Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Átírás

1 Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van. A sorozatnak van első, második, harmadik, stb. eleme. Minden sorozathoz természetes módon hozzátartozik egy függvény. Ez a függvény a természetes számok halmazán van értelmezve, az 1-hez a sorozat első elemét rendeli, a 2-höz a sorozat második elemét, és így tovább. Ha ezt a függvényt a jelöli, akkor tekinthetjük a sorozatunkat egy a : N R (1) függvénynek. Az a(n) jelölés helyett hagyományosan az a n jelölést használjuk, és a n -et a sorozat n. elemének hívjuk. Sorozatot is leggyakrabban az a n kiszámolását lehetővé tévő formula megadásával definiálunk. Példa 1 Az a n = n 2 2n sorozat első néhány eleme: 1, 0, 3, 8, 15,... Magát a sorozatot, tehát az összes elemét a sorozaton belüli sorrendjükkel együtt, (a n ) jelöli. Az a n jelölésben az n számot a sorozatelem indexének hívjuk.

3 2. Ha egy sorozat elemei közül elhagyunk véges sokat vagy végtelen sokat, de úgy, hogy azért végtelen sok elem megmaradjon, akkor megmaradt sorozatelemek, az eredeti sorozaton belüli sorrendjüket megtartva, az eredeti sorozat egy részsorozatát adják. Minden sorozatnak végtelen sok részsorozata van. Példa 2 Az a n = n sorozatnak részsorozata a b n = 3n sorozat. Ennél a részsorozatnál minden harmadik elemet tarottunk meg. Példa 3 Az a n = n sorozatnak részsorozata a b n = n + 3 sorozat. Ezt a részsorozatot úgy kaptuk, hogy eldobtuk az eredeti sorozat első három elemét, az eredeti 4. elem lett a részsorozat első eleme, az eredeti 5. elem a részsorozat második eleme, és így tovább. Példa 4 Az a n = n sorozatnak részsorozata a b n = n sorozat. Itt azokat az elemeket tartottuk meg, amelyek indexe négyzetszám.

4 3. Az (a n ) sorozat határértéke vagy limesze az A R szám, ha minden ε > 0 számhoz megadható egy N(ε) pozitív egész szám, az úgynevezett küszöbindex, úgy, hogy a n A < ε minden olyan n re, amelyre n > N(ε). (2) Azt, hogy az (a n ) sorozat határértéke az A szám így jelöljük: a n A. 4. Ha a n A, akkor minden ε esetén a sorozat N(ε) küszöbindexnél nagyobb indexű elemei az A hátárértékhez ε-nál közelebb vannak, azaz beleesnek az A határérték körüli ε sugarú, szimmetrikus (A ε, A + ε) nyílt intervallumba, ugyanis ha n > N(ε), akkor esetén azaz a n A < ε (3) ε < a n A < ε, (4) A ε < a n < A + ε, tehát a n (A ε, A + ε). (5)

5 Példa 5 Az a n = 1 sorozat limesze 0, a b n n = sorozat esetén b n n 1, míg a c n = ( 1) n + 1 sorozatnak nincs határértéke. n 5. Minden sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet, tehát ha van limesz, akkor az egyértelmű. Ha egy sorozatnak van határértéke, akkor minden részsorozatának is van, és mindnek ugyanaz a szám a határértéke. Nem szabad azt hinni, hogy minden sorozatnak van határértéke, a legtöbbnek nincs.

6 6. Feladat 1 Legyen a n = n 5 1 2n. Fogadjuk el, hogy ennek a sorozatnak A = 1 a 2 határértéke, és határozzuk meg az ε = 0.01-hez tartozó küszöbindexet. Megoldás: Az a n A < ε abszolút értékes egyenlőtlenséget kell megoldanunk n-re. Beírva ebbe a n képletét, A és ε értékét, kapjuk, hogy n 5 1 2n < Az első átalakítás az, hogy keresztbeszorzással közös nevezőre hozunk az abszolút értéken belül: 2n n 2(1 2n) < 0.01, 9 2(1 2n) < Minden ilyen abszolút értéket tartalmazó egyenlőtlenség megoldásakor az a kulcs lépés az, amikor megszabadulunk az abszolút értéktől. Az eddigi átalakítások azt célozták meg, hogy ezt biztonsággal meg tudjuk tenni. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

7 9 A törtben mind a számláló, mind a nevező minden pozitív n-re 2(1 2n) negatív, tehát a tört értéke pozitív, így az abszolút értéke önmaga. 9 2(1 2n) < Ha most mindkét oldalt elosztjuk a pozitív 0.01-el nem fordul meg az egyenlőtlenség iránya (1 2n) < 1. Egyszerűsítve, és megszorozva mindkét oldalt a negatív 1 2n-el megfordul az egyenlőtlenség iránya. Rendezve: 450 > 1 2n 451 > 2n < n. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, az utolsó egyenlőtlenségből leolvasható, hogy N(0.01) = 225. Érdemes kipróbálni, hogy a /2 < 0.01, de a /2 < 0.01, és 226-nál nagyobb sorozatindexre ez méginkább így van.

8 7. Az (a n ) sorozat felülről korlátos, ha van olyan K szám, hogy a n K teljesül minden n-re. Az (a n ) sorozat alulról korlátos, ha van olyan k szám, hogy k a n teljesül minden n-re. Az (a n ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. A sorozat korlátossága azt jelenti, hogy van olyan k alsó, és K felső korlát, hogy k a n K. Az alsó korlátok közül a legnagyobb, a felső korlátok közül a legkisebb a leginformatívabb. Példa 6 Az a n = n 2 sorozat alulról korlátos, mert k = 1 jó, de felülről nem; a b n = 2n sorozat felülről korlátos, mert K = 2 jó, de alulról nem. Példa 7 A c n = 1 n sorozat korlátos, hiszen 0 < c n 1 miatt k = 0 és K = 1 megfelelő. Ezek egyébbként c n legjobb korlátai is egyben. Példa 8 A d n = ( 1) n n sorozat sem alulról sem felülről nem korlátos.

9 8. Megmutatható, hogy ha az (a n ) sorozatnak van véges határértéke, akkor a sorozat korlátos, de fordítva ez nem igaz. Az (a n ) sorozat monoton növő, ha a n csökkenő, ha a n a n+1 minden n-re. a n+1 minden n-re, monoton Szokás az előbbi egyenlőtlenségeket nem minden n-re, hanem csak minden n > K-ra megkövetelni, ahol K pozitív egész, és a sorozatot ilyenkor is a megfelelő értelemben monotonnak hívni. Mi is használni fogjuk ezt. 9. Ha egy sorozat monoton növő és felülről korlátos, akkor van határértéke is, hasonlóan, ha egy sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor van határértéke.

10 10. Feladat 2 Monoton-e valamilyen értelemben az a n = n2 n + 1 sorozat? Megoldás: A tajékozódás kedvéért kiszámoljuk a sorozat néhány elemét. a 1 = 0.5, a 18 17, a Ez alapján az a sejtésünk, hogy a n monoton növekvő. Azt próbáljuk tehát bebizonyítani, hogy a n a n+1. Behelyettesítjük ebbe a n és a n+1 képletét, az utóbbit úgy kapjuk, hogy a sorozatot definiáló képletben az n helyett mindenütt n + 1-et írunk. n 2 n + 1 (n + 1)2 (n + 1) + 1. n 2 n + 1 n2 + 2n + 1 n + 2 Megszabadulunk a nevezőktől, mindkét nevező minden n-re pozitív, tehát amikor átszorzunk velük, nem fordul meg egyik esetben sem az egyenlőtlenség iránya..

11 n 2 (n + 2) (n 2 + 2n + 1)(n + 1). Minden tagot minden taggal megszorozva a bal és a jobb oldalon is, kapjuk, hogy n 3 + 2n 2 n 3 + 2n 2 + n + n 2 + 2n + 1. Rendezve 0 n 2 + 3n + 1. Ez egy minden n-re igaz egyenlőtlenség, (sorozatok esetén n pozitív egész). Minden átalakítás ekvivalens átalakítás volt, tehát az utolsó egyenlőtlenségből megkaphatjuk az eggyel előtte lévőt, abból az az előtt lévőt, és így tovább, végül eljutunk a bizonyítandó a n a n+1 egyenlőtlenséghez. Ezzel beláttuk, hogy a n a n+1 teljesül minden n-re, tehát a sorozat monoton növő.

12 11. Az algebrai műveleteket sorozatokra is értelmezhetjük, az a lényeg, hogy a szóbanforgó műveletet az azonos indexű elemekkel kell elvégezni. Például két sorozat szorzata az a sorozat, amelynek első eleme az első elemek szorzata, második eleme a második elemek szorzata, és így tovább. Alapvető jelentőségű a következő tétel. Tegyük fel, hogy a n A, b n B, és legyen c R tetszőleges. Ekkor a n + b n A + B, (6) a n b n A B, (7) a n b n A B, (8) c a n c A, (9) a n b n A B, (10) a (10) képletben feltesszük, hogy b n = 0 teljesül minden n-re, és B = 0.

13 12. Tegyük fel, hogy a n A és c n A is teljesül, továbá a (b n ) sorozatra fennáll, hogy a n b n c n minden n-re vagy valahonnantól kezdve minden n-re. Ekkor b n A is teljesül. Ezt a tételt rendőr elvnek is szokták hívni és gyakran jól használható. Feladat 3 Számoljuk ki az a n = n cos2 (n 2 3n) + sin n sorozat határértékét. n Megoldás: Tudjuk, hogy minden szám koszinusza 1 és 1 közé esik, tehát 1 cos(n 2 3n) 1, innen négyzetre emeléssel, majd n-el való szorzással 0 cos 2 (n 2 3n) 1, 0 n cos 2 (n 2 3n) n. Ha a középső taghoz hozzáadunk sin n-et, akkor legalább 1-et és legfeljebb 1-et adunk hozzá, tehát a középső tag ennél a hozzáadásnál nem csökken egynél többel és nem növekszik egynél többel, azaz 1 n cos 2 (n 2 3n) + sin n n + 1.

14 Végigosztva ezt a pozitív n el 1 n n cos2 (n 2 3n) + sin n n n + 1 n A jobb szélen alló mennyiségnél nagyob az, amit úgy kapunk, hogy megnöveljük az eredeti számlálót, és lecsökkentjük a nevezőt, például n+1 n 2 +1 helyett 2n n 2 = 2 -et írunk. Tehát fennáll, hogy n 1 n n cos2 (n 2 3n) + sin n n n. Itt a bal szélen álló 1 sorozat nullához tart, mert a nullához tartó 1/n n 2 +1 sorozat egy részsorozatának számszorosa, ugyanez igaz a jobb szélen álló sorozatra is. Tehát a közöttük lévő a n sorozat limesze is nulla.

15 13. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke a plusz végtelen, ha tetszőlegesen nagy pozitív C számhoz is található olyan, a C-től függő N(C) pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy a n > C, ha n > N(C). (11) Ezt így jelöljük: a n +. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat határértéke a mínusz végtelen, ha tetszőlegesen nagy pozitív C számhoz is található olyan, a C-től függő N(C) pozitív egész szám, amelyre teljesül, hogy Ezt így jelöljük: a n. a n < C, ha n > N(C). (12) 14. Számos tétel szól végtelenbe tartó sorozatok határértékéről. Tegyük fel, hogy a n +, b n B R. Ekkor a n + b n +, (13) a n b n +. (14)

16 Ha a n, b n B R, akkor a n + b n, (15) Ha a n +, b n B R és B > 0, akkor a n b n. (16) de B < 0 esetén a n b n +, (17) a n b n. (18) Az előbbihez hasonlóan, ha a n, b n B R és B > 0, akkor de B < 0 esetén a n b n, (19) a n b n +. (20)

17 Ha (a n ) és (b n ) is valamelyik végtelenbe tart, akkor a szorzatuk is végtelenbe tart, mégpedig plusz végtelenbe, ha (a n ) és (b n ) azonos előjelű végtelenekhez tartanak, és mínusz végtelenbe, ha (a n ) és (b n ) különböző előjelű végtelenekhez tartanak. Azonos előjelű végtelenbe tartó sorozatok összege is ilyen előjelű végtelenbe tart, különböző előjelű végtelenbe tartó sorozatok különbsége olyan előjelű végtelenbe tart, mint a kisebbítendő sorozat. Ha a n ±, akkor 1 a n 0. Feladat 4 Mi a limesze az a n = 2n 3 + n 2 3n + 8 sorozatnak? Megoldás: Minden polinom limesze kiszámolható úgy, hogy kiemeljük a legmagasabb fokú taját. ( a n = n n 3 n + 8 ). 2 n 3 A zárójelben álló tényező 2-höz tart, egy + -be tartó mínusz kétszerese pedig -be tart. Tehát a n.

18 15. A nevezetes határértékek elméleti és gyakorlati szempontból fontos sorozatok határértékéről szólnak. A legfontosabbak az alábbiak. a n = 1 n 0. (21) Legyen a > 0. Ekkor a n = n a 1. (22) a n = n n 1. (23) a n = n α a n = q n + ha α > 0, 1 ha α = 0, 0 ha α < 0. + ha q > 1, 1 ha q = 1, 0 ha q < 1, és ennek a sorozatnak nincs határértéke, ha q 1. (24) (25)

19 Legyen a > 1 és α > 0. Ekkor a n = an n +, α ezért a n = nα 0. an (26) Tetszőleges a R esetén a n = an n! 0. (27) a n = n! 0. nn (28) ( a n = 1 + n) 1 n e. (29) Tegyük fel, hogy r n + és legyen k Z. Ekkor ( a n = 1 + k ) rn e k. (30) r n

20 Ha a n A R, A > 0 és b n B R, akkor ha az itt szereplő hatványozások mind értelmesek. Ha b n +, akkor 0 < A < 1 esetén A > 1 esetén Végül ha b n, akkor 0 < A < 1 esetén (a n ) b n A B, (31) (a n ) b n 0, (32) (a n ) b n +. (33) (a n ) b n +, (34) A > 1 esetén (a n ) b n 0. (35)