Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Átírás

1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám Tavaszi félév

2 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor ξ R : a ξ b ( a A, b B), ahol ξ-t szétválasztó elemek evezzük. 2. Hogya szól Archimedes tétele? a > 0 és b R : N : b < a. 3. Írja le a Cator-axiómát! Tegyük fel, hogy N-re adott az [a, b ] R korlátos és zárt itervallum úgy, hogy: [a +1, b +1 ] [a, b ] ( N). Ekkor [a, b ]. N 4. Hogya szól a Beroulli-egyelőtleség? Mide h 1 valós számra és mide N természetes számra: (1 + h) 1 + h. 5. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy A R halmaz felülről em korlátos! K R : a A : a > K. 6. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába, hogy az A R halmazak ics maximuma! α A : x A : x > α. 7. Legye A a valós számok egy emüres korlátos részhalmaza. Defiiálja if A-t! Az A halmaz alsó korlátjai között a legagyobbat az A halmaz ifímumáak evezzük. Formálisa: ifa := max{k R K alsó korlátja A-ak.} 8. Legye A a valós számok egy emüres korlátos részhalmaza. Defiiálja supa-t! Az A halmaz felső korlátjai között a legkisebbet az A halmaz szuprémumáak evezzük. Formálisa: supa := mi{k R K felső korlátja A-ak.} 2

3 9. Legye A a valós számok egy tetszőleges emüres részhalmaza. Defiiálja if A-t! Legye α R. Ha x A : x α és K > α : x A : x < K, akkor az α számot a halmaz ifímumáak evezzük, és α := if A-val jelöljük. Ameyibe a halmaz alulról em korlátos, akkor ifa :=. 10. Legye A a valós számok egy tetszőleges emüres részhalmaza. Defiiálja supa-t! Legye α R. Ha x A : x α és K < α : x A : x > K, akkor az α számot a halmaz szuprémumáak evezzük, és α := supa-val jelöljük. Ameyibe a halmaz felülről em korlátos, akkor supa := Mi a kapcsolat valós halmaz maximuma és szuprémuma között? Ha létezik a halmazak maximuma, akkor megegyezik a szuprémummal. 12. Legye A R, α R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy α = supa? Mide x A-ra x α, és mide K < α-ra x A, hogy x > K. 13. Legye A R, α R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy α = ifa? Mide x A-ra x α, és mide K > α-ra x A, hogy x < K. 14. Mit ért idexsorozato? Az (a ) : N N típusú sorozat idexsorozat, ha (a ) szigorúa mooto ő. 15. Egy (x ) sorozatról mikor modjuk, hogy az (y ) sorozat részsorozata? Az (x ) sorozat az (y ) sorozat részsorozata, ha létezik olya v : N N idexsorozat, melyre (x ) = y v = (y v ). 3

4 16. Mit jelet pozitív állítás formájába az, hogy egy valós sorozat em mooto? Ha 1 N : a 1 > a 1 +1, és 2 N : a 2 < a 2 +1, akkor az (a ) sorozat em mooto. 17. Defiiálja valós sorozatokra az úgyevezett csúcs fogalmát! Az 0 az (a ) valós sorozat csúcsa, ha 0 : a a Defiiálja a koverges valós sorozat fogalmát! Az (a ) valós sorozat koverges, ha A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N) : a A < ε. 19. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába, hogy az a : N R sorozat em koverges! Az a : N R sorozat em koverges, ha A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N) : a A ε. 20. Defiiálja valós számok esetére a köryezet fogalmát! Legye A R, ε > 0 tetszőleges valós számok. Ekkor az A szám ε sugarú köryezeté a k ε (A) := (A ε, A + ε) itervallumot értjük. 21. Tegyük fel, hogy ε > 0 eseté az (a ) valós sorozatak végtele sok tagja esik az 1 ε sugarú köryezetébe. Következik-e ebből, hogy az (a ) határértéke 1? Nem, mert például az a = ( 1) sorozat diverges, mégis a sorozatak végtele sok tagja esik az 1 tetszőleges sugarú köryezetébe. 22. Mit jelet pozitív állítás formájába az, hogy az (a ) valós sorozatak a 2 em határértéke? ε > 0 : 0 N : 0 ( N) : a 2 ε. 23. Írja le azt a tételt, amelyik arra voatkozik, hogy két sorozat szorzata milye feltételek mellett lesz ull-sorozat! Ha (a ) és (b ) ull-sorozatok, akkor (a b ) is ull-sorozat. sorozat, akkor (a b ) ull-sorozat. Ha (a ) ull-sorozat és (b ) korlátos 4

5 24. Milye tételt ismer mooto övő sorozatok kovergeciáját és határértékét illetőe? Ha az (a ) mooto övő és felülről korlátos, akkor (a ) koverges és lim(a ) = sup{a N}. Ha az (a ) mooto övő és felülről em korlátos, akkor (a ) diverges és lim(a ) = Milye tételt ismer mooto csökkeő sorozatok kovergeciáját és határértékét illetőe? Ha az (a ) mooto csökkeő és alulról korlátos, akkor (a ) koverges és lim(a ) = if{a N}. Ha az (a ) mooto csökkeő és alulról em korlátos, akkor (a ) diverges és lim(a ) =. 26. Igaz-e, hogy ha egy sorozat koverges, akkor mooto és korlátos? Nem, mert bár korlátosságra igaz az állítás, de mootoitásra em, például az a = ( 1) koverges, de em mooto. sorozat 27. Valós sorozatok körébe mi a kapcsolat a koverges és a korlátos sorozatok között? Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is. Fordítva az állítás em igaz, például az a = ( 1) korlátos, viszot diverges. 28. Fogalmazza meg a közrefogási elvet! Tegyük fel, hogy az (a ), (b ), (c ) sorozatokra teljesülek az alábbiak: N N : N ( N) : a b c ; lim(a ) = lim(c ) = A R. Ekkor lim(b ) és lim(b ) = A. 29. Tegyük fel, hogy (x ), (y ) : N (0, + ) és (x ), valamit (x y ) koverges. Igaz-e, hogy az (y ) sorozat is koverges? Nem igaz, például legye x := 1, y := ( N + ). Ekkor a szorzatuk 1 viszot itt (y ) diverges. = 1, ami koverges, 5

6 30. Modja ki a koverges sorozatok összegére voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor (a + b ) is koverges, és lim(a + b ) = A + B. 31. Modja ki a koverges sorozatok szorzatára voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor (a b ) is koverges, és lim(a b ) = AB. 32. Modja ki a koverges sorozatok háyadosára voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R, b 0 ( N), B 0. Ekkor (a) (b ) is koverges, és lim( a b ) = A B. 33. Fogalmazza meg a redezés és a határérték közötti kapcsolatot kifejező tételeket! Tegyük fel, hogy az (a ), (b ), (c ) sorozatokra teljesülek az alábbiak: N N : N ( N) : a b c ; lim(a ) = lim(c ) = A R. Ekkor lim(b ) és lim(b ) = A. Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor Ha A > B, akkor N N : N ( N) : a > b ; Ha N N : N ( N) : a b, akkor A B. 34. Ha egy koverges sorozat mide tagja pozitív, akkor mit állíthatuk a határértékéről? Ha egy koverges sorozat mide tagja pozitív, akkor a határértéke emegatív. 35. Mi a defiíciója aak a sorozatak, amelyek a határértékekét kaptuk egy a 0 valós szám m-edik (m N, 1 < m) gyökét? x 0 > 0 tetszőleges, és x +1 := 1 m ( ) a + (m 1)x x m 1. 6

7 36. Írja fel a 6 3 létezéséek igazolására defiiált rekurzív sorozatot! x 0 > 0 tetszőleges, és x +1 := 1 6 ( ) 3 + 5x x Egy valós sorozatról mikor modjuk, hogy Cauchy-sorozat? Az (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 : 0 N :, m 0 (, m N) : a a m < ε. 38. Milye kapcsolatot ismer a koverges és a Cauchy-sorozatok között? Az (a ) sorozat potosa akkor koverges és véges határértékű, ha Cauchy-sorozat. 39. Igaz-e, hogy mide Cauchy-sorozat korlátos? Ige, mivel mide Cauchy-sorozat koverges, ebből pedig következik, hogy korlátos. 40. Igaz-e, hogy két Cauchy-sorozat szorzata is Cauchy-sorozat? Ige, mert a Cauchy-sorozatok kovergesek, koverges sorozatok szorzata szité koverges, és mivel koverges, ezért Cauchy-sorozat. 41. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába, hogy az (a ) sorozat em Cauchy-sorozat! ε > 0 : 0 N :, m 0 (, m N) : a a m ε. 42. Defiiálja a + köryezeteit! ( ) A + ε > 0 sugarú köryezeté a k ε (+ ) := 1 ε, + itervallumot értjük. 43. Defiiálja a köryezeteit! A ε > 0 sugarú köryezeté a k ε ( ) := ( ), 1 ε itervallumot értjük. 44. Mikor modjuk, hogy egy sorozat határértéke +? Az (a ) sorozat határértéke +, ha P R : 0 N : 0 ( N) : a > P. 45. Mikor modjuk, hogy egy sorozat határértéke? Az (a ) sorozat határértéke, ha P R : 0 N : 0 ( N) : a < P. 7

8 46. A köryezet fogalmáak segítségével defiiálja az általáosított értelembe vett határérték fogalmát! lim(a ) =: A R ε > 0 : 0 N : 0 ( N) : a k ε (A). 47. Mit tud modai mooto övekedő sorozatokról határérték szempotjából? Ha az (a ) mooto övekedő és felülről korlátos, akkor lim(a ) = sup{a N}. Ha az (a ) mooto övekedő és felülről em korlátos, akkor lim(a ) = Hogya terjesztettük ki az összeadás fogalmát a kibővített valós számok halmazára, R-re? x R : 1. x + (+ ) := (+ ) + x := + ; 2. x + ( ) := ( ) + x := ; 3. (+ ) + (+ ) := + ; 4. ( ) + ( ) := ; Nem értelmezzük: (+ ) + ( ). 49. Hogya terjesztettük ki a szorzás fogalmát a kibővített valós számok halmazára, R-re? x R : x > 0 : 1. x (+ ) := (+ ) x := + ; 2. x ( ) := ( ) x := ; x R : x < 0 : 1. x (+ ) := (+ ) x := ; 2. x ( ) := ( ) x := + ; 8

9 Továbbá: (+ ) ( ) := ; (+ ) (+ ) := + ; ( ) ( ) := +. Nem értelmezzük: 0 (± ). 50. Hogya terjesztettük ki az osztás fogalmát a kibővített valós számok halmazára, R-re? x R : x + := x := 0. Nem értelmezzük: ± ±, Modja ki a két sorozat összegéek általáosított értelembe vett határértékére voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor ha A + B értelmezve va, akkor lim(a + b ) és lim(a + b ) = A + B. 52. Adjo meg olya (a ), (b ) sorozatokat, amelyekre lim(a ), lim(b ) R, de lim(a + b )! a := + ( 1), b :=. 53. Miért em értelmeztük a 0 szorzatot? Azért, mert a határértéke befolyásolható, például legye a := 2011, b :=. Ekkor lim(a ) = 0, lim(b ) =, de lim(a b ) = Modja ki a két sorozat szorzatáak általáosított értelembe vett határértékére voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor ha AB értelmezve va, akkor lim(a b ) és lim(a b ) = AB. 55. Adjo meg olya (a ), (b ) sorozatokat, amelyekre lim(a ), lim(b ) R, de lim(a b )! a :=, b := ( 1). 9

10 56. Modja ki a két sorozat háyadosáak általáosított értelembe vett határértékére voatkozó tételt! Tegyük fel, hogy lim(a ) = A R, lim(b ) = B R. Ekkor ha A B értelmezve va, és b 0 ( N), akkor lim( a b ) és lim( a b ) = A B. 57. Adjo meg olya (a ), (b ) (b 0, N) sorozatokat, amelyekre lim(a ), lim(b ) R, de lim( a b )! a := 2 + ( 1), b :=. 58. Hogya defiiáltuk az e számot? e := ( lim ) Mit tud modai geometriai sorozatok határértékéről? q R, lim + (q ) = 0, q < 1 1, q = 1 +, q > 1, q Legye x, q R és k N! Mit tud modai az (x k q ) sorozat kovergeciájáról? Ha x = és q < 1, akkor a sorozat koverges. 61. Mit evez végtele számsorak? Az (a ) sorozatból képzett végtele soro az s 1 = a 1 ; s 2 = a 1 +a 2 ;... ; s = a 1 +a a sorozatot értjük, és =1 a -el jelöljük. 62. Mikor modjuk, hogy a (a ) sor koverges? A (a ) koverges, ha az (s ) részletösszeg sorozat koverges, ekkor ezt a számot a sor összegéek evezzük, és így jelöljük: + =1 a := lim(s ). 10

11 63. Modja ki a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergecia kritériumot! A a sor potosa akkor koverges, ha ε > 0 : 0 N : m > 0 : a +1 + a a m < ε. 64. Milye szükséges feltételt ismer sorok kovergeciájára voatkozóa? Ha a koverges, akkor lim(a ) = Mikor modjuk, hogy egy (a ) sor abszolút koverges? A a sor abszolút koverges, ha a koverges. 66. Mi a kapcsolat sorok eseté a kovergecia és az abszolút kovergecia között? Ha a abszolút koverges, akkor koverges is. 67. Milye feltételt ismer emegatív tagú sorok kovergeciájára voatkozóa? A a pozitív tagú sor potosa akkor koverges, ha az (s ) részletösszeg sorozat korlátos. 68. Modja ki a sorok kovergeciájára voatkozó majorás kritériumot! Tegyük fel, hogy (a ), (b ) olya sorozatok, melyekre N N : N ( N) : 0 a b. Ekkor ha b koverges, akkor a is koverges. 69. Milye α R eseté lesz koverges a ( ) 1 α α > Milye q R eseté létezik a értéke? =0 A q sor potosa akkor koverges, ha q < 1, és ekkor sor? q sorösszeg, és meyi akkor az =0 q = 1 1 q. 11

12 71. Legye p N, p 2. Mit evez egy adott x [0, 1) szám p-adikus tört alakjáak? Tegyük fel, hogy (a ) : N R : a {0, 1,..., p 1} ( N). Ekkor a =1 x := + =1 a p, az x szám p-adikus tört alakja (x =: 0, a 1a 2 a 3...) 72. Mit evez egy adott x [0, 1) szám tizedestört alakjáak? Tegyük fel, hogy (a ) : N R : a {0, 1,..., 9} ( N). Ekkor a =1 x := + =1 a 10, az x szám tizedes tört alakja (x =: 0, a 1a 2 a 3...) a p sor koverges, és a sor koverges, és Milye x [0, 1) számok eseté em egyértelmű a p-adikus alak? Azo em ulla racioális számok eseté, amelyekek az egyszerűsített törtfelírásába a evező a p szám prímosztói kívül más prímszámmal em osztható (vagy még azokkal sem). 74. Ha egy [0, 1)-beli számak em egyértelmű a p-adikus tört alakja, akkor háy külöböző alak lehet? Mi a kapcsolat ezek között? Kettő fajta külöböző alakú lehet, egyik esetbe tetszőleges számú ulla áll a felírás végé, ezektől általába eltekitük, másik esetbe csupa p 1 számjegy áll a p-adikus tört végé. Például p = 10 eseté 3 4 = 0, 75 = 0, = 0, Háy olya [0, 1)-beli szám va, amiek em egyértelmű a p- adikus tört felírása? Végtele sok. 76. Defiiálja sorok esetére a zárójelezés fogalmát! m Legye (m ) : N N idexsorozat, és α := a i. Ekkor a a sor (m ) által meghatározott i=m 1 +1 =1 zárójelezésé a α sort értjük (m 0 := 0). 77. Adjo példát olya sorra és aak olya zárójelezésére, hogy az eredeti sor diverges, de a zárójelezése koverges! Például a diverges, de (1 1) + (1 1) + (1 1) +... már koverges. 12

13 78. Modja ki a sorok zárójelezésére voatkozó tételeket! Ha a sor koverges, akkor mide zárójelezése is koverges. Zárójelek elhagyása: Legye (a ) egy sorozat, (m ) egy idexsorozat, továbbá tegyük fel, hogy 1. (m +1 m ) sorozat korlátos; 2. lim(a ) = 0; 3. A a sor α zárójelezése koverges. Ekkor a α sorba a zárójelek elhagyásával kapott a sor is koverges, és 79. Hogya defiiáltuk sorok átredezéséek a fogalmát? + α = + =1 =1 a. A a sor (p ) által meghatározott átredezésé a a p permutáció. sort értjük, ahol p : N N tetszőleges 80. Milye tételt tault sorok átredezéseivel kapcsolatba? Riema-tétel: Tegyük fel, hogy a feltételese koverges (koverges, de em abszolút koverges). Ekkor: 1. A R-hez (p ) : N N bijekció, hogy a p = A; =1 2. (p ) : N N bijekció, hogy a p diverges. 81. Mik azok a Leibiz-típusú sorok és milye kovergecia tételt tault ezekkel kapcsolatba? Legye 0 a +1 a ( N). Ekkor a =1( 1) a sort Leibiz-típusú sorak evezzük. Leibiz-tétel: Tegyük fel, hogy =1( 1) a Leibiz-típusú sor. Ekkor ( 1) a koverges lim a = 0; 82. Mikor modjuk, hogy egy sor feltételese koverges? Adjo példát feltételese koverges sorra! Egy (a ) sor feltételese koverges, ha koverges, de em abszolút koverges, például a := ( 1)+1. 13

14 83. Hogya szól a Cauchy-féle gyök-kritérium? Tegyük fel, hogy a a sorra lim a =: A. Ekkor: Ha 0 A < 1, akkor a a sor abszolút koverges; Ha A > 1, akkor a a sor diverges; Ha A = 1, a sor lehet koverges is, diverges is. 84. Mit evezük a Cauchy-féle gyök-kritérium eseté határozatla esetek, és miért? lim a = 1 eseté a sor lehet koverges is, diverges is, például 1 ( diverges, és lim és 1 ( ) 2 koverges, és lim 1 = ) 85. Modja ki a D Alembert-féle háyados-kritérium éve ismert tételt. Tegyük fel, hogy a ( ) a+1 a sorra lim =: A R, és a 0 ( N). Ekkor: a = 1, Ha 0 A < 1, akkor a a sor abszolút koverges; Ha A > 1, akkor a a sor diverges; Ha A = 1, a sor lehet koverges is, diverges is. 86. Mit evezük a D Alembert-féle háyados-kritérium eseté határozatla esetek, és miért? Igazolja példákkal! lim ( ) a+1 a = 1 eseté a sor lehet koverges is, diverges is, például ( 1 1 diverges, és lim ( ) ( 1 +1) 2 = 1. ( ) 1 2 1, és 1 koverges, és lim Defiiálja két számsor tégláyszorzatát! A a és b sorok tégláyszorzata a t sor, ahol t := =0 =0 =0 max{i,j}= a i b j ) = 14

15 88. Milye tételt ismer a tégláyszorzat kovergeciájával kapcsolatba? Ha a + =0( + t = =0 a és b sorok kovergesek, akkor a t tégláyszorzat is koverges, és =0 =0 ) ( + ) a b. =0 =0 89. Defiiálja két számsor Cauchy-szorzatát! A a és b sorok Cauchy-szorzata a c sor, ahol c := =0 =0 =0 i+j= 90. Milye tételt ismer a Cauchy-szorzat kovergeciájával kapcsolatba? Ha a a és b sorok abszolút kovergesek, akkor a c Cauchy-szorzat is abszolút koverges, és c = a b. =0 + =0 ( =0 + ) ( + ) =0 =0 =0 91. Defiiálja hatváysor fogalmát! Legye (a ) egy sorozat, x 0 R rögzített valós szám, és x R tetszőleges valós szám. Ekkor a (a (x x 0 ) ) sort x 0 középpottú hatváysorak evezzük, ahol az a -ek a hatváysor együtthatói. a i b j. 92. Defiiálja hatváysor kovergecia halmazáak a fogalmát! { KH := x R a (x x 0 ) R } (a (x x 0 ) ) koverges. =0 93. Milye állítást ismer hatváysor kovergecia halmazára voatkozóa? A hatváysorok kovergecia halmaza midíg itervallum. 94. Modja ki a Cauchy-Hadamard tételt! Legye a : N R, továbbá tegyük fel, hogy lim kovergeciasugara: 0 lim R = 1 lim a lim a. Ekkor az a együtthatójú hatváysor 0 < lim a = a = 0 a < 15