Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk"

Átírás

1 Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71

2 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Kontrakciók 2 of 71

3 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Definíció Az x S pont és az A részhalmaz távolsága az inf{ρ(x, a) : a A} mennyiség. Kontrakciók 3 of 71

4 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér egy A részhalmazának átmérője a diam A = sup{ρ(a, b) a, b A} mennyiség. Definíció Az x S pont és az A részhalmaz távolsága az inf{ρ(x, a) : a A} mennyiség. Állítás Rögzített A S részhalaz esetén a függvény folytonos. d A : X R, x d(x, A) Kontrakciók 4 of 71

5 Kontrakciók 5 of 71 A Lipschitz tulajdonság LIPSCIHTZ TULAJDONSÁG Definíció Az f : S T függvény Lipschitz tulajdonságú, ha van olyan k R, hogy ρ(f (x), f (y)) kρ(x, y) minden x, y S esetén.

6 Kontrakciók 6 of 71 A Lipschitz tulajdonság LIPSCIHTZ TULAJDONSÁG Definíció Az f : S T függvény Lipschitz tulajdonságú, ha van olyan k R, hogy ρ(f (x), f (y)) kρ(x, y) minden x, y S esetén. Állítás Ha f : S T Lipschitz függvény a k konstanssal, akkor f egyenletesen folytonos.

7 Kontrakciók 7 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel

8 Kontrakciók 8 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos.

9 Kontrakciók 9 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos. Ha I R nem degenerált intervallum és f : I R differenciálható I-n, úgy f pontosan akkor Lipschitz függvény I-n, ha itt a deriváltja korlátos.

10 Kontrakciók 10 of 71 A Lipschitz tulajdonság A LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI Tétel Ha f : S T Lipschitz függvény és A S korlátos, akkor f (A) T is korlátos. Ha I R nem degenerált intervallum és f : I R differenciálható I-n, úgy f pontosan akkor Lipschitz függvény I-n, ha itt a deriváltja korlátos. Ha f : S T és g : T U Lipschitz függvények a k illetve l paraméterekkel, akkor f g is Lipschitz a kl paraméterrel.

11 Kontrakciók 11 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények;

12 Kontrakciók 12 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ;

13 Kontrakciók 13 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k c n k m paraméterrel;

14 Kontrakciók 14 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon;

15 Kontrakciók 15 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon, akkor szorzatuk is az;

16 Kontrakciók 16 of 71 A Lipschitz tulajdonság PÉLDÁK LIPSCHITZ FÜGGVÉNYEKRE Az f : R R lineáris függvények; Az x n függvények minden [ a, a] R zárt intervallumon, k = na n 1 ; ha f 1,..., f n valós Lipschitz függvények a k 1,..., k n paraméterekkel, akkor tetszőleges c 1 f c n f n valós lineáris kombinációjuk Lipschitz a c 1 k c n k m paraméterrel; Egy polinom minden kompakt intervallumon; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon, akkor szorzatuk is az; Ha f, g Lipschitz az IR kompakt intervallumon és van olyan m > 0, hogy I-n g(x) m, akkor f g is;

17 Kontrakciók 17 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε.

18 Kontrakciók 18 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε. Állítás Metrikus térben minden konvergens sorozat Cauchy sorozat.

19 Kontrakciók 19 of 71 A Banach fixponttétel CAUCHY SOROZATOK Definíció (Cauchy sorozat) Az (S, ρ) metrikus térbeli x n sorozat Cauchy sorozat, ha ε esetén N N +, hogy n, m N, akkor ρ(x n, x m ) < ε. Állítás Metrikus térben minden konvergens sorozat Cauchy sorozat. Megjegyzés A fordított nem mindig igaz: példa Q-ban a 2 közelítő tizedes törtjei.

20 Kontrakciók 20 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens.

21 Kontrakciók 21 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa

22 Kontrakciók 22 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa E ω teljes metrikus tér a ρ 1 metrikával. 2

23 Kontrakciók 23 of 71 A Banach fixponttétel TELJES METRIKUS TEREK Definíció Egy metrikus tér teljes, ha benne minden Cauchy sorozat konvergens. Példa E ω teljes metrikus tér a ρ 1 metrikával. 2 R n a szokásos metrikával

24 Kontrakciók 24 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x.

25 Kontrakciók 25 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x. Definíció f : S S kontrakció, ha van olyan r < 1, hogy ρ(f (x), f (y)) rρ(x, y) minden x, y S esetén

26 Kontrakciók 26 of 71 A Banach fixponttétel A BANACH FÉLE FIXPONTTÉTEL Definíció Egy tetszőleges f : X X függvénynek x X fixpontja, ha f (x) = x. Definíció f : S S kontrakció, ha van olyan r < 1, hogy ρ(f (x), f (y)) rρ(x, y) minden x, y S esetén Tétel Nemüres teljes metrikus tér kontrakciójának egyértelműen létezik fixpontja.

27 Kontrakciók 27 of 71 A Banach fixponttétel A FIXPONTTÉTEL MEGFORDÍTÁSA Tétel Legyen S egy nem üres halmaz és f : S S olyan leképezés, melyre f -nek és minden f n iteráltjának létezik egyértelmű fixpontja. Ekkor minden λ (0, 1) értékre létezik S-en olyan ρ λ metrika, mellyes (S, ρ λ ) teljes és ρ λ (f (x), f (x)) λρ λ(x,y), minden x, y S esetén.

28 Kontrakciók 28 of 71 A Banach fixponttétel PÉLDA: A NEWTON ITERÁCIÓ

29 Affin transzformációk 29 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek.

30 Affin transzformációk 30 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés

31 Affin transzformációk 31 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés Ha L : R n R m egy lineáris leképezés, akkor létezik olyan n m-es L mátrix, hogy L(x) = Lx.

32 Affin transzformációk 32 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK I A következőkben a metrikus terünk R n az euklideszi távolsággal. Egy affin transzformáció egy lineáris leképezés és egy eltolás kompozíciója. Definíció Az L : R n R m leképezés lineáris transzformáció, ha minden x, y R n esetén teljesül az, hogy L(λx + µy) = λy + µy, ahol λ, µ R tetszőlegesek. Megjegyzés Ha L : R n R m egy lineáris leképezés, akkor létezik olyan n m-es L mátrix, hogy L(x) = Lx. Lineáris transzformáció egyenest egyenesbe visz.

33 Affin transzformációk 33 of 71 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor.

34 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor. Definíció Affin transzformáción egy A : R n R m, x (T a L)(x) leképezést értünk, ahol L : R n R m lineáris leképezés, T a pedig a-val eltolás R m -ben. Affin transzformációk 34 of 71

35 Alapfogalmak AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK II Definíció Eltoláson egy T a : R n R n, x x + a leképezést értünk, ahol a R n tetszőleges fix vektor. Definíció Affin transzformáción egy A : R n R m, x (T a L)(x) leképezést értünk, ahol L : R n R m lineáris leképezés, T a pedig a-val eltolás R m -ben. Megjegyzés Az affin leképezések mátrixos előállítása nyilvánvalóan adódik Affin transzformációk 35 of 71

36 Affin transzformációk 36 of 71 Alapfogalmak PÉLDA A SIERPIŃSKI HÁROMSZÖG AFFIN TRANSZFORMÁCIÓKKAL T 1 : T 2 : T 3 : [ x1 x 2 [ x1 x 2 [ x1 x 2 ] [ 1 ] [ ] [ ] 2 0 x x ] [ 1 ] [ ] [ ] x x ] [ 1 ] [ ] [ ] x x

37 Affin transzformációk 37 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika:

38 Affin transzformációk 38 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika: Belső szorzat:,

39 Affin transzformációk 39 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI I Jelölések: Euklideszi metrika: Belső szorzat:, Megjegyzés Egy T izometria az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = x y

40 R n izometriái R n IZOMETRIÁI II Állítás Ha T izometria és T (0) = 0, akkor Bizonyítás Használjuk az x, y = 1 2 összefüggést a képelemekre. T (x), T (y) = x, y. ( x 2 + y 2 x y 2) Affin transzformációk 40 of 71

41 Affin transzformációk 41 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI III Tétel Ha f : TR n R n izometria, akkor T affin leképezés és T (vecx) = Qx + b alakú, ahol Q ortogonális mátrix, b tetszőleges vektor.

42 Affin transzformációk 42 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI III Tétel Ha f : TR n R n izometria, akkor T affin leképezés és T (vecx) = Qx + b alakú, ahol Q ortogonális mátrix, b tetszőleges vektor. Bizonyítás. Legyen b = T (0). Ekkor a T 1 (x) = T (x) b leképezés is izometria, az előző állítás miatt megőrzi a belső szorzatot, így a normát is. Ha most {e i } a standard ortonormált bázis, akkor q i = T 1 (e i ) is ortornormált bázis.

43 R n izometriái R n IZOMETRIÁI III A BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA... folyt Ekkor minden x R n felírható n i=1 a iq i lineáris kombinációként, a koordináták az ortonormáltság miatt belső szorzatok, tehát a i = x, q i. Ekkor x-re alkalmazva T 1 -et: n T 1 (x) = T 1 (x), q i q i i=1 = = n T 1 (x), T 1 (e i ) q i i=1 n xq,, e i q i i=1 Affin transzformációk 43 of 71

44 Affin transzformációk 44 of 71 R n izometriái R n IZOMETRIÁI IV A BIZONYÍTÁS BEFEJEZÉSE Innen következik, hogy T 1 lineáris, a mátrixa Q és a mátrix oszlopai q i. Ebből pedig T (x) = T 1 (x) + b.

45 Affin transzformációk 45 of 71 R n hasonlóságai R n HASONLÓSÁGAI I Megjegyzés Egy S : R n R n hasonlóság az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = r x y, ahol r > 0 tetszőleges valós szám. Bizonyítás Legyen T (x) = 1 r (S (x) S (0)). Belátható, hogy ekkor T egy olyan izometria, amire T (0) = 0.

46 Affin transzformációk 46 of 71 R n hasonlóságai R n HASONLÓSÁGAI I Megjegyzés Egy S : R n R n hasonlóság az Euklideszi norma segítségével így írható fel: T(x) T(y = r x y, ahol r > 0 tetszőleges valós szám. Tétel Ha S : R n R n r-arányú hasonlóság, akkor S a következő alakban írható: S (x) = rqx + b, ahol Q egy ortogonális mátrix, b pedig egy vektor. Bizonyítás Legyen T (x) = 1 r (S (x) S (0)). Belátható, hogy ekkor T egy olyan izometria, amire T (0) = 0.

47 Definíciók DEFINÍCIÓK Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. Ha f R n -beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe. Folytonos görbék 47 of 71

48 Definíciók DEFINÍCIÓK Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. Ha f R n -beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe. Megjegyzés A szakaszonként affin függvények folytonosak. Folytonos görbék 48 of 71

49 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Folytonos görbék 49 of 71

50 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Folytonos görbék 50 of 71

51 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Folytonos görbék 51 of 71

52 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Folytonos görbék 52 of 71

53 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. Folytonos görbék 53 of 71

54 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. {g k } Cauchy-sorozat, mivel: ρ u(g n, g m) m 1 j=n 3 j < 3 k+1 2 Folytonos görbék 54 of 71

55 A Koch-görbe A KOCH-GÖRBE Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch-görbéhez. Bizonyítás A k-adik lépésben 4 k darab vonaldarabból áll a görbe; jelöljük őt P k -val.(p k P k+1 és a fordítottja sem áll fenn.) Osszuk a [0, 1] intervallumot 4 k darab azonos hosszúságú részintervallumra; definiáljuk a g k : [0, 1] R 2 függvényeket úgy, hogy minden részintervallumon a P k megfelelő szakaszát rendeljük hozzá, g k (0) a P k bal végpontja. Ez nyilván szakaszonként affin függvény lesz. Nyilván P 1 minden pontja távolsága P 0 -tól nem lehet 1-nél nagyobb, ezért ρ u(g 0, g 1 ) 1. Mivel a lépések során minden részintervallumot 3 k oldalhosszúságú sátrakkal helyettesítünk, indukcióval következik, hogy ρ u(g k, g k+1 ) 3 k. {g k } Cauchy-sorozat, mivel: ρ u(g n, g m) m 1 j=n 3 j < 3 k+1 2 Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens az uniform metrikában, ezért a határértéke folytonos. Folytonos görbék 55 of 71

56 A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Folytonos görbék 56 of 71

57 A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: Folytonos görbék 57 of 71

58 A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: 1 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 2 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2 3. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. 3 g k+1 (0σ) = g k(σ) 3 és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 3 Folytonos görbék 58 of 71

59 A Cantor-halmaz A CANTOR-HALMAZ Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp: 1 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 2 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2 3. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. 3 g k+1 (0σ) = g k(σ) 3 és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 3 A következők láthatók be : g k folytonos, Cauchy-sorozat, így konvegál, a határérték folytonos. Folytonos görbék 59 of 71

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor

Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 22. Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

Fraktálok. Klasszikus fraktálpéldák I. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék Fraktálok Klasszikus fraktálpéldák I Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 86 Bevezetés. 2 of 86 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés. Az önhasonlóságról intuitív módon Klasszikus

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Példák fraktálokra I. Czirbusz Sándor február 1. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Példák fraktálokra I Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. február 1. Vázlat 1 Mi a fraktál? 2 A konstrukció Egyszerű tulajdonságok Triadikus ábrázolás Transzlációk

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar

FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE

A Peano-görbe. Besenyei Ádám ELTE A Peano-görbe Besenyei Ádám ELTE A folytonos görbe kifejezés hallatán hajlamosak vagyunk először egy, a szó szoros értelmében egybefüggően megrajzolható vonalra gondolni. A görbe fogalma azonban a vártnál

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Szűcs Renáta. Fixponttételek

Szűcs Renáta. Fixponttételek Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szűcs Renáta Fixponttételek BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán

A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben