Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Átírás

1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

2 Az elsőrendű logika Elemek egy halmazára vonatkozó állítások Az ítéletlogikában az álĺıtás definíciója szerint az álĺıtást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni. Ha a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyed, akkor az álĺıtást nulladrendű álĺıtásnak hívjuk. Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, az álĺıtást elsőrendű álĺıtásnak hívjuk. Ebben az esetben az álĺıtás az elemek halmazára vonatkozik és az összes elemre egyidejűleg fennálló megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló megállapítást/létezést fogalmaz meg. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 2 / 1

3 Az elsőrendű logika Elemek egy halmazára vonatkozó állítások Nulladrendű álĺıtások formális leírása: relációval. Álĺıtás: konkrét egyedekkel behelyettesített reláció. Pl. P(x). Egyedek halmaza: természetes számok. Álĺıtások: P(13), P(14). Ha P(x) jelentése x prím, akkor P(13) = i, P(14) = h. Az elsőrendű logika eszközei az álĺıtások belső szerkezetének leírására a logikai függvények (relációk) mellett a matematikai függvények (műveletek). Pl. ha azt szeretnénk megfogalmazni, hogy egy -ben az x és y hosszú oldal összege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szükség lehet x és y összegét megadó f (x, y) (összeadás) műveletre. (És persze a 2 változós > relációra.) Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 3 / 1

4 Matematikai struktúra Matematikai struktúra U, R, M, K együttes, ahol U nem üres halmaz, a struktúra értelmezési tartománya (amennyiben U egyfajtájú elemekből áll) R az U-n értelmezett logikai függvények (alaprelációk) halmaza M az U-n értelmezett matematikai függvények (alapműveletek) halmaza K az U megjelölt elemeinek egy (esetleg üres) részhalmaza Aritás Ha r R (illetve m M) n-változós, akkor azt mondjuk, hogy r (illetve m) aritása n. A struktúra szignatúrája A struktúra szignatúrája megadja az egyes alaprelációk és az alapműveletek aritását valamint K elemszámát. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 4 / 1

5 Matematikai struktúra leíró nyelve Egy matematikai struktúra leíró nyelvének ábécéje áll Logikán kívüli rész az indivíduumváltozókból, amelyek az U univerzum elemeit futják be. az R halmazbeli alaprelációk neveiből az M halmazbeli alapműveletek neveiből a K halmazbeli elemek neveiből. Logikai rész,,,, kvantorok; halmazokra vonatkozó álĺıtások leírására (, ) Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 5 / 1

6 Az elsőrendű logika leíró nyelve Olyan ábécével kell hogy rendelkezzen, melynek a logikán kívüli szimbólumai és azok szignatúrája bármely adott matematikai struktúra szignatúrájával megfeleltethető legyen és ennélfogva a szimbólumok lehessenek a struktúra relációinak, műveleteinek és megjelölt elemeinek a nevei. Más szóval a nyelv alkalmas kell hogy legyen tetszőleges szignatúrájú matematikai struktúrák leírására. Például többféle elemből álló U, R, M, K struktúra leíró nyelve lehet a következő. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 6 / 1

7 Az elsőrendű logika leíró nyelve 2. Az L nyelv ábécéje: Srt, Pr, Fn, Cnst Srt, nemüres halmaz melynek π j elemei fajtákat szimbolizálnak Pr, predikátumszimbólumok halmaza. ν 1, P Pr -re megadja P aritását (k) és, hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok (π 1, π 2,..., π k ) Fn, függvényszimbólumok halmaza. ν 2, megadja f aritását (k) és, hogy milyen fajtájúak az egyes argumentumok valamint a függvény értéke (π 1, π 2,..., π k ; π f ). Cnst, konstansszimbólumok halmaza, ν 3 megadja a konstansok számát és minden konstanshoz annak fajtáját. Szignatúra: (ν 1, ν 2, ν 3 ) Az Srt, Pr, Fn, Cnst képezi a logikai nyelv logikán kívüli részét. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 7 / 1

8 Az elsőrendű logika leíró nyelve 3. Logikai jelek Különböző fajtájú individuum változók, minden fajtához megszámlálható végtelen sok x, y, y k,... unér és binér logikai műveleti jelek,,, kvantorok, elválasztójelek (, ) Az L nyelv ábécéjére V [V v ]-vel hivatkozunk, ahol V v adja meg a (ν 1, ν 2, ν 3 ) szignatúrájú Srt, Pr, Fn, Cnst halmaznégyest. A nyelv kifejezései informálisan: termek (matematikai leképezéseket szimbolizálják) és a formulák (logikai leképezéseket szimbolizálják) Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 8 / 1

9 Szintaktika: Termek Termek: L t (V v ) 1 (alaplépés) minden π Srt fajtájú individuum változó és konstans szimbólum, π fajtájú term. 2 (rekurzív lépés)ha az f Fn (π 1, π 2,..., π k ; π f ) fajtájú függvényszimbólum és t 1, t 2,..., t k rendre π 1, π 2,..., π k fajtájú termek, akkor f (t 1, t 2,..., t k ) π f fajtájú term. 3 minden term az 1., 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. Egyfajtájú eset: 1 (alaplépés) minden individuum változó és konstans szimbólum term. 2 (rekurzív lépés) Ha f Fn k-változós függvényszimbólum és t 1, t 2,..., t k termek, akkor f (t 1, t 2,..., t k ) is term. 3 minden term az 1., 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 9 / 1

10 Szintaktika: Formulák Formulák: L f (V v ) 1 (alaplépés) Ha a P Pr (π 1, π 2,..., π k ) fajtájú predikátumszimbólum és t 1, t 2,..., t k rendre π 1, π 2,..., π k fajtájú termek, akkor P(t 1, t 2,..., t k ) formula. Atomi formula. 2 (rekurzív lépés) Ha A formula, akkor A is az. Ha A és B formulák, akkor (A B) is formula ( a három binér művelet bármelyike). Ha A formula, akkor xa és xa is az. 3 Minden elsőrendű formula az 1., 2. szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő. Egyfajtájú eset: 1 (alaplépés) Ha P Pr k-változós predikátumszimbólum és t 1, t 2,..., t k termek, akkor P(t 1, t 2,..., t k ) formula Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 10 / 1

11 Feladatok 1. Feladat: (Egyfajtájú individdumváltozók esete) Egy elsőrendűlogika logikán kívüli jeleit a következő halmazhármas és szignatúra definiálja: {E, P}, {f, g, h}, {0, 1}. Szignatúra: 2,1;2,2,1;2. Melyek az alábbiak közül a termek? f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0). Melyek az alábbiak közül a formulák / atomi formulák / prímformulák? P(x); E(f (x, x)); E(0, 0); xp(x); ( xp(x) E(x, y)); P(P(x)); y(e(0, 1) P(h(x, y))). Atomi formula: csak P(x) Prímformula (atomi vagy kvantált): P(x), xp(x) Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 11 / 1

12 Feladatok 2. Feladat: (Különböző fajtájú individuumváltozók esete) Egy elsőrendű logika logikán kívüli jeleit a következő halmaznégyes és szignatúra definiálja: (A fajtájú individuumváltozók: ṽ 1,...; fajtájúak: v 1,...) {, }, {H}, {f, g, h}, {0, 1}. ν 1 (H) = (, ), ν 2 (f ) = (, ; ), ν 2 (g) = (, ; ), ν 2 (h) = ( ; ), ν 3 (0) = ( ), ν 3 (1) = ( ). Melyek az alábbiak közül a fajtájú termek? És a fajtájúak? ṽ 1 + ṽ 2 ; h(0); v 3 ; f (1, 0, v 1 ); f (h(ṽ 1 ), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v 1 ), v 1 ). Melyek az alábbiak közül a formulák / atomi formulák / prímformulák? H(0, 0); H(f (0, 1), ṽ 1 ); v 1 H(0, 0); ( v 1 H(0, g(0, v 1 )) H(0, 0)); (H(0, 0) H(0, ṽ 1 )). Atomi formula: H(0, 0). Prímformula: H(0, 0), v 1 H(0, 0). Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 12 / 1

13 Feladatok 3. Feladat: Az alábbi formulákban (A) hagyjuk el az elhagyható zárójeleket! (a-c) (B) határozzuk meg a műveletek és kvantorok hatáskörét! (C) határozzuk meg a fő műveleti jelet! (D) határozzuk meg a prímkomponenseket! 1 ( x(p(x) Q(x, 0)) xp(x)), 2 (((P(x) Q(x)) R(x)) x y(p(x) Q(x))), 3 ( x(p(a, y) Q(x)) x yp(x, y)) P(f (y, y), b), 4 xp(x) Q(x) ( xq(x) Q(0)), 5 xp(x) yq(x, y) P(0). 4. Feladat: Melyek a szabad/kötött/vegyes individuumváltozók? 1 x yp(x, y, f (z)), 2 x y((p(x, y) P(y, z)) x = y), 3 x y(f (y) = x z(f (z) = x (y = z))). Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 13 / 1

14 Szemantika Interpretáció, változókiértékelés Szemantika 1. Egy elsőrendű logikai nyelv L(V v ) interpretációja egy I = I Srt, I Pr, I Fn, I Cnst függvénynégyes, ahol I Srt : π U π, (U = π Srt U π az interpretáció univerzuma) I Pr : P P I, (ha P Pr (π 1,... π k ) fajtájú, akkor P I : U π1 U πk {i, h}.) I Fn : f f I, (ha f Fn (π 1,... π k ; π) fajtájú, akkor f I : U π1 U πk U π.) I Cnst : c c I. (ha c (π) fajtájú, akkor c I U π ) 2. I-beli változókiértékelés. κ : V U. Ha x (π) fajtájú, akkor κ(x) U π -beli individuum. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 14 / 1

15 Szemantika Termek, formulák jelentése Legyen I egy interpretáció, és κ egy I-beli változókiértékelés. Termek: x s (π) fajtájú individuumváltozó, x s I,κ a κ(x) U π individuum. c (π) fajtájú konstansszimbólum c I,κ az U π -beli c I individuum. f (t 1, t 2,..., t n ) I,κ = f I ( t 1 I,κ, t 2 I,κ,..., t n I,κ ) Formulák: P(t 1, t 2,..., t n )) I,κ = i, ha ( t 1 I,κ, t 2 I,κ,..., t n I,κ ) P I ig (P I ig jelöli a PI reláció igazhalmazát.) A I,κ = A I,κ A B I,κ = A I,κ B I,κ {,, } xa I,κ = i, ha A I,κ = i minden κ x variánsára xa I,κ = i, ha A I,κ = i legalább egy κ x variánsára (κ a κ x-variánsa, ha κ (y) = κ(y), ha y x.) Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 15 / 1

16 Feladatok 5. Feladat: Egy elsőrendű logika logikán kívüli jeleit a következő halmazhármas definiálja: {P, Q}, {f }, {a, b}. Szignatúra: 2,1;2;2. Tekinsük a következő I = U, I Pr, I Fn, I Cnst interpretációt: U = {0, 1, 2}, I Pr : P P I, Q Q I, I Fn : f f I, I Cnst : a 0, b 1, ahol P I ig = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2)},QI ig = {(0), (2)}, f I a modulo 3 összeadás. Készítsük el a következő formulák értéktábláját! 1 xp(x, y) Q(y), 2 yp(x, y) yp(f (y, y), b), 3 ( x(p(a, y) Q(x)) x yp(x, y)) P(f (y, y), b), 4 ( x(p(x, y) Q(x)) x yp(x, y)) P(f (b, y), a). Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 16 / 1

17 Feladatok y xp(x, y) Q(y) xp(x, y) Q(y) 0 h i i 1 h h h 2 h i i yp(x,y) x yp(x,y) yp(f (y,y),b) yp(f (y,y),b) 0 i h 1 h h i 2 i h y f (y,y) P(f (y,y),b) 0 0 i 1 2 i 2 1 h ( x(p(a,y) Q(x)) y x(p(a,y) Q(x)) x yp(x, y) P(f (y, y), b) x yp(x,y)) P(f (y,y),b) 0 h i i 1 i h i i 2 i h h Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 17 / 1

18 Elsőrendű formulák szemantikus tulajdonságai Kielégíthetőség, logikailag igaz formula Egy A elsőrendű logikai formula kielégíthető, ha van az elsőrendű logika nyelvének olyan I interpretációja, és I-ben olyan κ változókiértékelés, melyre A I,κ = i, egyébként kielégíthetetlen. A logikailag igaz, ha minden I, κ-ra, A I,κ = i, ennek jelölése = A. Logikailag ekvivalens formulák A és B elsőrendű logikai formulák logikailag ekvivalensek, ha ha minden I, κ-ra, A I,κ = B I,κ. Jelölése A B. Quine-táblázat: A prímkomponenseket ítéletváltozónak tekintő ítélettábla. Tautologikusan igaz formula Egy A elsőrendű logikai formula tautologikusan igaz, ha Quine-táblázatában A oszlopában csupa i áll. Jelölése = 0 A. Nyilván = 0 A = = A. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 18 / 1

19 Feladatok 6. Feladat: Igazoljuk, hogy x P(x) xp(x) nem tautologikusan igaz formula, de logikailag igaz. Megoldás: x P(x) xp(x) x P(x) xp(x) i i i i h i h i i h h h Tehát a formula nem tautologikusan igaz. x P(x) xp(x) I,κ = h x P(x) I,κ = i és xp(x) I,κ = h x P(x) I,κ = h és xp(x) I,κ = h. x P(x) I,κ = h nem létezik κ-nak olyan κ x-variánsa P(x) I,κ = i κ-nak minden κ x-variánsára P(x) I,κ = h κ-nak minden κ x-variánsára P(x) I,κ = i xp(x) I,κ = i. Tehát minden I, κ esetén a formula i, azaz a formula logikailag igaz. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 19 / 1

20 Feladatok Par(A) az A formula nem kötött individuumváltozói. Ha Par(A) =, akkor a formulát zárt kifejezésnek, egyébként paraméteres kifejezésnek nevezzük. 7. Feladat: Elsőrendű logikai törvények: 1 ha x Par(A), akkor xa A és xa A, 2 x ya y xa és x ya y xa, 3 xa x A és xa x A, 4 ha x Par(A), akkor A xb x(a B) és A xb x(a B), A xb x(a B) és A xb x(a B), A xb x(a B) és A xb x(a B), xb A x(b A) és xb A x(b A), 5 xa xb x(a B) és xa xb x(a B). Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 20 / 1

21 Feladatok xa I,κ = i κ-nak minden κ x-variánsára A I,κ = i. Mivel x Par(A), ezért A I,κ = A I,κ. xa I,κ = i xa I,κ = h nem létezik κ-nak olyan κ x-variánsa A I,κ = i κ-nak minden κ x-variánsára A I,κ = h κ-nak minden κ x-variánsára A I,κ = i x A I,κ = i. Nem igaz, hogy xa A általában. Legyen az I interpretáció a következő U := {0, 1}, R := {P}, M := {}, K := {}, ν(p) := 1, P ig := {(0)} A := P(x). Az értéktábla: x P(x) xp(x) 0 i h 1 h Legyen κ az az I-beli interpretáció, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor P(x) I,κ = i, de xp(x) I,κ = h. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 21 / 1