HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Átírás

1 HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos, ha A H:!1 H: A 1 = A,! H: A = A. (1 a (H, ) félcsoport egységeleme, a (H, ) félcsoport zéruseleme.) A (H,, ) háló disztributív, ha: A, B, C H: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Egy (H,, ) korlátos hálóban értelmezhet egy elem komplementuma: A H!A: A A = 1, A A =. Ekkor a hálót komplementumos hálónak nevezzük. Egy (H,, ) hálót Boole-algebrának nevezünk, ha korlátos, disztributív és komplementumos. Legyen E egy halmaz, összes részhalmazainak halmazát E szimbólummal jelöljük. Tekintve a halmazok közötti unió- illetve metszetképzést, (E,, ) Boole-algebra (egységeleme E, zéruseleme a üres halmaz). 1. Bizonyítsuk be (csupán a fenti deníciót használva), hogy bármely A, B, C halmazok esetén: (a) = E, E =, A = A. (b) A =, A E = E, A A = A, A A = A. (c) A B = A B, A B = A B (de Morgan-azonosságok) * (d) (A B) A = A B (e) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (f) A \ (B C) = (A \ B) \ C (g) A B = B A, A (B C) = (A B) C * (h) A A =, A = A, A E = A (i) A (A B) = B (j) A B = A B A = B 2. Fejezzük ki a \ m veletet a és segítségével! * 3. Fejezzük ki az m veletet a és segítségével! * 4. Igazoljuk, hogy { }. 5. Bizonyítsuk be, hogy egy E halmaz részhalmazai egységelemes gy r t alkotnak, ha az összeadást a, a szorzást pedig a jelenti. Mi lesz a kivonás? * Az A és B halmazok különbségén az A\B := A B, szimmetrikus dierenciáján az A B := (A \ B) (B \ A) halmazt értjük. 1

2 HALMAZELMÉLET feladatsor 2. Megtartva az el z feladatsor jelöléseit, egy A halmaznak részhalmaz a a B halmaz, ha A B = B vagy A B = A. Ebben az esetben az B A jelölést használjuk. 1. A Boole-algebra axiómáit és a fenti deníciót (részhalmaz) felhasználva igazolja az alábbi állításokat: (a) A (B C) (A B) C (b) (A B) C A (B C) (c) (A \ B) B = A B A (d) Ha minden n N-re B A n teljesül, akkor B 2. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol A, B, C tetsz leges halmazok, és B A C, { A X = B A X = C. ** 3. Tetsz leges eszközöket felhasználva mutassa meg, hogy egy n elem halmaznak 2 n db részhalmaza van! n N A n. Az A 1, A 2,..., A n halmazok direkt (Descartes-) szorzat án az A 1... A n := {(a 1,..., a n ) a 1 A 1,... a n A n } halmazt értjük. Az A és B halmazok elemei közötti binér relációnak nevezzük az A B tetsz leges R részhalmazát. E reláció értelmezési tartománya a D R = {a A (a, b) R}, értékkészlete R R = {b B (a, b) R}. Egy R reláció inverz én az R 1 = {(b, a) B A (a, b) A B} relációt értjük. (A binér relációhoz hasonlóan értelmezhet n-ér reláció, ha n N.) Egy R 1 A B és egy R 2 B C reláció kompozíciója szintén reláció: R 2 R 1 := {(a, c) A C (a, b) R 1, (b, c) R 2 }. Egy f A B binér reláció A-ból B-be képez függvény, amennyiben D f = A és tetsz leges a A, b 1, b 2 B elemekre fennáll, hogy (a, b 1 ), (a, b 2 ) f b 1 = b 2. Függvények esetén a szokásos jelölés: f : A B. Az f függvény injektív, ha minden b R f elem esetén pontosan egy olyan a A létezik, hogy (a, b) f. Az f szürjektív, ha R f = B. Az f bijektív, ha injektív és szürjektív. 1. Bizonyítsa be, hogy léteznek olyan A, B, C halmazok, hogy A (B C) (A B) C. 2

3 2. Adja meg a D R, R R, R 1, R R, R R 1 és R 1 R halmazokat, ha (a) R = {(x, y) x, y N, y osztója x-nek} * (b) R = {(x, y) x, y R, x + y 0} * 3. Legyen f függvény. Milyen feltételek mellett lesz f 1 függvény? 4. Legyen U nemüres, rögzített halmaz, A részhalmaza U-nak. Az A halmaz karakterisztikus függvénye: { χ U 1, ha x A A(x) = 0, ha x / A Bizonyítsa be, hogy χ U U\A (x) = 1 χu A (x)! A *-jel nélküli feladatok 1 pontot, a *-jellel ellátott feladatok 2 pontot érnek. A ** jelzés 3 pontot ér feladatot mutat. 3

4 HALMAZELMÉLET feladatsor Állapítsa meg, hogy a következ függvények közül melyik injektív, szürjektív (illetve bijektív)! (a) Legyen f : Z + N, f(x) := 8x 3 + 3x x + 1. (b) Az f függvény minden x 0 R számhoz hozzárendeli az y = cos x 0 x+ (sin x 0 x 0 cos x 0 ) egyenlet egyenest. A függvény képtere legyen R 2 minden egyenesét tartalmazó halmaz. (c) Adott egy G görbe a síkon, jelöljük egy p görbepont érint egyenesét e p -vel. Legyen R := {(p, q) p G, q e p }, és f : (p, q) R p G. (d) Tekintsük az els n természetes szám alkotta halmaz összes részhalmazát. Legyen f az a függvény, amely egy részhalmazhoz hozzárendeli annak összes részhalmazainak a számát. A függvény képtere legyen {1, 2, 3,..., 2 n }. (e) Legyen f : x [1, 10] N f(x) := (x osztóinak halmaza), a képtér legyen P ([1, 10] N). (f) Dobjunk fel két pénzérmét egyszerre, és jelöljük F -fel, ha fejet, I- vel, ha írást dobtunk. Egy x az el bb leírt eseményt jelöli (pl. x = (F, I)), az összes esemény halmaza legyen X. Jelölje V az események lehetséges valószín ségének halmazát. Legyen f : x v x V. (g) Legyen P (x) a (valós együtthatós) polinomok halmaza. Ekkor az f : p(x) P (x) p (x) P (x). 2. Mutasson (az eddigiekt l eltér ) példát injektív, de nem szürjektív függvényre! 3. Mutasson (az eddigiekt l eltér ) példát szürjektív, de nem injektív függvényre! 4. Adjon meg bijektív függvényt N és Z között! * 5. Szorgalmi feladat otthoni kidolgozásra: Adjon meg bijektív függvényt R és C között! * 4

5 HALMAZELMÉLET feladatsor 4. Egy A nemüres halmazon értelmezett R binér reláció reexív, ha (x, x) R, minden x A-ra; irreexív, ha (x, x) / R, minden x A-ra; szimmetrikus, ha (x, y) R (y, x) R, minden x, y A-ra; antiszimmetrikus, ha (x, y), (y, x) R x = y, minden x, y A-ra; tranzitív, ha (x, y), (y, z) R (x, z) R, minden x, y, z A-ra. Az R reláció ekvivalenciareláció, ha reexív, szimmetrikus és tranzitív; részbenrendezés/parciális rendezés, ha reexív, antiszimmetrikus és tranzitív (szokásos jelölése: ); rendezés/teljes (vagy lineáris) rendezés, ha részbenrendezés, és bármely két eleme összehasonlítható, azaz (x y vagy y x) teljesül tetsz leges x, y A esetén. 1. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza. Ekvivalenciareláció-e a párhuzamosság? És a mer legesség? 2. Legyen ((a, b), (c, d)) R a + d = b + c. Mutassa meg, hogy R ekvivalenciareláció! 3. Legyen (a, b) R a b, a, b N. Mutassa meg, hogy R részbenrendezés! 4. Bizonyítsa be, hogy ha R 1 és R 2 reexív reláció, akkor R 1 R 2 is az! 5. Bizonyítsa be, hogy ha R 1 és R 2 irreexív reláció, akkor R 1 R 2 nem biztos, hogy irreexív! 6. Bizonyítsa be, hogy R 1 és R 2 szimmetrikus relációk R 1 R 2 szorzata pontosan akkor szimmetrikus, ha R 1 R 2 = R 2 R 1! 7. Bizonyítsa be, hogy minden olyan reláció, ami egyszerre szimmetrikus és antiszimmetrikus, egyúttal tranzitív is! 8. Igazolja, hogy egy A halmazon adott R reláció pontosan akkor ekvivalenciareláció és részbenrendezés, ha R = i A! (i A (x) = x, minden x A-ra.) 9. Lássuk be, hogy minden véges halmaz rendezhet! * 10. Adjon meg olyan binér relációt, amely reexív, szimmetrikus, de nem tranzitív! * 11. Adjon meg olyan binér relációt, amely reexív, antiszimmetrikus, de nem tranzitív! * 12. Adjon meg olyan binér relációt, amely reexív, tranzitív, de nem szimmetrikus! * 5

6 HALMAZELMÉLET feladatsor Bizonyítsa be, hogy ha létezik A-ból B-re (szürjektív) leképezés, akkor B A. 2. Mutassa meg, hogy megszámlálhatóan végtelen halmaz minden részhalmaza véges vagy megszámlálhatóan végtelen. 3. Mekkora az irracionális számok halmazának számossága? 4. Igaz-e, hogy ]0, 1[ R? 5. Igazolja, hogy ]0, 1[ [0, 1]. 6. Bizonyítsa be, hogy (a) az egész együtthatós, egyváltozós polinomok halmaza megszámlálható. (b) az algebrai számok halmaza megszámlálható. (c) létezik transzcendens szám. 7. Bizonyítsa be, hogy egy szakasz és egy négyzet pontjainak halmaza ekvivalens. 8. Mutassa meg, hogy a valós számegyenes páronként diszjunkt, nemüres, nyílt intervallumainak tetsz leges rendszere megszámlálható. 9. Igazolja, hogy tetsz leges f : R R monoton függvény szakadási helyei megszámlálhatóak. 10. Szorgalmi feladat (3 pontért): Igazolja, hogy a természetes számokból álló megszámlálható sorozatok halmazának számossága, valamint a 0 1 sorozatok számossága kontinuum. 6