Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Átírás

1 Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának nevezzük. 2. Definíció. A 3. Definíció. A a n a n végtelen sor n-edik részletösszege: s n := a a n = n a k. k=1 a n végtelen sor konvergens, ha a részletösszegeiből képzett (s n ) sorozat konvergens, azaz ha S R : S = lim n s n. Ekkor S a 4. Definíció. A a n végtelen sor divergens, ha a részletösszegeiből képzett (s n ) sorozat divergens. 1. Tétel. Ha a végtelen sor összege. a n sor konvergens, akkor 2. Tétel (Cauchy-féle konvergenciakritérium). A lim a n = 0. n a n végtelen sor akkor és csakis akkor konvergens, ha ( ε > 0) ( N(ε) > 0), hogy bármely n, m > N(ε) esetén n a k < ε. 5. Definíció. Az k=m 1 + q + q q n = végtelen sort geometriai sornak nevezzük. q n 1 = q n 3. Tétel. Ha q < 1, akkor a geometriai sor konvergens. 1

2 4. Tétel (Ekvikonvergencia). Ha (a n ) monoton csökkenő és pozitív tagú sorozat, akkor a a n, 2 n a 2 n sorok közül vagy mindkettő konvergens, vagy mindkettő divergens. 5. Tétel (Majoráns kritérium). Legyen a a n és b n pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indextől eltekintve érvényes az a n b n egyenlőtlenség. Ekkor, ha b n konvergens, akkor a n is konvergens. 6. Tétel (Minoráns kritérium). Legyen a a n és b n pozitív tagú sorok tagjaira véges sok indextől eltekintve érvényes az a n b n egyenlőtlenség. Ekkor, ha a n divergens, akkor b n is divergens. 7. Tétel (Gyökkritérium). Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, és ahol ϱ lehet 0 és is. Ekkor a a n sor ϱ := lim n n an, ϱ < 1 esetén konvergens; ϱ > 1 esetén divergens; ϱ = 1 esetén lehet konvergens is és divergens is. 8. Tétel (Hányados kritérium). Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, és ahol λ lehet 0 és is. Ekkor a a n sor a n+1 λ := lim, n a n λ < 1 esetén konvergens; λ > 1 esetén divergens; λ = 1 esetén lehet konvergens is és divergens is. 9. Tétel (Intergál kritérium). Legyen j N rögzített és f : [j, ) R folytonos, monoton csökkenő és pozitív. Ekkor a f(n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha az f(x) dx improprius integrál konvergens. j 2

3 6. Definíció. A a n sor jeltartó, ha minden tagja nemnegatív vagy nem pozitív. 7. Definíció. A a n sor alternáló, ha a szomszédos tagkai különböző előjelűek. 8. Definíció. Legyen Π : N N végtelen permutáció, Π n := Π(n). A a Π(n) sor a a n sor egy átrendezése. 9. Definíció. A a n sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a a n sor konvergens. 10. Definíció. A a n sor feltételesen konvergens, ha a a n sor konvergens, de a a n sor nem. 10. Tétel (Leibniz-kritérium). Ha az (a n ) pozitív tagú szigorúan monoton csökkenő ( 0 < a n+1 < a n ) sorozatra lim n a n = 0, akkor a sor konvergens. ( 1) n a n 11. Tétel. Ha a a n sor abszolút konvergens, akkor tetszőleges átrendezése is konvergens marad és a sor összege sem változik. 12. Tétel. Feltételesen konvergens sor átrendezhető úgy, hogy az átrendezett sor összege tetszőleges a R legyen. A sor úgy is átrendezhető, hogy részletösszegeinek a határértéke plusz vagy mínusz végtelen legyen. Hatványsorok 11. Definíció. Legyen adott (a n )sorozat. A a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x és a n (x a) n = a 0 + a 1 (x a) + a 2 (x a) alakú sorokat 0 középpontú, illetve a középpontú hatványsoroknak nevezzük. 3

4 12. Definíció. A a nx n hatványsor konvergál a c pontban, ha a a nc n sor konvergens. 13. Definíció. A a nx n hatványsor konvergál a H R halmazon, ha minden c H pontban konvergál. 14. Definíció. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a H R halmazon. Ha bármely c / H esetén a sor divergens, akkor a H halmazt a hatványsor konvergenciatartományának nevezzük. 13. Tétel. (a) Ha a a nx n hatványsor konvergens a c 0 pontban, akkor abszolút konvergens minden x ( c, c ) pontban. (b) Ha a a nx n hatványsor divergens a d pontban, akkor divergens minden x > d esetén. 15. Definíció. Tekintsük azt az origó körüli szimmetrikus ( c, c) intervallumot, amelyben a a nx n hatványsor abszolút konvergens és azon kívül pedig divergens. Ennek az intervallumnak a sugarát (c) a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. Ha a hatványsor mindenütt konvergens, akkor a konvergenciasugarat végtelennek tekintjük, ha csak az origóban konvergens, akkor pedig nullának. 14. Tétel (Cauchy-Hadamard). A a nx n hatványsor konvergenciasugara ϱ, ahol 1 ϱ = lim n an = lim a n+1 n n a n, amennyiben a fenti határérték létezik és véges. Ha a határérték végtelen, akkor a konvergenciasugár 0, ha a határérték 0, akkor a konvergenciasugár végtelen. 15. Tétel. Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Definiáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következőképpen: Ekkor a f(x) := a n x n. (n + 1)a n+1 x n = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény differenciálható a ( c, c) intervallumon, és f (x) = (n + 1)a n+1 x n. (x ( c, c)). 4

5 16. Tétel. Legyen a a n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon. Definiáljuk az f : ( c, c) R függvényt a következőképpen: Ekkor a f(x) := a n x n. a n n + 1 xn+1 = a 0 x + a 1 2 x2 + a 2 3 x hatványsor is konvergens a (-c,c) intervallumon, az f függvény folytonos a ( c, c) intervallumon, és f(x) dx = a n n + 1 xn+1 (x ( c, c)). 17. Tétel (Abel). Legyen a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és legyen f(x) = a n x n, ha x ( c, c). Ha az f függvény kiterjeszthető a ( c, c] intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos legyen, akkor a a nx n hatványsor konvergens c-ben is, és f(c) = a n c n. (Ha az f függvény kiterjeszthető a [ c, c) intervallumra úgy, hogy c-ben folytonos legyen, akkor a a nx n hatványsor konvergens c-ben is és f( cc) = a n( c) n. ) 18. Tétel (Taylor-formula). Legyen az f : I R R függvény (n + 1)-szer differenciálható a 0-t is tartalmazó I nyitott intervallumon. Ekkor minden x I esetén f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + R n+1 (x), n! ahol R n+1 (x) = f (n+1) (c) (n + 1)! xn+1 valamely 0 és x közötti c számra. Ha J a 0-t és x-et összekötő intervallum, akkor R n+1 (x) ( ) max f (n+1) (t) x n+1. t J (n + 1)! 5

6 16. Definíció. Legyen az f : I R függvény akárhányszor differenciálható a 0-t is tartalmazó nyitott I intervallumon. A f (n) n! xn hatványsort az f függvény 0 középpontú Taylor-sorának nevezzük. 19. Tétel. Ha a a nx n hatványsor konvergens a ( c, c) intervallumon, és f(x) = a nx n, akkor az f függvény Taylor-sora a nx n, azaz f (n) (0) n! = a k (k {1, 2,...}) 6