Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott"

Átírás

1 Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5, x 2 = x 3 } (b) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 0 } (c) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x i = 2k páros szám k Z, i = 1, 2,.., 5 } (d) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1, x 5 Q } (e) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x x x 2 3 = 0 } 41. Tekintsük a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok P n valós vektorterét! Alteret alkotnak-e, s ha igen hány dimenziósat a megadott polinomhalmazok? (a) L = { p P n p(2006) = 0 } (b) L = { p P n p(t) = p( t) (t R) } (c) L = { p P n p(t) = a n t n + + a 1 t + a 0, (a i Q, i = 1,..., n) } (d) L = { p P n p(1) + p( 1) = 0 } 42. Igazoljuk, hogy az a, b, c vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független, ha az a + b + c, a + b, a vektorrendszer lineárisan független. 43. Mutassuk meg, hogy az a 1, a 2,..., a k vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független, ha a 1, a 2 a 1,..., a k a k 1 is az. 44. Lineárisan függetlenek-e a megadott vektorrendszerek? a) a P 3 vektortérben: p 1 (t) = (t 1) 2, p 2 (t) = t 2 1, p 3 (t) = 2t 2 + 2t 3. b) a C 3 komplex vektortérben: a = (1, 0, 1), b = (i, 1, 0) c = (i, 2, 1 + i). 45. Igazoljuk, hogy e 1, e 2,..., e n bázis R n -ben, s adjuk meg az x vektor koordinátáit az adott bázisra vonatkozóan: n = 3 e 1 = (1, 1, 1) e 2 = (1, 1, 2) e 3 = (1, 2, 3) x = (6, 9, 14) n = 4 e 1 = (1, 1, 0, 1) e 2 = (2, 1, 3, 2) e 3 = (1, 1, 0, 0) e 4 = (0, 1, 1, 1) x = (0, 0, 0, 1) 46. Határozzuk meg a következő vektorok által generált altér bázisát és dimenzióját! 1

2 a 1 = (2, 1, 3, 1) a 2 = ( 1, 1, 3, 1) a 3 = (4, 5, 3, 1) a 4 = (1, 5, 3, 1) b 1 = (1, 1, 1, 1, 0) b 2 = (1, 1, 1, 1, 1) b 3 = (2, 2, 0, 0, 1) b 4 = (1, 1, 5, 5, 2) b 5 = (1, 1, 1, 0, 0) 47. Az n-edrendű kvadratikus mátrixok vektorterében tekintsük a szimmetrikus, illetve a ferdén szimmetrikus mátrixok halmazát! S n = { A M n A T = A } A n = { A M n A T = A } Igazoljuk, hogy S n és A n altér M n -ben! Adjuk meg ezen alterek egy-egy bázisát és dimenzióját! 48. Tekintsük a komplex számhármasok C 3 halmazát a szokásos műveletekkel. Hány dimenziós vektorteret kapunk, ha a skalártest C, R illetve Q? 49. Mennyi az A mátrix rangja? Adja meg a sorvektorai által generált altér egy bázisát! a) A = b) A = Determinánsok 50. Igazoljuk, hogy a) b) x 11 x 12 x 21 x 22 = x 11x 22 x 12 x 21, x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 = x 11x 22x 33 + x 12x 23x 31 + x 13x 21x 32 x 13 x 22 x 31 x 12 x 21 x 33 x 11 x 23 x Számítsa ki a következő determinánsok értékét: a) , b) c) i 1 i i 1 i, d) , ! 2

3 52. A kifejtési tétel alkalmazásával számítsa ki a következő determinánsok értékét: a) ; b) ! Határozzuk meg az A mátrix determinánsát, ha az A mátrix a ij elemét a következő eljárás szerint képezzük: a) a ij = min(i, j), b) a ij = max(i, j). 54. Írjuk fel x polinomjaként az alábbi determinánsokat: n a) 1 2 x x n ; b) 1 2 x n x x + 1 ; 55. Az x mely értékeinél lesz x x n x = Igazolja, hogy bármely páratlan rendű antiszimmetrikus mátrix determinánsa nulla! 57. Bizonyítsuk be a sorok (vagy az oszlopok) megfelelő összegzésével, hogy = Mutassuk meg kizárólag sorok (vagy oszlopok) egymásból való kivonásával, hogy =

4 Mátrixok 59. Számítsuk ki az AB, BA, AC, ADF, DF mátrixokat, ha A = ( ) ( 1 0, B = 2 0 ) ( 2 0, C = 0 3 ) ( 1 2 1, D = ), F = ( a b 60. Mikor invertálható az c d ) mátrix? Hogyan számíthatjuk ki az inverzét? 61. Egy mátrixot felső triangulárisnak mondunk, ha főátlója alatt mindenütt nulla áll. Mutassuk meg, hogy felső trianguláris mátrixok szorzata is felső trianguláris. 62. Határozzuk meg a következő mátrixok inverzét, ha az létezik! a) 0 1 1, b) c) e) g) , , f), h) d), ,., 63. Milyen λ értékek mellett invertálhatók az alábbi mátrixok: λ 12 a) 3 1 λ ; b) 2 3 λ ; c) λ 0 λ λ. 4

5 64. Legyen A = Mutassuk meg, hogy van olyan 3 3-as nemzéró X mátrix, melyre A X = O. 65. Mutassuk meg, hogy az A = B = mátrixok invertálhatók, és határozzuk mg az A X = B egyenlet összes megoldását! 66. Egy k n típusú A mátrix transzponáltján azt az n k típusú A T mátrixot értjük, melynek (i, j)-dik eleme az A mátrix (j, i)-dik elemével egyezik meg ha i = 1, 2,..., n, j = 1,..., k. Igazoljuk, hogy (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T s ha A invertálható, akkor A T is, és (A T ) 1 = (A 1 ) T. 67. Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak mondjuk, ha A T = A, s antiszimmetrikusnak, ha A T = A. Mutassuk meg, hogy a) szimmetrikus mátrixok összege is szimmetrikus b) antiszimmetrikus mátrixok összege is antiszimmetrikus c) bármely kvadratikus mátrix előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegeként. d) antiszimmetrikus mátrix főátlójában mindenütt nulla áll. e) ha A és B szimmetrikus, és AB = BA, akkor AB is szimmetrikus. Lineáris egyenletrendszerek 68. Oldjuk meg Cramer szabállyal a következő lineáris egyenletrendszereket: x 1 1 a) x 2 = x 3 2 b) x 1 x 2 x 3 x 4 =

6 69. Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszereket! x 1 +x 2 +2x 3 +3x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 2x 4 = 4 2x 1 +3x 2 x 3 x 4 = 6 x 1 +2x 2 +3x 3 x 4 = 4 2x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 1 +3x 2 +x 3 = 5 x 1 +x 2 +5x 3 = 7 2x 1 +3x 2 3x 3 = Adjuk meg a következő lineáris egyenletrendszerek összes megoldását! X = X = 71. Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert: 2x 1 +3x 2 x 3 = 2 3x 1 +λx 2 +4x 3 = 5 7x 1 +4x 2 +2x 3 = k a) Legyen k = 8. λ milyen értékei esetén nincs megoldása az egyenletrendszernek? b) Most legyen λ = 2. Milyen k esetén oldható meg az egyenletrendszer? Euklideszi terek 72. Számítsuk ki az alábbi vektorpárok összegét, belső szorzatát, normáját és szögét: a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 1, 1 3) a = (5, 1, 3, 4), b = (10, 2, 6, 8) a = (0, 3, 0, 1), b = (0, 1, 0, 3) 73. Mekkora az a és b vektorok által bezárt szög, ha a = s + t, b = s t, ahol s és t egyenlő normájú. 74. Milyen szöget zárnak be az s és t egységvektorok, ha a = s + 2t és b = 5s 4t egymásra merőleges (ortogonális)? 75. Tudjuk, hogy a = 2, b = 5 és a és b szöge 2π/3. Az α együttható mely értéke esetén lesz ortogonális a c = αa + 17b és a d = 3a b vektorpár? 6

7 76. Mutassuk meg, hogy az olyan diagonális mátrix oszlopvektorai, amelynek a főátlójában álló elemek nullától különböznek, a megfelelő dimenziójú R n euklideszi vektortérnek ortogonális bázisát adják. 77. Mutassuk meg, hogy ha x vektor ortogonális a b 1, b 2,..., b k vektorok mindegyikére, akkor ortogonális az általuk kifeszített altérre is. 78. Számítsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az e = ( 1, 2, 3) vektor irányába eső merőleges vetületét! 79. Számítsa ki az x = (1, 3, 5) vektornak az L = L(( 1, 2, 3), (0, 1, 2)) generált altérre eső merőleges vetületét! 80. Gram-Schmidt eljárással ortogonalizáljuk a megadott bázist! a) a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (2, 1, 0), a 3 = (0, 3, 1) b) a 1 = (0, 2, 1), a 2 = (1, 0, 1), a 3 = (1, 1, 1) c) a 1 = (0, 0, 1, 1), a 2 = (1, 1, 0, 0), a 3 = (1, 0, 1, 1), a 4 = (1, 0, 1, 0) 81. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok által generált altérben! a) a 1 = (1, 2 1, 3), a 2 = (3, 0, 3 5), a 3 = (2, 1, 1 1), a 4 = (1, 1, 2, 4) b) a 1 = (2, 0, 0, 1), a 2 = (0, 3, 1, 0), a 3 = (1, 0, 10, 3), a 4 = ( 5, 0, 10, 0) 82. Adja meg a H ortogonális komplementer altér egy bázisát, ha H = L(( 1, 0, 2, 3), (0, 1, 2, 0), ( 1, 1, 4 3))! 83. Legyen H R 4 a 2x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 + 9x 3 x 4 = 0 lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. Írjuk fel H egy bázisát. 84. Adjuk meg az x R 4 vektor H altérre eső merőleges vetületét, ha a) x = (4, 1, 3, 4); H = L{(1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 0, 0, 3)} b) x = (7, 4, 1, 2), H pedig a lineáris egyenletrendszer megoldásaltere. 2x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 9x 4 = Határozzunk meg R 4 -ben olyan ortogonális bázist, melynek egyik vektora b 1 = (1, 2, 1, 1). 86. Határozzunk meg ortonormált bázist a következő vektorok által generált altérben! a 1 = (1, 1, 2, 1), a 2 = ( 2, 1, 1, 1), a 3 = (0, 1, 3, 1), a 4 = ( 1, 0, 1, 0). 7

8 87. Bizonyítsuk be, hogy ha A és B két n-edrendű ortogonális mátrix, akkor az A B és B A szorzatmátrixok is ortogonálisak! 88. Bizonyítsuk be, hogy ha egy kvadratikus n-edrendű A mátrix esetén A T A olyan diagonális mátrix, melynek főátlóján csupa nullától különböző szám áll, akkor A oszlopvektorai (illetve sorvektorai) bázist, sőt ortogonális bázist alkotnak R n -ben! 89. Legyen a = (1, 2, 3, 0) és b = (1, 1, 2, 1). Állapítsuk meg, hogy milyen λ R szám esetén lesz minimális az a λb vektor normája! 90. Vannak-e olyan nullától különböző α, β, γ valós számok, melyekre a b 1 = (α, β, γ, 0), b 2 = (0, α, β, γ), b 3 = (γ, 0, α, β), b 4 = (β, γ, 0, α) vektorok ortogonális vektorrendszert alkotnak? 91. Az a 1, a 2,..., a k E vektorrendszer Gram determinánsának nevezik a (a 1, a 1 ),... (a 1, a k ) G(a 1, a 2,..., a k ) =.. (a k, a 1 ),... (a k, a k ) k-adrendű determinánst. Mutassuk meg, hogy G(a 1, a 2,..., a k ) 0, s G(a 1, a 2,..., a k ) = 0 pontosan akkor teljesül, ha a 1, a 2,..., a k lineárisan függő. Vezessük le ebből a Schwarz egyenlőtlenséget. Lineáris transzformációk 92. Tekintsük R 2 -ben az origóra való tükrözést. Lineáris transzformáció-e? valamely bázisra vonatkozó mátrixát! Írjuk fel 93. Írjuk fel az R2 -beli y tengelyre vonatkozó tükrözésnek és az origó körüli α szögű elforgatásnak a természetes bázisra vonatkozó mátrixát! Regulárisak-e ezek a transzformációk? 94. Legyen a ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció mátrixa (a természetes bázisra vonatkozóan) A = a) Határozzuk meg az x = (1, 1, 2) vektor képét! b) Határozzuk meg azt az x vektort, melynek képvektora az y = ( 2, 5, 5) vektor! 95. R 3 -ban tekintsük az y = x síkra vonatkozó tükrözést! Írjuk fel a transzformáció mátrixát a természetes bázisban! 8

9 96. Igazoljuk, hogy a nullvektort minden lineáris leképezés a nullvektorba képezi le. 97. Mutassuk meg, hogy bármely lineáris leképezés lineárisan függő vektorrendszert lineárisan függőbe képez le. 98. R 3 -ban tekintsük az [x, y] síkra történő merőleges vetítést. Írjuk fel először a természetes bázisra, majd a b 1 = (1, 1, 1), b 2 = (0, 1, 1), b 3 = (0, 0, 1) bázisra vonatkozó mátrixát! Reguláris-e ez a transzformáció? 99. A ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció az a 1, a 2, a 3 lineárisan független vektorokat a b 1, b 2, b 3 vektorokba viszi át. Írjuk fel ϕ-nek a természetes bázisra vonatkozó mátrixát, ha a 1 = (5, 3, 1), a 2 = (1, 3, 2), a 3 = (1, 2, 1) b 1 = ( 2, 1, 0), b 2 = ( 1, 3, 0), b 3 = ( 2, 3, 0) Legyen ϕ: R 3 R 3 az a lineáris transzformáció, mely a természetes bázis vektorait a ϕ(e 1 ) = (1, 2, 1), ϕ(e 2 ) = (0, 1, 1), ϕ(e 3 ) = (1, 2, 3) vektorokba képezi le. Tekintsük R 3 -nak a Írjuk fel ϕ-nek a természetes bázisra vonatkozó mátrixát! b 1 = (1, 0, 1), b 2 = (1, 1, 0), b 3 = (1, 1, 1) bázisát. Adjuk a lineáris transzformáció mátrixát a b 1, b 2, b 3 alkotta bázisban, s határozzuk meg az x vektor képvektorát, ha x koordinátái a b 1, b 2, b 3 bázisban (4, 1, 3) Az R 3 -beli lineáris transzformációk természetes bázisra vonatkozó mátrixai a következők: Határozzuk meg a transzformációk nullterét, defektusát és rangját! 102. R 3 minden vektorát forgassuk el a z tengely körül 45 -kal. Határozzuk meg e transzformáció mátrixát, továbbá a (2, 4, 3) vektor képét. Mely vektor transzformálódik a ( 1, 4, 0) vektorba? Határozzuk meg az 1 sajátértékhez tartozó sajátvektorokat! 103. Határozzuk meg a következő lineáris transzformációk karakterisztikus polinomját, sajátértékeit, sajátaltereit. Vizsgáljuk meg a diagonalizálhatóságot, s annak esetén adjunk meg sajátvektorok alkotta bázist. a) ϕ: R 3 R 3, (α, β, γ) (α 2γ, 0, 2α + 4γ) b) ϕ: R 3 R 3, (α, β, γ) (2α + 2β, β γ, 2β + 4γ) 9

10 104. Vizsgáljuk meg, hogy melyek diagonalizálhatók az alábbi mátrixok közül R ill. C felett. A diagonalizálhatók esetében határozzuk meg azt az S mátrixot, amellyel S 1 AS diagonális mátrix. A = A = A = A = 105. Legyen adott az R 3 R 3 transzformáció mátrixával: A = Mutassuk ki, hogy a képvektorok tere kétdimenziós! Eleme-e a képvektorok terének az y = (1, 4, 6) vektor? 106. Egy ϕ: R 3 R 3 lineáris transzformáció esetén a természetes bázis vektorai a következő vektorokba képződnek: ϕ(e 1 ) = (1, 2, 3), ϕ(e 2 ) = (3, 1, 2), ϕ(e 3 ) = (2, 1, 1). Mutassuk meg, hogy ez a transzformáció nem reguláris. Igazoljuk, hogy az x = (1, 1, 1) és y = (2, 0, 2) vektorok képei azonosak. Írjuk fel a a transzformáció mátrixát a b 1 = (0, 2, 1), b 2 = (1, 0, 1), b 3 = (0, 3, 0) vektorok alkotta bázisban! 107. Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! a) A = b) A = A 2 2-es mátrixok vektorterében tekintsük a ( ) ( ) ( ,, ) ( 0 0, 0 1 természetes bázist. Adjuk meg e bázisra vonatkozó mátrixát a következő lineáris operátoroknak: a) transzponálás operátora, b) ϕ AB : M 2 2 M 2 2, ϕ AB (X) = AXB, ahol A, B M 2 2 rögzített mátrixok, Hogyan ( ) változnak ( meg) ezen operátorok mátrixai, ha a bázisban a t és -t felcseréljük? )

11 109. Igazoljuk, hogy reguláris transzformáció a lineárisan független vektorrendszereket lineárisan függetlenbe képezi Mutasssuk meg, hogy ha az A és B mátrixok hasonlók, akkor a) A 2 és B 2 is hasonlók, b) A k és B k is hasonlók minden k N-re, c) f(a) és f(b) hasonlók, ahol f(t) tetszőleges polinom Bizonyítsuk be, hogy különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek! 112. a) Bizonyítsuk be, hogy páratlan dimenziós valós vektortéren értelmezett lineáris operátornak mindig van valós sajátértéke. b) Páros dimenziójú valós vektortér esetén, ha egy lineáris operátor mátrixának determinánsa negatív, akkor létezik mind pozitív, mind negatív sajátértéke. c) Mutassuk meg, hogy minden negatív determinánsú 2 2-es mátrix hasonló egy diagonális mátrixhoz. Euklideszi terek transzformációi 113. Tekintsük R 3 -ban az [x, y] síkra vonatkozó tükrözést, továbbá a merőleges vetítést. Szimmetrikus, illetve ortogonális transzformációk-e? 114. Mutassuk meg, hogy ha egy ϕ transzformáció λ sajátértékéhez tartozó sajátvektor egységvektor, akkor (ϕ(x), x) = λ Bizonyítsuk be, hogy szimmetrikus transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak Tekintsük R 3 -ban az y = x síkra vonatkozó tükrözést. Írjuk fel e transzformáció mátrixát! Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? 117. Tekintsük R 3 -ban a z tengelyre vonatkozó tükrözést. Írjuk fel e transzformáció mátrixát! Szimmetrikus, illetve ortogonális-e ez a transzformáció? Határozzuk meg az x = (1, 1, 1) vektor képét! 118. Határozzuk meg R 3 -ban azt a síkot, melyre vonatkozó tükrözés mátrixa a) A = b) A =

12 119. Határozzunk meg a következő mátrixszokkal adott szimmetrikus transzformációkhoz sajátvektorokból álló ortonormált bázist! Más szavakkal: Határozzunk meg olyan S ortogonális mátrixot, melyre S T AS diagonális, ha A = A = ( ) A = A = ( Határozzuk meg az alábbi A mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és azon sajátvektorait, amelyek egységnyi hosszúak! a) A = b) A = Kvadratikus forma-e R 3 -an a) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 b) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x x 3 3 c) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 3x x 2 3 d) ϕ: R 3 R ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + 3x 2 + 5x 3 ) Írjuk fel e kvadratikus formák mátrixát! 122. Határozzunk meg a következő kvadratikus formák kanonikus alakját és adjuk meg a hozzájuk tartozó kanonikus bázist is! a) 2x x x 1 x 2 b) 9x x x 1 x 2 ) c) x 2 1 2x x x 1 x 2 2x 2 x 3 d) x x x x 1 x 2 + 8x 1 x 3 e) x x x x 1 x 2 + 6x 2 x 3 f) 5x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 6x 1 x 3 g) x x x x 1 x 2 + 4x 2 x 3 h) x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 x Igazoljuk, hogy az A és A T által meghatározott R n -beli transzformációk sajátértékei azonosak Mutassuk meg, hogy a Q(x) = ax bx 1 x 2 + cx 2 2 kvadratikus forma pontosan akkor pozitív definit, ha a > 0 és b 2 4ac < Bizonyítsuk be, hogy egy A szimmetrikus mátrixszal meghatározott kvadratikus forma pontosan akkor pozitív definit, ha létezik olyan reguláris P mátrix, hogy A = P T P. 12

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2. Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és

Részletesebben

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér? Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat! . Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk

Részletesebben

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak 10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................

Részletesebben

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35 9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika II. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.

(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben. Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi

Részletesebben

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26. Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság 1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás) Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26. MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február

Részletesebben

A gyakorlati jegy

A gyakorlati jegy . Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK

LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK LINEÁRIS ALGEBRA FELADATOK (a rutinfeladatok O-val vannak jelölve) Mátrixok 1. feladat. O Számítsa ki az A,A T,B,B T mátrixokból képezhető 16 kéttényezős szorzat közül azokat, amelyek értelmezettek. A

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Euklideszi tér, ortogonalizáció H607 2018-02-12/03-10

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok Lin.Alg.Zh.- feladatok. Lin.Alg.Zh. feladatok.. d vektorok Adott három vektor ā b c az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális

Részletesebben

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach/ február 15 Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma

9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma 9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J. NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév

Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 Wiener Gábor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 FELADATGYŰJTEMÉNY 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 BME SZIT Készült a Budapesti Műszaki és

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Alkalmazások H607 2018-05-14 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

1. Gauss-, Gauss-Jordan elimináció.

1. Gauss-, Gauss-Jordan elimináció. 1. Gauss-, Gauss-Jordan elimináció. Először az Ax = b lineáris egyenletrendszerekkel foglalkozunk. Itt tehát adott egy A R m n (például valós elemű, m-szer n-es) mátrix továbbá egy b R m (valós, m-elemű)

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi

Részletesebben

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35 Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek

Részletesebben

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2016/2017. tavaszi félév Tartalom 1 Motiváció 2 Transzformációk Transzformációk általában 3 Nevezetes

Részletesebben