2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció
|
|
- Elemér Péter
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév
2 Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák
3 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B.
4 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f.
5 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y.
6 Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y. FONTOS! Amíg kérdéses, hogy az adott reláció függvény-e avagy sem, szigorúan a (x, y) f vagy az x f y jelölés használandó
7 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y
8 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? Nem függvény. f N N, x f y x < y
9 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y
10 Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y Már az is elég a cáfolathoz, ha egyetlen rögzített x N elemmel több y N áll relációban: Nem függvény, mert 3 f 4 és 3 f 5 is teljesül.
11 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y
12 Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y Igen, az. Mert a reláció megadása alapján ha x, y N és (x, y) f illetve (x, z) f, akkor y = x = z. Ezzel f teljesíti a függvény definíciójában megadott feltételeket.
13 Házi feladatok Feladatok Függvény-e az alábbi reláció? Miért? A = {1, 2, 4}, B = {3, 6, 12}, f A B, x f y xy = 12 f N N, x f y x y Legyen P a prímszámok halmaza és f P P, x f y x y
14 Definíció 2. Definíció Legyen X A és f : A B, ekkor f(x) = {b B van olyan a X, hogy f(a) = b}
15 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y)
16 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)).
17 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b.
18 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y).
19 Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y). Tehát b (f(x) f(y)) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.
20 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y)
21 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y).
22 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y).
23 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ).
24 Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ). Ezek alapján nyílván a (X\Y). Tehát b f(x\y) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.
25 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b)
26 Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy Tipp f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b) Az első két feladatból következik a harmadik. (A halmazok egyenlőségét a kölcsönös tartalmazással is definiálhatjuk)
27 A teljes indukció elve 1. Tétel Ha M N olyan, hogy 1 M továbbá m+1 M minden m M esetén, akkor M = N.
28 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2
29 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.
30 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M.
31 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2.
32 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2.
33 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik.
34 Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m = m(m+1) 2. Nyílván m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.
35 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1
36 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.
37 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M.
38 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1.
39 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik.
40 Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor m 1 = 2 m 1. Nyílván n m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.
41 Házi feladatok Feladatok Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: (2n 1) = n n(n+1) = n n 3 = n+1 ) 2 ( n(n+1) 2
42 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form
43 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza
44 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza
45 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con =
46 A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con = Form a nyelv formuláinak a halmaza.
47 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg:
48 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák)
49 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form
50 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor
51 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form
52 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form
53 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form
54 A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form (A B) Form
55 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát!
56 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con
57 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form
58 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor
59 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)
60 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
61 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
62 Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
63 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát!
64 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con
65 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form
66 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor
67 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1
68 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
69 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
70 Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
71 Házi feladatok Feladatok Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nyitó zárójelek számát! Tipp Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő záró zárójelek számát! Bizonyítsa be, hogy a nulladrendű nyelv minden egyes formulájában a nyitó és a záró zárójelek száma megegyezik Az első két feladatból következik a harmadik.
1. Logikailag ekvivalens
Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.
RészletesebbenFüggvényegyenletek 1. feladat megoldása
Függvényegyenletek 1. feladat megoldása Először is vegyük észre, hogy f(x) = x megoldás, hiszen x y = (x y)(x + y). (Triviális megoldás.) Másodszor vegyük észre, hogy f(x) = cx is megoldás, hiszen c(x
RészletesebbenAZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI
AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenElsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1
Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Részletesebben5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók
5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A
RészletesebbenBOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
RészletesebbenNagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenLogika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László
Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,
Részletesebben4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre
RészletesebbenAz informatika logikai alapjai
Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. Példák Az alábbi világokban állításokat akarunk megfogalmazni: A táblára színes karikákat
RészletesebbenLogika kiskáté. Mihálydeák Tamás és Aszalós László
Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrendű nyel definícióját! Klasszikus nulladrendű nyelen az L (0) = LC, Con, F orm rendezett hármast értjük,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenSZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenDr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Részletesebben1. Definíciók. 2. Formulák. Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat
Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat 1. Definíciók A feladatokban bevezetünk két újabb logikai konstanst: a és jellel jelölteket. Ez a két konstans önmagában is formulának tekintendő.
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenDiszkrét Matematika I.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26
1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja
RészletesebbenA félév során előkerülő témakörök
A félév során előkerülő témakörök rekurzív algoritmusok rendező algoritmusok alapvető adattípusok, adatszerkezetek, és kapcsolódó algoritmusok dinamikus programozás mohó algoritmusok gráf algoritmusok
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenFraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék
Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33
1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
Részletesebben1/50. Teljes indukció 1. Back Close
1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai
Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenBevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.
RészletesebbenFRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk
RészletesebbenLogika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36
1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenA lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.
2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 10. előadás
Logika és számításelmélet 10. előadás Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenAdatbázisok elmélete 12. előadás
Adatbázisok elmélete 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE
Részletesebben