Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Átírás

1 Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek van inverz függvéne. Bizonítás: Ha a függvén például szigorúan monoton, növekvő, akkor az < feltevésből f ( ) < f ( ) következik. Ebből látható, hog eg függvénértéket a függvén csak eg helen vehet fel, tehát a hozzárendelés egértelműen megfordítható. Megjegzés: A szigorú monotonitás az inverz függvén létezésének elegendő, de nem szükséges feltétele. Könnű olan függvént találni, amel nem monoton, mégis van inverze.. Nevezetes függvének.. A hatvánfüggvén Definíció: Az = n függvént hatvánfüggvénnek nevezzük, ha n tetszőleges, nullától különböző állandó.... Pozitív egész kitevőjű hatvánfüggvén Értelemszerűen itt n Z +. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = (,+ ). Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: az értelmezési tartománukon foltonos függvének.

2 4 3 n = n = 4 n = 3 n = ábra. Hatvánfüggvének képe pozitív egész kitevő esetén... Negatív egész kitevőjű hatvánfüggvén = n = n alakúak, ahol n Z+. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = (,+ ) \ {}. Értékkészlet: R f = [,+ ), ha n páros; illetve R f = (,+ ), ha n páratlan. Foltonosság: Foltonos, monoton részekből állnak.

3 n = 3 4 n = ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páratlan kitevő esetén n = 3 n = ábra. Hatvánfüggvének képe negatív egész, páros kitevő esetén..3. Törtkitevőjű hatvánfüggvének Teljes tárgalásuk sok apró vizsgálatot igénel. = p p q esetén a tört számlálójának és nevezőjének páros vag páratlan voltát kell megvizsgálni. Gakorlati q szempontból legfontosabb az = = függvén. 3

4 = = ábra. A négzetgök függvén és ellentettje Tulajdonságok: (Az = ± függvénre) Értelmezési tartomán: D f = [,+ ). Értékkészlet: = függvénre R f = [,+ ); = függvénre R f = (,]. Foltonosság: foltonos, monoton függvének... A polinomfüggvén = P () = a n + a n a n + a n függvén, ahol n N; a, a, a,...,a n tetszőleges valós számok. (n-edfokú polinom.) Az egész számegenesen értelmezett foltonos függvén, mivel foltonos függvének lineáris kombinációja. Viselkedése a -ben: lim P n () = { +, ha a >, ha a <. Ez akkor látszik legegszerűbben, ha kiemeljük az összes első tagját az összes többiből: ( P n () = a n + a a + a a a ) n a n. Ebben az felírásban esetében a zárójelben lévő összeg -hez konvergál. 4

5 .3. A racionális törtfüggvén Nem egszerűsíthető törtfüggvén, amel a, a, a,..., a n és b, b, b,..., b m valós számokkal a következő alakban írható fel: Tulajdonságok: f () = a n + a n a n + a n b n + b n b m + b m Értelmezési tartomán: a nevező zérushelei kivételével az egész számegenes. (legfeljebb m hel.) Határértékek: Az általános felírásban a számlálóban és a nevezőben lévő legmagasabb fokszámú tagot kiemelve: f () = ) a ( n + a a + a a an a n ) b ( m + b b + b b bm b m Ebben a kifejezésben esetén a zárójelben lévő kifejezések határértéke, ezért a függvén határértéke n és m értékeitől, illetve a és b előjelétől függ. Az eges lehetséges eseteket külön vizsgáljuk.. n > m esetén m a -nel egszerűsítve a kifejezés: n m. Ennek határértéke +, ha a és b azonos előjelű,, ha a és b b különböző előjelű. A -ben vett határérték az a és b előjelén kívül még (n m) páros vag páratlan voltától is függ. Nevezetesen: Ha a és b azonos előjelű, akkor a határérték +, ha n m páros; a határérték, ha n m páratlan. Ha a és b különböző előjelű, akkor fordított a helzet.. n = m esetén lim ± f () = a b. 3. Ha n < m, akkor egszerűsítés után a nevezőben m n miatt lim f () =. ±.4. Az eponenciális függvén Alakja = a, ahol a R +. 5

6 8 6 < a < a > ábra. Az eponenciális függvének grafikonja a > és < a < esetén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Monotonitás, foltonosság: Ha a >, akkor a függvén szigorúan monoton növekvő. Ha < a <, akkor a függvén szigorúan monoton csökkenő. A függvén az értelmezési tartomán minden pontjában foltonos. Ha a >, akkor lim a =, míg ha < a <, akkor lim + a =. Az eponenciális függvénnek az tengel aszimptotája..5. A logaritmus függvén Az = a eponenciális függvén inverzét logaritmus függvénnek nevezzük: = log a a > 6

7 4 a > < a < ábra. A logaritmus függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = ],+ ) Értékkészlet: R f = (,+ ) Foltonosság, monotonitás: Mivel az eponenciális függvén foltonos, ezért a logaritmus függvén is foltonos; a > esetén szigorúan monoton növekvő, < a < esetén szigorúan monoton csökkenő. Megjegzés: Az e =,78... alapú logaritmus jele ln, a -es alapú logaritmus jele lg..6. Trigonometrikus függvének Az = sin, = cos, = tg, = ctg függvének összefoglaló neve trigonometrikus függvének, ahol ívmértékben értendő. 7

8 ctg sin tan cos 7. ábra. Szögfüggvének grafikus jelentése.6.. Szinusz függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Periodicitás: A függvén π szerint periodikus. Ebből következően sin( + π) = sin, ami sin( ± kπ) = sin alakban is felírható, ahol k N. Foltonosság, monotonitás: A szinusz függvén a teljes értelmezési [ tartománon foltonos. A függvén szigorúan monoton növekvő az π, π ] intervallumon, tehát az [ π ± kπ, π ] ± kπ -n is. A függvén szigorúan [ π monoton csökkenő az, 3π ] [ π -n, és ezáltal ± kπ, 3π ] ± kπ -n is. Paritás: Páratlan függvén, azaz sin ( ) = sin. 8

9 π π π 3π π 8. ábra. A szinusz függvén grafikonja.6.. Koszinusz függvén ( A cos = sin + π ) összefüggés alapján können tárgalható. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: A koszinusz függvén a teljes értelmezési tartománon foltonos. az [ ± kπ,π ± kπ]-n. [π ± kπ,π ± kπ]-n. Paritás: Páros függvén, azaz cos ( ) = cos. A függvén szigorúan monoton csökkenő A függvén szigorúan monoton növekvő az 9

10 π π π 3π π 9. ábra. A koszinusz függvén grafikonja.6.3. Tangens függvén Definíció szerint: def = sin cos Tulajdonságok: { Értelmezési tartomán: D f = R \ (k + ) π } k Z. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A szakadási heleken (azaz = (k + ) π, ahol k Z) a bal oldali határérték +, a jobb oldali határérték. Periodicitás: A tangens függvén π szerint periodikus, hiszen tg ( + π) = Paritás: A tangens függvén páratlan. sin( + π) cos ( + π) = sin cos = tg

11 3 3 π π π 3π. ábra. A tangens függvén grafikonja.6.4. Kotangens függvén Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R \ {kπ k Z}. Ezeken a heleken a jobb oldali határérték +, a bal oldali határérték. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: A ]±kπ, ±(k + ) π[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén. (k Z) Periodicitás: A kotangens függvén π szerint periodikus. Paritás: A kotangens függvén páratlan.

12 3 3 π π π 3π. ábra. A kotangens függvén grafikonja.7. Trigonometrikus függvének inverzei.7.. Az arkusz szinusz függvén Az = sin függvén inverze. A sin függvén a π π intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc sin függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének szokás nevezni. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = [,]. [ Értékkészlet: R f = π, π ]. Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc sin -szel jelöljük. Ennek bármelik ága előállítható arc sin-szel.

13 π = arc sin π. ábra. Az arkusz szinusz függvén grafikonja A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc sin függvénre: { arc sin ± kπ a növekvő ágakra Arc sin = (π arc sin ) ± kπ a csökkenő ágakra.7.. Az arkusz koszinusz függvén Az = cos függvén inverze. A cos függvén a π intervallumon szigorúan monoton növekvő. Ennek inverze az arc cos függvén, amit az = arc sin főágának, vag főértékének szokás nevezni. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = [,]. Értékkészlet: R f = [,π]. Foltonosság, monotonitás: A főágon túl az összes szigorúan monoton szakasz is invertálható, ezen inverzek összességét = Arc cos -szel jelöljük. Ennek bármelik ága előállítható arc cos-szel. 3

14 π π = arc cos 3. ábra. Az arkusz koszinusz függvén grafikonja A fentiekből a teljes számegenesre értelmezett Arc cos függvénre: { arc cos ± kπ a csökkenő ágakra Arc cos = arc cos ± kπ a növekvő ágakra.7.3. Az arkusz tangens függvén A [ π, ] π intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc tg. Ez a főág vag főérték. A többi ég is invertálható, ezek összessége: Arc tg = arc tg ± kπ. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. [ Értékkészlet: R f = π, π ]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan mononton növekvő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc tg = π, illetve lim + = arc tg = π. 4

15 π = arc tg π ábra. Az arkusz tangens függvén grafikonja.7.4. Az arkusz kotangens függvén A [,π] intervallumon szigorúan monoton ág inverze arc ctg. Ez a főág v. főérték. A többi ég is invertálható, ezek összessége: Arcctg = arc ctg ± kπ. Tulajdonságok: Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,π]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő, foltonos függvén. Határértékek: lim = arc ctg =, illetve lim = arc ctg = π. + 5

16 π π = arc ctg ábra. Az arkusz kotangens függvén grafikonja.8. Hiperbolikus függvének.8.. A szinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: = sh def = e e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = R. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: sh ( ) = e e = sh miatt páratlan függvén. 6

17 3 = e = e = sh ábra. A szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.8.. A koszinusz hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: = ch def = e + e Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,+ ). Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton szakaszokból áll, foltonos függvén. Paritás: ch ( ) = e + e = ch miatt páros függvén. 7

18 = ch = e = e ábra. A koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja A sh és ch függvének nevezetes azonosságai ch sh = Bizonítás: ( e + e ) ( e e ) = e + e + e e + = 4 sh(u ± v) = sh u ch v ± ch u sh v shu = sh u ch u ch ( ± ) = ch ch ± sh sh ch = ch + sh ch = sh = ch + ch.8.3. A tangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: th def = sh ch = e e e + e 8

19 Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = [,]. Foltonosság, monotonitás: Szigorúan monoton növekvő, foltonos függvén. Paritás: Páratlan függvén. Határértékek: lim = th =, illetve lim = th =. + = th ábra. A tangens hiperbolikusz függvén grafikonja.8.4. A kotangens hiperbolikusz függvén Definíció szerint: Tulajdonságok: cth def = ch sh = e + e e e Értelmezési tartomán: D f = R \ {}. Értékkészlet: R f = R \ [,]. Foltonosság, monotonitás: Két szigorúan monoton csökkenő, foltonos szakaszból áll. Paritás: Páratlan függvén. 9

20 Határértékek: lim vett határérték: lim = cth =, illetve lim = cth =, és lim + + = cth =. A -ban = cth = +. 5 = cth ábra. A kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja.9. Hiperbolikus függvének inverzei.9.. Az area szinusz hiperbolikusz függvén A szinusz hiperbolikusz függvén definíciójából indulunk ki. Innen átrendezzük, kifejezve az e -t: sh = = e e e e = e e = e = ± + A negatív előjel, R esetében nem jöhet szóba. Ennek figelembe vételével vetejük mindkét oldal logaritmusát: ( = ln + ) + Innen az ar sh függvén definíciója: ar sh = ln ( + ) +

21 3 = ar sh ábra. Az area szinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.9.. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén 3 = ar ch 3. ábra. Az area koszinusz hiperbolikusz függvén grafikonja.9.3. Az area tangens hiperbolikusz függvén A tangens hiperbolikusz definícója: th = e e e + e =

22 Innen e -t kifejezve: Gökvonás és logaritmus után: e ( ) = e ( + ) e = + = ln + Ezek szerint a area tangens hiperbolikusz definíciója, figelembe véve az area tangens értékkészletét (ami az inverz függvénének értelmezési tartomána lesz): ar th = ln +, ahol ],[ = ar th. ábra. Az area tangens hiperbolikusz függvén grafikonja.9.4. Az area kotangens hiperbolikusz függvén Az area kotangens hiperbolikusz definíciós összefüggése alakra uganaz, mint az ar th függvéné, azzal a különbséggel, hog más az értelmezési tartomán: ar cth = ln +,ahol (, ] [, ).

23 3 = ar cth ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja. Feladatok.. Értelmezési tartomán Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát! ) = + + A négzetgök értelmezési tartomána miatt teljesülnie kell az alábbi feltételeknek: + és Ezek átrendezésével: és Innen az értelmezési tartomán: D f = [,]. ) = + 3 A tört nevezője nem lehet, ami azt jelenti, hog és 3. További megszorítás nincs, ezért az értelmezési tartomán: D f = R \ {,3}. 3) = ln ( 3 + ) A logaritmus miatt: 3 + > A bal oldal gökei = és =. Ábrázolva a függvént: 3

24 ábra. Az area kotangens hiperbolikusz függvén grafikonja Leolvasható, hog D f = (,[ ], ) 5 4) = ln 4 A gökjel alatti kifejezés nemnegatív kell, hog legen: 5 = A bal oldal gökei = és = 4, vagis az előbbi egenlőtlenség 4 esetén teljesül. Vagis ez épp az értelmezési tartomán D f = [,4]. 5) = arc sin 3 5 Az arkusz szinusz értékkészlete miatt: Innen átrendezéssel: Az értelmezési tartomán tehát: D f = [,4]. 4

25 6) = arc cos 9 Egrészt a négzetgök értelmezési tartomána miatt: 9, vagis 3 3. Másrészt az arkusz koszinusz értelmezési tartomána miatt: 9 8 Ez alapján 8 vag 8 kell, hog teljesüljön. A két feltétel összevetéséből az értelmezési tartomán: D f = [ 3, 8 ] [ 8,3 ]... Értékkészlet Határozzuk meg a következő függvének értelmezési tartománát, értékkészletét és ábrázoljuk a függvént! ) = arc sin ( + 3) Értelmezési tartomán: az arkusz szinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt +3 = 4. Vagis D f = [ 4, ]. Értékkészlet: nincs külső transzformáció, ezért R f = [ π, ] π. π arc sin ( + 3) arc sin π ábra. Függvénábrázolás transzformációval 5

26 ) = arc cos + Értelmezési tartomán: az arkusz koszinusz argumentuma - és közé kell, hog essen. Emiatt =. Vagis D f = [,]. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = [,π + ]. π + arc cos + π arc cos π π arc cos arc cos 3) = 3 arc tg 6. ábra. Függvénábrázolás transzformációval Értelmezési tartomán: Az arkusz tangens értelmezési tartománát nem szűkíti le ez a belső transzformáció, ezért D f = R. Értékkészlet: a külső transzformáció miatt R f = ] π 4, π [. 4 6

27 π arc tg 3 arc tg arc tg 3 arc tg( 3) π ábra. Függvénábrázolás transzformációval 4) = sh ( + ) Értelmezési tartomán: D f = R. Értékkészlet: R f = R. 4 sh ( + ) sh ( + ) sh 4 8. ábra. Függvénábrázolás transzformációval 7

28 .3. Paritás Állapítsuk meg az alábbi függvénekről, hog párosak, vag páratlanok, vag nincs értelme a paritásnak! ) = 3 + Páratlan függvén, hiszen két páratlan függvén összege. ) = 4 Páros függvén, hiszen két páros függvén különbsége. 3) = Páros függvén, hiszen páros függvénekből áll elő. (Figelem, = függvén is páros!) 4) = sin 6 Nincs paritása, hiszen eg páros és eg páratlan függvén különbsége. 5) = 3 cos Páratlan függvén; páros és páratlan függvén szorzata páratlan. Legen uganis h () = f () g () a szorzatfüggvén, és f () páros, g () páratlan függvének. Ekkor: h ( ) = f ( ) g ( ) = f () [ g ()] = f () g () = h (), vagis a h () függvén ténleg páratlan. 6) = Páratlan függvén, mert páros és páratlan függvének hánadosa. 7) = sin5 6 Páros függvén, mert két páratlan függvén hánadosa. 8) = sin Páros függvén, mert páros függvének szorzata..4. Inverz függvén Képezzük a következő függvének inverzeit: 8

29 ) = 3 + Átrendezés után: = 3 + = 3 = + = = 3 = = 3 Az inverz függvén: = 3. ) = ln + 5 = ln + 5 = e = + 5 = e = + 5 = = Az inverz függvén: ( = ) e 5 3) = 3 + e 4 = 3 + e 4 = 3 = e 4 = ln ( 3 ) = 4 Az inverz függvén: = 4 ln ( 3 ). 4) = 5 6 = 5 6 = 6 = 5 = (6 ) = 5 Az inverz függvén: = ) = = = + 6 = 5 +5 = log 5 ( + 6) = + 3 Az inverz függvén: = [log 5 ( + 6) 3] ( e 5 ).5. Polárkoordinátás ábrázolás Ábrázoljuk polárkoordináta-rendszerben az alábbi függvéneket: ) r (ϕ) = a ϕ 9

30 r = t ábra. Archimédeszi spirál ) r (ϕ) = e ϕ r = 7 ep(t) 3 3. ábra. Logaritmikus spirál 3

31 3) r (ϕ) = a( + cos ϕ) r = +cos(t) 3. ábra. Kardioid 4) r (ϕ) = a cos ϕ r ϕ a ϕ = 3. ábra. Az r = a sugarú kör ábrázolása polárdiagramon 5) Írjuk fel a polártengellel párhuzamos, és tőle egségre haladó egenes egenletét polárkoordinátás megadásban: 3

32 r ϕ ϕ = 33. ábra. A polártengeltől egségre lévő egenes Az ábráról látható, hog = sinϕ, ahonnan átrendezéssel az egenes egenlete: r = sin ϕ r. 6) A derékszögű koordináta-rendszer és a polár koordináta-rendszer közötti kapcsolat segítségével írjuk fel az archimédeszi spirális és a logaritmikus spirális paraméteres egenletrendszerét! Archimédeszi spirális: polárkoordinátákban r = aϕ. Ebből a megoldás: = aϕcos ϕ = aϕsin ϕ Logaritmikus spirális: polárkoordinátákban r = e ϕ. Innen: =.6. Implicit függvénmegadás ) = e ϕ cos ϕ = e ϕ sinϕ Az -et és -t tartalmazó tagokat teljes négzetté alakítjuk. Innen: ( ) + ( + 4) = 6, ami eg (, 4) középpontú, r = 4 sugarú kör egenlete. ) = Hasonlóan járunk el, mint a kör esetében. Az átalakítás után: + 9( ) = 9 Mindkét oldalt 9-cel elosztva eg ellipszis egenletét kapjuk: 9 + ( ) =. 3

33 Az ellipszis középpontja (,), a két fél nagtengele a = 3 és b = hosszúságú. 3) 9 4 = 36 Átalakítás után: Ez eg hiperbola egenlete. 4 9 =.7. Paraméteres függvénmegadás { = 5cos t ) = 3sin t Látható sin + cos = alapján, hog ezzel ekvivalens: ) =, ami eg origó középpontú, a = 5 és b = 9 fél nagtengelekkel rendelkező ellipszis egenlete. { = 5(t sin t) = 5( cos t) Ez eg ciklois, vagis eg olan görbe, amit eg r = 5 sugarú kör kerületi pontja ír le, miközben a kör gördül az tengelen. = 5 (t cos(t)), = 5 ( cos(t)) ) { = 3t = t ábra. Ciklois görbe Fejezzük ki a t-t -szel; az első egenletből: t =

34 Ezt a második egenletbe visszahelettesítve: = meredekséggel, és b = 4 3 tengelmet- ami eg egenes egenlete, m = 3 szettel. = 5 3 = ,.8. Függvénhatárértékek A következő példákban a függvének határértékeinek meghatározásának leggakoribb módszereit mutatjuk be eg-eg példával. ) A számláló és nevező szorzattá alakítása után: + 3 lim = lim ( ) ( + 5) ( ) ( + ) = lim = = 7 3 ) A számlálóban elimináljuk a négzetgököt, ezután können adódik a határérték: lim + + = lim = + + = lim ( ) = lim = 3) Szorzattá alakítás és egszerűsítés után: lim = lim 8 6 = 8 6 lim = = 8 6 lim = ( )( + + ) ( ) ( ) 4 = 3 = = 6 4) sin alakú határértékre visszavezethető a tört bővítésével: sin5 sin 5 lim = 5 lim 5 = 5 5) Szintén sin alakra vezet, ha felhasználjuk a tangens definícióját: tg lim = lim sin cos = 34

35 6) A tangens definícióját felhasználva három egszerűbb határérték szorzatára bomlik fel: tg sin lim 3 sin = lim sin cos = lim sin cos cos A *-gal jelölt egenlőség bizonítása: cos lim = lim 3 sin = = = 4 lim 7) Racionális törtfüggvén határértéke -ban: lim = lim = lim sin( cos ) (cos ) 3 = ( sin ) = = 5 3 8) Két szögfüggvén különbségére vonatkozó nevezetes azonosság segítségével két sin alakú határértéket kapunk: cos 6 cos 3 lim = lim sin 6+3 sin 7 sin = lim 9) A cos -et lim π 3cos cos sin sin 6 3 = lim sin 7 7 = sin 3 3 lim = argumentumú szögfüggvénekkel felírva egszerűsíthető a tört: ) Helettesítéses határérték: ( ) lim = lim + cos = 3 lim sin π cos sin ( + + ( = 3 lim cos π + sin ) = 3 ) ( = lim ) = + A helettesítés képlete: + =, amiből átrendezéssel: = u. u Ezzel a határérték: ( = lim + u [( = lim + u u) ) u ] ( + ) = e = u u u e ) Rendőr-elv alkalmazása: ( lim + ) ( = lim + ) 35

36 A gökjel alatti menniséget alulról és felülről becsüljük, felhasználva, hog ( + ) lim = e, kapjuk: < ( + ) < 3 Itt lim = lim 3 =, ezért az eredeti függvénre is lim f () =. ) Helettesítéses határérték: lim ( ) + = lim ( + 3 ) ( = lim + 3 ) ( 3 ) = lim + 3 A helettesítés: u =, vagis = 3 u +. Ezzel a zárójelben lévő kifejezés határértéke: [( lim + ) u ] 3 ( + = e u u u) 3 ( ) + De lim e = +, tehát lim = +. 3) A tangens definíciója, és a szögfüggvének transzformációjával: ( π ) ( π ) ( sin π lim π tg = lim π cos = lim ) π sin ( π sin = ) 4) Racionális törtfüggvén határértéke esetében a nevező legnagobb fokszámú tagjával egszerűsítünk: lim = lim = 5 8 5) sin típusú határértéket kapunk, ha bővítünk 5-szel:.9. Függvénábrázolás Ábrázoljuk a következő függvéneket: sin 8 lim tg5 = lim sin8 8 5 tg 5 =

37 ) Racionális törtfüggvén: = 3 Rögtön látható, hog az = egenes aszimptota. Ezen túl érdemes megvizsgálni a függvén határértékeit, ezek segítik a törtfüggvén ábrázolását. A függvén grafikonja tehát: lim = 3 = 3 lim = 3 = + lim = 3 + = 5 = ábra. Transzformált reciprokfüggvén grafikonja ) Teljes négzetté alakítás: = 4 8 = 4 ( ) = 4 [ ] ( ) 4 = 4( ) 6 A függvén grafikonját az = függvénből kiindulva transzformációkkal képezzük: 37

38 5 = = ( ) = 4( ) = 4( ) ábra. Másodfokú függvén transzformációja 3) Négzetgököt tartalmazó függvén: = 3 6 = 3 = 3 3 = = ábra. Gök függvén transzformációja 4) Reciprok függvén = ( ) 3 38

39 4 = ( ) 3 = ábra. Törtfüggvén transzformációval 39