Logika és informatikai alkalmazásai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Logika és informatikai alkalmazásai"

Átírás

1 Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz

2 Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás fóliák: #52-#63, #70-#76 A konjunktív normálformára hozás algoritmusa gyak. fóliáinak végéről. (Akinek kell, HF gyakorolni!) Feladatsorok FZ1 Fülöp Zoltán: Gyakorló feladatok a "Logika a számítástudományban" tárgyhoz I. "Ítéletkalkulus" LM I. A. Lavrov L. L. Makszimova: Halmazelméleti, matematikai logikai és algoritmuselméleti feladatok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

3 Formulák és Boole-függvények (új) Formulák és Boole-függvények kapcsolata Jelölések: x y := y x (fordított irányú implikáció); x y := (x y) (az implikáció tagadása); x y := (x y) (a fordított implikáció tagadása); x y := (x y) (nem ekvivalencia, más jelöléssel x y, kizáró vagy, XOR);

4 A legfeljebb 2 változós Boole függvények A 16 legfeljebb kétváltozós Boole-függvény: 0 100% és tagadása: 25 75%,,, és tagadásuk:,,, 50 50% x 1, x 2, és tagadásuk: x 1, x 2, Itt természetesen x 1, az f(x 1, x 2 ) = x 1 függvényt jelöli. x y = (x y) a NAND függvény, (néhol jele, de az nálunk más!) x y = (x y) a NOR függvény, (néhol jele, de az nálunk más!) Bővebben lásd:

5 Teljes rendszerek I Definíció Boole függvények egy rendszere teljes vagy adekvát, ha segítségükkel minden (akárhány változós!) Boole-függvény felírható.

6 Teljes rendszerek I Definíció Boole függvények egy rendszere teljes vagy adekvát, ha segítségükkel minden (akárhány változós!) Boole-függvény felírható. Tétel. Az alábbi rendszerek teljesek: (ld. előadás) {,, }, {, }, {, }, {, }.

7 Teljes rendszerek I Definíció Boole függvények egy rendszere teljes vagy adekvát, ha segítségükkel minden (akárhány változós!) Boole-függvény felírható. Tétel. Az alábbi rendszerek teljesek: (ld. előadás) {,, }, {, }, {, }, {, }. FZ1. II/8. Mutassuk meg, hogy {, } adekvát, azaz teljes rendszert alkot! Megoldás.

8 Teljes rendszerek I Definíció Boole függvények egy rendszere teljes vagy adekvát, ha segítségükkel minden (akárhány változós!) Boole-függvény felírható. Tétel. Az alábbi rendszerek teljesek: (ld. előadás) {,, }, {, }, {, }, {, }. FZ1. II/8. Mutassuk meg, hogy {, } adekvát, azaz teljes rendszert alkot! Megoldás. x y = x y,

9 Teljes rendszerek I Definíció Boole függvények egy rendszere teljes vagy adekvát, ha segítségükkel minden (akárhány változós!) Boole-függvény felírható. Tétel. Az alábbi rendszerek teljesek: (ld. előadás) {,, }, {, }, {, }, {, }. FZ1. II/8. Mutassuk meg, hogy {, } adekvát, azaz teljes rendszert alkot! Megoldás. x y = x y, és a {, } halmazról pedig már tudjuk, hogy teljes.

10 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével;

11 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y),

12 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y;

13 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével;

14 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y),

15 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y);

16 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével;

17 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y),

18 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y;

19 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével;

20 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x),

21 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y),

22 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y),

23 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y);

24 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével;

25 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével; x = x ;

26 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével; x = x ; f) -t a (kizáró vagy, ) a művelet segítségével;

27 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével; x = x ; f) -t a (kizáró vagy, ) a művelet segítségével; x = x ;

28 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével; x = x ; f) -t a (kizáró vagy, ) a művelet segítségével; x = x ; g) -t az művelet segítségével;

29 Teljes rendszerek II LM II 2/4. Fejezzük ki a) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = x y; b) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = ( x y), x y = (x y); c) -t és -t a és a művelet segítségével; x y = (x y), x y = x y; d),, -t és -t a művelet segítségével; x = (x x), x y = (x y) (x y), x y = (x x) (y y), x y = x (y y); e) -t a és a művelet segítségével; x = x ; f) -t a (kizáró vagy, ) a művelet segítségével; x = x ; g) -t az művelet segítségével; x y = (x y) y;

30 Teljes rendszerek III Feladat. Bizonyítsuk, be hogy az alábbi rendszerek teljesek! (HF!) a) {, }; b) {, }; c) {, }; d) {, }; e) {, }; f) {,, }; Az összes, (17 darab) legfeljebb kételemű, legfeljebb kétváltozós függvényekből álló minimális (= már semmi nem hagyható el belőle) teljes rendszert, lásd a Wikipedián!

31 Teljes rendszerek IV FZ1 II/6. Mutassuk meg, hogy a {,, } halmaz nem adekvát (azaz nem alkot teljes rendszert.)

32 Teljes rendszerek IV FZ1 II/6. Mutassuk meg, hogy a {,, } halmaz nem adekvát (azaz nem alkot teljes rendszert.) Megoldás. A negáció nem fejezhető ki.

33 Teljes rendszerek IV FZ1 II/6. Mutassuk meg, hogy a {,, } halmaz nem adekvát (azaz nem alkot teljes rendszert.) Megoldás. A negáció nem fejezhető ki. Minden a halmaz műveleteiből felépített egyváltozós f(x) függvényre, f(1) = 1,

34 Teljes rendszerek IV FZ1 II/6. Mutassuk meg, hogy a {,, } halmaz nem adekvát (azaz nem alkot teljes rendszert.) Megoldás. A negáció nem fejezhető ki. Minden a halmaz műveleteiből felépített egyváltozós f(x) függvényre, f(1) = 1, mert 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1.

35 Teljes rendszerek IV FZ1 II/6. Mutassuk meg, hogy a {,, } halmaz nem adekvát (azaz nem alkot teljes rendszert.) Megoldás. A negáció nem fejezhető ki. Minden a halmaz műveleteiből felépített egyváltozós f(x) függvényre, f(1) = 1, mert 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1. De 1 = 0, ezért a negáció nem fejezhető ki.

36 Teljes rendszerek V LM II 2/6. Mutassuk meg, hogy nem fejezhető ki a) a,, és segítségével; b) a és segítségével; c) a és segítségével.

37 Teljes rendszerek V LM II 2/6. Mutassuk meg, hogy nem fejezhető ki a) a,, és segítségével; b) a és segítségével; c) a és segítségével. a) HF. b)

38 Teljes rendszerek V LM II 2/6. Mutassuk meg, hogy nem fejezhető ki a) a,, és segítségével; b) a és segítségével; c) a és segítségével. a) HF. b) Minden a halmaz műveleteiből felépített kétváltozós f(x, y) függvényre, f(0, 0) = 0,

39 Teljes rendszerek V LM II 2/6. Mutassuk meg, hogy nem fejezhető ki a) a,, és segítségével; b) a és segítségével; c) a és segítségével. a) HF. b) Minden a halmaz műveleteiből felépített kétváltozós f(x, y) függvényre, f(0, 0) = 0, mert 0 0 = 0 0 = 0.

40 Teljes rendszerek V LM II 2/6. Mutassuk meg, hogy nem fejezhető ki a) a,, és segítségével; b) a és segítségével; c) a és segítségével. a) HF. b) Minden a halmaz műveleteiből felépített kétváltozós f(x, y) függvényre, f(0, 0) = 0, mert 0 0 = 0 0 = 0. De 0 0 = 1, ezért az implikáció nem fejezhető ki.

41 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével.

42 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével. Azok az f(x 1, x 2,..., x n ) függvények, melyek kifejezhetők és segítségével rendelkeznek a következő tulajdonsággal: Létezik i, hogy x i = 1 esetén mindig f(x 1, x 2,...,x n ) = 1 teljesül, azaz egyetlen változó igazzá tételével az egész függvény igazzá tehető.

43 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével. Azok az f(x 1, x 2,..., x n ) függvények, melyek kifejezhetők és segítségével rendelkeznek a következő tulajdonsággal: Létezik i, hogy x i = 1 esetén mindig f(x 1, x 2,...,x n ) = 1 teljesül, azaz egyetlen változó igazzá tételével az egész függvény igazzá tehető. és rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

44 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével. Azok az f(x 1, x 2,..., x n ) függvények, melyek kifejezhetők és segítségével rendelkeznek a következő tulajdonsággal: Létezik i, hogy x i = 1 esetén mindig f(x 1, x 2,...,x n ) = 1 teljesül, azaz egyetlen változó igazzá tételével az egész függvény igazzá tehető. és rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az is könnyen látható, hogy ezt a tulajdonságot a függvénykompozíció megőrzi:

45 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével. Azok az f(x 1, x 2,..., x n ) függvények, melyek kifejezhetők és segítségével rendelkeznek a következő tulajdonsággal: Létezik i, hogy x i = 1 esetén mindig f(x 1, x 2,...,x n ) = 1 teljesül, azaz egyetlen változó igazzá tételével az egész függvény igazzá tehető. és rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az is könnyen látható, hogy ezt a tulajdonságot a függvénykompozíció megőrzi: A külső függvényt igazzá tevő változó helyére helyettesített belső függvényt egy változóval igazzá téve az összetett függvény is igazzá tehető.

46 Teljes rendszerek V c) megoldása c) nem fejezhető ki és segítségével. Azok az f(x 1, x 2,..., x n ) függvények, melyek kifejezhetők és segítségével rendelkeznek a következő tulajdonsággal: Létezik i, hogy x i = 1 esetén mindig f(x 1, x 2,...,x n ) = 1 teljesül, azaz egyetlen változó igazzá tételével az egész függvény igazzá tehető. és rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az is könnyen látható, hogy ezt a tulajdonságot a függvénykompozíció megőrzi: A külső függvényt igazzá tevő változó helyére helyettesített belső függvényt egy változóval igazzá téve az összetett függvény is igazzá tehető. ellenben nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, sem az első sem a második változójával nem tehető igazzá.

47 Teljes rendszerek VI FZ1 II/7. Mutassuk meg, hogy a, halmaz nem adekvát! (Van olyan kétváltozós igazságtábla, ami nem fejezhető ki.)

48 Teljes rendszerek VI FZ1 II/7. Mutassuk meg, hogy a, halmaz nem adekvát! (Van olyan kétváltozós igazságtábla, ami nem fejezhető ki.) 1. Megoldás. Mutassuk meg, hogy -val és -val csak olyan kétváltozós igazságtáblák fejezhetők ki, melyekben páros sok 1-es szerepel, így pl. nem fejezhető ki.

49 Teljes rendszerek VI FZ1 II/7. Mutassuk meg, hogy a, halmaz nem adekvát! (Van olyan kétváltozós igazságtábla, ami nem fejezhető ki.) 1. Megoldás. Mutassuk meg, hogy -val és -val csak olyan kétváltozós igazságtáblák fejezhetők ki, melyekben páros sok 1-es szerepel, így pl. nem fejezhető ki. Valóban, világos, hogy igazságtáblája ilyen, és hogy a alkalmazása megőrzi ezt a tulajdonságot. Lássuk, be hogy, ha f 1 (x, y) és f 2 (x, y) ilyen tulajdonságú, akkor f 1 f 2 is. (HF.)

50 Teljes rendszerek VI FZ1 II/7. Mutassuk meg, hogy a, halmaz nem adekvát! (Van olyan kétváltozós igazságtábla, ami nem fejezhető ki.) 1. Megoldás. Mutassuk meg, hogy -val és -val csak olyan kétváltozós igazságtáblák fejezhetők ki, melyekben páros sok 1-es szerepel, így pl. nem fejezhető ki. Valóban, világos, hogy igazságtáblája ilyen, és hogy a alkalmazása megőrzi ezt a tulajdonságot. Lássuk, be hogy, ha f 1 (x, y) és f 2 (x, y) ilyen tulajdonságú, akkor f 1 f 2 is. (HF.) 2. Megoldás. Egy Boole-függvényt lineárisnak hívunk, ha x 1 x 2... x n vagy x 1 x 2... x n alakú. Megmutatjuk, hogy -val és -val csak lineáris függvények fejezhetők ki.

51 Teljes rendszerek VI FZ1 II/7. Mutassuk meg, hogy a, halmaz nem adekvát! (Van olyan kétváltozós igazságtábla, ami nem fejezhető ki.) 1. Megoldás. Mutassuk meg, hogy -val és -val csak olyan kétváltozós igazságtáblák fejezhetők ki, melyekben páros sok 1-es szerepel, így pl. nem fejezhető ki. Valóban, világos, hogy igazságtáblája ilyen, és hogy a alkalmazása megőrzi ezt a tulajdonságot. Lássuk, be hogy, ha f 1 (x, y) és f 2 (x, y) ilyen tulajdonságú, akkor f 1 f 2 is. (HF.) 2. Megoldás. Egy Boole-függvényt lineárisnak hívunk, ha x 1 x 2... x n vagy x 1 x 2... x n alakú. Megmutatjuk, hogy -val és -val csak lineáris függvények fejezhetők ki. Valóban x = x és x y = x y lineáris. Továbbá, ha f és g lineáris függvények, akkor könnyen látható, hogy f = f és f g = f g szintén lineáris függvények. (Ehhez fel kell használni, hogy asszociatív és kommutatív, x x = és x = x.) De például a konjunkció nem lineáris, ezért nem fejezhető ki.

52 Jövő hétre HF, a kimaradt példák és még TF 4.2. KNF-re hozás. Szükséges az előadás további részének ismerete, különösen a Horn-formulák és a rezolúció alapfogalmai és algoritmusa.

53 Konjunktív és diszjunktív normálformára hozás FZ1 II/3. c Hozzuk DNF-ra és KNF-re következő formulát: (p q) (r s)

54 Konjunktív és diszjunktív normálformára hozás FZ1 II/3. c Hozzuk DNF-ra és KNF-re következő formulát: (p q) (r s) 1.lépés: F G helyett F G F G helyett (F G) (G F) ( F G) ( G F) (p q) (r s) (p q) (r s) ( p q) ( q p) (r s)

55 Konjunktív és diszjunktív normálformára hozás FZ1 II/3. c Hozzuk DNF-ra és KNF-re következő formulát: (p q) (r s) 1.lépés: F G helyett F G F G helyett (F G) (G F) ( F G) ( G F) (p q) (r s) (p q) (r s) ( p q) ( q p) (r s) 2.lépés: bevitele (F G) F G, (F G) F G, és F F alapján. ( p q) ( q p) (r s) ( p q) ( q p) r s (p q) (q p) r s. Ez már DNF, a harmadik lépésre most nincs szükség.

56 Folytatás A KNF-hez szükséges még a

57 Folytatás A KNF-hez szükséges még a 3. lépés: a disztributivitás használata

58 Folytatás A KNF-hez szükséges még a 3. lépés: a disztributivitás használata KNF-nál a kivitele: (F G) H (F H) (G H) alapján.

59 Folytatás A KNF-hez szükséges még a 3. lépés: a disztributivitás használata KNF-nál a kivitele: (F G) H (F H) (G H) alapján. DNF-nál a kivitele: (F G) H (F H) (G H) alapján. (p q) (q p) r s (p q) (p p) ( q q) ( q p) r s (p q) ( q p) r s (p q r s) ( p q r s) Ez már KNF!

60 Gyakoroláshoz A TF 4.2. a-e = FZ1 II/3. feladat megoldásai: a) ( p q r) ( r p) ( r q) ( r p) ( r q) (p q r) b) ( p q r) ( p q r) p (q p) (q r) (p q r) p (r q) ( q r) c) ( p q r s) (p q r s) ( p q) ( q p) r s d) (tautológia) (üres KNF) pl: p p VIGYÁZAT az üres DNF azonosan HAMIS! e) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)

61 Gyakoroláshoz A TF 4.2. a-e = FZ1 II/3. feladat megoldásai: a) ( p q r) ( r p) ( r q) ( r p) ( r q) (p q r) b) ( p q r) ( p q r) p (q p) (q r) (p q r) p (r q) ( q r) c) ( p q r s) (p q r s) ( p q) ( q p) r s d) (tautológia) (üres KNF) pl: p p VIGYÁZAT az üres DNF azonosan HAMIS! e) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) Konjunktív és diszjunktív normálformák ellenőrzéséhez (és még sok minden máshoz) ajánlom még a következő linket: logik.phl.univie.ac.at/~chris/formular-uk.html

62 Szorgalmi: Formalizáslás SGY2 2.3.(ii) Formalizáljuk az alábbi következtetéseket és állapítsuk meg, melyik helyes, melyik nem! Válaszunkat indokoljuk meg!

63 Szorgalmi: Formalizáslás SGY2 2.3.(ii) Formalizáljuk az alábbi következtetéseket és állapítsuk meg, melyik helyes, melyik nem! Válaszunkat indokoljuk meg! Az ilyen alakú következtetéseket kategórikus szillogizmusoknak nevezzük, a feltételek neve: premissza, a következményé: konklúzió. Ezeket egy vízszintes vonallal szoktuk elválasztani egymástól.

64 Szorgalmi: Formalizáslás SGY2 2.3.(ii) Formalizáljuk az alábbi következtetéseket és állapítsuk meg, melyik helyes, melyik nem! Válaszunkat indokoljuk meg! Az ilyen alakú következtetéseket kategórikus szillogizmusoknak nevezzük, a feltételek neve: premissza, a következményé: konklúzió. Ezeket egy vízszintes vonallal szoktuk elválasztani egymástól. Például: (1) Minden ember halandó (2) Szokratész ember (3) Tehát Szokratész halandó.

65

66 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum

67 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó

68 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans)

69 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó:

70 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x))

71 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember:

72 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember: E(s)

73 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember: E(s) (3) Tehát Szokratész halandó:

74 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember: E(s) (3) Tehát Szokratész halandó: H(s)

75 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember: E(s) (3) Tehát Szokratész halandó: H(s) Igaz-ez a következtetés?

76 Megoldása Egy lehetséges megoldás Univerzum (individuum tartomány): minden objektum Predikátum szimbólumok: E(x) : x ember, H(x) : x halandó Függvény szimbólumok: s : Szokratész (konstans) (1) Minden ember halandó: x(e(x) H(x)) (2) Szokratész ember: E(s) (3) Tehát Szokratész halandó: H(s) Igaz-ez a következtetés? Könnyen látható, hogy a következtetés helyes.

77 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond.

78 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza

79 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja.

80 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans)

81 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond.

82 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x))

83 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x)) (2) Én nem csinálom meg.

84 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x)) (2) Én nem csinálom meg. M(e)

85 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x)) (2) Én nem csinálom meg. M(e) (3) Nem vagyok bolond:

86 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x)) (2) Én nem csinálom meg. M(e) (3) Nem vagyok bolond: B(e)

87 Még egy példa SGY2 2.3.(ii) / (14) Bolond aki megcsinálja. Én nem csinálom meg. Tehát nem vagyok bolond. Univerzum (individuum tartomány): az emberek halmaza Predikátum szimbólumok: B(x) : x bolond, M(x) : x megcsinálja. Függvény szimbólumok: e : én (konstans) (1) Bolond, aki megcsinálja. másként: Mindenki, aki megcsinálja az bolond. x(m(x) B(x)) (2) Én nem csinálom meg. M(e) (3) Nem vagyok bolond: B(e) A következtetés nem helyes. Ha én bolond vagyok és nem csinálom meg, attól még az első mondat igaz marad. Hiszen az első mondat csak azokról beszélt, akik megcsinálják.

88 További példák (HF) SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Nincs tökéletes ember. Minden görög ember. Tehát nincsen olyan görög, aki tökéletes. Van olyan férfi, akinek minden nő teszik. Tehát minden nő tetszik valakinek. Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden férfi tetszik valakinek. Minden gazdag nő csúnya. Tehát minden szegény nő szép. (Itt szegény és gazdag, szép és csúnya legyen egymás ellentéte.) További példák a Serény jegyzetben...

89 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló.

90 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény

91 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete.

92 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans)

93 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete.

94 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x))

95 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete.

96 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. F(c)

97 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. F(c) (3) Ez a kréta nem holló:

98 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. F(c) (3) Ez a kréta nem holló: H(c)

99 Néhány megoldás SGY2 2.3.(ii) Minden holló fekete. Ez a kréta nem fekete. Tehát ez a kréta nem holló. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez a kréta (konstans) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. F(c) (3) Ez a kréta nem holló: H(c) A következtetés helyes.

100 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl.

101 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény

102 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete.

103 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.)

104 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete.

105 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x))

106 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete.

107 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. K(c) F(c)

108 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. K(c) F(c) (3) Ez a kréta nem holló:

109 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. K(c) F(c) (3) Ez a kréta nem holló: K(c) H(c)

110 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. K(c) F(c) (3) Ez a kréta nem holló: K(c) H(c) A következtetés így is helyes.

111 Ugyanez máshogy Többféle jó formalizáció elképzelhatő. Pl. Univerzum: minden tárgy és élőlény Predikátum szimbólumok: H(x) : x holló, K(x) : x kréta, F(x) : x fekete. Függvény szimbólumok: c : ez (a tárgy amiről beszélünk, konstans.) (1) Minden holló fekete. x(h(x) F(x)) (2) Ez a kréta nem fekete. K(c) F(c) (3) Ez a kréta nem holló: K(c) H(c) A következtetés így is helyes. Majd később tanuljuk, hogyan lehet ilyen következtetéseket rezolúcióval be is bizonyítani...

112 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki.

113 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember.

114 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y.

115 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene.

116 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))]

117 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))] (2) Tehát minden nőnek teszik valaki.

118 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))] (2) Tehát minden nőnek teszik valaki. y(n(y) xt(y, x))

119 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))] (2) Tehát minden nőnek teszik valaki. y(n(y) xt(y, x)) Igaz?

120 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))] (2) Tehát minden nőnek teszik valaki. y(n(y) xt(y, x)) Igaz? A következtetés nem helyes, például elképzelhető, hogy egyáltalán nincsenek férfiak, de nők vannak, és senki nem tetszik senkinek...

121 Na még egyet... SGY2 2.3.(ii) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. Tehát minden nőnek teszik valaki. Univerzum: minden ember. Predikátum szimbólumok: N(x) : x nő. F(x) : x férfi. T(x, y) : x-nek tetszik y. (1) Nincs olyan férfi, aki legalább egy nőnek ne tetszene. x[f(x) y(n(y) T(y, x))] (2) Tehát minden nőnek teszik valaki. y(n(y) xt(y, x)) Igaz? A következtetés nem helyes, például elképzelhető, hogy egyáltalán nincsenek férfiak, de nők vannak, és senki nem tetszik senkinek... Vagy csak két nő van, az egyiknek minden férfi tetszik, a másiknak senki sem.

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 4. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 9. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 6. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 2. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Irodalom Szükséges elmélet a mai gyakorlathoz Előadás

Részletesebben

A logikai következmény

A logikai következmény Logika 3 A logikai következmény A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. Minden madár gerinces. Minden veréb gerinces 1.Feltétel 2.Feltétel

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 9. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2008 tavasz Egy HF múlt hétről HF1. a) Egyesíthető: s = [y/f(x,

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2011 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) ÍTÉLETKALKULUS SZINTAXIS ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA) jelkészlet elválasztó jelek: ( ) logikai műveleti jelek: ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r,... ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének követlményeit

Részletesebben

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László

Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László MATEMATIKAI LOGIKA A gondolkodás tudománya Diszkrét matematika Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák.

Predikátumkalkulus. 1. Bevezet. 2. Predikátumkalkulus, formalizálás. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Nézzük meg a következ két kijelentést: Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett. Bármely

Részletesebben

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László.

LOGIKA. Magyarok: Bereczki Ilona, Kalmár László, Neumann, Péter Rózsa, Pásztorné Varga Katalin, Urbán János, Lovász László. MATEMATIKAI A gondolkodás tudománya Arisztotelész(i.e. 384-311) Boole, De Morgan, Gödel, Cantor, Church, Herbrand, Hilbert, Kleene, Lukesiewicz, Löwenheim, Ackermann, McKinsey, Tarski, Ramsey, Russel,

Részletesebben

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei

1. A matematikai logika alapfogalmai. 2. A matematikai logika műveletei 1. A matematikai logika alapfogalmai Megjegyzések: a) A logikában az állítás (kijelentés), valamint annak igaz vagy hamis voltát alapfogalomnak tekintjük, nem definiáljuk. b) Minden állítással kapcsolatban

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21.

Logikai ágensek. Mesterséges intelligencia március 21. Logikai ágensek Mesterséges intelligencia 2014. március 21. Bevezetés Eddigi példák tudásra: állapotok halmaza, lehetséges operátorok, ezek költségei, heurisztikák Feltételezés: a világ (lehetséges állapotok

Részletesebben

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus

Ítéletkalkulus. 1. Bevezet. 2. Ítéletkalkulus Ítéletkalkulus Logikai alapfogalmak, m veletek, formalizálás, logikai ekvivalencia, teljes diszjunktív normálforma, tautológia. 1. Bevezet A matematikai logikában az állításoknak nem a tényleges jelentésével,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. Logikailag ekvivalens

1. Logikailag ekvivalens Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 4. gyakorlat 1. Logikailag ekvivalens 1. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ( p p) formulával? A. ((q p) q) B. (q q) C. ( p q) D.

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő.

3. Magyarország legmagasabb hegycsúcsa az Istállós-kő. 1. Bevezetés A logika a görög,,logosz szóból származik, melynek jelentése gondolkodás, beszéd, szó. A logika az emberi gondolkodás vizsgálatával foglalkozik, célja pedig a gondolkodás során használt helyes

Részletesebben

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA

Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Matematikai logika NULLADRENDŰ LOGIKA Kijelentő mondatokhoz, melyeket nagy betűkkel jelölünk, interpretáció (egy függvény) segítségével igazságértéket rendelünk (I,H). Szintaxisból (nyelvtani szabályok,

Részletesebben

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést.

Predikátumkalkulus. Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Predikátumkalkulus Predikátumkalkulus alapfogalmai, formalizálás, tagadás, logikailag igaz formulák. 1. Bevezet Vizsgáljuk meg a következ két kijelentést. Minden almához tartozik egy fa, amir l leesett.

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Hatodik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Hatodik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű rezolúciós kalkulus - előkészítő fogalmak Prenex formula, Skolem normálforma 3/33 Eldönthető formulaosztályok keresése

Részletesebben

Az informatika logikai alapjai

Az informatika logikai alapjai Az informatika logikai alapjai Várterész Magda DE, Informatikai Kar PTI BSc és informatikatanár hallgatók számára 2017. A logikai ekvivalencia Az A és a B elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája? ,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,

Részletesebben

2019/02/11 10:01 1/10 Logika

2019/02/11 10:01 1/10 Logika 2019/02/11 10:01 1/10 Logika < Számítástechnika Logika Szerző: Sallai András Copyright Sallai András, 2011, 2012, 2015 Licenc: GNU Free Documentation License 1.3 Web: http://szit.hu Boole-algebra A Boole-algebrát

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Nagy Károly 2014 Nyíregyházi Főiskola Matematika és Informatika Intézet 1 Tartalomjegyzék 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 2 2. A kijelentés logika törvényei 5 3. Logikai

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014

Logikai alapok a programozáshoz. Nagy Károly 2014 Logikai alapok a programozáshoz előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről

Részletesebben

Logika és informatikai alkalmazásai

Logika és informatikai alkalmazásai Logika és informatikai alkalmazásai 1. levelezős gyakorlat Németh L. Zoltán http://www.inf.u-szeged.hu/~zlnemeth SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 2009 tavasz Követelmények A tárgy (ea+gyak) teljesítésének

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA

Részletesebben

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 4. gyakorlat Interpretáció A ϱ függvényt az L (0) = LC, Con, Form nulladrendű nyelv egy

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36 1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika

Részletesebben

2. Ítéletkalkulus szintaxisa

2. Ítéletkalkulus szintaxisa 2. Ítéletkalkulus szintaxisa (4.1) 2.1 Az ítéletlogika abc-je: V 0 V 0 A következő szimbólumokat tartalmazza: ítélet- vagy állításváltozók (az állítások szimbolizálására). Esetenként logikai változónak

Részletesebben

b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza)

b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza) Elsőrendű logika. Formalizálja az alábbi mondatokat: a, Aki másnak vermet ás, maga esik verembe. (Univerzum az emberek halmaza) ( yv ( E( ) E(: verembe esik, V(: vermet ás y-nak b, Van olyan makacs ember,

Részletesebben

A matematika nyelvéről bevezetés

A matematika nyelvéről bevezetés A matematika nyelvéről bevezetés Wettl Ferenc 2006. szeptember 19. Wettl Ferenc () A matematika nyelvéről bevezetés 2006. szeptember 19. 1 / 17 Tartalom 1 Matematika Kijelentő mondatok Matematikai kijelentések

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Diszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA

Diszkrét matematika MATEMATIKAI LOGIKA NULLADRENDŰ LOGIKA (ÍTÉLETKALKULUS) A logikát, mint a filozófia egy részét, már az ókori a görög tudósok is igen magas szinten művelték, pl. Platón (Kr. e. 427- Kr. e. 347), Arisztotelész (Kr.e. 384- Kr.

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat 2. ZH 2014. november 28. A csoport 1. Feladat. (5 pont) Határozza meg a z 1 = 2 + 2i komplex szám trigonometrikus alakját, majd adja meg a z 1 z 2 és z 1 z 2 komplex számok

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

Knoch László: Információelmélet LOGIKA

Knoch László: Információelmélet LOGIKA Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis A 2 páros és prím. Logikai értéke

Részletesebben

1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai

1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai A tételhez hozzátartozik az elsőrendű nyelv szemantikája! 1. Tétel - Az ítéletkalkulus alapfogalmai Ítéletkalkulus - Az elsőrendű logika azon speciális este, amikor csak 0 ad rendű predikátumszimbólumok

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Részletesebben

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28.

Elsőrendű logika. Mesterséges intelligencia március 28. Elsőrendű logika Mesterséges intelligencia 2014. március 28. Bevezetés Ítéletkalkulus: deklaratív nyelv (mondatok és lehetséges világok közti igazságrelációk) Részinformációkat is kezel (diszjunkció, negáció)

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Arisztotelész (ie 4. sz) Leibniz (1646-1716) oole (1815-1864) Gödel (1906-1978) Neumann János (1903-1957) Kalmár László (1905-1976) Péter Rózsa (1905-1977) Kijelentés,

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

Mindenki tud úszni. Nincs olyan, aki ne tudna úszni.

Mindenki tud úszni. Nincs olyan, aki ne tudna úszni. Mindenki tud úszni. Nincs olyan, aki ne tudna úszni. Kvantoros logikai ekvivalenciák Mindenki tud úszni. Nincs olyan, aki ne tudna úszni. x(úx) ~ x(~úx) Kvantoros logikai ekvivalenciák Mindenki tud úszni.

Részletesebben

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21

Felmentések. Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Logika (1. gyakorlat) 0-adrendű szintaktika 2009/10 II. félév 1 / 21 Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat

Részletesebben

Memo: Az alábbi, "természetes", Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket.

Memo: Az alábbi, természetes, Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket. Untitled 2 1 Theorema Predikátumlogika 1 3 Natural Deduction (Gentzen mag/alap kalkulus) Cél: a logikai (szematikai) következményfogalom helyett a (szintaktikai) levethetõség vizsgálata. A bizonyítási

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011.

Matematikai logika. Jegyzet. Összeállította: Faludi Anita 2011. Matematikai logika Jegyzet Összeállította: Faludi Anita 2011. Tartalomjegyzék Bevezetés... 3 Előzmények... 3 Augustus de Morgan (1806-1871)... 3 George Boole(1815-1864)... 3 Claude Elwood Shannon(1916-2001)...

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

Deníciók és tételek a beugró vizsgára

Deníciók és tételek a beugró vizsgára Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika M asodik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Második előadás Tartalom 2/26 Ítéletlogika - Szemantika (folytatás) Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Szemantikus következményfogalom Formalizálás

Részletesebben

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA

LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA LOGIKA ÉS ÉRVELÉSTECHNIKA ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Logika és érveléstechnika NULLADREND LOGIKA 1. Készítette: Szakmai felel s: 2011. február Készült a következ m felhasználásával: Ruzsa

Részletesebben

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól.

Felmentések. Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Felmentések Ha valaki tanár szakos, akkor mivel neki elvileg a hálóban nincs logika rész, felmentést kaphat a logika gyakorlat és vizsga alól. Az eredménye, ezek után a számításelélet részből elért eredmény

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014

A matematika alapjai. Nagy Károly 2014 A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:

Részletesebben

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le Analitika című művében, Kr.e. IV. században. LOGIKA A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezdődött. Maga a logika szó is görög eredetű, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Már az első tudósok, filozófusok, és politikusok

Részletesebben

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentéslogika, ítéletkalkulus Kijelentés, ítélet: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis Logikai értékek: igaz, hamis zürke I: 52-53, 61-62, 88, 95 Logikai műveletek

Részletesebben

Halmazelmélet és logika

Halmazelmélet és logika Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58 Outline A halmazelmélet és

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Diszkrét Matematika. Ha Picur akkor és csak akkor szabadítja ki a kalitkából Gombóc Artúrt, ha Artúr

Diszkrét Matematika. Ha Picur akkor és csak akkor szabadítja ki a kalitkából Gombóc Artúrt, ha Artúr FELADATOK AZ ÍTÉLETKALKULUS TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 3.1. Feladat. Döntse el, hogy az (a) A ( ( B) (C B) ) ( ) (b) A ( B) (C B) ( ) ( ) (c) (A ( B)) C B (d) A ( B) (C B) formulák közül a prímítéletek

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

2004/2005 Logikai alapok a programozáshoz. (Kidolgozott vizsgakérdések) Előadó: Pásztorné Dr. Varga Katalin

2004/2005 Logikai alapok a programozáshoz. (Kidolgozott vizsgakérdések) Előadó: Pásztorné Dr. Varga Katalin 2004/2005 Logikai alapok a programozáshoz (Kidolgozott vizsgakérdések) Előadó: Pásztorné Dr. Varga Katalin 1. Tétel Mi a logika, ezen belül a matematikai logika tárgya és feladata? Milyen nyelvi eszközöket

Részletesebben

Logika gyakorlat 08. Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul.

Logika gyakorlat 08. Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul. Logika gyakorlat 08 Normálformák elsőrendben Egy formula kiigazított, ha: Különböző kvantorok különböző változókat kötnek Nincs olyan változó, amely szabadon és kötötten is előfordul. Minden formulát kiigazíthatunk,

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Vizsgafeladatok és gyakorló feladatok generálása

Vizsgafeladatok és gyakorló feladatok generálása Vizsgafeladatok és gyakorló feladatok generálása Aszalós László Debreceni Egyetem, Informatikai Kar 2018. október 4. Aszalós L. (DEIK) Feladatok generálása 2018/10/4 1 / 23 Tartalom 1 Előélet 2 Motiváció

Részletesebben

Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések

Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések Hardver és szoftver rendszerek verifikációja Röviden megválaszolható kérdések 1. Az informatikai rendszereknél mit ellenőriznek validációnál és mit verifikációnál? 2. A szoftver verifikációs technikák

Részletesebben

Példa:

Példa: Digitális információ ábrázolása A digitális technika feladata: információ ábrázolása és feldolgozása a digitális technika eszközeivel Szakterület Jelkészlet Digitális technika "0" és "1" Fizika Logika

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Logikai alapok a programozáshoz

Logikai alapok a programozáshoz Logikai alapok a programozáshoz Kidolgozott tételek Készítette: Chripkó Ágnes Felhasznált anyagok: előadásvázlat; gyakorlatok anyaga; Pásztorné Varga K., Várterész M.: A matematikai logika alkalmazásszemléletű

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Megoldások. 2001. augusztus 8.

Megoldások. 2001. augusztus 8. Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt

Részletesebben

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011.

Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA. Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 2011. Béres Zoltán Csikós Pajor Gizella Péics Hajnalka ALGEBRA elméleti összefoglaló és példatár Bolyai Farkas Alapítvány Zenta 0. Szerzők: Béres Zoltán, középiskolai tanár, Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium

Részletesebben

Alapkapuk és alkalmazásaik

Alapkapuk és alkalmazásaik Alapkapuk és alkalmazásaik Bevezetés az analóg és digitális elektronikába Szabadon választható tárgy Összeállította: Farkas Viktor Irányítás, irányítástechnika Az irányítás esetünkben műszaki folyamatok

Részletesebben

Logikai függvények osztályai. A függvényosztály a függvények egy halmaza.

Logikai függvények osztályai. A függvényosztály a függvények egy halmaza. Logikai függvények osztályai A függvényosztály a függvények egy halmaza. A logikai fügvények egy osztálya logikai függvények valamely halmaza. Megadható felsorolással, vagy a tulajdonságainak leírásával.

Részletesebben