Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Átírás

1 Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók március / 13

2 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X : Ω R függvényt az Ω-n értelmezett valószínűségi vagy véletlen változónak nevezünk, ha minden x R-re {ω Ω X(ω) < x} A. Példa Kockadobás esetén a dobott pontérték egy valószínűségi változó (ω {1,..., 6}, X(ω) = ω). Példa Legyen az eseménytér Magyarország lakosai, a kísérlet pedig az, hogy véletlenszerűen választunk valakit a lakosok közül. Ha a lakosokhoz hozzárendeljük a testmagasságukat, akkor egy valószínűségi változót kapunk. Valószínűségi változók március / 13

3 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X : Ω R függvényt az Ω-n értelmezett valószínűségi vagy véletlen változónak nevezünk, ha minden x R-re {ω Ω X(ω) < x} A. Példa Kockadobás esetén a dobott pontérték egy valószínűségi változó (ω {1,..., 6}, X(ω) = ω). Példa Legyen az eseménytér Magyarország lakosai, a kísérlet pedig az, hogy véletlenszerűen választunk valakit a lakosok közül. Ha a lakosokhoz hozzárendeljük a testmagasságukat, akkor egy valószínűségi változót kapunk. Valószínűségi változók március / 13

4 Megjegyzés A későbbiekben az általunk vizsgált példákban a valószínűségi változó definíciójában szereplő feltétel mindig teljesül. Jelölés Legyen a < b, a, b R. Vezessük be az alábbi jelöléseket: P(X < a) := P({ω Ω X(ω) < a}), P(a X < b) := P({ω Ω a X(ω) < b}), P(X = a) := P({ω Ω X(ω) = a}). Legyen X : Ω R valószínűségi változó. Az F(x) = F X (x) := P(X < x) függvényt az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Valószínűségi változók március / 13

5 Megjegyzés A későbbiekben az általunk vizsgált példákban a valószínűségi változó definíciójában szereplő feltétel mindig teljesül. Jelölés Legyen a < b, a, b R. Vezessük be az alábbi jelöléseket: P(X < a) := P({ω Ω X(ω) < a}), P(a X < b) := P({ω Ω a X(ω) < b}), P(X = a) := P({ω Ω X(ω) = a}). Legyen X : Ω R valószínűségi változó. Az F(x) = F X (x) := P(X < x) függvényt az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Valószínűségi változók március / 13

6 Kockadobás eloszlásfüggvénye (ω {1,..., 6}, X(ω) = ω) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/ Valószínűségi változók március / 13

7 Tétel (Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1) Legyen X : Ω R valószínűségi változó, F pedig X eloszlásfüggvénye. Ekkor 1 F monoton növekedő, 2 lim F(x) = 0, lim x F(x) = 1, x 3 F balról folytonos, azaz lim F(x) = F(a) minden a R helyen. x a 0 Tétel (Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 2) Legyen X : Ω R valószínűségi változó, F pedig X eloszlásfüggvénye. Ekkor 1 bármely a, b R, a < b esetén P(a X < b) = F(b) F(a), 2 bármely a R esetén P(X a) = 1 F(a), 3 bármely a R esetén P(X = a) = lim F(x) F(a), x a+0 4 ha F folytonos a-ban, akkor P(X = a) = 0. Valószínűségi változók március / 13

8 Tétel (Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1) Legyen X : Ω R valószínűségi változó, F pedig X eloszlásfüggvénye. Ekkor 1 F monoton növekedő, 2 lim F(x) = 0, lim x F(x) = 1, x 3 F balról folytonos, azaz lim F(x) = F(a) minden a R helyen. x a 0 Tétel (Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 2) Legyen X : Ω R valószínűségi változó, F pedig X eloszlásfüggvénye. Ekkor 1 bármely a, b R, a < b esetén P(a X < b) = F(b) F(a), 2 bármely a R esetén P(X a) = 1 F(a), 3 bármely a R esetén P(X = a) = lim F(x) F(a), x a+0 4 ha F folytonos a-ban, akkor P(X = a) = 0. Valószínűségi változók március / 13

9 Valószínűségi változók Két valószínűségi változót azonos eloszlásúnak nevezünk, ha eloszlásfüggvényeik megegyeznek. Az X : Ω R valószínűségi változót diszkrét eloszlásúnak (vagy röviden: diszkrétnek) nevezzük, ha értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz. Valószínűségi változók március / 13

10 Valószínűségi változók Két valószínűségi változót azonos eloszlásúnak nevezünk, ha eloszlásfüggvényeik megegyeznek. Az X : Ω R valószínűségi változót diszkrét eloszlásúnak (vagy röviden: diszkrétnek) nevezzük, ha értékkészlete véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz. Valószínűségi változók március / 13

11 Az előző definícióban szereplő két lehetséges esetnek megfelelően legyen K := {1,... n}, illetve K := N, ha R X véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz. Jelölje p k annak a valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó az x k értéket veszi fel, vagyis Az p k := P(X = x k ), k K. {(x k, p k ) R 2 k K} halmazt az X eloszlásának nevezzük. Megjegyzés A diszkrét valószínűségi változó eloszlása és eloszlásfüggvénye közötti kapcsolat: F(x) = p k (x R). x k <x Valószínűségi változók március / 13

12 Az X : Ω R valószínűségi változót folytonos eloszlásúnak (vagy röviden: folytonosnak) nevezzük, ha eloszlásfüggvénye folytonos és szakaszonként folytonosan deriválható. Jelölje F az X eloszlásfüggvényét. Az f := F deriváltfüggvényt az X sűrűségfüggvényének nevezzük. Megjegyzés Az f függvényt kiterjeszthetjük az R-en értelmezett függvénnyé, ha azokban a pontokban, ahol F nem deriválható, tetszőleges nemnegatív (pl. 0) értéket előírunk. Valószínűségi változók március / 13

13 Tétel (A sűrűségfüggvény tulajdonságai) Legyen X : Ω R folytonos valószínűségi változó, F legyen X eloszlásfüggvénye, f pedig a sűrűségfüggvénye. Ekkor 1 f (x) 0 minden x R esetén, 2 F(x) = 3 x f (t) dt = 1, f (t) dt minden x R esetén, 4 minden a, b R, a < b esetén P(a X < b) = b a f (t) dt. Legyen X és Y az Ω-n értelmezett valószínűségi változó. Azt mondjuk, hogy X és Y független, ha tetszőleges x, y R esetén P(X < x, Y < y) = P(X < x) P(Y < y). Valószínűségi változók március / 13

14 Tétel (A sűrűségfüggvény tulajdonságai) Legyen X : Ω R folytonos valószínűségi változó, F legyen X eloszlásfüggvénye, f pedig a sűrűségfüggvénye. Ekkor 1 f (x) 0 minden x R esetén, 2 F(x) = 3 x f (t) dt = 1, f (t) dt minden x R esetén, 4 minden a, b R, a < b esetén P(a X < b) = b a f (t) dt. Legyen X és Y az Ω-n értelmezett valószínűségi változó. Azt mondjuk, hogy X és Y független, ha tetszőleges x, y R esetén P(X < x, Y < y) = P(X < x) P(Y < y). Valószínűségi változók március / 13

15 Várható érték Legyen X : Ω R diszkrét vagy folytonos valószínűségi változó. Az X változó E(X)-szel jelölt várható értékét a következőképpen értelmezzük: 1 diszkrét esetben: ha X eloszlása {(x k, p k ) k K}, akkor E(X) := x k P(X = x k ) = x k p k k K k K (K = N esetén feltéve, hogy ez a végtelen sor abszolút konvergens), 2 folytonos esetben: ha f az X sűrűségfüggvénye, akkor E(X) := xf (x) dx (feltéve, hogy ez az improprius integrál abszolút konvergens). Valószínűségi változók március / 13

16 Megjegyzés A várható érték általában nem egyenlő a változó legvalószínűbb értékével, sőt, nem is feltétlenül eleme az értékkészletéhez. Tétel (A várható érték tulajdonságai) Legyen X, X 1, X 2,... X n : Ω R vagy csupa diszkrét, vagy csupa folytonos valószínűségi változó. Ekkor fennállnak a következők: 1 Ha létezik E(X), akkor bármely c R mellett létezik E(cX), és E(cX) = c E(X). 2 Ha létezik E(X i ) (i {1,..., n}), akkor létezik E(X X n ), és E(X X n ) = E(X 1 ) E(X n ). 3 Ha létezik E(X 1 ) és E(X 2 ), továbbá X 1 és X 2 független, akkor létezik E(X 1 X 2 ), és E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ). Valószínűségi változók március / 13

17 Megjegyzés A várható érték általában nem egyenlő a változó legvalószínűbb értékével, sőt, nem is feltétlenül eleme az értékkészletéhez. Tétel (A várható érték tulajdonságai) Legyen X, X 1, X 2,... X n : Ω R vagy csupa diszkrét, vagy csupa folytonos valószínűségi változó. Ekkor fennállnak a következők: 1 Ha létezik E(X), akkor bármely c R mellett létezik E(cX), és E(cX) = c E(X). 2 Ha létezik E(X i ) (i {1,..., n}), akkor létezik E(X X n ), és E(X X n ) = E(X 1 ) E(X n ). 3 Ha létezik E(X 1 ) és E(X 2 ), továbbá X 1 és X 2 független, akkor létezik E(X 1 X 2 ), és E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ). Valószínűségi változók március / 13

18 Szórás Legyen X : Ω R diszkrét vagy folytonos valószínűségi változó. Az X varianciája vagy szórásnégyzete ( V(X) = D 2 (X) := E [X E(X)] 2), feltéve, hogy a feltüntetett várható értékek léteznek (V(X) 0). A D(X) := V(X) számot az X valószínűségi változó szórásának nevezzük. Tétel (A variancia vagy szórásnégyzet kiszámítása) Ha X-nek létezik a varianciája, akkor V(X) = D 2 (X) = E(X 2 ) E 2 (X). Valószínűségi változók március / 13

19 Következmény Legyen X : Ω R diszkrét vagy folytonos valószínűségi változó. Az X változó szórásnégyzetét a következőképpen számolhatjuk ki. 1 Diszkrét esetben: ha X eloszlása {(x k, p k ) k K}, akkor ( D 2 (X) = x 2 k P(X = x k) k K = x 2 k p k k K ( ) 2 x k p k, k K x k P(X = x k ) k K 2 folytonos esetben: ha f az X sűrűségfüggvénye, akkor D 2 (X) = ( 2 x 2 f (x) dx xf (x) dx). ) 2 Valószínűségi változók március / 13