Diszkrét matematika I.

Átírás

1 Diszkrét matematika I. középszint ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék ősz

2 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 2. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai;,,hagyományos függvények pontos definiálása;,,többértékű függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...

3 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 3. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal definiáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az első, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.

4 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 4. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry-t írunk. 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenlőség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grafikonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).

5 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 5. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.

6 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 6. Relációk kitejesztése, leszűkítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R leszűkítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való leszűkítése (az A-ra való megszorítása) az R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R leszűkítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza). Egy R binér reláció inverze az R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. R 1 = {(x 2, x) R R : x R}, S 1 = {(x, x) R R : x R}

7 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 7. Halmaz képe, teljes inverz képe Legyen R X Y egy binér reláció, A egy halmaz. Az A halmaz képe az R(A) = {y Y x A : (x, y) R}. Adott B halmaz inverz képe, vagy teljes ősképe az R 1 (B), vagyis a B halmaz képe az R 1 reláció esetén. Legyen R = {(x 2, x) R R : x R}, S = {(x, x) R R : x R}. R({9}) = { 3, +3} (vagy röviden R(9) = { 3, +3}), S(9) = {+3}.

8 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 8. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és legyen T T, ha (T, T ) R. dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}.

9 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 9. Kompozíció Legyenek R és S binér relációk. Ekkor az R S kompozíció (összetétel, szorzat) reláció: R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R}. Kompozíció esetén a relációkat,,jobbról-balra írjuk : Legyen R sin = {(x, y) R R : sin x = y}, Legyen S log = {(x, y) R R : log x = y}. Ekkor R sin S log = {(x, y) z : log x = z, sin z = y} R sin S log = {(x, y) R R : sin log x = y}.

10 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 10. Kompozíció R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R} Legyen S, R két reláció, és tekintsük a T = R S kompozíciót:

11 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 11. Adott cég esetén legyenek A,B,..., J az alkalmazottak. A cég két projekten dolgozik: BANK, JÁTÉK. beosztás menedzser programozó tesztelő HR tech. dolgozó alkalmazott A, B C, D, E F, G, H I J projekt alkalmazott határidő BANK A, C, D, F JÁTÉK B, D, E, F, G, H Legyen B a beosztás reláció: például A B menedzser. Legyen P a projekt reláció: például A P BANK Legyen H a határidő reláció: például BANK H Kik dolgoznak a BANK projekten? P 1 (BANK). Kik a tesztelők? B 1 (tesztelő). Mi a BANK projekt határideje? H(BANK). Milyen határidejei vannak az alkalmazottaknak? H P. Milyen határidejei vannak a tesztelőknek? H P B 1 (tesztelő).

12 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 12. Kompozíció R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R} Álĺıtás Legyen R, S, T binér reláció. Ekkor 1. Ha rng(s) dmn(r), akkor rng(r S) = rng(r). 2. R (S T ) = (R S) T (a kompozíció asszociatív). 3. (R S) 1 = S 1 R 1. Bizonyítás 1. rng(r) = {y z : (z, y) R}. Mivel rng(s) dmn(r), ezért minden (z, y) R esetén x : (x, z) S, így (x, y) R S. 2. R (S T ) = {(w, z) y : (w, y) S T, (y, z) R} = {(w, z) y x : (w, x) T, (x, y) S, (y, z) R} = (R S) T. 3. (R S) 1 = {(y, x) z : (x, z) S, (z, y) R} = {(y, x) z : (z, x) S 1, (y, z) R 1 } = S 1 R 1.

13 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 13. Relációk tulajdonságai Relációk: =, <,,,, T = {(x, y) : x, y R, x y < 1}. Legyen R reláció X -en. Ekkor azt mondjuk, hogy 1. R tranzitív, ha x, y, z X : (xry yrz) xrz;( =, <,,, ) 2. R szimmetrikus, ha x, y X : xry yrx; ( =, T ) 3. R antiszimmetrikus, ha x, y X : (xry yrx) x = y;( =,, ) 4. R szigorúan antiszimmetrikus, ha xry és yrx egyszerre nem teljesülhet; ( <) 5. R reflexív, ha x X : xrx; ( =,,,, T ) 6. R irreflexív, ha x X : xrx; ( <) 7. R trichotóm, ha x, y X esetén x = y, xry és yrx közül pontosan egy teljesül; ( <) 8. R dichotóm, ha x, y X esetén xry vagy yrx (esetleg mindkettő). ( )

14 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 14. Relációk tulajdonságai A reflexív, trichotóm, dichotóm tulajdonságok nem csak a relációtól függnek, hanem az alaphalmaztól is: Az {(x, x) R R, x R} R R C C mint R-en értelmezett reláció reflexív, de mint C-n értelmezett reláció nem reflexív. X X X a a a b b b c c c tranzitív X szigorúan antiszimmetrikus X trichotóm X szimmetrikus X reflexív X dichotóm X antiszimmetrikus irreflexív X

15 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 15. Relációk gráfja A relációk gráfját egyszerűsíthetjük: Ha egy reláció reflexív, akkor a hurokéleket nem rajzoljuk osztója reláció Ha egy reláció tranzitív, akkor elhagyjuk az olyan éleket, amelyek létezése a tranzitivitás miatt a már berajzolt élekből következik osztója reláció Ha egy reláció szimmetrikus, akkor irányított élek helyett csak éleket (vonalakat) rajzolunk mod3

16 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 16. Ekvivalenciareláció, osztályozások Legyen X egy halmaz, R reláció X -en. Az R relációt ekvivalenciarelációnak mondjuk, ha reflexív, szimmetrikus, tranzitív. 1. =; 2. z w, ha Re(z) = Re(w). Az X részhalmazainak egy O rendszerét az X osztályozásának nevezzük, ha O páronként diszjunkt nem-üres halmazokból álló halmazrendszer és O = X. 1. R egy osztályozása: { {a} : a R } ; 2. C egy osztályozása: { {z C : Re(z) = r} : r R }.

17 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 17. Ekvivalenciareláció, osztályozások Tétel Valamely X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció esetén az x = {y X : y x} (x X ), ekvivalenciaosztályok X -nek egy osztályozását adják, ezt az osztályozást X / -mal jelöljük. Bizonyítás Legyen egy X -beli ekvivalenciareláció. Azt kell megmutatni, hogy X / = {x : x X } az X egy osztályozását adja. Mivel reflexív, így x x x x = X. Különböző ekvivalenciaosztályok páronként diszjunktak. Tfh x y, legyen z x y. Mivel z x z x, ahonnan a szimmetria miatt x z. Hasonlóan z y z y. A tranzitivitás miatt x z y x y x y. Hasonlóan y x x = y.

18 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 18. Ekvivalenciareláció, osztályozások Tétel Valamely X halmazon bármely O osztályozás esetén az R = {Y Y : Y O} reláció ekvivalenciareláció, amelyhez tartozó ekvivalenciaosztályok halmaza O. Bizonyítás R reflexív: legyen az x osztálya Y : x Y O. Ekkor (x, x) Y Y. R szimmetrikus: legyen az (x, y) R. Ekkor x, y Y valamely Y osztályra, speciálisan (y, x) Y Y. R tranzitív: hasonlóan legyen (x, y), (y, z) R, ezért x, y Y, y, z Y. Mivel az osztályok páronként diszjunktak, így Y = Y, speciálisan z Y, azaz (x, z) Y Y.

19 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 19. Ekvivalenciareláció, osztályozások Az ekvivalenciarelációk illetve osztályozások kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást. = { {a} : a R } ; z w, ha Re(z) = Re(w) { {z C : Re(z) = r} : r R }. A síkon két egyenes legyen szerint relációban, ha párhuzamosak. Ekkor az osztályok az irány fogalomát adják. A síkon két szakasz legyen szerint relációban, ha egybevágóak. Ekkor az osztályok a hossz fogalomát adják. Két egész számpár esetén (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s. Ekkor az osztályok a racionális számok halmaza.

20 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 20. Részbenrendezés, rendezés Az X halmazon értelmezett reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus relációt részbenrendezésnek nevezzük. (Jele:,,... ) Ha x, y X esetén x y vagy y x, akkor x és y összehasonĺıtható. (Ha minden elempár összehasonĺıtható, akkor a reláció dichotóm.) Az X halmazon értelmezett reflexív, tranzitív, antiszimmetrikus és dichotóm relációt rendezésnek nevezzük. Ha egy részbenrendezés esetén bármely két elem összehasonĺıtható, akkor az rendezés. R-en a reláció rendezés: x, y R: x y vagy y x. N-en az (osztója) reláció részbenrendezés: 4 5, 5 4. Az X halmaz összes részhalmazán a reláció részbenrendezés X = {a, b, c}, {a} {b, c}, {b, c} {a}.

21 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 21. Szigorú és gyenge reláció Az X -beli R relációhoz tartozó szigorú reláció, az az S reláció, melyre xsy xry x y. Az X -beli R relációhoz tartozó gyenge reláció, az a T reláció, melyre xty xry x = y. Másképpen megfogalmazva: S = R \ I X, T = R I X, ahol I X = {(x, x) : x X }. relációhoz tartozó szigorú reláció: <. relációhoz tartozó szigorú reláció:. osztója relációhoz tartozó szigorú reláció: valódi osztója.

22 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 22. Szigorú és gyenge rendezés Az X halmazon értelmezett tranzitív és irreflexív relációt szigorú részbenrendezésnek nevezzük. (Jele: <,,... ) Megjegyzések A tranzitivitásból és az irreflexivitásból következik a szigorú antiszimmetria: ha x y és y x tranzitivitás miatt x x, ami ellentmondás. Egy részbenrendezés relációnak szigorú változata szigorú részbenrendezés, és fordítva: = \I X, = I X. Álĺıtás Ha a reláció rendezés, akkor trichotóm, és fordítva. Bizonyítás Kell: x = y, x y és y x egyszerre nem teljesülhet. Ha x = y, akkor igaz az álĺıtás. Továbbá x y és y x sem teljesülhet egyszerre.

23 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 23. Intervallumok Legyen X egy részbenrendezett halmaz. Ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z az x és y közé esik, ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z szigorúan az x és y közé esik. Az összes ilyen elem halmazát [x, y], ill. (x, y) jelöli. A [x, y), ill. (x, y] jelölések definíciója analóg. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor [{a}, {a, b, c}] = { {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c} } ; Ekkor ({a}, {a, b, c}) = { {a, b}, {a, c} }. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor [2, 12] = { 2, 4, 6, 12 } ; Ekkor (2, 12) = { 4, 6 }.

24 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 24. Intervallumok Ha x y, de nem létezik szigorúan x és y közé eső elem, akkor x közvetlenül megelőzi y-t. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a} közvetlenül megelőzi {a, b}-t, illetve {a, c}-t. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor 2 közvetlenül megelőzi a 4, 6, 10, 14 elemeket. Az {y X : y < x} részhalmazt az x elemhez tartozó kezdőszeletnek nevezzük. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a, b} elemhez tartozó kezdőszelet: {, {a}, {b} }.

25 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 25. Részbenrendezések Hasse-diagramja Ha egy részbenrendezett halmaz elemeit pontokkal ábrázoljuk, és csak azon (x, y) párok esetén rajzolunk irányított élt, amelyre x közvetlenül megelőzi y-t, akkor a részbenrendezett halmaz Hasse-diagramját kapjuk. Néha irányított élek helyett irányítatlan élt rajzolunk, és a kisebb elem kerül lejjebb

26 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 26. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Az X részbenrendezett halmaz legkisebb eleme: olyan x X : y X, x y; legnagyobb eleme: olyan x X : y X, y x; minimális eleme: olyan x X : y X, x y, y x; maximális eleme: olyan x X : y X, x y, x y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: 8 legkisebb elem: 1, legnagyobb elem: nincs, minimális elem: 1, maximális elemek: 5, 6, 7,

27 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 27. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Megjegyzések Minimális és maximális elemből több is lehet. Ha a halmaz rendezett, akkor a minimális és legkisebb elem, továbbá a maximális és legnagyobb elem egybeesik. Ha X -nek létezik egyértelmű minimális, ill. maximális eleme, akkor azt min X, ill. max X jelöli. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: 8 min X = 1, max X nincs

28 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 28. Korlátok Egy X részbenrendezett halmaz x eleme az Y részhalmaz alsó korlátja, ha y Y : x y; felső korlátja, ha y Y : y x. Ha az alsó korlátok halmazában van legnagyobb elem, akkor ez az Y infimuma: inf Y, ha a felső korlátok halmazában van legkisebb elem, akkor ez az Y supremuma: sup Y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: {1, 2, 3} alsó korlátja: 1, felső korlátja: 6, 8 infimuma: 1, supremuma: {2, 3, 4} alsó korlátja: 1, 5 felső korlátja: nincs, 2 infimuma: 1, supremuma: nincs

29 Relációk Diszkrét matematika I. középszint ősz 29. Korlátok Ha az X részbenrendezett halmaz bármely nem üres, felülről korlátos részhalmazának van supremuma, akkor felső határ tulajdonságúnak nevezzük, ha bármely nem üres, alulról korlátos részhalmazának van infimuma, akkor X -et alsó határ tulajdonságúnak nevezzük. A pozitív egész számok halmaza az oszthatóságra nézve alsó, és felső határ tulajdonságú: Ha Y = {a 1, a 2,... }, akkor inf Y = lnko(a 1, a 2,... ), felső határa lkkt(a 1, a 2,... ). A racionális számok halmaza a szokásos rendezésre nézve sem alsó, sem felső határ tulajdonságú: Y = {r Q : r 2} halmaznak van felső korlátja (pl.: 1000, 999, 2, 1, 42,... ), de nincs (racionális) supremuma (a supremum 2 Q lenne).