6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

Átírás

1 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC

2 A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen illusztrálni. Az alábbiakban csak egy-egy példát mutatunk néhány deriválási szabályra vonatkozólag.

3 DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK Tétel: Tegyük fel, hogy az f és g függvények differenciálhatóak egy 0 pontban és legyen c egy tetszőleges valós állandó. Ekkor a cf, f g, f g,, f g g. ; cf c f 0 0. ; f g f g függvények szintén deriválhatók az 0 helyen és: ; f g f g f g ; f g h f g h f g h f g h g ; g 0 0 g g 0 f f 0 g 0 f 0 g ; g 0 0 g g 0

4 ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA Tétel: Az elemi függvények deriváltja a következő:. 0 c n n n n. általánosítás később 3. ln ; log a ; ln a 4. e e ; a a ln a; 5. sin cos ; cos sin ; 6. tg ; ctg ; cos sin

5 PÉLDÁK Határozzuk meg az alábbi deriváltakat: a f 3 ) ( ) sin log ; sin ; 3 3 f cos log sin ; ln 3 b) f 3 5 cos ln ; f 3 ln 35 cos ln 3 0 sin ln 3 5 cos ; c) f ( ) ; ctg e f d) f e ctg e 4 7 tg 6 5 4log ; 7 f log tg 6 5 ln5 4 4 cos ln ; 6 5 4log 4 7

6 AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA Tétel: Tegyük fel, hogy a g függvény differenciálható az 0 pontban és az f függvény differenciálható a g( 0 ) helyen. Ekkor az f g összetett függvény szintén deriválható az 0 helyen és teljesül, hogy f g f g g azaz "függvényes" jelöléssel f g f g g helyettesítési értékekkel pedig f g f g g Klasszikus jelölés: Ha F( ) f g akkor df df dg d dg d Innen a láncszabály elnevezés.

7 PÉLDA ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi függvényeket: sin a) F( ) ; 7 3 cos sin ln F ; sin b) F tg log ; F 7 cos log ln ;

8 AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA HA -NÉL TÖBB FÜGGVÉNYBŐL KÉPEZZÜK AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNYT Tétel: Tegyük fel, hogy a h függvény differenciálható az 0 pontban a g függvény differenciálható a h( 0 ) helyen és az f függvény differenciálható a g(h( 0 )) helyen. Ekkor az f g h összetett függvény szintén deriválható az 0 helyen és teljesül, hogy f g h f g h g h h Klasszikus jelölés: azaz "függvényes" jelöléssel f g h f g h g h h helyettesítési értékekkel pedig f g h f g h g h h Ha F ( ) f g h akkor a láncszabály df df dg dh d dg dh d

9 PÉLDA TÖBBSZÖRÖSEN ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi függvényeket: ln a) F( ) log sin tg ; 3 F cos tg ; sin tg ln cos b) F ctg 3 ; 3 ln 3 F 3 ln 3 3 ; ln sin 3

10 AZ INVERZ FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSA Tétel: Tegyük fel, hogy az f függvény invertálható és differenciálható az 0 pontban. Ekkor az f inverz függvény deriválható az y 0 = f( 0 ) helyen és teljesül, hogy f y azaz f f 0 0 f "függvényes" jelöléssel f f f f f y 0 0 ; ;

11 PÉLDA EGY NEVEZETES INVERZ KAPCSOLATRA Legyen f ep( ) e ; ekkor f ln Állítsuk elő a logaritmus függvény deriváltját úgy, hogy az eponenciális függvény deriváltjára hivatkozunk: ln ; ep ln e ep ln ln

12 AZ ARKUSZ FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA Tétel: A trigonometrikus függvények inverzének deriváltja Bizonyítás: arcsin ; arccos ; arctg ; arcctg ; arcsin ; sin arcsin cos arcsin sin arcsin

13 EXPONENCIÁLIS HATVÁNYFÜGGVÉNYEK Definíció: Tegyük fel, hogy bizonyos valós helyeken értelmezve van az F f g formulával értelmezett függvény például ha az alap értékkészlete a pozitív való számok halmaza, amikor a kitevő tetszőleges értékeket felvehet. Ezt a függvényt eponenciális hatványfüggvénynek nevezzük. Egy ilyen alakú függvény nem lehet sem tisztán hatványfüggvény, hiszen a kitevő nem állandó, és ugyanilyen okok miatt nem lehet tisztán eponenciális függvény sem, hiszen az alap nem állandó. Az ilyen alakú függvények deriválására különleges szabály vonatkozik, amelyet logaritmikus deriválásnak nevezünk.

14 A LOGARITMIKUS DERIVÁLÁS SZABÁLYA Az eponenciális hatványfüggvényt deriváljuk: F f g ln F ln f / ln g d ln F g ln f / d F g ln f g f F f ahonnan az F függvény deriváltja F F g ln f g azaz f f g F f g ln f g f f

15 PÉLDA LOGARITMIKUS DERIVÁLÁSRA Egy eponenciális hatványfüggvényt deriválunk: F ln F cos / ln (Ha az alap pozitív!) ln cos d ln F ln cos / d F F cos ln cos sin ahonnan az F függvény deriváltja sin F F ln cos cos azaz F cos ln cos tg

16 A LOGARITMIKUS DERIVÁLÁS EGY EGYSZERŰ DE FONTOS ALKALMAZÁSA A valós kitevőjű hatványfüggvényt deriváljuk: ln F F ln / ln ln F ln / F F ahonnan az F függvény deriváltja F F F A hatvány deriválására megismert szabály tehát minden valós kitevőre igaz. Célszerű megjegyezni az alábbi speciális eseteket: d d ;

17 IMPLICIT FÜGGVÉNYEK Definíció: Tegyük fel, hogy adott egy összefüggés az és y változók között az, 0 F y általános alakú egyenlettel. Előfordul, hogy ez az egyenlet akkor is ha nem oldható meg y-ra egyértelmű kapcsolatot értelmez az és y változók között. Ezt úgy fogalmazzuk, hogy a fenti egyenlet értelmez egy y = y() implicit függvényt. Ez jelöléssel az alábbi módon hangsúlyozzuk: Ennek az implicit függvénynek a deriváltját egy 0 helyen akkor is ki tudjuk számítani, ha az y() összefüggést eplicit módon nem ismerjük tehát akkor, amikor az F(, y) = 0 egyenlet nem oldható meg y-ra. A műveletet az implicit függvény deriválásaként emlegetjük. F, y 0

18 AZ IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA Feladat az F, y 0 egyenlet által definiált implicit függvény deriváltjának kiszámítása. Ezt a kétváltozós függvényt összetett függvénynek tekintjük és eszerint deriváljuk. A deriválás során az y-t is változónak tekintjük, és a deriválás során indeben feltüntetjük, hogy melyik változó szerint deriválunk. F, y F, y F, y y y Innen átrendezéssel kapjuk a keresett deriváltat: y 0 y F, y 0 0 F, y 0 0

19 PÉLDA IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSÁRA Deriváljuk az alábbi implicit függvényt: y d cos y ln e 3 0; / d y e y y e ahonnan y y cos y sin y y e ln e y 3 0; y y y ln sin 3 cos ; 3 cos y e ln y e sin y y

20 FONTOS PÉLDA Deriváljuk az arkusz függvényeket az implicit függvény deriválási szabálya alapján. Például: y f y cos yy ; ( ) arcsin sin / d d y cos y cos arcsin sin arcsin A többi arkusz függvény deriváltja hasonló logikával kapható.