Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
|
|
- Lídia Szalainé
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán természetesen mindegyik változat egyenértékű. Tétel Legyen (X, <, >) egy skaláris szorzat tér K felett. Legyenek továbbá az X-beli ϕ k (k =,..., n, n N) elemek egymásra merőlegesek és egységnyi normájúak. Ekkor f λ k ϕ k = inf { f } µ k ϕ k : µ k K, k =,..., n akkor és csak akkor, ha λ k =< f, ϕ k > (k =,..., n). Megjegyzés: A skaláris szorzat tulajdonságai és < ϕ k, ϕ j >= { k j, k = j. miatt < f < f, ϕ k > ϕ k, ϕ j >= (j =,..., n). Ha az {ϕ,..., ϕ n } ortonormált vektorok által kifeszített alteret Y-nal jelöljük, akkor a fenti tétel a következőket jelenti:. Bármely X-beli f elemhez egyértelműen létezik Y-beli legjobban közelítő elem.. A legjobban közelítő elem az f-nek az Y-ra vett merőleges vetülete, ami az Y-t kifeszítő ϕ k vektorokra egyenként vett vetületek összege. Bizonyítás: Legyen K = R. Tekintsük f n µ kϕ k -nak önmagával vett skaláris szorzatát, és vegyük figyelembe, hogy < ϕ k, ϕ j >=, ha k j. Ekkor a skaláris szorzat tulajdonságait alkalmazva azt kapjuk,
2 hogy f µ k ϕ k =< f µ k ϕ k, f = f = f + µ k ϕ k > µ k < f, ϕ k > + µ k (µ k < f, ϕ k >) < f, ϕ k >. A jobb oldalon lévő három tagból az első és a harmadik nem függ a µ k együtthatóktól. A második tag négyzetek összege, aminek legkisebb értéke. Ez is csak úgy lehetséges, ha minden tag, azaz µ k =< f, ϕ k > (k =,..., n). A komplex eset hasonlóan igazolható. Következmény (Bessel-egyenlőtlenség): Mivel a fenti bizonyításban szereplő egyenlőség bal oldala nem negatív, ezért µ k =< f, ϕ k > választás mellett f < f, ϕ k > ϕ k = f Következésképpen: n < f, ϕ k > f. < f, ϕ k >. A Fourier-sor fogalma. Legyen (X, <, <) végtelen dimenziós tér, amelyben Φ = (ϕ k, k N) egy ortonormált rendszer. Egy X-beli f elemnek a Φ rendszerre vonatkozó k-adik Fourier-együtthatóját f(k)- val jelöljük, és a következőképpen definiáljuk: Az f(k) =< f, ϕ k > Sf = f(k)ϕk (k N). sort az f (Φ rendszerre vonatkozó) Fourier-sorának nevezzük. Az S n f = f(k)ϕ k (n N) k= véges összeget az Fourier-sor n-edik részletösszegének nevezzük. A Fourier-részletösszegeknek az előző tételben igazolt minimum tulajdonsága miatt nyilvánvaló, hogy az ( f S n f ) sorozat monoton csökken. Ebből azonban még nem következik, hogy határértéke, azaz
3 hogy f Fourier-sora normában f-hez konvergál. Az alábbi tételben megmutatjuk, hogy ha f egyáltalán előállítható normában konvergens sor alakjában, akkor a Fourier-sor is előállítja f-et. Tétel: Ha a λ k ϕ k sor normában f X-hez konvergál, akkor f Fourier-sora is f-hez konvergál normában. Bizonyítás: Az előző tétel alapján f f(k)ϕ k f k= λ k ϕ k. Ha tehát lim n f n k= λ kϕ k =, akkor lim n f n f(k)ϕ k= k = is teljesül. k= 3
4 4 A valós és a komplex trigonometrikus rendszer. A valós trigonometrikus rendszer:, cos kx, sin kx (x [, ], k =,... ). Tekintsük az R[, ] teret, azaz a [, ] intervallumon értelmezett integrálható függvények terét az < f, g >= fg (f, g R[, ]) skaláris szorzattal. Könnyű ellenőrízni, hogy a valós trigonometrikus rendszer elemei ortogonálisak ebben a térben, a normájuk azonban nem. A normával való leosztás után kapott, cos kx, sin kx (x [, ], k =,... ) rendszer már ortonormált rendszer. Az f R[, ] függvény Fourier-együtthatói: f(t) dt, Az f Fourier-sora: f(x) dx + f(t) cos kt dt, ( + f(t) sin kt dt, f(t) cos kt dt cos kx f(t) ) sin kt dt sin kx Egyszerűsíthetjük a jelöléseket, ha módosítjuk a Fourier-együtthatókat: Ekkor a k = b k = f(t) cos kt dt (k =,... ) f(t) sin kt dt (k =,... ). Sf(x) = a + (a k cos kx + b k sin kx). A Bessel-egyenlőtlenségnek a valós trigonometrikus Fourier-együthatókra vonatkozó alakja: a + (a k + b k) f (f R[, ]).
5 5 A komplex trigonometrikus rendszer: e ikx (x [, ], k Z). Az R[, ] elemei most legyenek komplex értékű integrálható függvények, a skaláris szorzat pedig < f, g >= fg (f, g R[, ]). A rendszer elemei ortogonálisak egymásra, a normálási tényező pedig. Az ortonormált komplex trigonometrikus rendszer tehát e ikx (x [, ], k Z). Hasonló okból, mint a valós esetben módosítsuk a Fourieregyütthatókat a következőképpen: c k = f(t)e ikt dt (k Z). Ekkor Sf(x) = k= c ke ikx (f R[, ]). Az n-edik részletösszegen most a -ra szimmetrikus részletösszeget fogjuk érteni, azaz S n f(x) = c k e ikx k=n (f R[, ]). A Bessel-egyenlőtlenségnek a komplex trigonometrikus Fourieregyüthatókra vonatkozó alakja: c k f (f R[, ]). Felhasználva az e ikx = cos kx + i sin kx (k Z) formulát nyilvánvaló, hogy az {e ikx : k = n,..., n} függvények és a {, cos kx, sin kx : k =,..., n} függvények ugyanazt a n + dimenziós komplex alteret feszítik ki. Ez alapján egyszerű kapcsolat teremthető ugyanazon függvény valós és komplex trigonometrikus Fourier-együtthatói között.
6 6 Nevezetesen c k e ikx = k=n ahonnan az k=n = c + c k (cos kx + i sin kx) ( (ck + c k ) cos kx + i(c k c k ) sin kx ) = a + (a k cos kx + b k sin kx), a k = c k + c k, b k = i(c k c k ) (k =,... ) összefüggések adódnak. Az alábbiakban a Fourier-sorok viselkedését a szerint periodikus folytonos függvényeken vizsgáljuk. Ezeknek a terét jelöljük C -vel. Tétel. Legyen f C olyan függvény, amelynek trigonometrikus Fourier-sora egyenletesen konvergens. Ekkor a Fourier-sor összege maga az f függvény. Bizonyítás. Mivel Sf egyenletesen konvergens, ezért a g határfüggvény folytonos és szerint periodikus. Alkalmazva az S n f(x) = a + n (a k cos kx + b k sin kx) jelölést számoljuk ki a g függvény j-edik (j ) cosinus együtthatóját: g(t) cos jt dt = = + + ( ) (g(t) S n f(t)) cos jt + S n f(t) cos jt dt (g(t) S n f(t)) cos jt dt a cos jt dt a k cos kt cos jt dt + b k sin kt cos jt dt. Legyen n j. Ekkor az ortogonalitás miatt a jobb oldalon majdnem minden tag. Ezeket elhagyva az kapjuk, hogy g(t) cos jt dt = (g(t) S n f(t)) cos jt dt + a j.
7 Az egyenletes konvergencia és az integrálás kapcsolatára vonatkozó tételt alkalmazva Következésképpen lim n (g(t) S n f(t)) cos jt dt =. g(t) cos jt dt = a j. Hasonlóan igazolható, hogy f és g sinus együtthatói is megegyeznek. Azt kaptuk tehát, hogy f és g Fourier-együtthatói megegyeznek. A bizonyítás befejezéséhez az alábbi tételt kell igazolni. Tétel. Ha egy C -beli függvény minden Fourier-együtthatója, akkor a függvény az azonosan függvény. Bizonyítás. Tegyük fel indirekt, hogy h olyan szerint periodikus nem azonosan folytonos függvény, amelyiknek minden Fourieregyütthatója, azaz h(t) dt =, h(t) cos kt dt =, h(t) sin kt dt = minden k =,... esetén. A feltételek szerint van olyan u pont, amelyben a h értéke nem. A h beszorzásával elérhetjük, hogy ebben a pontban a függvényérték pontosan. Az integrál homogenitása miatt a Fourieegyütthatók mindegyike marad a beszorzás után is. Feltehetjük tehát, hogy a h(u) = feltétel eleve teljesül. A továbbiakban megmutatjuk, hogy u = is feltehető. Trigonometrikus polinomnak nevezzük a P(x) = ( λk cos kx + µ k sin kx ) (λ k, µ k R, k =,..., n, n N) k= alakú függvényeket. Természetesen minden trigonometrikus polinom eleme a C térnek. Megjegyezzük, hogy a trigonometrikus polinomok eltoltjai is trigonometrikus polinomok. Valóban, a cos k(x + s) = cos ks cos kx sin ks sin kx, sin k(x + s) = sin ks cos kx + cos ks sin kx 7
8 8 azonosságok miatt P(x + s) = = ( λk cos k(x + s) + µ k sin k(x + s) ) k= ( (λk cos ks + µ k sin ks) cos kx k= + (λ k sin ks + µ k cos ks) sin kx ), ami szintén trigonometrikus polinom. Mivel h minden Fourier-együtthatója, ezért az integrál linearitása miatt minden P trigonometrikus polinom esetén is h(t)p(t) dt = teljesül. Tekintsük most a h-nak az u-val való eltoltját: h (t) = h(t + u) (t R). Ekkor h () = és h C. Másrészt bármely P trigonometrikus polinom esetén h (t)p(t) dt = h(t + u)p(t) dt = = +u +u =. h(t)p(t u) dt h(t)p(t u) dt Az utolsó egyenlőségnél használtuk ki, hogy P(t u) maga is trigonometrikus polinom. Megállapíthatjuk tehát, hogy a h minden Fourier-együtthatója. Ezek után feltehetjük, hogy a kindulási h függvény az eddigieken kívül eleget tesz a h() = feltételnek is. Meg fogjuk mutatni, hogy van olyan trigonometrikus polinom, amelynek a h-val való szorzatintegrálja nem. Ez ellentmond a h-ra fent tett megállapításnak. Mivel h folytonos, ezért van olyan δ >, amely esetén f(t) > teljesül minden t < δ számra. Legyen ezek után T n (t) = ( cos δ + cos t) n (t R, n N). Indukcióval könnyen igazolható, hogy T n pontosan n-edfokú trigonometrikus polinom.
9 9 Bontsuk fel a ht n integrált részekre az alábbi módon h(t)t n (t) dt = h(t)t n (t) dt ( ( = I I I 3. + h(t)t n (t) dt + h(t)t n (t) dt) h(t)t n (t) dt + + ) h(t)t n (t) dt Ha t δ, akkor h(t) és T n(t) >. Következésképpen I δ = δ. I becsléséhez jelölje M a h folytonos függvénynek a [, ] intervallumon vett maximumát. δ t δ + ɛ estén T n (t). Következésképpen I ɛm. Az I 3 esethez vegyük észre, hogy max{ cos δ + cos t : δ + ɛ t } = max{ cos δ + cos(δ + ɛ), cos δ} = q <. Ennek alapján: I 3 Mq n. Összefoglalva h(t)t n (t) dt δ ɛm Mq n. Ha ɛ δ 8M és qn δ 8M, akkor h(t)t n (t) dt δ >. Azzal, hogy ellentmondásra jutottunk bebizonyítottuk, hogy a tétel állítása igaz. Megjegyzések.. Azt, hogy a C -beli függvények közül csak az azonosan függvény az, amelyiknek az összes Fourier-együtthatója, röviden úgy mondjuk, hogy a trigonometrikus rendszer teljes a C térben.
10 . A most bebizonyított tétel azt is jelenti, hogy a C téren a Fourier transzformácó, azaz a függvényhez a Fourieregyütthatókat rendelő transzformáció, invertálható. A továbbiakban két olyan feltételt nézünk meg, amelyek biztosítják a Fourier-sor egyenletes konvergenciáját. Ezek közül az első a Fourieregyütthatókra vonatkozik. Állítás. Ha egy szerint periodikus folytonos függvény Fourieregyütthatóiból képezett numerikus sor abszolút konvergens, akkor a függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál a függvényhez. Bizonyítás. Jelöljük az f C függvény Fourier-együthatóit a szokásos módon a k -val (k =,... ) és b k -val (k =,... ). Tegyük fel, hogy ( a k + b k ) <. Mivel a k cos kx + b k sin kx a k + b k (x R, k =,... ), ezért a függvénysorok egyenletes konvergenciájára vonatkozó majoráns kritérium szerint f Fourier-sora egyenletesen konvergens, ami az előző tétel alapján egyben azt is jelenti, hogy magához az f függvényhez konvergál. Példa. Legyen f C, f(x) = x ( x ). Ekkor a = x dx = 3 és b k = x sin kx dx = (k =,... ). Kétszeres parciális integrálással könnyen megkapjuk az a k együtthatókat: a k = x cos kx dx = 4 k ()k (k =,... ). Teljesülnek az előző állítás feltételei, ezért a függvény Fourier-sora konvergens. Természetesen ekkor a Fourier-sor a pontban f() = -hoz konvergál, azaz = a + a k = k ()k = (k) 4 (k ).
11 Ez lehetőséget teremt a A = Vezessük be ugyanis az A = ezért Innen a k (k) = 4 k jelölést. Mivel k = A 4, (k ) = A A 4 = 3 4 A. = A A egyenletre jutunk, amiből az A = 6 Állítás. Ha f C sorösszeg kiszámolására. eredmény adódik. kétszer folytonosan differenciálható, akkor f Fourier-sora egyenletesen konvergál f-hez. Ez az állítás a fent jelzett másik elégséges feltétel a Fourier-sor egyenletes konvergenciájára. Bizonyítás. Tekintsük például a b k együtthatókat. Parciális integrálással azt kapjuk, hogy b k = f(t) sin kt dt = [ cos kt ] f(t) + k k = [ cos kt ] f(t) + k k [ f (t) f (t) cos kt dt sin kt ] k k f (t) sin kt dt. Mivel az első kiintegrált tag f() = f(), a másik pedig sin(±k) = miatt, ezért b k = f (t) sin kt dt (k =,... ). k Következésképpen b k k f (t) dt (k =,... ), amiből b k < adódik. Hasonló eredmény kaphatunk az a k -kra is. Az előző állítás feltételei
12 teljesülnek, tehát az f Fourier-sora egyenletesen konvergál f-hez. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a bizonyítás során kapcsolatot kaptunk adott differenciálható függvény és deriváltjának Fourieregyütthatói között.
13 Pontonkénti konvergenciára vonatkozó lokális feltételek. A Dirichlet formula. Legyen f C. A definíció alapján S n f(x) = a + (a k cos kx + sin kx) = = = f(t) dt + + ( f(t) cos kt dt cos kx ) f(t) sin kt dt sin kx ( ) f(t) + cos kt cos kx + sin kt sin kx dt ( ) f(t) + cos k(x t) dt Az utolsó szummát zárt alakra hozhatjuk: D n (u) = + cos ku = sin u = sin u ( sin u + cos ku sin u ) ( sin u + ( sin(k + )u sin(k )u)) = sin(n + )u sin u ( < u, n =,... ). A -beli függvényértékkel kiegészítve a kapjuk az úgynevezett n-edik Dirichlet-féle magfüggvényt: sin(n + )u D n (u) = sin u u, n + u =. Segítségével egyszerűen kifejezhető az n-edik Fourier-részletösszeg: S n f(x) = f(t)d n (x t) dt. 3
14 4 Tétel. Ha egy szerint periodikus függvény egy pontban differenciálható, akkor abban a pontban a Fourier-sora az ottani függvényértékhez konvergál. Bizonyítás. A D n definíciójából nyilvánvaló, hogy Legyen az f C Ekkor S n f(x) f(x) = = = = D n (t) dt = dt =. függvény differenciálható az x pontban. f(t)d n (x t) dt f(x) f(t)d n (x t) dt ( f(t) f(x) ) Dn (x t) dt f(t) f(x) t x t x sin xt f(x)d n (x t) dt sin(n + )(x t) dt. Az átalakítás a t = x pontban is érvényes úgy, hogy mind a két tört esetén az x pontbeli határértéket kell venni. Ez az első tört esetén az f függvény x-beli differencálhatóságából következik, a másik tört határértéke pedig közismerten. Legyen f(t) f(x) t x g(t) = t x sin xt t, t x, f (x) t = x. g nyilvánvalóan folytonos függvény a [, ] intervallumon. segítségével a fenti eredmény a következő formában írható: S n f(x) f(x) = = g(t) sin(n + )(x t) dt g(t) sin(n + )x cos(n + )t dt g(t) cos(n + )x sin(n + )t dt. A g
15 Az utolsó tényezők felbontása után végül azt kapjuk, hogy S n f(x) f(x) = g(t) sin(n + )x cos t cos nt dt g(t) sin(n + )x sin t sin nt dt g(t) cos(n + )x cos t sin nt dt g(t) cos(n + )x sin t cos nt dt. Mind a négy tag felfogható úgy, mint egy rögzített, a [, ] intervallumon folytonos tehát egyben integrálható függvénynek az n-edik Fourier-együtthatója. Az első tagban levő függvény például 5 h (t) = sin(n + )x g(t) cos t ( t ). A Bessel-egyenlőtlenségből következik, hogy bármely integrálható függvény Fourier-együtthatóinak a sorozata -hoz tart. Ezzel bebizonyítottuk, hogy lim S nf(x) f(x) =. n
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenValós függvénytan Elektronikus tananyag
Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenFourier-sorok Horv ath G abor 1
Fourier-sorok Horváth Gábor 1 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Szakdolgozatom során periodikus függvények egyfajta közelítésével fogunk foglalkozni. Amíg a Taylor-sornál a függvényeket hatványsor alakban állítjuk
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +
. Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenElérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont
Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenItô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
Részletesebben