Matematika A1a Analízis

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika A1a Analízis"

Ilona Farkasné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK

2 Tartalom

3 A logaritmus mint integrálfüggvény A log függvény tulajdonságai exp(x) = e x A hatványozás műveleti szabályai 2

4 A logaritmus mint integrálfüggvény

5 A logaritmus mint integrálfüggvény D Az integrál alkalmazásával és az ln és az exp függvények újradefiniálásával megmutatjuk, hogy a r (r Q) függvénynek létezik folytonos kiterjesztése R-re. A log (ln) függvény log(x) = x dt (x > 0) t - Belátjuk, hogy log(x) diffható, szig. monoton növő fv. (0, )-en; - definiáljuk exp(x)-et mint a log(x) inverz függvényét; - belátjuk, hogy exp(x) ( illetve általánosabban exp(x log(a)) ) az e r (illetve a r ) folytonos kiterjesztése Q-ról R-re, így exp(x) = e x és log(x) = ln x; - bebizonyítjuk a logaritmus és a valós kitevőjű hatványozás műveleti tulajdonságait. 3

6 A log függvény tulajdonságai

7 T Tétel log(x) differenciálható, és a deriváltja x. B x > -re az állítás a változó felső határú integrálok tételéből következik. 0 < x < esetén tekinthetjük log(x) helyett az x x valamely 0 < c < x-nél kezdődő integrálfüggvényét: dt. Ez c t csak egy konstans összeadandóban ( dt-ben) különbözik c t log(x)-től, és alkalmazható rá az előbbi tétel (c, )-en, így log(x) is diffható itt, és a deriváltja megegyezik x -szel. 4

8 Á A log függvény műveleti tulajdonságai. log(ab) = log(a) + log(b). 2. log(a r ) = r log(a) r Q-ra. ab a B. log(ab) log(a) = t dt ab t dt = dt. A t = au, a t dt = a du helyettesítéssel ez tovább b b = au a du = du = log(b). u B2.. miatt n N + -ra log(a n ) = log(a a a) = log(a)+log(a)+ +log(a) = n log(a), log(a 0 ) = log = dt = 0 = 0 log(a), és t 0 = log = log(a n a n ) = log(a n ) + log(a n ) log(a n ) = log(a n ) = n log(a). Végül r = p q-ra (p, q Z, q 0): q log(a p/q ) = log(a p ) = p log(a) log(a p/q ) = p q log(a). 5

9 Á Állítás log(x) szigorúan monoton függvény, értékkészlete R. B 0 < a < b-re log(b) log(a) = b t dt a t dt = b a t dt (b a) b > 0, ugyanis t az [a, b] intervallumon. Így log(a) < log(b). b Ebből következik, hogy c > -re log(c) > log() = 0, és a műveleti szabályok miatt log(c n ) = n log(c) akármilyen nagy, log(c n ) = n log(c) akármilyen kicsi R(log) = R. lehet, és log(x) folytonos 6

10 exp(x) = ex

11 D Az exp függvény Legyen exp(x) a log(x) inverz függvénye. Ez az eddigiek alapján diffható fv. R-en, amelynek deriváltja exp (x) = log (exp(x)) = / exp(x) = exp(x). Korábban a x -et mint az a r (x Q) függvény R-re való folytonos kiterjesztését definiáltuk, és e az a szám volt (egyértelmű?), amelyre d dx ex x=0 =. 7

12 T Természetes alapú exponenciális és logaritmus függvény exp(x) = e x és log(x) = ln(x) B r Q-ra és a > 0-ra exp(r log(a)) = exp(log(a r )) = a r, így exp(x log(a)) az a r (r Q) fv. folytonos kiterjesztése, azaz exp(x log(a)) = a x d dx ax = d dx exp(x log(a)) = exp(x log(a)) log(a) = ax log(a), d dx ax x=0 = log(a) = a = exp(), vagyis e = exp() exp(x) = exp(x log(e)) = e x, log(x) = ln(x) az e x inverz függvénye. 8

13 A hatványozás műveleti szabályai

14 A valós kitevőjű hatványozás műveleti szabályai T a x műveleti tulajdonságai ) a xy = (a x ) y 2) a x+y = a x a y 3) (ab) x = a x b x tetszőleges a, b, x, y R, a, b > 0 számokra. B Az a x = exp(x log(a)) definícióból következik a log(a x ) = x log(a) (a, b R, a > 0) általánosítása a log(x) fv. 2. műveleti szabályának. A hatványazonosságokat beláthatjuk úgy, hogy a két oldal logaritmusát hasonlítjuk össze. Pl. 3) log((ab) x ) = x log(ab) = x(log(a) + log(b)) = x log(a) + x log(b) = log(a x ) + log(b x ) = log(a x b x ). 9

Hasonló dokumentumok

Matematika A1a Analízis

B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl