk most végre ezeket a lépéseket a konkrét feladat esetén (a) Az értelmezési tartomány meghatározása. Mivel > 0 minden valós -re, ezért D f = IR. (b) A grakon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása. A függvény grakonja és az y tengely metszéspontját az egyszer bb meghatározni. Ha a 0 eleme az értelmezési tartománynak, akkor be kell helyettesítenünk a függvénybe. (A grakon az y tengelyet legfeljebb egy pontban metszheti.) f(0) = ln( ) = ln 1 = 0 A grakon és az tengely több helyen is metszheti egymást. Ezen metszéspontok helyét az f() = 0 egyenlet megoldásai adják, azaz ilyenkor a függvény zérushelyeit határozzuk meg. Jelen esetben az alábbi egyenletet kell megoldanunk. ln( 2 + 1) = 0 Tekintsük mindkét oldalt kitev nek, s emeljük fel az e számot a kitev re. e ln(2 +1) = e 0 A bal oldalon függvény és inverze áll egy összetételben, így ott valójában csak az argumentum, azaz áll = e 0 = 1 Ennek az egyenletnek pedig nyilvánvalóan csak az = 0 a megoldása. A függvénynek tehát most csak egy zérushelye van, és ez az = 0. A függvény grakonja tehát átmegy az origón, így egyetlen helyen van közös pontja az és az y tengellyel. Mivel korábban már kiderült, hogy f(0) = 0, így el re tudhattuk, hogy az = 0 zérushely lesz. Az egyenlet megoldásával azt igazoltuk, hogy csak ez az egyetlen zérushely létezik. (c) Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. Mivel tudjuk, az páros függvény, s jelen esetben ez a bels függvény egy összetett függvényben, így sejthet, hogy függvényünk páros lesz. Igazoljuk ezt. Egy függvény akkor páros, ha 14

15 minden D f esetén D f is teljesül, és f( ) = f() minden D f esetén. Ennek teljesülését kell ellen riznünk. f( ) = ln ( ( ) ) = ln ( ) = f() Ez minden D f esetén teljesül, tehát valóban páros a függvény. A grakonja így szimmetrikus lesz az y tengelyre. (d) Határértékek az értelmezési tartomány szélein. Mivel az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, így két határértéket kell csak vizsgálnunk, egyrészt a -ben, másrészt pedig a + -ben. Mert összetett függvény határértékét kel vizsgálnunk, így el ször a bels a bels függvény határértékét határozzuk meg, majd vesszük a küls függvény határértékét azon a helyen, ahova a bels függvény tart. Els ként a -ben nézzük a határértéket. lim ( ) = Legyen t = lim ln ( ) = lim ln t = t Teljesen hasonlóan járunk el a + -ben is. ( ) = lim Legyen t = lim ln ( ) = lim ln t = t Mivel a függvény páros, így el re tudhattuk, hogy a -ben és a + -ben meg fog egyezni a határérték. (e) Monotonitás és széls érték vizsgálata. Deriváljuk a függvényt. Az összetett függvényekre vonatkozó szabályt használjuk. f () = 1 ( ) = = Oldjuk meg az f () = 0 egyenletet = 0 Csak a számlálót kell vizsgálnunk, így a 2 = 0 egyenletet kapjuk, aminek nyilván = 0 az egyetlen megoldása. Készítsük el a szokásos táblázatot. A derivált nyilván negatív, ha < 0, és pozitív, ha 0 <. Az = 0 helyen a derivált el jele változik, s mivel negatívból pozitívba megy át, így ezen a helyen lokális minimum van. Töltsük ki egyb l a teljes táblázatot. < 0 = 0 0 < f 0 + f lok. min. 15

16 A minimum értékét megkapjuk, ha a függvénybe 0-t helyettesítünk. Mivel ezt már korábban megtettük, így tudjuk, hogy f(0) = 0. Nem csak áthalad tehát az origón a függvény hanem itt lokális minimuma is van. Ha végigondoljuk, akkor viszont ez a minimum nem csak lokális, hanem globális is, azaz a függvény a teljes értelmezési tartományán itt veszi fel a legkisebb értéket. Ez azért van így, mert a függvény minden < 0 esetén csökken, és minden 0 < esetén n. (f) Konveitás vizsgálata, ineiós pontok meghatározása. Állítsuk el a második deriváltat is. Most a törtekre vonatkozó szabályt kell alkalmaznunk. f () = 2 ( ) 2 2 ( 2 + 1) 2 = 2 22 ( 2 + 1) 2 Oldjuk meg az f () = 0 egyenletet ( 2 + 1) 2 = 0 Ismét csak a számlálóval kell foglalkoznunk, így a = 0 egyenletet kapjuk. Ebb l az 2 = 1 egyenlet következik, aminek megoldásai = ±1. A második derivált el jelének vizsgálatakor nyilván csak a számlálóval kell foglalkozni, hisz a nevez biztosan pozitív. Mivel a olyan másodfokú függvény, amelyben a f együttható negatív, így a két gyök között vesz fel pozitív, s a kisebb gyök el tt ill. a nagyobb gyök után negatív értékeket. Így az alábbiakat mondhatjuk. Ha < 1, akkor f () < 0. Ha 1 < < 1, akkor f () > 0. Ha 1 <, akkor f () < 0. Készítsük most el a konveitásról a táblázatot. < 1 = 1 1 < < 1 = 1 1 < f f in. p. in. p. Határozzuk meg az infeleiós pontok második koordinátáit. Helyettesítsük a függvénybe az ineiós pontok helyét, azaz a ±1-et. Mivel a függvény páros, így nyilván meg fog egyezni a két helyen a függvény értéke. f( 1) = f(1) = ln( ) = ln (g) Grakon rajzolása. 16

17 1. ábra. Az f() = ln ( ) függvény grakonja Az eddig megszerzett információk alapján vázlatosan megrajzolhatjuk a függény graonját. El ször jelöljük meg a nevezetes pontokat a koordináta rendszerben. Ilyenek a tengelymetszetek, a széls értékek, és az ineiós pontok. Ezután felhasználva a határértékeket, a monotnitási és konveitási viszonyokat vázoljuk a grakont. Így az ábrán látható alakú grakont kapjuk. (h) Az értékkészlet meghatározása. Az ábráról leolvasható, hogy 0 a legkisebb érték, melyet felvesz a függvény, s ennél minden nagyobb értéket felvesz. Így a függvény értékkészlete a következ : R f = [0, ). 4. Feladat: Mekkorának kell választani egy 20 cm kerület téglalap oldalait, hogy területe maimális legyen? Mekkora ez a maimális terület? Megoldás: Most egy szöveges széls érték feladatot kell megoldanunk. Az ilyen feladatokban nagyon gyakran geometriai feltételekkel meghatározott mennyiség legnagyobb, vagy legkisebb értékét keressük. Ekkor els lépésként fel kell írnunk, egy általunk választott független változó függvényében azt a mennyiséget, aminek a széls értékét keressük. Ezután meg kell határozni a feladat feltételeib l, hogy a független változó milyen értékeket vehet fel. Az így kapott, szöveg szerinti értelmezési tartományon kell aztán megkeresnünk a függvény széls értékeit a korábban megismert módon. Ezután térjünk át a konkrét feladat megoldására. Jelöljük a téglalap egyik oldalát -szel, a másikat pedig y-nal. Ekkor a téglalap területe: T = y. 17

18 Így felírva a területet, két változó mennyiség szerepel. Azonban a két változó között kapcsolat van, hiszen a kerület 20 cm. Írjuk fel a kerületet az oldalakkal. K = 20 = 2 + 2y Ebb l az összefüggésb l az egyik változó, pl. y kifejezhet. y = 10 Ha pedig ezután behelyettesítünk y helyére a területet leíró összefüggésben, akkor már egyváltozós függvényt kapunk. Ekkor már jelölhetjük is, hogy a terület az változó függvénye. T () = (10 ) = 10 2 Ezzel olyan függvényt kaptunk, ami a terület változását írja le az egyik oldal függvényében. Határozzuk meg ezután, hogy milyen határok között vehet fel értékeket a változó. Nyilvánvaló, hogy az > 0 feltételnek teljesülni kell, hiszen egy téglalap oldala csak pozitív lehet. Az -nek azonban 10-nél kisebbnek is kell lennie, hiszen a téglalap másik oldala 10, és ennek is pozitívnak kell lenni. Így a változóra a 0 < < 10 feltételt kapjuk. Ezen a halmazon kell keresnünk a fenti T () függvény maimumát. Ehhez állítsuk el a függvény deriváltját. T () = 10 2 Megoldjuk a T () = 0 egyenletet = 0 = 5 A deriváltnak a zérushelye a (0, 10) intervallumba esik, így szóba jöhet, mint lehetséges maimum hely. Annak eldöntésére, hogy az = 5 helyen valóban maimuma van-e a területnek, célszer elkészíteni a szokásos táblázatot. Az els sor kitöltésekor vegyük gyelembe a 0 < < 10 feltételt. A derivált el jelének vizsgálatát immár nem részletezzük, mert nyilvánvaló, hogy melyik intervallumon pozitív ill. negatív a derivált. 0 < < 5 = 5 5 < < 10 T + 0 T lok. ma. Az = 5 helyen tehát lokális maimuma van a függvénynek. S t ez a 0 < < 10 feltétel mellett nem csak lokális maimum, hanem ezen a halmazon ez globális maimum is, hiszen < 5 esetén végig n a függvény, > 5 esetén pedig végig csökken. 18

19 A terület tehát akkor lesz maimális, ha az egyik oldal 5 cm hosszúságú. Persze ekkor a másik oldal hossza is 5 cm, azaz a téglalap ekkor négyzet. A maimális területet kell még meghatároznunk. Helyettesítsük be a maimum helyét a függvénybe. T (5) = 5(10 5) = 25 A terület maimumának értéke tehát 25 cm 2. Megjegyzés: Az ilyen feladatokban nem egyértelm, hogy mit választunk független változónak. Jelen feladatban elég egyértelm volt, hogy a téglalap egyik oldalát célszer választani, de eljárhattunk volna más módon is. Mivel a két oldal összege 10, így az egyik oldal ugyanannyival rövidebb 5-nél, mint amennyivel a másik hosszabb 5-nél. Választhattuk volna változónak ezt a mennyiséget is, amivel az oldalak az 5-t l eltérnek. Természetesen ekkor másik függvény írja le területet, és más a szöveg szerinti értelmezési tartomány is. 5. Feladat: Egy 10 cm sugarú, 20 cm magasságú egyenes körkúpba hengert írunk úgy, hogy forgástengelye megegyezik a kúp forgástengelyével, alapköre a kúp alapkörére esik, fed köre pedig érinti a kúp palástját. Mekkora legyen a henger sugara és magassága, hogy térfogata maimális legyen? Mekkora a maimális térfogat? Megoldás: Jelöljük a henger sugarát r-rel, magasságát pedig h-val. Ekkor a henger térfogata, aminek széls értéke kell, hogy legyen, az alábbi módon írható fel: V henger = πr 2 h Ebben két változó van, hiszen ha változik a henger sugara, akkor a magasság is változik. Amint az el z feladatban, így itt is összefüggést kell keresnünk a két változó között. Ehhez szükségünk lesz egy ábrára. Képzeletben vágjuk el a kúpot és a hengert egy a közös forgástengelyre illeszked síkkal, és a síkmetszetr l készítsünk ábrát. Ezen metszeten a kúp nyilván egyenl szárú háromszögnek látszik majd, a henger pedig egy olyan téglalapnak, amely ezen háromszögbe van írva úgy, hogy két csúcsa az alapra, másik két csúcsa pedig egy-egy szárra esik. Az ábráról nyilvánvaló, hogy a KBC derékszög háromszög hasonló a DBE derékszög háromszöghöz, így a két háromszögben megegyezik a befogók aránya. Írjuk ezt fel. h 10 r = = 2 Fejezzük ki ebb l h-t az r-rel. h = 20 2r Helyettesítsük be ezt a henger térfogatába, s így olyan függvényt kapunk, amiben már csak r lesz a változó. 19

20 2. ábra. A kúp és a henger metszete V (r) = πr 2 (20 2r) = 20πr 2 2πr 3 Ennek a függvénynek kell keresnünk a maimumát. A változóra nyilván a 0 < r < 10 feltételnek kell teljesülni. Felhívjuk a gyelmet arra, hogy szigorú egyenl tlenségek vannak, mert egyenl ség esetén a henger elfajulna. Az r = 0 esetben egy szakaszá, a kúp magasságává válna a henger, az r = 10 esetben pedig egy körlappá, a kúp alapkörévé válna. Ezután a szokott módon határozuk meg a széls értéket. Állítsuk el a térfogatfüggvény deriváltját. V (r) = 40πr 6πr 2 Oldjuk meg a V (r) = 0 egyenletet. Ehhez célszer a deriváltat szorzattá alakítani. V (r) = 2πr(20 3r) Így nyilvánvaló, hogy az egyenletnek két megoldása van, az egyik r = 0, a másik pedig r = 20. Az r = 0 nem felel meg a 0 < r < 10 3 feltételnek, így csak a másik zérushellyel kell foglakoznunk. Készítsük el a megszokott táblázatot. 0 < r < 20 r = < r < 10 V + 0 V lok. ma. Látható, hogy az r = 20 helyen lokális maimuma van a függvénynek, 3 ami a 0 < r < 10 feltétel mellett globális maimum is. 20

21 A henger térfogat tehát akkor maimális, ha r = Ekkor a henger magassága a következ : h = = Végül a maimális térfogat: V ma = π ( 20 3 ) = π