Centrális határeloszlás-tétel
|
|
- László Bogdán
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a nagy számok törvényei és a centrális határeloszlás-tétele. Az első szerint független, azonos eloszlású változók számtani átlaga egy konstanshoz tart. Mi történik azonban, ha az összeget nem a tagok számával osztjuk? Ez a kérdés a valószínűségszámítás talán legjelentősebb problémája, amelyre többször vissza fogunk térni. Ebben a fejezetben feltételezzük, hogy a közös eloszlásnak van szórása, az általános eset vizsgálatát a következő fejezetekre hagyjuk. Ha feltesszük, hogy van szórás, és az összeget standardizáljuk, akkor az így kapott változó a standard normális eloszláshoz tart. Mivel független változók varianciája összegződik, ilyenkor a normalizáló konstans Az, hogy az összeget éppen -nel kell normalizálni, igen fontos! A centrális határeloszlás tétele statisztikai tétel, vagyis bizonyos, célszerűen megadott formulák határeloszlását megadó matematikai állítás, és nem természeti törvény. Ez a megjegyzés azért is fontos, mivel ez alapján a tétel általánosításai, a stabil eloszlásokhoz való konvergenciát leíró tételek, jóval érthetőbbek és természetesebbek, hiszen csak annyit mondanak, hogy ha nincsen szórás, akkor más normalizáló konstanst kell alkalmazni, és ilyenkor nem a normális eloszlást, hanem egy rokon eloszlástípust fogunk kapni. Ugyancsak hangsúlyozni kell, hogy a tétel eloszlásokról, és nem változókról, szól. Mivel a valószínűségszámítást az eloszlásokról szóló matematikai területetként definiáltuk, bizonyos értelemben joggal mondhatjuk, hogy a centrális határeloszlás-tétele a leginkább valószínűségszámítási tétel Egydimenziós határeloszlás-tételek Először a legegyszerűbb esetet vizsgáljuk, megmutatjuk, hogy tetszőleges független, azonos eloszlású, szórással rendelkező valószínűségi változók standardizált összege gyengén tart a normális eloszláshoz. Alapvetően támaszkodni fogunk a korábbi fejezetek eredményeire, nevezetesen arra, hogy ha eloszlások sorozatának karakterisztikus függvénye pontonként az Ü függvényhez tart, akkor az eloszlások sorozata gyengén tart az Æ µ eloszláshoz. 577
2 578 º ÆÌÊýÄÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄ Karakterisztikus függvény sorbafejtése A normalizáló konstans szoros kapcsolatban van az összeadandó váltózók Πܵ È Üµ farokeloszlásának nagyságrendjével. Az, hogy a változónak van szórása, tulajdonképpen a Î nagyságrendjére vonatkozó megkötés. Mivel a tételekben a farokeloszlások játszák a meghatározó szerepet, nem véletlen, hogy a tételek legegyszerűbb bizonyítása a Fourier-transzformációra épül. Miként folyamatosan hangsúlyozzuk, a Fourier-transzformáció lényege, hogy a Î végtelenben való nagyságrendje szoros kapcsolatban van a karakterisztikus függvény origóban való simaságával. º ÄÑѺ Ha a változónak létezik az Ñ-edik momentuma, akkor a ³ karakterisztikus függvényére Ñ µ ³ µ Å µñ µ Ñ ahol az függvényre fennállnak a és az Å Ñ µ összefüggések, tehát ³ µ ÐÑ µ (13.1) Ñ ³ µ µ Ó Ñ µ (13.2) Speciálisan, ha az eloszlásnak van szórása, akkor a karakterisztikus függvénye másodrendben közelíthető a Taylor-polinomjával. Bizonyítás: Tekintsük az Ü Ùµ Ó Ù Ù Taylor-polinomját: Ó Ù Ù Ù Ù Ù ÙÑ Ñ Ó Ñµ Ùµ Ùµ Ù Ù ÙÑ Ñ Ñµ Ùµ Ùµ ahol Ùµ és Ùµ Ebből Ü Ùµ Ù Ùµ Ùµ Ùµ ÙµÑ Ó Ñµ Ùµ Ùµ ѵ Ùµ Ùµ Ñ Vegyük észre, hogy a második sorban szereplő Lagrange-féle maradék Ùµ Ñ Ó Ùµ Ùµ Ùµ Ùµ Ñ
3 ºº ÁÅÆÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄà 579 alakú, ahol a Ùµ illetve a Ùµ a Ùµ illetve a Ùµ értékek valamelyike. Az Ù µ értéket véve, majd mind a két oldal várható értékét képezve: ahol ³ µ Ñ µ Å µñ µ Ñ µ Å Ñ Ó µ µ µ µ µ Ha akkor a várható értékben szereplő kifejezés nullához tart. Mivel a feltétel szerint a -nek létezik az Ñ-dik momentuma, és ezért a Ñ integrálható, így az Ñ Ó µ µ µ µ Ñ becslés alapján a várható érték alatti kifejezésnek van integrálható majoránsa, és így a határérték bevihető az integrál mögé, vagyis 1 ÐÑ µ Å ÐÑ Ñ Ó µ µ µ µ Azonos eloszlású független valószínűségi változók Legyen tetszőleges olyan eloszlás, amelynek létezik szórása, és legyen µ eloszlású, független változók sorozata. Jelölje a közös szórást, a közös várható értéket, Ë az első változó összegét, vagyis Ë È és tekintsük a standardizált Ë µ változót. Ha ³ jelöli az karakterisztikus függvényét, akkor ³ µ ³ Ü Az egyszerűbb jelölés céljából felthető, hogy A lemma alapján ³ µ µ Ó Ó amiből ³ µ Ó 1 Vegyük észre, hogy a bizonyítás során azt is igazoltuk, hogy ha létezik az Ñ-edik momentum, akkor a karakterisztikus függvény Ñ-szer deriválható. Ha ezt tudjuk, akkor a (13.2) már teljesül, ugyanis ez tetszőleges Ñ-szer deriválható függvényre érvényes. Az, hogy egy Ñ-szer deriválható Ê Ê függvényre teljesül a (13.2) a legegyszerűbben úgy igazolhatjuk, ha észrevesszük, hogy az Ö Ñ Üµ ܵ Ì Ñ Üµ maradék első Ñ deriváltja az Ü pontban és az Ö Ñ Üµ Ü Ñ hányadosra Ñ µ-szer alkalmazzuk a l Hôpital-szabályt, majd az Ñ-edik lépésben felhasználjuk, hogy az Ö Ñ µ Ñ függvény a pontban deriválható.
4 580 º ÆÌÊýÄÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄ Ha és akkor µ következésképpen, ha akkor minden -re tehát minden -re ³ µ Ó Ó ³ µ Ü vagyis a folytonossági tétel alapján érvényes a következő: (13.3) º Ìк Ë Þ Ö Ð ÖÐÓ ÞÐ ¹Ðµ Ha µ szórással rendelkező, független, azonos eloszlású változók egy sorozata, akkor az standardizált változó eloszlása gyengén tart az Æ µ eloszláshoz. º Èк A eloszlás közelítése normális eloszlással. Ha Æ µ akkor Å Å ezért amiből az È változó eloszlása gyengén tart az Æ µ eloszláshoz. Ebből következően, ha À jelöli a eloszlásfüggvényét, akkor elég nagy -re À ܵ È Ü È Ü Ü ahol a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. º Èк A eloszlás közelítése normális eloszlással. Tekintsük a ܵ Û Ü folytonos függvényt, és Æ µ legyen az előző példában szereplő standardizált sorozat. A deriválható az pontban, tehát az Ü µ µ ٠ܵ Ü ha Ü µ ha Ü függvény folytonos. A Cramér-lemma 2 elemi verziója szerint, ha akkor Û 2 V.ö.: lemma, 677. oldal.
5 ºº ÁÅÆÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄà 581 Az Ù folytonos, tehát 3 Ù µ Û Ù µ µ Ugyancsak a Cramér-lemma szerint Û Ù µ µ Æ µ vagyis Ö Ö Ö Æ µ Ö Ö µ Û µ Æ µ ami másképpen Ha a eloszlásfüggvénye, akkor ܵ È Üµ È Û Æ µ Ü Ü Ebből ugyanakkor a À eloszlásfüggvényére a À ܵ È Ü È Ü Ü becslést kapjuk. º Èк Diszkrét bolyongás origóba való visszatéréseinek átlagos száma. Legyen Û µ az origóból kiinduló valószínűséggel értékkel változó bolyongás. A diszkrét Tanaka-formula 4 szerint Û Û µ Û Û Î ahol Î az időpontig az origóba való visszatérések száma. Mivel a centrális határeloszlás-tétel szerint Û Û Æ µ ezért 5 Û Û Æ µ 3 V.ö.: állítás, 511. oldal. 4 V.ö.: példa, 405. oldal. 5 V.ö.: állítás, 511. oldal.
6 582 º ÆÌÊýÄÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄ Ugyanakkor Û Û tehát a sorozat egyenletesen integrálható. A Szkorohod-reprezentáció következménye 6 miatt Û Å Å Æ µµ Ü Ü Ü Ü Ö A Tanaka-formulában az első tag martingál, és ezért a várható értéke nulla, tehát következésképpen Å Û µ Å Î µ Å Î µ Ö Például ha, akkor Å Î µ vagyis az időpontok kevesebb mint ±-ban lesz a bolyongás az origóban. º Èк Standardizált Poisson-eloszlás határértéke. A paraméterű Poisson-eloszlás karakterisztikus függvénye Ü Ü µ µµ és mivel az eloszlás várható értéke a szórása, ezért a standardizált változó karakterisztikus függvénye ³ µ Ü Ü Ü Ü Ü Ü µ Ó Ü Ó tehát ÐÑ ³ µ Ü º Èк A függetlenség helyett nem írható korrelálatlanság. 6 V.ö.: következmény, 491. oldal.
7 ºº ÁÅÆÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄà 583 Ha Šȵ µ akkor a Ó Üµ sorozat ortogonális, vagyis ha Ñ akkor Å Ñ µ Å µ Å Ñ µ és a változók eloszlása azonos, ugyanis tetszőleges -ra Ó Ü Ü Ó Ù Ù Ó Ü Ü így Meyer tétele 7 alapján tetszőleges Borel-halmazra È µ Ó Ü Ü Ó Ü Ü È µ Az (1.4) miatt amiből Å µµ ÑÑ µ ܵ ܵ È Å µµ ÑÑ és mivel a pontonként konvergenciából következik a gyenge konvergencia, ezért az nem tart a normális eloszláshoz. Fontos hangsúlyozni, hogy az Æ µ csak a gyenge konvergencia szerint teljesül, vagyis csak a változók eloszlására érvényes, és nem magukra a változókra. º ýðð º Nincs olyan normális eloszlású változó, amely az µ standardizált sorozat sztochasztikus konvergenciában vett határértéke, vagyis nincs olyan hogy ha akkor 8 ÐÑ È µ Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy a centrális határeloszlás-tétel bizonyítása szempontjából érdektelen, hogy az egy rögzített µ sorozat részletösszeg sorozata, vagy hogy minden -re különböző µ azonos eloszlású, független változók összege. A bizonyításban egyedül csak annak volt szerepe, hogy az karakterisztikus függvénye azonos eloszlású változók karakterisztikus függvényének szorzata. A jelen állítás igazolására rátérve, ha az állítással ellentétben található lenne egy 7 Felhasználva, hogy a µ család korlátos. V.ö.: példa, 45. oldal. Természetesen közvetlenül a nívóhalmazok vizsgálatából is egyszerűen belátható, hogy az eloszlások azonosak. 8 Az állítás némiképpen meglepő, ugyanis ellentmondani látszik a Szkorohod-reprezentációnak. Ugyanakkor nincsen ellentmondás, ugyanis a Szkorohod-reprezentáció szerint létező sorozat nem lesz független, azonos eloszlású változók normalizált összege. Ennek oka, például, hogy az eloszlások összegére nem érvényes a törlési szabály, stb.
8 584 º ÆÌÊýÄÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄ amelyre È akkor az È is teljesülne. A sztochasztikusan konvergens sorozatok lineáris teret alkotnak 9, így ahol È Ez alapján È Másrészt azonban A centrális határeloszlás-tétel alapján, felhasználva a jelen bizonyítás elején tett megjegyzést, az és az karakterisztikus függvénye a Æ µ karakterisztikus függvényéhez tart. Az és a változók függetlenek, hiszen nem tartalmaznak közös összeadandót, így 10 ³ µ Ü Ü Ü vagyis az nem tart gyengén a Æ eloszláshoz, ami ellentmondás, mivel a sztochasztikus konvergenciából következik a gyenge konvergencia Véletlen tagszámú összegek A centrális határeloszlás-tétel nagyszámú általánosítása szinte átláthatatlan, és vizsgálatuk önálló matematikai területnek tekinthető. Az általánosítások egyik iránya a véletlen tagszámú összegekre vonatkozik. Az ilyen kiterjesztések közül a legegyszerűbb a következő 11 : º ýðð º Tegyük fel, hogy a µ sorozatnak van határeloszlása, vagyis alkalmas eloszlásra Û Ha µ a µ sorozattól független, Æ értékű változókból álló sorozat, amelyre akkor µ µ µ Û 9 V.ö.: következmény, 117. oldal. 10 V.ö.: következmény, 503. oldal. 11 Az állításban a kulcs feltétel, hogy az összegzésben szereplő tagszámokat megadó változók függetlenek az eredeti sorozattól!
9 ºº ÁÅÆÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄà 585 Speciálisan, ha µ független, azonos eloszlású, szórással és várható értékkel rendelkező változók sorozata, akkor µ È µ µ µ µ Û Æ µ ahol, miként az állítás első felében, a µ olyan Æ értékű, a µ sorozattól független sorozat, amelyre Bizonyítás: Vezessük be a È µ valószínűségeket. A bizonyítás érdemi részeként meg fogjuk mutatni, hogy ha konvergens számsorozat, akkor ÐÑ (13.4) Ez, valamint a µ és a µ függetlensége alapján, ha Ü az folytonossági pontja, akkor È Üµ È Ü µ È Ü µ È Üµ È µ È Üµ ÐÑ È Üµ ܵ A (13.4) igazolása a következő. A È µ sorozatokat tekinthetjük a Ã Æ pontokra koncentrálódott reguláris valószínűségi mértékeknek. A à kompakt metrikus tér, ezért a È µ rendelkezik gyenge konvergenciában konvergens részsoro- zattal. A miatt tetszőleges Æ pontra ÐÑ következésképpen 12 Û a sorozatnak egyetlen torlódási pontja van Æ és így È Æ Az µ tekinthető a à téren értelmezett folytonos, korlátos függvénynek, következésképpen Lokális alak Ã È Ã Æ A centrális határeloszlás-tétele az eloszlásfüggvények konvergenciáját vizsgálja. Milyen további feltételek mellett konvergálnak a sűrűségfüggvények? 12 Minden zárt halmazra teljesül a ÐÑ Ù È µ Æ µ ugyanis ha akkor Æ µ ha akkor a zártsága miatt a véges számú elemet tartalmaz, ezért ÐÑ Ù È µ
10 586 º ÆÌÊýÄÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄ º Èк A gyenge konvergenciából általában nem következik a sűrűségfüggvények konvergenciája. Emlékeztetünk, hogy még egyenletesen konvergens sorozatokat sem lehet feltétlenül tagonként differenciálni. Tekintsük az ܵ Ó Ü Ü µ sorozatot. Ekkor, ha Ü µ akkor Ü Üµ Ó µ Ü Ü Ü Evidens módon az eloszlásfüggvény, és egyenletesen tart a -en sűrűségfüggvényhez tartozó eloszláshoz, de az sorozat majdnem mindenhol divergál 13. Ha a ³ integrálható, akkor érvényes a karakterisztikus függvényt és a sűrűségfüggvényt összekötő ܵ ³ µ Ü Üµ Ê inverziós formula. Ilyenkor az korlátos, folytonos függvény. A sűrűségfüggvények konvergenciájának igazolása az alábbi észrevételre épül: º ýðð º Ha az µ eloszlások ³ µ karakterisztikus függvényei integrálhatóak, az eloszlás ³ karakterisztikus függvénye szintén integrálható és ³ ³ Ê ³ µ ³ µ (13.5) akkor az µ eloszlások µ sűrűségfüggvényei egyenletesen tartanak az eloszlás sűrűségfüggvényéhez. Bizonyítás: Az inverziós formula alapján ܵ ܵ Ê Ü Üµ ³ µ Ê ³ µ ³ µ Ê Ü Üµ ³ µ º Èк Ha a karakterisztikus függvények konvergálnak, de a (13.5) nem teljesül, akkor a sűrűségfüggvények nem feltétlenül konvergálnak. 13 V.ö.: példa, 129. oldal.
11 ºº ÁÅÆÁË ÀÌýÊÄÇËÄý˹ÌÌÄà 587 Legyen olyan páros sűrűségfüggvény, amelynek a ³ karakterisztikus függvénye pozitív 14. Tekintsük az Ó Ü Üµ ³ µ ܵ képlettel definált függvényt. Az nem negatív, és Ê Ê Üµ Ü ÊÊ Üµ Ü Ê Üµ Ó ÜÜ ³ µ ³ µ ³ µ következésképpen az egy eloszlás sűrűségfüggvénye. Az szintén páros, a karakterisztikus függvénye Ê ³ Ùµ Ê Üµ Ó Üµ Ó ÙÜÜ ³ µ Ê ³ Ùµ Ê Üµ Ó Ü Ó ÙÜÜ ³ µ A Riemann Lebesgue-lemma alapján ³ Ùµ Ê Ê Üµ Ó Ù µ Ü Ó Ù µ Üܵ ³ µ ³ Ùµ ³ Ù µ ³ Ù µ ³ µ ÐÑ ³ Ù µ ܵ Ó Ù µ ÜÜ Ê tehát ÐÑ ³ Ùµ ³ Ùµ de a koszinuszos tag miatt a ÐÑ Üµ határérték nem létezik. º ýðð º Ha az eloszlás ³ karakterisztikus függvénye nem negatív, akkor a ³ integrálhatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy az eloszlásnak legyen korlátos sűrűségfüggvénye. Bizonyítás: Az egyik irány része az inverziós formulának. Miként beláttuk, ha a ³ integrálható, akkor az -nek van korlátos sűrűségfüggvénye 15. Tegyük fel, hogy ³ Ê és hogy az -nek van korlátos sűrűségfüggvénye. Induljunk ki az ³ µ Ê Ü Üµ ܵ Ü definícióból. Az Æ µ eloszlás sűrűségfüggvényével beszorozva és integrálva Á Ê ³ µ Ü Ê Ê Ü Üµ ܵ Ü 14 Ilyen például a normális eloszlás sűrűségfüggvénye. 15 Ilyenkor a ³ -ra nincs szükség. Ü
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenItô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Részletesebbenhogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.
A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebbenü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü
ü ű ü ű ü ü ü ü Á ü ü ű ű ü ü ü Á ű ü ü ü ű Ü É É Á Á Á Á É Á Á Ő É É É Á É Á É Á É Á ű É É Á Á É É É Á É Á É Á É Á Á ü ű ű ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü ű ü ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ű ü
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebbenö é é ú ö ú Ü ő ű ó ő é ó ú ó ó é é é ó ö é ó é ó é ő ő é ü é ó é ó ő ű é Ó é ü é ó é ü ó ó é ü ó é ő é
Á Á ö Á É Á É ú Á Á ö é é ú ó Á é ú é ó ú ő é é ú é ü é ó ó ó ő é ó ó ó é ó é é ó ó é é ó é ü ü ü ő ó é é Ó ő é é ö ö ő é é é é é ú ő ő é é ó ü ú ő é ö é ő ö ü é ő é é ú ő é ü é ü Ú é ö ö é é ü ó ö é é
Részletesebbenú ü ő ú ú ü ő
É É ú ü ő ú ú ü ő ú ú ú ő ő ú ü ő Ö Ö Ó Ó É É ő É É É É É É É É É ő É É É É ű ű ő ő ú ú ü ú ő ő ő ü ő ú ő É ő ő ü ű ő ő ő ü ü ő ü ő ü ő Ö ő ő ű ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ú ü ő ü ü ő ü ü ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ő
Részletesebbenő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú
ú ú Á ö ő ő ú ú ő ö ö ö ö ő ö ü ű ü ö ú ö ö ű ü ő ő ő ő ú ő ü ő ő ő ő ő ü ő Ö ő ö ü ő ö ő ú ő ö ü ö ö ö ü ő ö ü ö ő ú ö ö Ú ő ö ö ő ö ű ő ő ű ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ü ű ű ü ő ü ü ő ö ú ű ö ö ő ü ő ü ü ő
RészletesebbenÓ ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö Ö Á Ó Ü Ó Ó Ö Ó Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ó Ó Ó É Ü ű Ó ú
Á É É É Ü Á Ü Ü ű Í Ó Ü ű Ó Í Ú Ü Ó ű ú Ü ű ö Ó ö ű ű Ó Ó Ó Ő ű Ó Ö ö Ó Ö Ü Í Ü Ó Ü Á Í Ó ü Ú Ó ű ú Ó úü Ó Ú ü Í ű Í Ő Ó Ó Ó Ó Ü ú Í Í Í Ó ö ű Ü Ó Ó Ö Ö Í Ó Ö Ú Ö Ű Ü Ö Ö ö Ü Ó Í ö Ü Í Ü Ú Ö Í Ó Ó Ó Ö
Részletesebbené é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü é ü é í é é é é í é ü é é ü ü é ü ű é é é ű ü é ü ü é ű é ü é éú é ü é ü ű é ü é éú é é é
é Ö é ü é é é ü é í é Ó é Ö é Ú Á é í í ü é é é é ü ü é é é ü é é é ü é ü é í ü é é ü é ü í ü é ü ű é ü ú ü é Í ú ú é ü é é é é í ü é é ü é é é é é é í é ű ü ü é ú é í é ü ü é í ű é é é é é é é é ü é ü
Részletesebbenú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú
ú É ú ü ú ü Í ü ú Ú ú ú ü ü ú ü Í ü ú ü ú ü ú ü ü ű ü ú ű Í ü ü ú ű ü ű ű ü ü ü ü ű ú Ú ú Í ú É Í Á Á Í É Á Á Á Í Á Ó Á Á É Á Á É É ű Á É É ú É É Á Á ú Á ü Á Á Á Á Ú É ü ú ú É É ú Ú Á Á É Á É Ó Ú ú Ú Í
Részletesebbenö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü
Í ö ü ó ü ó ö Ö Í ó ö ü ö ö ó ó ü ó Í ö ö ö ó Á ü ü ó ö Í ó ö ó ü ó ó ó ö ö ü ü ö Ó Í Í ü ö ö ö ó ü ó ü ö Ö ö ü Ü ö ö ü ó Í ö ö ö ó Ü ö ö ö ó ó ó ó ü ó Ü ö Ü ó Á Á ö ö ö ó ó ó ó ó ó ö ó ű ó ö ö ö ö ü ú
Részletesebbenö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í
ú ö ű ö ő ö í Á Ü ú Á Á Á ö É É í É É Á ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á Á É ő ö í ő ö ő ö í ü ő ö ő ö ő ü ö ő ö í ő ő ő ö í ő ő ú ö ű ö ő ö í ö í Á Á Á ö É É í É Á Á Á Á ö ö ú ö ű ö ő ö ö ő í ö í ö í ő ö ü
Részletesebbenó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í
Á Á É ó Á ö ú ú ö ö Í ó ö ö í Á ó Á ü ú ü ö ó ú í ó ú í ó ű í ú ó Á ó Á ü ú ó ö í ó í ó í í ü ü í ó ó í ó ó í í Á ö í ö ó ú í ó ó í ö ö í ó ó í í ü ü í ó Á ü ü ü Í ö í ü ó í ű ö ó ó ó ö í ö ó í ó ü ó í
Részletesebbenö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í
Á É ö úú í ö ö í ű í ú ű Ő ű ű ű Ú ö ö í í í í ö í í í í í í í í ö ú ö í í í í í ö ö ü í ö í ö í í í ü í í ö Í í ö ü ű í í í í í í ö ö í í í ö ö ü í ö ö ü í í ö í í í í ö ű í ö í í ü í ü ü í Í ű ü í ű
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
Részletesebbenö ű é é é é é é ü é é é é ű é é ü é é é é é ó ó é Í é í é é é é ó ö é ö ö ö ó é é í é é é é Ő é é é ü ü é é é ö ö ö é ü é é í é ó ü é é ü é ó é ó ó é
ö é ü ö ö Ö ú é ü ü é é é ó é é é é é ó é é Ö ö é é ó é é ó é é í é é ö ó ó ó ö ö ü é é ü é í ü é ö í é é é é é ü é ó é ü ö í í ó í ü Í é é é ü é é é ü é é ü ö ö ó ó é é í é é é é é é é Ö í ó é í ö é é
RészletesebbenÍ Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é é é é ű é é é é é é é é Á é é é é é ú ú é é é é é é é ú é é é é é é é é é é é ő é é é é é é é é ű é
é é é Í Ó é é ü ő é é é ű ő ő ű é ő Í Ó ő ü é ő é ü é ő é é é é é é ú é ú Í Á é é é é é ű é é é é é é ú é ő é é é é ú é é é é é é é é é é é é é ő é é ő Í Á ő é é é é é ő é ő é ő é Í Á Ú Á Á é ő é ő é é
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebbení ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í ű í ű ö ö ö í ű ö ö ű ü ö ö ö í ú ü ű ö ú í ö ö í ü ö ö í í í í í í
É Á Ú Ö É É É É Ü É ú ö í ü ö ú ö í Ü ü ü ö ö Ő ú í ú ö í ü Á í ű Í í í ú ü ö í í ű í Í ű ü ű í ü ü í ű ú ö Á ö ö ú ö í ű ű ö í ö í ű í ú ű ű ű í Í í ö í Í ÍÍ ö ü ö í ű í ö ö ö ű í í ö í ö í ü ö í í í
RészletesebbenÁ Ö Ú Ü Á ő ü ű ö ő ő ö ü ö Á ö Ü ö ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ö ü ő ö ő ö ő ő ő ö ő ő
ő ö ű Á Ö Ú Ü Á ő ü ű ö ő ő ö ü ö Á ö Ü ö ü ő ő ő ő ő ő ő ő ü ö ü ő ö ő ö ő ő ő ö ő ő ö ő ő ő ü ü ő ö ő ö ü ő ő ö ö ö ü ő ö ü Ö ő ö Ü ű ö ö ö ő ö ü ö ö ö ö ü ő ő ö ü ö ő Á Ö Ű Á ö ö ü Á Ö Ú ő ő ö üő Ö
Részletesebbenű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő ő Ö ő ü űő Ö ú ő ü ú ö ő ö ü ő ü ö ő ö ő Ő ő ü ő ö ü ő ü ö ő ő ű ö ő ö ö ö ü ö ú
ő ö ü ő ő Ó ő ü ü ő Ü ő ő ő ő ő ö ő É ö ő ő ö ö ü ő ü ü ő ő ő ü ü ő ő ü ő ü ö ő ő ő ö ö Ö ő ő ö ő ő Ó ö ö ü ű ő ő ü ő ő ő ő ü ő ő ü ü ö ő ő ü Ó ő ő ü ú ű ő ö ő ő ü ő ö ő Á ő ő ő ő ü ő ő Ó ö ü ü ő ö ű ő
Részletesebbenú ü ü ú
Ú Á É Á É Í Á ú ú ú ú ü ü ú ú ű Á É Í Á Í Á É Í Á Á É Í Á Ó É Ú Ú Í Á Á É É É Ö Á Á É É É Á Í Í Á Á Á É Í Á Á É Ú Í Á Á É É É Ú ú ü ú ú ű ú ú ü ú Í Í Á É Í Á Ö É Ö Ú Ű Í Á Á É É ú ü ü ü Í ű ű Ü Á É Í Á
RészletesebbenÉ Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó
Í Í Í Í ó ó ó ú ó ő É ú ö ü ú Á Ú ő ö ó ó ó ó ő ő ó ü ő Á ö ű ü É Í ó Í Í ó Íó ó ó Á ó ú ö ű ü ú Á Í ó ó ő ó ú Á ő ü Á ő ú Í É ö Í ö Á Í Á ő ó ő ó ó Á ó ó ó ó ó Íő Á ü ö ó ó ő ó ó Í ö ó ő ú ó Í ö ő ö ó
RészletesebbenÉ Ú í í í í í ü í í ű ű í í í í í í í í í í É í É í í É í í É í É í ű í í É í í É í í í É í í í í í ü í Ó É Ű
í É í í í í í ú í ü í ü í Í í í í í úű Í É É É É É ú ü í É Ú í í í í í ü í í ű ű í í í í í í í í í í É í É í í É í í É í É í ű í í É í í É í í í É í í í í í ü í Ó É Ű É í í í ü ű ü ü ű ü ű í ű ü í í ű
Részletesebbenó í Í ü ö ú ó ü ű ó í ó ó ú ű ü ö Ö ü ú Í Ö ü ú ö ú ó ó ó ú ó ó ú ű í ű ö ü ü ú ü Í ü ó ú ö ú ü í ü ú ö ü ú í ú ú ú ó
ö ü Ö ü ü í ó ó ö ö í ü ü ó ü ó ü ó ü ó ö ó ú ó ú ö ó ó ü ö ó ó ü ú ű ú ö í ö í ú í ó í ö ö ó ö ó í ó ó ö ű ó ó í Í ü ö ú ó ü ű ó í ó ó ú ű ü ö Ö ü ú Í Ö ü ú ö ú ó ó ó ú ó ó ú ű í ű ö ü ü ú ü Í ü ó ú ö
Részletesebbenú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű
í ö ö ú í ü ü ö ű í í í í ü ö ö ö ö í í í ű í ö Á ö ö í í ü ö ü ü ű ö ö ö ú ü ö ö í í í ö Á ö ö ö ö ö ö ö í ö ö ö ö ö ö ú Ő ö ö ö í ú ú ö ö í ö ö í ű í ö ö ö ö Á ü ö ü ö ü ű ö ö ö í ö í ü í ű í í ö ö Á
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebbenö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ó Ő Ü ó
ö ö Á É ü Ő Ö í ü í ü í ó ó ó í í ó í ö ú ü ü ö ö ű ó í ó ó ü ú ü ü ö í ö ü ü ö Ő ü í ü í ü ö ö Ö ó ö ö ö ö ó ö ö ö í ü í Ő Ü ü ö í Á í ü ü ü ö ű ú ö ö ü í Ü Ő ü ü ó ó ó ó í í ó í ö ú ü ü Ö Ö ű ó í ó ó
RészletesebbenÍ Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó
ÍÍ Ó É Ó Ó ú Ó Ó Ó ú Ó É Í Ó É É É É Ó Ó ú ú Ó Ő Í Ó Ö Ó É ú Ö Ö Ó É Ó ú ú Á Ó Í Ó Á Ő Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó ú Ó Í Í Ó Ő É Ó ú Ő Ő É Ó Ö Ó Ó Ó É Ó Ó É Ú Í Ö ú ú Ö Ö Ó ú ú Ó Ó Ó Ó Ó Ó Í Ó ú Ú Ó ú Í Ó Ó Ó Ó
Részletesebbenö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü
ü ö ü ü ü ö ö ö ö ö Í ü ö ü ö ű Ü ö ö ö ö ö Ö Ó ö ö Ö ö ö ü ű ö ü ö ö ű ö ü ö Ö ö ü ü ű ü ö ö ö Ü ű Ü ű Í Í ü ú ü ö ú ö ö ö Á ö ű ö Ö ö ö Ö ö ü ö ö ü ö ü ü ö Í ű ü ü ö ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö Ö ö ü ö ö ö ú
RészletesebbenÁ ű Ü Á Ö É Á É É Á É Á ű Á Á ű Ö Ó ű Ó Ó ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű É Ü ű ű É É É Ö Ü Ü ű Ü ű Ü É Ó Á Á Ü Ö ű Ü ű Ü Ó ű Ú Ü ű Ü Ü Ú Ü Ü ű Ö Ü Ü Ú Ö Ü ű Ü ű É ű Á ű É É Ú Á ű Á É Ü ű Ú Ó ű ű Ü É Ő ű ű ű Ú Ö
Részletesebbenű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü
Ó Á É ú ű ű ő ú ő ü ő ü ő ü Ö ű ő ű ő ő ő ű ű Í ő ő ű ű ő Í Í ő Í ő ő ő ú ü ű Í ű ú Í ű Í ő Í Í Í ú ú ű ú ű Í ő ű ü ő ő ú ő ű ü ú ő ű Í ű ű ű ü ő ő ő ő ü ü ő ő Íű ő ő ű ő ü ő ű ü ü ő ő ő ü ő ü ő ő ő ú
RészletesebbenÖ í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í
Ö ü Ü Ö Ö ü ü ü ó ó ó ü í í ó í Ö í Á í Ü Ó í ó Ö í Í ü ú Ö í ó ű í íű ű ó ó ó ó ó ó ó ó ü ó ó Ö ó ü ó ü ó ú ú ú Ö ó ó ó í ó ü úú ü í ó ó ó í Ó Ó ó í Ö í ó ú í ú í ó ü ü ú í í ú í ü ú í ó ó í í ú í ü ó
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebbenü ö ö ö ü Ü ö Ö Ö ü ü ü ö ö ö Ü Ö Ö ö ö Í ö ö ö ö ö ö üü ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ö ö ö ü ú ö Ö Ö ö ö ö ö Ö Á ö ö ö ü ö ö
ő ű ö ö ú ú ü ö ö ö ü Ü ö Ö Ö ü ü ü ö ö ö Ü Ö Ö ö ö Í ö ö ö ö ö ö üü ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ö ö ö ü ú ö Ö Ö ö ö ö ö Ö Á ö ö ö ü ö ö ő ö ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö Á ú ú ö ö ú ú ö Á ú ö ö ú ö ö ö ö ö
Részletesebbenő ü ü ü ü ő Ö ő ő ő ü ő ő ő ü ü ő ü ő ő ü ü ő ü ő ü ú Á ú ő ü ő ő ő ü ő ü ú ú Ö ő ü ű ü ő ő Ö ú ő ő ő ő ü
Á Á ü ő ú ő ő ő Ö ú ő ő ő ő ü ő ő ő ő ő ü ü ü ü ő Ö ő ő ő ü ő ő ő ü ü ő ü ő ő ü ü ő ü ő ü ú Á ú ő ü ő ő ő ü ő ü ú ú Ö ő ü ű ü ő ő Ö ú ő ő ő ő ü ő ő ő ő ő ü ü ő ü ő ü ü ü ő ő ő ú ű ő ő ő ú ú ő ő ü ű ú ő
RészletesebbenÖ í ó í ű í Ö ó ú ű í ú ű Í ú Ó Ú ű ó í Ő Ő ű í í í Í ú ú í ú í Í Ó ó ú ó ó í Á ű Í Ű í Ő Á ó Ö ű ó ű
Ö Ő Ö ü Ö ü ó Á Á ó ó ó í ü ó í í ű í ó ü í ü ó ű í Ö í í ü í Ö í ó í ű í Ö ó ú ű í ú ű Í ú Ó Ú ű ó í Ő Ő ű í í í Í ú ú í ú í Í Ó ó ú ó ó í Á ű Í Ű í Ő Á ó Ö ű ó ű ó ó ó ó í ű ó ü ü í Ő í ó ó í Ő ú Ő í
Részletesebbenö ő ó í í ő ő í í ú ó í ő ü ö ö ő í ő ó í ó ó í ö ő í ó ú ó í í í í ö ő ő ő ő ö Ö ü ó ö ü ö ö ö ő í ő ö ő í ö í í ü ö í ú ü ő ö ö ó ö ő í ő ö ő ö ö ő
ö ő ű ö ö ő ó ű ü ő ü ő ö ő ö ö ő ö ö ő ó ű ö ü ő í ő ö ő í ű ő ö í ö ö Ö ő ű ú ö ő ő ö ö ő ü ü ü ö ő ú ú ő ő ó ő ö í ő ő í ó ö ő ő ö í ó ö ö ő ő ö ö í í ó ú ő ő ö í ó ö í ó ö ü ö ő ó í í ő ő í í ú ó í
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenÉ ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű
É É É Ó Á É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű ü ű ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö ö ö ü
RészletesebbenÉ Ö Á Í Á Ó Ö ü
Ö ű Ö ő ü ő ő ő ű Ö Ö ü Á Á É Ö Á Í Á Ó Ö ü Ö ű ű Ö ű ű ú ű ű ú ú ő ő ü ű ű É Ö ú ű ő ű ű ú ő ü Ö ú ú ő ő ú ű ü ő ü ű ú ú ű Ü ő ő Ó ü É Ó Ö Ö ú ü ü ü ü Ű ú Ö Á ü É Ó ű Á Ö Á ű ü ú Ö ű ű ű ü ő ő ő Á ő ő
Részletesebbenú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü
Ü ú ű ű ú ű ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ü ü Ú ú ü ű ü ú ű ö ű ú ö ö ö ö Á ú ú ű Á ú Á Á Á ü ö ö Á ö ö ü Á ú Á ú Á Á Ö Á Á ö ű ö ö ü ú ü ú ö ú ű ú ú ü ü ü ü ű ű Ő ú ö ű ú ú ű
Részletesebbené ú é é é é é é é é é é é é ú é ö é é é ö Ő é é é ú é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö é ö é é é ű é ö ö é ö é é ö ö é é ö ö é ö é Ö é ú é é é é é é
é ű ö Ö é é ö ú é é é é ö ö é ö é é é ö ö é é é ö ö é ű é é ö é é é é é é é é é é ö é ö é é é ű ö ű ö é é é Ö Ú Í é ö é é Ő ö ö ú é é é é é é é é é é ű é é é ú é é é ű ú é é é é é ö é ö é ö é é ö é é é
Részletesebbenó ú ú ü ú ő ó ő ő ó ó ó ö ó ü ő ó ő ö ü ü ó ö ő É ó ö ö ö ó ó ö ü ü ö ü ó ó ő ó ü ó ü ü ö ö É ú ó ó ö ú ö ü ü ó ó ó ü Á ö ö ü ó ö ó ö ö ö ö ó ó ö ó ó
Ü Ű Ö É Á Á ö É É Ö Ú Ü ö ü ő ő ö ő Á ő ó ő ü ü ö ö ú É ű ó ü ű ö ú ü ö ó ö ö ü ű ö ó ó ö ö ö ö ü ű ö ő ö ö ó ö ö ő ó ő ü ő ó ő ö ö ő ü ü ö ő ó ú ú ü ú ő ó ő ő ó ó ó ö ó ü ő ó ő ö ü ü ó ö ő É ó ö ö ö ó
Részletesebbenő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó
ö ú Á ő ű ü ő ó ö ö ú ö ú ü ó ó ű ö ú ó ó ó ő ö ö ő ú ó ö ö ő ő ő ő ö ű ü ü ü ő ü ü ő ő ü ó ő ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó ó ü ű
Részletesebbenő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü
ő É ő ő ő ő É Ü Ö Ö Ö Í Ö Ö Ö ő Ó Ó Ö Ö Á É É É ő Á É Á Á Ú Á Ú Ö Ö Á Ú Ö Á ű Á ú ő ő ü ü Ó ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü ő ő ő ő Á ü ú ú
RészletesebbenÖ Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő
ű É ű ű É Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő É Ó Ó É ű Ö ű Ö ű ű ű Ú Ú Ö ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É É É É Ö Ö Ú Ö É ű ű ű ű ű ű ű Ó ű Ö Ö ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ü ű ű ű ű Ö ű
Részletesebbenö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ű ö ú ü ű ö ü Í ö ú ü ü ű ö ú ü Á ü
Á Ó ö ü ü ü ú ú ü ü ö ü Ő ö ö ö ü ú ü Á ö ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ű ö ú ü ű ö ü Í ö ú ü ü ű ö ú ü Á ü ö ö ü ü ö ü ö Ó ö ö ü ü ö ü ö ú ö ú ü ö ü É É Á ü ű Ö ű ú ö ö ú ö ú ö ú ö ű ü Ö ö ű ü ú ö ü ú ű ö ű ú
Részletesebbenú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü
ü ü ü ú ú ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü Í ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü ú ü ü Á ű ü ü ü ü ü ü ü ú ü ü Í ú ü É Ö Ö ú Ö Ö Ö ú ú ü ú Á Ö Á ú É ü ú ú É ú ú ú Ü ü ű ú ű É ú ű ü ü Á ú É ü ű ü ú Á É É ú ü Ö Ö Ö ú ú Á Ö
Részletesebbenü ö ú ö ú ü ö ü Á Ó ö ö ö ö ú ü ú ü ü ú ú ö ö ü ü ú ü ü ö ö ű ö ü ü ü ü ö ö
Í Á Ö Ú Á Á Ó Á ö ú ú ö ú ú ö ü ü ű ü ű ö ö ü ű ö ü ö ú ö ü ú ö ö ü ü ö ü ű ö ö ü ű ö ö ú ö ö ú ú ü ö ú ö ú ü ö ü Á Ó ö ö ö ö ú ü ú ü ü ú ú ö ö ü ü ú ü ü ö ö ű ö ü ü ü ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö ö ú ö ü ű ö ü
RészletesebbenÖ ő ü Ö Ö Ő ü ő Ö Ö ü ű Á Í Ö ű ü ő ő ő Ö ü ü ő ő ő Ü ü ő ő ő ü ő ő ü ü
Ö ő ü Ö ő ü Ö Ö Ő ü ő Ö Ö ü ű Á Í Ö ű ü ő ő ő Ö ü ü ő ő ő Ü ü ő ő ő ü ő ő ü ü ü ő ő ő ú ű ő ő ú Ö ő ü ő ő Ö ő ü ő ő ő ő ő ő ü ü ő ő Ö ő Í Ö Ö Ö ü Ü Ö ő ő Ö ü Ö Ö ü Ö Ö ü Ö Ü Ö ü ü ü ő ű Ö ő Ö ü ü ü ő Ű
RészletesebbenÉ ő ő ű ú Á ő Á ő ű ő ő ő ő ő ő ő ő ű ú ű ű ő ő ő ű
ő ő ű ú Á ő ű ő ő ő ő Ö Ö Í Á É Á ő Ö Ö Í ő ő ő ő É ő ő ú ú ú ő Á Ö É ő ő ű ú Á ő Á ő ű ő ő ő ő ő ő ő ő ű ú ű ű ő ő ő ű ő ű ő ú Á ő ű ő ő ő ő ő ő Ö ő ú ú Ö ő ő ű ú Á ő ú Ó ű Ó ú ú ú ő ő ú ú ő ő ú ő Ú ú
RészletesebbenÉ Í ü ú É ü ő ő ő ő ú ő ú ü ü ő ü ú ü ű ú ú ü ü Í ü ű ő ő É ő
ő Ü É Í ü ú É ü ő ő ő ő ú ő ú ü ü ő ü ú ü ű ú ú ü ü Í ü ű ő ő É ő ő ő ú ő ő ő ú ő ü ú ű ő ű É Í ő É Ü Í ő ü ő ő ő ő ő ő ú ü ű ő ú ő ű ő ő ő ű ő ű ő É Í Ú Ö Á Á É Á Á Á Ő Á É Á Ö Á Ö É É É ü ő Á ő ú ü ő
Részletesebbení ó ő í é ö ő é í ó é é ó é í é é í é í íí é é é í é ö é ő é ó ő ő é ö é Ö ü é ó ö ü ö ö é é é ő í ő í ő ö é ő ú é ö é é é í é é í é é ü é é ö é ó í é
ű ű ö é ő ó í ö ő ü é ő é ü ő ö ő ö é é í ö ő ö ó ő é ó í ö ő ü é é é é é ő é é é é í ő ö é é ő ű ő ö í ö é é é Ö ű ú ő é é ű ő í ü ö é é ő ó ö ö ő é é é é é é é é é é ő ü í í é ú í í í Ú í é ú é ő ó ó
Részletesebbenö ö ó ú ö ö ú ü ó ö ö Í ö ö ö ü ó ö ö ú ú ö ü ó ü ó ü ö ú ü ó ü ö ó Á Á ö ü ú ó ö ü ü ö ó ü ü Á ü ö ü ö ü ö ö ö ü ö ú ö ö ö ü ú ö ú ö ű ú ú ü ö ó ö ö
ö ö Ő Ö ü ö Ö ü ü ü ó ö ö ö ü ö ú ü ü ö ö ú ú ö ú ó ú ó ü ú ú ú ú ó ú ö ú Á ö ö ö ó ú ö ö ú ü ó ö ö Í ö ö ö ü ó ö ö ú ú ö ü ó ü ó ü ö ú ü ó ü ö ó Á Á ö ü ú ó ö ü ü ö ó ü ü Á ü ö ü ö ü ö ö ö ü ö ú ö ö ö
Részletesebben