Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Átírás

1 Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét! 3 p Mo.: Két sík pontosan akkor merőleges egymásra, ha normálvektoraik merőlegesek. Keresnünk kell egy, az S sík n S (3, 6, 2) normálvektorára merőleges n S vektort. Ilyen pl.: n S (2, 1, 0). Ezzel a feladat egy megoldása: S : 2x + y = 0 (b) Mennyi az S síknak az origótól való távolsága? 3 p Mo.: Az O(0, 0, 0) origón átmenő v(3, 6, 2) irányvektorú egyenes egyenletrendszere: x = 3t y = 6t z = 2t Ezen x, y, z értékeket S egyenletébe helyettesítve megkapjuk az egyenes és a sík M metszéspontjának koordinátátit: 9t+36t+4t = 6 t = 6 ( 18 49, amiből M 49, 36 49, 12 ). 49 Ebből keresett távolság: (18 ) 2 ( ) 2 ( ) OM = + + = = 6 7 (c) Az S sík az x, y, z koordinátatengelyeket rendre az A, B, C 4 p pontokban metszi. Határozza meg az A, B, C pontok által meghatározott háromszög területét! Mo.: I. mo. S egyenletében a megfelelő koordináták helyére 0-t írva kapjuk: A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 3). Továbbá: AB( 2, 1, 0), AC( 2, 0, 3), AB i j k AC = = 3i + 6j 2k AB AC A keresett terület nagysága: T = = = II. mo. Az OABC tetraéder térfogata V = = 1, az előbb kiszámított OM = távolság a tetraéder magassága: m = 6 7. Ebből T = 3 V m = (d) Tekintsük azt a ϕ lineáris transzformációt, amelynek mátrixa p ϕ a (c)-ben szereplő A, B, C pontokat rendre az A, B, C pontokba viszi. Határozza meg az A, B, C pontok által meghatározott háromszög legnagyobb szögét! Mo.: A = ϕ(a) = = 0, B = ϕ(b) = =

2 C = ϕ(c) = = 3, azaz A (2, 0, 0), B ( 1, 1, 0), C (3, 3, 3) A B ( 3, 1, 0), A C (1, 3, 3). Az A B, A C vektorok hajlásszögét α-val jelölve: cosα = , 435 α 116. Mivel ez tompaszög, a háromszögnek ez egyben a legnagyobb szöge is. (megj.: β 37, 8, γ 27, 2 ) (e) Határozza meg ϕ sajátértékeit! Mo.: Általában egy A mátrixnak megfelelő transzformáció sajátértékei a 4 p det (A λe) = 0 egyenlet megoldásai. 1 λ 1 1 Most det 0 1 λ 1 = (1 λ) 3 = 0 λ = 1, tehát a transzformáció λ egyetlen sajátértéke az 1. (megj.: a transzformáció mátrixából leolvasható, hogy ϕ(e 1 ) = e 1. Ebből következik, hogy az 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorok az x-tengellyel párhuzamosak.)

3 2. Tekintsük az f(x) = x ln 2 x egyváltozós valós függvényt! (a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot! 8 p Mo.: D f = R + A függvény egyetlen zérushelye: x = 1. A grafikon nem metszi az y-tengelyt. D f alapján f nem páros, nem páratlan, nem periodikus. lim x x ln2 x = lim x ln 2 x ln2 x = lim x 0 + x x 2 x x 0 + L H = lim 1 = lim x 0 x 2 1 2(lnx) x x x 2 L H = lim + 2x = 0+ = lim x 0 +( 2(lnx)x) = lim f (x) = ln 2 x + 2x(lnx) 1 x = ln2 x + 2 ln x = ln x(lnx + 2) = 0 x = 1 vagy x = e 2 0, < x < e 2 e 2 e 2 < x < < x f f ր lok. max. ց lok. min. ր 2 ln x x x L H = f-nek lokális maximuma van az x = e 2 helyen, és ennek értéke: f(e 2 ) = 4 0, 541 e2 f-nek lokális minimuma van az x = 1 helyen, és ennek értéke: f(1) = 0 f (x) = 1 x (lnx + 2) + 1 x ln x = 2 x (lnx + 1) = 0 x = e 1 0, 37 0 < x < e 1 e 1 e 1 < x f 0 + f infl. A függvénygrafikon: 3 y 2 1 x R f = [0, [ (b) Hol metszi a koordinátatengelyeket a függvény grafikonjához az x 0 = 1 helyen húzható érintő egyenes? e Mo.: Az érintő egyenes egyenlete: 3 p y = f( 1 e ) + f ( 1 e )(x 1 e ) = 1 e + ( 1)(x 1 e ) = x + 2 e y = 0 x = 2 e, x = 0 y = 2 e.

4 Az egyenes a tengelyeket az x = 2 e ill. y = ontokban metszi. e (c) Számolja ki a függvénygrafikon és az x-tengely közötti síkrész területét az [1,e] intervallumon! Mo.: Parciális integrálással: x ln 2 x dx = x2 2 ln2 x x ln x dx = x2 2 ln2 x x2 x2 ln x C 5 p t = e 1 Felhasználva, hogy a függvény nemnegatív az értelmezési tartományán, a keresett terület nagysága: [ x x ln 2 2 x dx = 2 ln2 x x2 2 ] e ( ) ( x2 e 2 ln x + = e2 2 + e ) = e , 597 (d) Megoldása-e az f(x) függvény az xy y = lnx differenciálegyenletnek? Mo.: Behelyettesítéssel: xy y = x(ln 2 x + 2 ln x) (x ln 2 x) = x ln 2 x + 2x ln x x ln 2 x = 2x ln x lnx, tehát f(x) nem megoldása a differenciálegyenletnek. (e) Döntse el, hogy a k ln 2 k numerikus sor konvergens-e! k=1 Mo.: A sor általános tagját a k -val jelölve: lim a k = lim k ln 2 k = 0 k ln 2 k divergens. k k k=1 3 p

5 3. (a) Határozza meg az y + 2xy = 2e x2 differenciálegyenletnek az y(1) = 2 e kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! Határozza meg a differenciálegyenletnek az y + 2xy = 0 differenciálegyenlettel közös megoldásait! Mo.: 5 p Y + 2xY = 0 Y = Ce 2x dx = Ce x2 y p = k(x)e x2 k (x) = 2 k(x) = 2x y p = 2xe x2 y = Y + y p = Ce x2 + 2xe x2 y(1) = C e + 2 e = 2 e C = 0 A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás: y p = 2xe x2 Az y + 2xy = 0 differenciálegyenlet megoldásai y = C 1 e x2 alakúak. Az y + 2xy = 2e x2 differenciálegyenlet megoldásai y = C 2 e x2 + 2xe x2 alakúak. A két egyenletnek nincsen közös megoldása. (b) Határozza meg (a tanult módszerek valamelyikével) az y + 4y + 3y = 9 6 p differenciálegyenletnek az y(0) = 0, y (0) = 1 kezdeti feltételeket kielégítő y p partikuláris megoldását! Számolja ki ezzel a függvénnyel a lim y p határértéket! x Mo.: I. mo. Y + 4Y + 3Y = 9 λ 2 + 4λ + 3 = 9 λ 1,2 = Y = C 1 e x + C 2 e 3x { λ1 = 1 λ 2 = 3 y p = A y p = 0 y p = 0 A = 3 y p = 3 y = Y + y p = C 1 e x + C 2 e 3x + 3 y = C 1 e x 3C 2 e 3x y(0) = C 1 + C = 0 y (0) = C 1 3C 2 = 1 } C 1 = 4, C 2 = 1 A kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldás: y p = 4e x + e 3x + 3

6 II. mo. s 2 y sy(0) y (0) + 4(sy y(0)) + 3y = 9 s y = s + 9 s(s + 1)(s + 3) = 3 s 4 s s + 3 A kezdeti feltételeket kielégítő y p partikuláris megoldás: y p = 3 4e x + e 3x A kérdéses határérték: lim x y p = lim x (3 4e x + e 3x ) = = 3

7 4. Tekintsük az [ ] a b alakú mátrixokat, ahol a,b,c,d {0, 1, 2,...,9}. c d (a) i. Hány ilyen mátrix van? 3 p Mo.: 10 4 = ii. Hány olyan van ezek között, amelyben szerepel a 0? Mo.: = 3439 iii. Hány olyan van, amelyben pontosan három elem egyenlő? Mo.: = 360 iv. Hány olyan van, amelyben pontosan két elem egyenlő? Mo.: ( 4 2) = 4320 v. Hány olyan van, amelyben a legnagyobb elem a 2-es? Mo.: = 65 (b) Jelöljük M-mel a fenti mátrixok halmazát, azaz legyen {[ ] [ ] [ ] [ ]} M =,,,..., Tekintsük a következő, az M halmazon értelmezett S homogén bináris relációt: két M-beli A, B mátrixra ASB, ha A B M. (A B a két mátrix különbsége.) i. Ekvivalencia-reláció-e S? Mo.: Nem, mert pl. nem szimmetrikus: [ ] [ ] [ ] [ ] pl. M, de / M [ ] 9 8 ii. Mely A elemekre igaz, hogy AS? 8 9 Mo.: Ezek az elemek a következők: [ ] [ ] [ ] [ ] ,,, iii. Igaz-e, hogy D S = R S Mo.: Igen: D S = R S = M iv. Adjon meg két M-beli elemet, amelyek semelyik sorrendben nem állnak relációban egymással! [ ] [ ] Mo.: Pl. és (c) Tekintsük a következő, M-en értelmezett T 1, T 2, T 3 relációkat: AT 1 B ha deta detb AT 2 B ha deta = detb AT 3 B ha deta < detb Döntse el, hogy a reflexív, szimmetrikus, antiszimmetrikus, tranzitív tulajdonságok közül melyek teljesülnek az egyes relációkra. Válaszát ebben az esetben nem kell indokolnia! 6 p

8 Mo.: T 1 : reflexív, tranzitív T 2 : reflexív, szimmetrikus, tranzitív T 3 : antiszimmetrikus, tranzitív (d) Értelmezzük az M halmazon az + műveletet a következőképpen: 3 p [ ] [ ] [ ] a1 a 2 b1 b + 2 a1 = 10 b 1 a 2 10 b 2, ahol a 3 a 4 b 3 b 4 a 3 10 b 3 a 4 10 b 10 a számok modulo 10 összeadása. 4 (Tulajdonképpen tehát + a mátrixok modulo 10 összeadása.) Igazolja, hogy az (M; +) struktúra csoport! Mo.: A műveleti zártság adódik M definíciójából. Az asszociativitás következik a mátrixösszeadás és a modulo 10 összeadás asszociativitásából. [ ] 0 0 Egységelem: 0 0 [ ] [ ] a1 a 2 a inverze: 1 a 2 a 3 a 4 a 3 a, ahol a i 10 a i = 0 i = 1, 2, 3, 4 4

9 5. Tekintsük az A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} halmazt. (a) Legyen a parciális rendezési reláció az A halmazon értelmezve a következőképpen: a b, ha lnko(a,b) = a (lnko(a, b) az a és b elemek legnagyobb közös osztóját jelöli.) i. Rajzolja fel a reláció Hasse-diagramját! 3 p ii. Bizonyítsa be, hogy a reláció egy korlátos háló! iii. Mely elemeknek van komplementuma? Határozza meg ezen elemek komplementumait! iv. Részháló-e H = {1, 2, 3, 12, 18, 36}? Mo.: A reláció Hasse-diagramja: Van legkisebb elem : 1 Van legnagyobb elem : 36 Bármely két elemnek van infimuma : inf(x, y) = lnko(x, y) Bármely két elemnek van szuprémuma : sup(x, y) = lkkt(x, y) Az 1, 4, 9, 36 elemeknek van komplementuma: 1 = 36, 4 = 9, 9 = 4, 36 = 1 H nem részháló, pl. mert sup(2, 3) = 6 / H Korlátos háló. (b) Döntse el, hogy gyűrű-e a fenti A halmazzal tekintett (A; lnko, lkkt) struktúra! Mo.: A struktúra nem gyűrű: (A; lnko) nem csoport: a halmaz ugyan zárt a műveletre, ami asszociatív és kommutatív; egységelem is van: a 36, de a 36-on kívül egy elemnek sincsen inverze. (c) Tekintsük a reláció Hasse-diagramját mint gráfot. (A gráf pontjai A elemei, élei a Hasse-diagram élei.) i. Páros-e ez a gráf? ii. Van-e a gráfban Euler-bejárás? iii. Hány éle van a gráf komplementer-gráfjának? Mo.: A gráf páros, mert 2-színezhető, ld. első ábra. (Ez alapján, ha akarjuk, felrajzolhatjuk a szokásos páros gráf alakban - ld. második ábra.) p k k p p p k k p Nincsen benne Euler-bejárás, mert 4 darab páratlan-fokú pontja van. Komplementer-gráfjának élszáma: ( 9 2) 12 = 24

10 6. Tekintsük a következő két numerikus sorozatot: ( ) 3 a n = n 4 j (a) Határozza meg a következő határértékeket: ( ) b n = Re (cos 45 + j sin 45 ) n lim a n = lim b n = lim (a n + b n ) = lim (a n b n ) = ( 3 ) Mo.: Vegyük észre, hogy + 1j = 1 (cos j sin 30 ) a n = ( 1 n, 2) másrészt, hogy {b n } elemei 8-as periódusokban ismétlődnek: 2, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, Ezek alapján: lim a ( n = lim 1 2 lim b n nem létezik ) n = 0 lim (a n + b n ) nem létezik lim (a n b n ) = 0 (5db torlódási pont) ({b n } korlátos és lim a n = 0) (b) Formalizálja az alábbi kijelentéseket, majd döntse el, hogy helyes-e a következtetés! A 1 : Ha van elképzelésem a számsorozatokról és szeretem a matekot, akkor tudom, mi az, hogy konvergencia. A 2 : Ha nem szeretem a matekot, akkor vagy tudom, mi az, hogy konvergencia, vagy úgy teszek, mintha szeretném a matekot. A 3 : Pontosan akkor teszek úgy, mintha szeretném a matekot, ha nincs elképzelésem a számsorozatokról. Konklúzió: Szeretem a matekot, vagy úgy csinálok, mintha szeretném a matekot. Formalizáláskor alkalmazza a következő jelöléseket: p : van elképzelésem a számsorozatokról q : szeretem a matekot r : tudom, mi az, hogy konvergencia s : úgy teszek, mintha szeretném a matekot 7 p Mo.: I. mo. A 1 : (p q) r = 1 A 2 : q (r s) = 1 A 3 : s p = 1 K : q s = 0 p = 1 q = 0 r = 1 s = 0

11 A következtetés nem helyes, mert a p = 1, q = 0, r = 1, s = 0 értékelés mellett a premisszák igazak, a konklúzió hamis. II. mo. p q r s A 1 A 2 A 3 K A következtetés nem helyes, mert a p = 1, q = 0, r = 1, s = 0 értékelés mellett a premisszák igazak, a konklúzió hamis, ld.: *-gal jelzett sor.