Konvex optimalizálás feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Konvex optimalizálás feladatok"

Átírás

1 (1. gyakorlat, szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x függvény konvex (deníció szerint)! 3. Feladat. Legyen c 1, c 2 R és r R rögzített. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 (x c 1 ) 2 + (y c 2 ) 2 r 2 } halmaz konvex! Általánosítsuk a problémát, és igazoljuk, hogy ha X normált tér, p X és r > 0 tetsz legesek, akkor B(p, r) cl := {x X x p r} konvex halmaz! 4. Feladat. Mutassuk meg, hogy a {(x, y) R 2 x > 0, y > 0, xy 1} halmaz konvex! Határozzuk meg a halmaz konvex burkát, kúp burkát, an burkát és lineáris burkát! 5. Feladat. Igazoljuk, hogy ha H konvex halmaz, akkor cone(h) is konvex! 6. Feladat. Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! {f C R ([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2}

2 (2. gyakorlat, szeptember 23.) 1. Feladat. Igazoljuk, hogy (1) az üres halmaz konvex; (2) ha X lineáris tér, és K(X) jelöli az X konvex részhalmazainak összességét, akkor K(X) konvex kúp; (3) ha X és Y lineáris tér és A X Y konvex, akkor π X (A) és π Y (A) is konvex. 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér, akkor bármely x 0,..., x n X elemek esetén teljesül! aff{x 0,..., x n } = x 0 + lin{x 1 x 0,..., x n x 0 } 3. Feladat. Legyen X topologikus vektortér, D X zárt, konvex halmaz. Mutassuk meg, hogy bármely x X esetén ( ) cl T x (K) := λ (K {x}) konvex kúp. (Segítség: rajzoljuk le el tte a halmazt; mi történik, ha x K?) λ>0 4. Feladat. Számoljuk ki a halmaz an burkát! {f C([0, 1]) f(0) = 0, f(1) = 1, f(1/2) 1/2} 5. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint f : X R adott függvény. Mutassuk meg, hogy (1) ha f konvex, akkor {f c} konvex halmaz minden c R számra; (2) f pontosan akkor kvázikonvex, ha {f c} konvex minden c R számra! 6. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X pedig olyan, hogy 0 D. Mutassuk meg, hogy az f : X R, f(x) := inf{λ R + x λd} függvény pontosan akkor konvex a D halmazon, ha D konvex! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér, D X és D := {(λx, λ) λ > 0, x D}. Mutassuk meg, hogy D pontosan akkor konvex, ha D konvex kúp! 8. Feladat. Legyen I R valódi intervallum. Igazoljuk, hogy egy f : I R függvény pontosan akkor konvex, ha epi(f) := {(x, y) I R f(x) y} konvex halmaz. (Az f függvény pontosan akkor alulról félig folytonos, ha epi(f) zárt halmaz.) 9. Feladat. Határozzuk meg a {(0, 0), (0, 1), (1, 0)} R 2 halmaz konvex burkát! Vizsgáljuk meg a halmazt konvexitás szempontjából! H := {(x, y) R 2 x, y 0, x + y 1} R 2

3 (3. gyakorlat, szeptember 30.) 1. Feladat. Tekintsük a H := {(x, y, z) R 3 x + y + z 1} halmazt (poliéder el állítás). a.) Mutassuk meg, hogy H konvex halmaz! b.) Adjuk meg a H halmaz politóp el állítását! c.) Adjuk meg a cone(h), aff(h) és lin(h) halmazokat! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy H := {f C R ([0, 1]) f(0) + f(1) = 0, f(1/2) 1} konvex halmaz, és adjuk meg cone(h) és lin(h) halmazokat! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : X R függvény pontosan akkor an, ha f f(0) lineáris (X lineáris tér)! 4. Feladat. Legyen X metrikus tér a d metrikával, H X és deniáljuk az f H függvényt a következ módon: f H : X [0, + [, f H (x) := inf d(x, y). y H Mutassuk meg, hogy ha H konvex halmaz, akkor f H konvex függvény 5. Feladat. Legyen X normált tér, ezen kívül tartsuk meg a 4. Feladat összes jelölését! Mutassuk meg, hogy f H Lipschitz-tulajdonságot teljesít, következésképpen folytonos függvény! 6. Feladat. Igazoljuk, hogy egy {x 1,..., x k } R n vektorrendszer pontosan akkor an függ, ha az {x 1 x k,..., x k 1 x k } rendszer lineárisan függ! 7. Feladat. Legyen X lineáris tér és p : X [0, + [ tetsz leges norma X-en. Mutassuk meg, hogy az {(x, r) X [0, + [ p(x) r} halmaz konvex! (Gyengíthet k-e a p függvényre tett feltételek úgy, hogy ez az állítás érvényben maradjon?) Ha r > 0 rögzített, akkor mit lehet mondani az halmaz konvexitásáról? {(x, a) X R p(x) r, a R} 8. Feladat. Mutassuk meg, hogy ha X lineáris tér és f : X R lineáris függvény, akkor az {(x, f(x)) x X} halmaz an! 9. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassuk meg, hogy konvex halmaz! A D := {x X létezik λ [0, 1] : λx D}

4 (4. gyakorlat, október 07.) Tétel. (Konvex halmazok szeparálása lineáris függvénnyel.) Legyen X topologikus vektortér, A, B X konvex halmazok, és tegyük fel, hogy int(a), B és A B =. Ekkor létezik ϕ : X R folytonos lineáris függvény, hogy sup ϕ(p) inf ϕ(p). p A p B 1. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 y 0}, valamint B := {(x, y) R 2 x, y > 0, xy 1}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 2 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 2. Feladat. Legyen A := (conv{(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) o, valamint B := {( 1 3, 1 3, 1 3)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben! 3. Feladat. Legyen A := conv{(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}, valamint B := {(2, 2, 2)}. Adjuk meg az összes olyan ϕ : R 3 R (folytonos) lineáris függvényt, amely szeparálja a megadott halmazokat a fenti értelemben!

5 (6. gyakorlat, november 04.) 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, valamint A, B X nemüres halmazok. Igazoljuk, hogy ekkor (1) cor(a) cor(b) cor(a B), (2) cor(a) cor(b) = cor(a B), (3) ha A B, akkor cor(a) cor(b). Deníció. Legyen X lineáris tér, valamint D X konvex halmaz. Egy f : D R konvex függvény p D pontbeli szubgradiensén a f(p) := {ϕ : X R ϕ lineáris és ϕ(h) f (p, h) minden h X esetén}. halmazt értjük, ahol f 1 (p, h) := lim (f(p + th) f(p)). t 0+ t Azt mondjuk, hogy az f a p pontban szubdierenciálható, hogy f(p) nem az üres halmaz. Szubdierenciálási szabályok: (1) minden p D esetén (f + g)(p) = f(p) + g(p), (2) minden p D és λ > 0 esetén (λ f)(p) = λ f(p), (3) ha g := max{f 1,..., f n }, ahol f j : D R konvex függvény minden j-re, akkor ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) 2. Feladat. (Házi feladat) Igazoljuk, hogy a szubgradiens mindig konvex halmaz! 3. Feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvények konvexek, de nem szubdierenciálhatók az x 0 = 0 pontban: (1) legyen f(0) := 1, és f(x) := 0, ha x > 0; (2) legyen f(x) := x, ha x Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a szubgradiens elemeinek meredekségét a p pont függvényében! Igaz-e, hogy a dierenciálható függvények osztálya zárt a maximumképzésre nézve? 5. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := x χ {y 0} (x) + x 2 χ {y>0} (x) függvény szubgradiensét minden p R pontban! Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét!

6 (7. gyakorlat, november 11.) Ha g : R R, g(x) := max{f 1 (x),..., f n (x)} (n 2), akkor g (p, h) = max{f j(p, h) f j (p) = g(p)}, ( ) g(p) = conv f j(p). f j(p)=g(p) minden p D g és h R \ {0} esetén. 1. Feladat. Írjuk fel az f : R R, f(x) := max{0, x 2 1} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban, majd ábrázoljuk a p f(p) leképezés értékkészletét. 2. Feladat. Adjuk meg az f : R R, f(x) := max{2x + 1, 3 4x} függvény szubgradiensét tetsz leges p R pontban. Ábrázoljuk a p f(p) halmazérték leképezés értékkészletét. 3. Feladat. Legyen x 0 R és 0 < t < 1 rögzített. Határozzuk meg az függvény szubgradiensét minden p R pontban. f : R R, f(x) := t(x 0 x) + + (1 t)(x 0 x) 4. Feladat. Határozzuk meg az f : R 3 R, f(x, y, z) := max{0, x + y + z}, g : R 2 R, g(x, y) := max{ (x, y) 2, x + 3y} függvények szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban.

7 (9. gyakorlat, november 25.) 1. Tétel. (KarushKuhnTucker) Legyen X lineáris tér, D X konvex halmaz, továbbá f 0, f 1,..., f n : D R konvex függvények és H := {x D f 1 (x) 0,..., f n (x) 0}. Tegyük fel, hogy f 0 -nak a p cor(d) pontban minimumhelye van, azaz f 0 (p) f 0 (x), ha x H. Ekkor léteznek olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0 valós számok, hogy (1) λ λ n = 1, (2) 0 λ 0 f 0 (p) + + λ n f n (p), és (3) λ j f j (p) = 0, ha j = 1,..., n. Másfel l, ha (1) és (2) teljesül egy olyan λ 0, λ 1,..., λ n 0, λ λ n = 1 konvex kombinációs rendszerrel, ahol λ 0 > 0, akkor f 0 -nak minimumhelye van a p pontban a fenti H halmazon. 1. Feladat. Keressük meg az f : R 2 R, f(x, y) := x függvény minimumhelyeit az x y 1 és x 2 + y 2 1 feltételek mellett, tehát ha H = {(x, y) R 2 f 1 (x, y) := x y 1 0, f 2 (x, y) := x 2 + y 2 1 0}. 2. Feladat. Legyen A := {(x, y) R 2 x < 1} és B := {(x, y) R 2 y x}. Adjuk meg azon (a, b) R 2 párokat, amelyre sup (ax + by) inf (ax + by). (x,y) A (x,y) B 3. Feladat. Minimalizáljuk az f : R 2 R, f(x, y) := x + 3y függvényt az x + 2 y és x 2 2 y 2 feltételek mellett.

8 1. zárthelyi dolgozat Konvex optimalizálás, október 28. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Legyenek n, m N tetsz legesen rögzített természetes számok, H D R n R m konvex, nemüres halmaz, továbbá f : H D R konvex, alulról korlátos függvény. Mutassa meg, hogy a g : H R, g(x) := inf{f(x, y) y D}. függvény konvex! (A függvény alulról való korlátossága azért kell, hogy g deníciója értelmes legyen!) 2. Feladat. Igazolja, hogy a H := {f C R ([0, 1]) 3f(1) + f(0) = 0, f(1/3) 2} halmaz konvex! Határozza meg a cone(h) és lin(h) burkokat! 3. Feladat. Tekintsük az A := conv{(0, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 1, 2), (2, 0, 1)} és B := {(1, 1, 1)} halmazokat R 3 -ban. a.) Határozza meg az A halmaz poliéder el állítását! b.) Adja meg az összes olyan ϕ : R 3 R folytonos lineáris függvényt, melyekre teljesül! sup ϕ(x, y, z) inf ϕ(x, y, z) (x,y,z) A (x,y,z) B (5+5 pont) 4. Feladat. Legyen X lineáris tér és D X konvex halmaz! Mutassa meg, hogy ekkor az halmaz is konvex! A D := {x X létezik λ ]0, 1] : λx D}

9 2. zárthelyi dolgozat 1 Konvex optimalizálás, december 16. Összesen 25 pont szerezhet. Az értékelés független a feladatok megoldásának sorrendjét l. 1. Feladat. Optimalizálja az f : R 2 R, f(x, y) := 3x + 2y függvényt az y 2 3 (x 1) 2 és y 1 x feltételek mellett! (10 pont) 2. Feladat. Számolja ki deníció alapján a g : R R, g(x) := 2x χ R (x)+x 3 χ R+ {0}(x) függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden értelmezési tartománybeli pontban! 3. Feladat. Határozza meg a. 2 : R 2 R + {0}, (x, y) 2 := x 2 + y 2 függvény iránymenti deriváltját és szubgradiensét minden (p, q) R 2 pontban! 4. Feladat. Igazolja, hogy a k : [ 1, + [ R, k(x) := x + 1 függvény konvex! Szubdierenciálható-e k a p 0 = 1, illetve q 0 = 2 pontokban? (A függvény konvexitásának igazolásához bármilyen, arra alkalmas módszer felhasználható!) Szorgalmi feladatok 1. Feladat. Legyen X lineáris tér, A X nemüres konvex halmaz. Mutassa meg, hogy bármely x 0 core(a), y A és 0 < λ 1 esetén λx 0 + (1 λ)y core(a). (1 pont) 2. Feladat. Legyen X lineáris tér. Mutassa meg, hogy ha A X nemüres konvex halmaz, akkor core(a) = core(core(a)) Mely irányú tartalmazás marad érvényben, ha az A halmazról nem tesszük fel, hogy konvex? (1 pont) 3. Feladat. Ábrázolja a második feladatban szerepl g függvény esetén a p g(p) halmazérték leképezés értékkészletét! (1 pont) (1 pont) 1 Jelölések: R := {u R u < 0}, R + := {u R u > 0}, illetve ha A R, akkor χ A (x) = 1, ha x A és χ A (x) = 0, ha x R \ A. (Azaz χ A jelöli az A halmaz karakterisztikus függvényét.)

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma

Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Nemlineáris programozás 2.

Nemlineáris programozás 2. Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22 Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1 Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben