Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Átírás

1 Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1

2 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt 2-változós valós értékű függvénynek nevezzük. Jelölése: f(x 1,x 2 ), vagy f(x,y). A kétváltozós függvényeket felületekként képzelhetjük el: f(x, y) = sin x + sin y f(x, y) = x 2 y 2 Kétváltozós függvények p. 2/1

3 A parciális derivált Definíció. Egy D R 2 halmazon értelmezett kétváltozós f : D R függvény a(a 1, a 2 ) pontbeli első változója szerinti parciális deriváltja alatt a lim h 0 f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 ) h = f x(a) = x (a) határértéket értjük, ha ez létezik. A parciális deriváltak jelölésére használatosak még az alábbi jelek is: f x j (a) = xj f(a) = j f(a) = f j(a) (j = 1,...,n). Definíció. Az olyan f : D( R 2 ) R függvényt, mely az értelmezési tartomány minden a pontjához az f xj (a)-t (j = 1, 2) rendeli, az x j változó szerinti parciális deriváltfüggvénynek nevezzük. A parciális deriváltfüggvények meghatározása a gyakorlatban az x j -n kívüli változók (átmenetileg történő) konstansnak tekintésével, az egyváltozós függvényekre megismert deriválási szabályok alkalmazásával történik. Kétváltozós függvények p. 3/1

4 Deriválási szabályok Tétel. Legyen adott a h: D( R 2 ) R (vagy röviden h(x)), x R 2. Ha 1. h(x) = c f(x), akkor h (x) = c (x) (j = 1,2), 2. h(x) = f(x) + g(x), akkor h (x) = (x) + g (x), 3. h(x) = f(x) g(x), akkor h (x) = (x) g(x) + g (x) f(x), 4. h(x) = f(x) g(x) ha g(x) 0, akkor h (x) = (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2, 5. h(x) = f(g(x)) = f(u), akkor h (x) = u (g(x)) g (x). Kétváltozós függvények p. 4/1

5 Példa Példa. Számítsuk ki az alábbi függvények parciális deriváltjait! 1. f(x,y) = 2x 2 4xy + 3y 2 7x f(x,y) = (2x 4 2x 2 y + 3y 2 ) 5 (x,y) = 4x 4y 7 x (x,y) = 4x + 6y y x (x,y) = 5(2x4 2x 2 y + 3y 2 ) 4 (8x 3 4xy) y (x,y) = 5(2x4 2x 2 y + 3y 2 ) 4 ( 2x 2 + 6y) Kétváltozós függvények p. 5/1

6 Magasabbrendű deriváltak Definíció. Az f : D( R 2 ) R 2-változós valós függvény parciális deriváltjainak parciális deriváltjait amennyiben azok léteznek másodrendű parciális deriváltaknak nevezzük. 2 f (a) = ( ) (a) x i x i (i,j = 1,2) Ezek az f függvény a pontbeli x i és x j változó szerinti másodrenű parciális deriváltjai. További jelölések: 2 x j x i f(a) = 2 jif(a) = f x j x i (a). Ha i = j, tiszta másodrendű parciális deriváltról, ha i j, vegyes másodrendű parciális deriváltról beszélünk. Kétváltozós függvények p. 6/1

7 Példa Példa. Számítsuk ki az f(x,y) = x 2 cos y + xy képlettel értelmezett kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjait! x = 2x cos y + y 2 f x 2 = 2 cos y 2 f x y = 2x sin y + 1 y = x2 sin y + x 2 f y 2 = x2 cos y 2 f y x = 2x sin y + 1 Megjegyzés. A 2 f x 2 és 2 f tiszta másodrendű parciális deriváltak, a y2 2 f x y és 2 f pedig vegyes másodrendű parciális deriváltak. y x Kétváltozós függvények p. 7/1

8 Gömbkörnyezet, szélsőérték Definíció. Az x 0 R 2 pont r sugarú (nyílt gömb) környezete: G(x 0, r) = { } x R 2 x x0 < r. Definíció. Az f : D( R 2 ) R 2-változós valós függvénynek az értelmezési tartomány x 0 pontjában helyi (lokális) maximuma van, ha az x 0 -nak valamely G(x 0, r) környezetében f(x 0 ) f(x) minden x D G(x 0, r) esetén. Globális maximumról beszélünk, ha a fenti reláció nemcsak x 0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennáll. Definíció. Az f : D( R 2 ) R 2-változós valós függvénynek az x 0 D pontban helyi (lokális) minimuma van, ha az x 0 -nak valamely G(x 0, r) környezetében f(x 0 ) f(x) minden x D G(x 0, r) esetén. Globális minimumról beszélünk, ha a fenti reláció nemcsak x 0 valamely környezetében, hanem az egész értelmezési tartományon fennáll. Kétváltozós függvények p. 8/1

9 A feltétel nélküli szélsőérték Tétel (szükséges feltétel). Ha az f : D( R 2 ) R 2-változós függvénynek az a D pontjában lokális szélsőértéke van, és itt léteznek az elsőrendű parciális deriváltak, akkor ezek mindegyike nulla, azaz (a) = 0 (j = 1,2). A tétel alapján tehát a többváltozós függvények lehetséges szélsőértékeinek a meghatározása úgy történhet, hogy a parciális deriváltakat egyenlővé tesszük nullával, majd a kapott egyenletrendszert megoldjuk. Így a szélsőérték(ek) a megoldások között lesz(nek). Annak eldöntésére, hogy melyek lesznek azonban a valódi szélsőértékhelyek, a következő tétel szolgál. Kétváltozós függvények p. 9/1

10 A feltétel nélküli szélsőérték Tétel (elégséges feltétel). A lehetséges szélsőértékhelyek egymás utáni behelyettesítésével készítsük el az alábbi mennyiségeket: D 1 = 2 f x 2 (a) 1 D 2 = 2 f x 2 (a) 2 f 1 x 2 (a) 2 2 f x 1 x 2 (a) Ha a fenti értékek előjele a vizsgált pontban 1. D 1 > 0 és D 2 > 0, akkor a-ban minimuma van, 2 f x 2 x 1 (a) 2. D 1 < 0, D 2 > 0, azaz az adott sorrendben váltakozó előjelűek, akkor a-ban maximuma van, 3. egyéb esetekben további vizsgálatokra van szükség. A szélsőértéket az f(a) adja. Kétváltozós függvények p. 10/1

11 Példa Határozza meg az f(x, y) = x 2 + y 2 függvény szélsőértékhelyeit, szélsőértékeit! 1. lépés: elkészítjük az elsőrendű parciális deriváltakat: f x(x, y) = 2x, f y(x, y) = 2y. 2. lépés: a deriváltakat egyenlővé teszzük 0-val és megoldjuk az egyenletrendszert. A megoldások a lehetséges szélsőértékhelyeket adják. 2x = 0, 2y = 0. A megoldás: x = 0 és y = 0, vagyis a lehetséges szélsőértékhely: (0, 0). Kétváltozós függvények p. 11/1

12 Példa 3. lépés: meghatározzuk a másodrendű parciális deriváltakat: f xx(x, y) = 2 f xy(x, y) = 0, f xy(x, y) = 0 f yy(x, y) = lépés: kiszámítjuk a D 1 és D 2 mennyiségeket: D 1 = f xx(x, y) = 2, D 2 = f xx(x, y) f yy(x, y) f xy(x, y) f yx(x, y) = = 4. Mivel D 1 > 0 és D 2 > 0, ezért a (0, 0) minimumhely. 5. lépés: a koordinátákat az eredeti függvény képletébe helyettesítve a szélsőértéket kapjuk. f min (0, 0) = = 0. Kétváltozós függvények p. 12/1