Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Átírás

1 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, 74-8: jó, pont: jeles 1. Legyen f (x)= x2 + 1 x 2 1. a) Írja fel R legbővebb részhalmazát, amelyen f értelmezhető! 2 pont b) Számítsa ki a lim x f (x), lim x 1 + f (x) és lim f (x) határértékeket! 3 x 1 pont c) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit! d) Injektív-e ez a függvény? 2 pont 2. Legyen H={1, 3, 5, 7} a) Hány eleme van a H halmaz hatványhalmazának? 3 pont b) Hányféleképpen lehet sorbarendezni H elemeit? 3 pont c) Hány H H függvény van? 3 pont d) Igazolja, hogy (H; 8 ) csoport! e) Sorolja fel a (H; 8 ) csoport! összes részcsoportját! 3. y 12y + 35y=70x 59 a) Írja fel a fenti differenciálegyenlethez rendelt homogén egyenletet és adja meg annak általános megoldását! b) Igaz-e, hogy a homogén egyenlet megoldásai a szokásos függvényösszeadásra és konstanssal való szorzásra nézve lineáris teret alkotnak? c) Adjunk meg olyan lineáris függvényt, ami a fenti differenciálegyenletnek partikuláris megoldása! 8 a mod 8 szorzást jelenti.

2 d) Lineáris teret alkotnak-e az inhomogén egyenlet megoldásai a szokásos függvényösszeadásra és konstanssal való szorzásra nézve? 2 pont

3 4. f (x, y)= x2 + y 2 xy a) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben azokat a pontokat, ahol az f függvény nem értelmezhető! b) Van-e az f függvénynek zérushelye? 2 pont c) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben a függvény c = 2 értékhez tartozó szintvonalát! d) Határozza meg és ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az értelmezési tartomány azon helyeit, ahol f mindkét parciális deriváltja 0. e) Integrálja az f függvényt a T = {( x, y ) 1 x 2, 1 y 2 } tartományon! 5. a) Igazolja teljes indukcióval a következő egyenlőséget: n= n(n+1) 2 b) Adjuk meg zárt alakban az n +... numerikus sor n-edik részletösszegét! c) Konvergens-e a fenti numerikus sor? Ha igen akkor határozza meg az összegfüggvényét! 3 pont 6. Értelmezzük aϕtranszformációt a következőképpen: ϕ: R 3 R 3, ϕ(x)=a x, ahol a(1, 1, 1) és a művelet a vektoriális szorzás. a) Igazoljuk, hogy aϕtranszformáció lineáris! b) Írja fel a transzformáció mátrixát! c) Van-e a transzformációnak inverze? 3 pont d) Határozza meg a transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait!

4 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I jún. 2. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, 74-8: jó, pont: jeles 1. Legyen f : [ 3, 3] R, f (x)=x 4 8x 2. a) Milyen szimmetria-tulajdonsága van f -nek? 3 pont b) Határozza meg f zérushelyeit! 3 pont c) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit! 8 pont d) Szürjektív-e ez a függvény? 2 pont 2. a) Oldja meg a komplex számok körében a z 3 = 4+4 3j egyenletet! A gyököket írja fel mindhárom alakban és ábrázolja Gauss-féle számsíkon! b) Csoportot alkot-e a fenti egyenlet megoldáshalmaza a komplex számok szorzására nézve? c) Az (({e, a, b} ; ) struktúra csoport, melynek egységeleme e. Írja fel a csoport műveleti tábláját! 8 pont 3 pont 3. y 2y=2 sin x cos x 2x+1 a) Határozza meg a fenti differenciálegyenlet általános megoldását! 10 pont b) Értelmezzünk az elsőrendű, lineáris differenciálegyenletek halmazán egy relációt: Két differenciálegyenlet relációban van egymással, ha van közös megoldásuk. Relációban van-e a fenti differenciálegyenlettel az differenciálegyenlet? y + y=6e 2x sin x cos x+x+1 c) Ekvivalencia-reláció-e az előző pontban értelmezett reláció?

5 4. f (x, y)= 1 x2 9 y a) Ábrázolja az xy-koordinátarendszerben az f függvény értelmezési tartományát! b) Írja fel az f függvény elsőrendű parciális deriváltfüggvényeit! Van-e olyan pontja f értelmezési tartományának, ahol f valamelyik változója szerint nem differenciálható? c) Számítsa ki a függvény P 0 (1, 1) pontbeli, 45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját! k=1 k+2 k 2 (k+1) a) Határozza meg a fenti sor harmadik részletösszegét! 3 pont b) Igazolja teljes indukcióval, hogy a sor n-edik részletösszege kisebb, mint 3 1 n. 8 pont c) Konvergens-e a fenti numerikus sor? 3 pont 6. a) Létezik-e olyan egyszerű gráf amelyben a csúcsok fokszámai a következők: i) 1,1,2,3,4,5,6,7,7,7 ii) 1,2,3,6,6,6 iii) 2,2,2,3,3,4 b) Egy fa Prüfer-kódja 3,1,1,5,2,2. Állítsa elő ennek alapján a fát! c) Igazolja, hogy egy fában bármely két pont között pontosan egy út van!