Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Átírás

1 Egváltozós függvének differenciálszámítása II Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok: paritás, periodicitás 3. Foltonosság, határértékek 4. Monotonitás, lokáis szélsőértékek ( f () segítségével) 5. Konveitás, infleiós pontok ( f () segítségével) 6. Grafikon 7. Értékkészlet, globális szélsőértékek (a) f () 4 4 ( + ) 2 Megoldás: D f R \ { } Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () tengelen: f (0) 4 4 } D f f nem páros, nem páratlan. D f f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének hánadosa, ezért maga is foltonos függvén. 4 4 f () + + ( + ) f () ( + ) f () f ()

2 Megj.: az utóbbi két határértéket, mivel is számolhatjuk: f () f () Monotonitás, szélsőértékek: ( ) 4 4 f () 4( + )2 (4 4)2( + ) ( + ) 2 ( + ) ( + ) ( + ) 3 f () ill. típusúak, L Hospital-szabállal ( + ) 2(4 4) ( + ) 3 Kaptuk: az 3 helen lehet f -nek lokális szélsőértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális szélsőérték, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. III. < < < < f () f () lok.min. A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. 2 f ( 2) 20 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on II. pl. 0 f (0) 2 f szig. mon. csökkenő a ], 3[ int.-on III. pl. 4 f (4) + + f szig. mon. nő a ]3, [ int.-on + Kaptuk: f -nek az 3 helen lokális minimuma van. Ennek értéke: f (3) Konveitás, infleiós pontok f () ( ( ) f () ) 4 2 4( + )3 (4 2)3( + ) 2 ( + ) 3 ( + ) ( + ) ( + ) 4 f () ( + ) 3(4 2) ( + ) 4 Kaptuk: az 5 helen lehet f -nek infleiója (máshol nem). Akkor van itt infleió, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. III. < < < < f () f () infl. 2

3 A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. 2 f ( 2) 56 II. pl. 0 f (0) 40 + f szig. konve a ], [ int.-on + f szig. konve a ], 5[ int.-on f szig. konkáv a ]5, [ int.-on III. pl. 6 f (6) 8 + Kaptuk: f -nek az 5 helen infleiója van. Itt a helettesítési érték: aszimptoták: f (5) , 44 f valódi racionális törtfüggvén, ezért aszimptotái az -tengel (az 0 egenes képe) ill. a szakadási helénél szaggatottal jelölt egenletű egenes. f aszimptotái: a : a 2 : 0 A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: 4 4 ( + ) A grafikonról leolvassuk f értékkészletét, és globális szélsőértékeit: R f [ 2, [ f (3) 2 globális minimum. (b) f () ln Megoldás: ( ) + D f meghatározása: 3

4 a nevezőben nem állhat 0 ; a logaritmusfüggvén miatt: + > 0 > és < vag < és < Kaptuk: D f ], [ Tengelmetszetek: { < < } + > 0 és > 0 vag + < 0 és < 0 -tengelen (zérushelek): ( ) + f () 0 ln tengelen: f (0) ln 0 f grafikonja tehát átmeg az origón. paritás-vizsgálat: i) D f D f ( ) + ( ) ii) f ( ) ln ln ( ) ( ) ln + ( ) + ln ( ) + f () i)-ii) f páratlan függvén (grafikonja szimmetrikus az origóra). f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. (Másképp: D f korlátos, ezért f nem periodikus.) f foltonos függvének kompozíciója, ezért maga is foltonos függvén. ( ) + f () ln ln ln 0+ ( ) + f () ln ln 2 ln 0 + Monotonitás, szélsőértékek: ( f () ln ( + f () )) ( ) + ( + ) + ( ) ( ) 2 2 ( + )( ) Kaptuk: f -nek nincs lokális szélsőérték-hele, és íg lokális szélsőértéke sem. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát nincs osztópont! < < f () + f () A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg számot az (egetlen) intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: pl. 0 f (0) 2 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on. Kaptuk: f szig. mon. nő az egész értelmezési tartománán. 4

5 Konveitás, infleiós pontok ( ) ( f 2 () ( + )( ) f () ) 2 0 2( 2) 2 ( 2 ) 2 4 ( 2 ) 2 Kaptuk: az 0 helen lehet f -nek infleiója (máshol nem). A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát eg osztópont van, 0. I. II. < < < < f () 0 + f () infl. A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. f ( ) 2 f szig. konkáv a ], 0[ int.-on II. pl. f ( ) 2 + f szig. konve a ]0, [ int.-on Kaptuk: f -nek az 0 helen infleiója van. Itt a helettesítési érték: f (0) 0 A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: ln ( ) + R f R f -nek nincs globális szélsőértéke. (c) f () ln Megoldás: D f R + ]0, [ Tengelmetszetek: 5

6 0 (0 D f ) -tengelen (zérushelek): f () 0 ln 0 -tengelen: f (0) (0 D f, a grafikon nem metszi az -tengelt.) } D f f nem páros, nem páratlan. D f f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének szorzata, ezért maga is foltonos függvén. f () ln }{{} 0 f () ln }{{} ln 0 + ln 0 + ( ) Monotonitás, szélsőértékek: ( f () ln ) ln ( + ) 2 ( ) L H ( ln ) f () 0 ln e e 0, 36. Kaptuk: az helen lehet f -nek lokális szélsőértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális e szélsőérték, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. 0 < < < e e e f () + 0 f () lok. ma A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. e 2 f ( e 2 ) ln e f szig. mon. nő a ] 0, e [ int.-on II. pl. e f (e) ln e f szig.mon.csökk. az ] e, [ int.-on f -nek az helen lokális maimuma van, aminek értéke: e f ( ) e ln e 0, 36 e e e Konveitás, infleiós pontok f () (( ln ) ) ( ) 2 f () 0 0 f -nek nincs infleiós hele. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. 6

7 Most tehát nincs osztópont! f () f () 0 < A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg számot a keletkező intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: pl. f () f szig. konkáv a ]0, [ int.-on f tehát szigorúan konkáv az egész értelmezési tartománán. A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: ln R f ], ] e ( ) f globális maimum. e e (d) f () e Megoldás: D f R \ {0} Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0 (0 D f, e > 0) -tengelen: f (0) f ( ) e f () e (0 D f, a grafikon nem metszi az -tengelt.) f ( ) f () f ( ) f () f -nek eg szakadási hele van, ezért nem periodikus. f nem páros, nem páratlan. f foltonos függvének szorzata, ezért maga is foltonos függvén. 0 e e }{{} e 0 e e 0 + ( ) e L H e

8 e Monotonitás, szélsőértékek: f () ( ) e ( ) ( ) e + e e 2 ( ) f () 0 e 0 I. II. III. < < < < < f () f () lok.min. I. pl. f ( ) 2 + e f szig. mon. nő a ], 0[ int.-on II. pl. 2 f ( ) 2 e2 ( ) f szig. mon. cs. a ]0, [ int.-on III. pl. 2 f (2) e 2 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on 2 f -nek az helen lokális maimuma van, aminek értéke: f () e e 2, 7 Konveitás, infleiós pontok f () ( ( )) e ( ) ( ) e 2 + e e 2 + e 2 + e 3 e 2 3 f () 0 e 3 0 I. II. < < f () + f () I. pl. f ( ) (+) ( ) f szig. konkáv a ], 0[ int.-on II. pl. f () (+) (+) + f szig. konve a ]0, [ int.-on e R f ], 0[ [e, [ R \ [0, e[ f -nek nincs globális szélsőértéke. 8

9 (e) f () Megoldás: D f R Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0? f zérusheleit elemi úton nem tudjuk meghatározni. Ld. még később! -tengelen: f (0) 3 f ( ) 6 f ( ) f () f () 8 f ( ) f () f nem páros, nem páratlan. f harmadfokú racionáis egész függvén, ezért zérusheleinek száma eg vag három, tehát nem periodikus. f racionális egész függvén, ezért foltonos függvén Monotonitás, szélsőértékek: f () ( ) f () (3 + 8) 0 0 vag 8 2, I. II. III. < < < < < f () f () lok.ma. lok.min. I. f ( 3) 3 + II. f ( ) 5 III. f () + f -nek az 8 helen lokális maimuma van, aminek értéke: 3 f ( 8 3) , 5 f -nek az 0 helen lokális mimimuma van, aminek értéke: f (0) 3 Konveitás, infleiós pontok f () ( ) f () I. II. < < f () 0 + f () infl. 9

10 I. f ( 2) 4 II. f (0) 8 + f -nek az 4 helen infleiója van, és itt a helettesítési érték f ( 4) 209 7, Visszatérve f zérusheleinek kérdésére: a monotonitás-vizsgálat alapján annit mondhatunk, hog f -nek eg zérushele van, mégpedig a ], 8[ intervallumon R f R f -nek nincs globális szélsőértéke. (f) f () Megoldás: D f R \ { 3} Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () Nincs zérushel. -tengelen: f (0) 7 2, 33 3 } 3 D f f nem páros, nem páratlan. 3 D f f -nek eg szakadási hele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének hánadosa, ezért maga is foltonos függvén L H 2 0

11 Monotonitás, szélsőértékek: L H 2 f () ( ) 2( + 3) (2 + 7) ( + 3) 2 ( + 3) 2 f () ,2 6 ± I. II. III. IV. ], 7[ 7 ] 7, 3[ 3 ] 3, [ ], [ f () f () lok.ma lok.min. I. f ( 8) II. III. f ( 4) 5 + f (0) 7 + IV. f (2) f ( 7) lokális maimum, f () lokális minimum. Konveitás, infleiós pontok ( ) 2 f () (2 + 6)( + 3)2 ( ) 2 ( + 3) ( + 3) 2 ( + 3) 4 (2 + 6)( + 3) 2( ) ( + 3) ( + 3) 3 f () (Nincs infleiós pont.) I. II. ], 3[ 3 ] 3, [ f () + f () I. f ( 4) 32 II. f ( 2) ( + 3) 3 f nem valódi racionális törtfüggvén, íg a nem-függőleges aszimptotáját polinomosztással határozzuk meg. ( 2 + 7) : ( + 3)

12 f aszimptotái: a : 3 a 2 : 3 a a 2 4 R f ], 4] [2, [ Nincs globális szélsőérték. (g) f () ( 2 3)e Útmutató: (2 3)e (2 3)e } {{ } 0 f () ( )e 2 3 e f () ( )e L H 2 L H 2 e e

13 ( 2 3)e 3 (h) f () ln( ) Útmutató: Értelmezési tartomán: > 0 < 3 vag > + 3 D f ] ; 3[ ] + 3 ; [ f () f () 2( ) ( ) 2 ln( ) 5 3 3