4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Átírás

1 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8

2 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 1. B megszámlálható számosságú; Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8

3 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X 1,X 2 X,X 1 X 2 esetén létezik Y B, amelyre X 1 Y X 2 (azaz a B halmaz sűrű a rendezésre nézve). Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8

4 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X 1,X 2 X,X 1 X 2 esetén létezik Y B, amelyre X 1 Y X 2 (azaz a B halmaz sűrű a rendezésre nézve). Ekkor létezik v : X R értékelő függvény, azaz bármely a,b X-re teljesül, hogy a b v(a) > v(b), és a b v(a) = v(b). Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8

5 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 1. B megszámlálható számosságú; 2. bármely X 1,X 2 X,X 1 X 2 esetén létezik Y B, amelyre X 1 Y X 2 (azaz a B halmaz sűrű a rendezésre nézve). Ekkor létezik v : X R értékelő függvény, azaz bármely a,b X-re teljesül, hogy a b v(a) > v(b), és a b v(a) = v(b). A tétel megfordítása is igaz: Ha létezik v : X R értékelő függvény, mely reprezentálja a relációt, akkor gyenge rendezés az X halmazon és a X halmaznak van megszámlálható számosságú és a rendezésre nézve sűrű részhalmaza. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8

6 Mondjunk példát olyan X halmazra és a rajta értelmezett gyenge rendezésre, amelyre a múlt órai értékelő függvényes tétel (4.1.) nem alkalmazható, de a mai (4.2.) már igen! Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 2/8

7 1. példa X = R = (kisebb vagy egyenlő) Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 3/8

8 1. példa X = R = (kisebb vagy egyenlő) Ekkor X = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sűrű legyen a valós számok közötti nagyobb vagy egyenlő rendezésre nézve, vagyis tetszőleges két valós szám között legyen B-beli elem. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 3/8

9 1. példa X = R = (kisebb vagy egyenlő) Ekkor X = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sűrű legyen a valós számok közötti nagyobb vagy egyenlő rendezésre nézve, vagyis tetszőleges két valós szám között legyen B-beli elem. Itt az értékelő függvény könnyen kitalálható: Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 3/8

10 1. példa X = R = (kisebb vagy egyenlő) Ekkor X = X = R, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q, vagy akár a B = {diadikus törtek} választással. A kulcs: B sűrű legyen a valós számok közötti nagyobb vagy egyenlő rendezésre nézve, vagyis tetszőleges két valós szám között legyen B-beli elem. Itt az értékelő függvény könnyen kitalálható: v(x) = x. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 3/8

11 2. példa X = R 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) x y 2 1 x y 2 2 Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 4/8

12 2. példa X = R 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) x y 2 1 x y 2 2 Ekkor X = R + 0, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q +, vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 4/8

13 2. példa X = R 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) x y 2 1 x y 2 2 Ekkor X = R + 0, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q +, vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással. Megint kitalálható az értékelő függvény: Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 4/8

14 2. példa X = R 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) x y 2 1 x y 2 2 Ekkor X = R + 0, nem megszámlálható, ezért a múlt órai tétel (4.1.) nem segít. A mai (4.2.) viszont igen, például a B = Q +, vagy akár a B = {pozitív diadikus törtek} választással. Megint kitalálható az értékelő függvény: v((x,y)) = x 2 + y 2. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 4/8

15 Legyen X R n, és vezessük be az (x,y) X X rendezett párok halmazán értelmezett relációt a következőképpen: x y x i y i minden i = 1, 2,...,n-re, és létezik olyan j index, hogy x j > y j. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 5/8

16 4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 6/8

17 4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1) monoton, azaz bármely x,y X esetén x y = x y; Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 6/8

18 4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1) monoton, azaz bármely x,y X esetén x y = x y; (2) folytonos, azaz bármely x,y,z, X esetén, ha x y z, akkor egyértelműen létezik olyan λ (0, 1), hogy y λx + (1 λ)z. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 6/8

19 4.3. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Tegyük fel, hogy (1) monoton, azaz bármely x,y X esetén x y = x y; (2) folytonos, azaz bármely x,y,z, X esetén, ha x y z, akkor egyértelműen létezik olyan λ (0, 1), hogy y λx + (1 λ)z. Ekkor létezik olyan v : X R függvény, amely reprezentálja -t. Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 6/8