Andai Attila: november 13.

Átírás

1 Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13.

2 Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i

3 Elemi sorok és függvéyek 1 1. Elemi sorok és függvéyek 1.1. Defiíció. Az a : N K sorozat korlátos változású, ha a sor koverges. a a Defiíció. Az a : N K sorozat korlátos részletösszegű, ha mide m N számra m+ sup a k < k=m 1.1. Tétel. Mide mooto korlátos sorozat korlátos változású. 1.. Tétel. (Ábel tétele.) Ha a : N K korlátos változású zérussorozat és b : N K korlátos részletösszegű sorozat, akkor a a k b k sor koverges, és mide m N számra k ( a k b k k=m k=m ) a k a k+1 sup 1.3. Tétel. (Leibiz tétele.) Az a : N R + mooto fogyó sorozat potosa akkor zérussorozat, ha a ( 1) a sor koverges Tétel. (Dirichlet tétele.) Ha a : N K korlátos változású zérussorozat és z T \ {1}, akkor a a z sor koverges, és mide m N számra k=m a k z k 1 z 1.3. Defiíció. A a és b sor Cauchy-szorzata a sor. k=m m+ k=m a k a k+1 ( a b ) () = k j=0 a j b k j a k

4 Elemi sorok és függvéyek 1.5. Tétel. (Mertes tétele.) Ha a a, b koverges sorok közül valamelyik abszolút koverges, akkor Cauchy-szorzatuk is koverges. Ha midkét sor abszolút koverges, akkor a Cauchy-szorzatuk is abszolút koverges Tétel. Mide z,z 1,z C számra az alábbiak teljesülek. (e z ) = e z (e z ) 1 = e z e z 1 e z = e z 1+z 1.4. Defiíció. Mide z C számra defiiáljuk az alábbi függvéyeket. siz = eiz e iz i cosz = eiz +e iz shz = ez e z chz = ez +e z 1.7. Tétel. Mide z,z 1,z C számra az alábbiak teljesülek. 1 = si z + cos z si(z 1 + z ) = siz 1 cosz + cosz 1 siz cos(z 1 + z ) = cosz 1 cosz siz 1 siz 1 = ch z sh z sh(z 1 + z ) = shz 1 chz + chz 1 shz ch(z 1 + z ) = chz 1 chz + shz 1 shz 1.8. Tétel. A si függvéy a ]0, ] itervallumo szigorúa pozitív. A cos függvéy a ]0, ] itervallumo szigorúa mooto fogyó. Egyértelműe létezik olya π ]0, 4[ szám, melyre cos π = 0 A si és cos függvéy π szerit-, az exp függvéy π i szerit periodikus Tétel. Mide A R yílt halmazhoz létezik korlátos zárt halmazokak egy (K ) sorozata, hogy A = K 1.5. Defiíció. Az f : R R függvéy reguláris, ha Dom f yílt halmaz és Dom f mide potjába létezik a függvéyek véges bal- és jobboldali határértéke.

5 Elemi sorok és függvéyek Tétel. Mide yílt halmazo értelmezett mooto függvéy reguláris Tétel. Reguláris függvéy szakadási potjaiak a halmaza megszámlálható Defiíció. Mide x Q \ {0} számra legye p(x) Z és q(x)n az az egyértelműe meghatározott szám, melyre x = p(x) Az R R q(x) függvéyt Riema-függvéyek evezzük. 1, ha x = 0 x 0, ha x R \ Q 1, ha x Q \ {0} q(x) 1.1. Tétel. A Riema-függvéy reguláris, racioális potokba a határértéke ulla és szakadása va, de az irracioális potokba folytoos Defiíció. A K teste értelmezett : K R + függvéyt abszolútértékek evezzük, ha az alábbiakat teljesíti. 1. Ha valamilye x K elemre x = 0, akkor x = 0, valamit 0 = 0.. Mide x,y K elemre xy = x x. 3. Mide x,y K elemre x + y x + x Defiíció. A K teste értelmezett : K R + x függvéyt improprius abszolútértékek evezzük. { 1, ha x 0 0, ha x = Tétel. Mide x Q \ {0} számhoz létezik egyértelműe egy s {1, 1} szám valamit egy egyértelműe meghatározott egész értékű, véges sok helye em ulla (µ p (x)) p P sorozat, hogy x = s p µ p(x) p P Tétel. Legye ω : Q R + abszolútérték függvéy. 1. Ha létezik olya p P, hogy ω(p) < 1, akkor mide x Q \ {0} számra ω(x) = ω(p) µ p(x).

6 4 Elemi sorok és függvéyek. Ha mide p P számra ω(p) 1, és ω em improprius abszolút érték, akkor létezik olya ρ ]0, 1] szám, hogy mide x Q \ {0} számra ω(x) = x ρ. 3. Mide p P, a ]0,1[ és ρ ]0,1] paraméter eseté az { a µ p (x) 1, : Q R +, ha x 0 x 1 = 0, ha x = 0 függvéyek abszolútértékek, de em impropriusak Tétel. Az a : N \ {0} R k=1 x = 1 k log { x ρ, ha x 0 0, ha x = 0 sorozat mooto fogyó és 1 ( ) a 1 teljesül mide N\{0} számra. (A lim határértéket evezzük Euler Mascheroi álladóak.) Tétel () lim ( 1) = π (A feti összefüggést evezzük Wallis-formuláak.) Tétel.! lim ( ) = 1 π e (A feti összefüggést evezzük Stirlig-formuláak.) Tétel. π / Q Tétel. Mide z C eseté, ha z / N akkor a sor, illetve az itegrál koverges. ( 1) k 1 k! z + k a 1 t z 1 e t dt

7 Elemi sorok és függvéyek Defiíció. A halmazo értelmezett Γ : DomΓ C DomΓ = {z C z / N} z függvéyt evezzük Gamma-függvéyek Tétel. A Gamma-függvéy éháy alakja. 1. Mide z DomΓ elemre zγ(z) = Γ(z + 1) teljesül, valamit. Mide z DomΓ elemre Rez > 0 eseté ( 1) k 1 k! z + k + t z 1 e t dt ( ) 1 Γ = π. Γ(z) = 0 t z 1 e t dt Ezt evezzük a Gamma-függvéy Euler-alakjáak. 3. Mide z DomΓ elemre Rez > 0 eseté Γ(z) = lim! z (z + k) Ezt evezzük a Gamma-függvéy Gauss-alakjáak. 4. Mide z DomΓ elemre Rez > 0 eseté 1 ( Γ(z) = zeγz 1 + z ) e z =1 Ezt evezzük a Gamma-függvéy Weierstrass-alakjáak Tétel. Mide z 1,z C eseté, ha Rez 1,Rez > 0, akkor a itegrál jól értelmezett, valamit B(z 1,z ) = 1 0 t z 1 1 (1 t) z 1 dt 1 B(z 1,z ) = Γ(z 1)Γ(z ) Γ(z 1 + z ) A B(z 1,z ) függvéyt evezzük Euler-féle béta függvéyek.

8 6 Elemi sorok és függvéyek 1.. Tétel. Mide N és α R + számra x e αx dx = Γ( ) +1 Ezt az itegrált evezzük Gauss-itegrálak. 0 α Tétel. Az dimeziós euklideszi térbe az R sugarú gömb térfogata és felszíe V (R) = R π Γ ( + 1 ) Defiíció. Legye a : N K sorozat. A a : N K F (R) = R 1 π Γ ( ). 1, ha = 0 1 a k, ha 0 sorozatot evezzük az a sorozathoz asszociált szorzatak. Valamilye A K \ {0} eseté azt modjuk, hogy a a szorzat határértéke A, ha lim 1 a k = A Ekkor a a szorzat koverges. A a szorzat a ullához divergál, ha lim 1 a k = Tétel. Legye a : N K sorozat. 1. Ha a a szorzat koverges, akkor lim a = 1 (Ez a szorzatok kovergeciájára voatkozó szükséges feltétel.). A a szorzat potosa akkor koverges, ha mide ε > 0 számhoz létezik olya N N, hogy mide,m N számra,m > N eseté m 1 a k 1 1 < ε a k

9 Elemi sorok és függvéyek 7 (Ez a szorzatok kovergeciájára voatkozó Cauchy-kritérium.) 3. A a szorzat potosa akkor koverges, ha létezik olya N N, hogy mide N számra > N eseté a Domlog, valamit a loga k sor koverges. Ekkor 4. Ha a 0 / Raa és a =0 a = ( N =0a ) k N, k>n exp( k=n+1 loga k ). a 1 sor koverges, akkor a a szorzat is koverges Defiíció. Legye I R zárt itervallum és γ : I C folytoos, szakaszokét folytoosa differeciálható zárt görbe. A γ görbe idexfüggvéye a leképezés. Id γ : C \ Raγ C z 1 π i 1.5. Tétel. Legye a C, R R +, m Z és tekitsük a γ : [0,1] C t a + Re γ 1 ξ z dξ π itm görbét. Ekkor mide z C számra, z a < R eseté Id γ (z) = m és z a > R eseté Id γ (z) = Tétel. Legye I R zárt itervallum és γ : I C folytoos, szakaszokét folytoosa differeciálható zárt görbe. 1. Az Id γ függvéy folytoos.. Az Id γ függvéy értékkészlete csak egész számokat tartalmaz. 3. Ha valamilye R R + számra Raγ B R (0) teljesül és z C\B R (0), akkor Id γ (z) = Tétel. Legye U C egyszerese összefüggő yílt halmaz, γ szakaszokét folytoosa differeciálható U-ba haladó zárt görbe és f : U C reguláris függvéy. Ekkor mide z U \ Raγ számra f (z)id γ (z) = 1 π i γ f (ξ ) ξ z dξ. Ezt a képletet evezzük Cauchy második itegrálformulájáak.

10 8 Elemi sorok és függvéyek 1.8. Tétel. Legye f : C C olya függvéy, melyek pólusai (a k ) k N, mide pólusa véges redű, a ulla em pólusa a függvéyek, és mide k N eseté az f reziduuma az a k potba b k, valamit f reguláris midehol. Tegyük fel, hogy létezik olya R : N R + sorozat és M R + szám, hogy lim R =, mide,k N eseté a k = R, valamit mide N számra ha z C és z = R, akkor f (z) < M Ekkor mide z Dom f számra ( 1 f (z) = f (0) + b + 1 ). z a a 1.9. Tétel. Mide z C \ {π Z} számra 1 siz = 1 ( 1 z + ( 1) z π + 1 ) π Tétel. Legye f : C C olya reguláris függvéy, melyek zérushelyei (a ), csak egyszeres gyökei vaak, valamit a ulla em zérushelye. Tegyük fel, hogy létezik olya R : N R + sorozat és M R + szám, hogy lim R =, mide,k N eseté a k = R, valamit mide N számra ha z C és z = R, akkor f (z) f (z) < M Ekkor mide z C számra, mely em zérushely ( f (z) = f (0)e f (0) 1 z ) e a z Tétel. Mide z C számra siz = z f (0) z k=1 a ) (1 z k π 1.3. Tétel. Mide z C számra 0 < Rez < 1 eseté Γ(z)Γ(1 z) = π siπz.

11 Elemi topológia 9. Elemi topológia.1. Defiíció. Legye M halmaz, a d : M M R + (x,y) d(x,y) függvéy metrikáak evezzük, ha redelkezik az alábbi tulajdoságokkal. 1. Mide x, y M eseté d(x, y) = 0 potosa akkor teljesül, ha x = y.. Mide x,y M eseté d(x,y) = d(y,x). 3. Mide x,y,z M eseté d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Az (M,d) párt metrikus térek evezzük... Defiíció. Legye (M,d) metrikus tér. Mide x M és r R + eseté G (d) jelöli az x középpotú r sugarú yílt gömböt. r (x) = {y M d(x,y) < r} A yílt gömb jelöléséből a metrikát elhagyjuk, amikor ez em okoz félreértést..3. Defiíció. Legye (M, d) metrikus tér. Azt modjuk, hogy az A M halmaz yílt, ha mide x A eseté létezik olya 0 < r R, hogy G r (x) A Azt modjuk, hogy az A M halmaz zárt, ha a komplemetere yílt..1. Tétel. Mide metrikus térbe mide pot körüli yílt gömb yílt halmaz..4. Defiíció. Legye E vektortér a K számtest felett, a : E R + x x leképezést ormáak evezzük, ha redelkezik az alábbi tulajdoságokkal. 1. Mide x E eseté x = 0 potosa akkor teljesül, ha x = 0.. Mide x E és λ K eseté λx = λ x. 3. Mide x,y E eseté x + y x + y. Az (E, ) párt ormált térek evezzük... Tétel. Az (E, ) ormált tére a függvéy metrikát defiiál. d : E E R + (x,y) x y

12 10 Elemi topológia Ez azt jeleti, hogy mide ormált teret metrikus térek is tekithetük, így a metrika segítségével defiiált yílt gömbi köryezet fogalmát, valamit a yílt és zárt halmaz fogalmát ormált tére is értelmezhetjük..3. Tétel. Legye (M, d) metrikus tér és jelölje T a metrikus tér yílt halmazaiak a halmazát. Ekkor T redelkezik az alábbi tulajdoságokkal. 1. A T tartalmazza az üreshalmazt és az M halmazt.. A T véges sok eleméek a metszete szité eleme T -ek. 3. A T elemeiek az uiója eleme T -ek..5. Defiíció. Legye T tetszőleges halmaz és T P(T ) olya halmazredszer, melyre az alábbiak teljesülek. 1. A T tartalmazza az üreshalmazt és a T halmazt.. A T véges sok eleméek a metszete szité eleme T -ek. 3. A T elemeiek az uiója eleme T -ek. Ekkor a (T,T ) párt topologikus térek evezzük. Az előző állítás tehát úgy lehet rövide megfogalmazi, hogy mide metrikus tér topologikus tér. A metrikus tereke bevezetett fogalmakkal összhagba defiiáljuk topologikus tereke a fogalmakat..6. Defiíció. Legye (T, T ) topologikus tér. Azt modjuk, hogy az A T halmaz yílt, ha A T Az A T halmaz zárt, ha a komplemetere yílt..4. Tétel. A (T, T ) topologikus tér egy A T részhalmaza potosa akkor yílt, ha mide x A pothoz létezik olya U T yílt halmaz, hogy x U és U A.5. Tétel. Legye (T, T ) topologikus tér és A T tetszőleges részhalmaz. Ekkor létezik legbővebb yílt részhalmaza A-ak, valamit létezik legszűkebb A-t tartalmazó zárt halmaz..7. Defiíció. Legye (T, T ) topologikus tér és A T tetszőleges részhalmaz. Az A-t legbővebb yílt részhalmazát evezzük az A halmaz belsejéek, és It A-val jelöljük. A legszűkebb A-t tartalmazó zárt halmaz evezzük az A halmaz lezártjáak, és Ā-val jelöljük..8. Defiíció. Legye M halmaz és d 1 valamit d metrika az M halmazo. Azt modjuk, hogy a d 1 és d metrikák ekvivalesek, ha az (M,d 1 ) és (M,d ) metrikus terekbe ugya azok a yílt halmazok..9. Defiíció. Legye E vektortér és 1 valamit orma az E halmazo. Azt modjuk, hogy a 1 és ormák ekvivalesek, ha az (E, 1 ) és (E, ) ormált terekbe ugya azok a yílt halmazok.

13 Elemi topológia 11 Vagyis két metrika illetve orma akkor ekvivales, ha ugya azt a topológiát geerálják. Az is yilvávaló, hogy két orma potosa akkor ekvivales, amikor a ormák által geerált metrikák ekvivalesek. A defiícióból azoal következik még, hogy a metrikák illetve ormák ekvivaleciája ekvivaleciareláció a metrikák illetve ormák halmazá..6. Tétel. Legye E vektortér és 1 valamit orma az E halmazo. Az 1 és ormák potosa akkor ekvivalesek, ha létezek olya C 1,C R + számok, hogy 1 C 1 és C 1.7. Tétel. A K tére mide 1 p paraméter eseté a p és ormák ekvivalesek..10. Defiíció. Legye (T,T ) topologikus tér. Azt modjuk, hogy a T topologikus tér T 0 tér ha mide x,y T pothoz x y eseté létezik olya U T halmaz, hogy x U, y / U vagy y U, x / U T 1 tér, vagy Kolmogorov tér ha mide x,y T pothoz x y eseté létezik olya U,V T halmaz, hogy x U, y / U, y V és x / V. T tér vagy Hausdorff tér vagy szeparált tér ha mide x,y T pothoz x y eseté létezik olya U,V T halmaz, hogy x U, y V és U V = /0 reguláris, ha mide x T pothoz és E zárt halmazhoz x / E eseté létezik olya U,V T halmaz, hogy x U, E V és U V = /0 ormális tér, mide E,F zárt halmazhoz E F = /0 eseté létezik olya U,V T halmaz, hogy E U, F V és U V = /0 Nyilvá mide T tér T 1 tér is, mide T 1 tér T 0 tér..8. Tétel. Mide metrikus tér ormális Hausdorff tér..9. Tétel. A (T,T ) topologikus tér potosa akkor T 1 tér, ha mide t T potra {t} zárt halmaz. Ezért mide ormális T 1 tér reguláris tér is..11. Defiíció. Legye (T, T ) topologikus tér. Azt modjuk, hogy az A T halmaz kompakt, ha A bármely yílt fedéséek létezik véges fedése. A (T, T ) kompakt topologikus tér, ha a T halmaz kompakt..10. Tétel. Legye (T,T ) topologikus tér és (K i ) i I a T zárt, kompakt, em üres részhalmazaiak lefelé iráyított redszere. (Vagyis i, j I idexre létezik olya k I, hogy K k K i K j.) Ekkor K i /0 i I

14 1 Elemi topológia.11. Tétel. Hausdorff topologikus tér mide kompakt részhalmaza zárt..1. Tétel. Topologikus tér mide kompakt halmazáak zárt részhalmaza kompakt..13. Tétel. A (K, ) térbe egy halmaz potosa akkor kompakt, ha korlátos és zárt..14. Tétel. Véges dimeziós vektortére bármely két orma ekvivales egymással. Ezért beszélhetük K yílt és zárt részhalmazairól a orma megadása élkül is..15. Tétel. Legye T végtele halmaz és T = {/0} {A P(T ) : T \ A < }. Ekkor (T,T ) olya kompakt topologikus tér, mely em Hausdorff tér..1. Defiíció. Legye (T,T ) topologikus tér. Azt modjuk, hogy az A T halmaz seholsem sűrű, ha ItĀ = /0; első kategóriájú, ha előáll megszámlálhatóa sok seholsem sűrű halmaz uiójakét; második kategóriájú, ha em első kategóriájú..13. Defiíció. Azt modjuk, hogy a (T, T ) topologikus tér Baire-tér, ha mide em üres yílt részhalmaza második kategóriájú..16. Tétel. (Baire tétele.) Mide teljes metrikus tér Baire tér..17. Tétel. Az irracioális számok halmaza em áll elő megszámlálhatóa sok zárt halmaz uiójakét..18. Tétel. Baach tér algebrai dimeziója em lehet megszámlálhatóa végtele..19. Tétel. Nicse olya orma a { } K (N) = a : N K : { N : a 0} < vektortére, mellyel K (N) Baach tér lee..14. Defiíció. Az E vektortér egy A E részhalmazáról azt modjuk, hogy elyelő, ha mide x E vektorhoz létezik olya a R +, hogy ax A.0. Tétel. Baach tér mide zárt, kovex, elyelő részhalmaza a ullvektor köryezete.

15 Elemi topológia Tétel. Legye E és F ormált tér, (u ) a Li(E,F) térbe haladó sorozat és D E sűrű lieáris altér. Tegyük fel, hogy létezik olya u Li(E, F) operátor, hogy u = lim teljesül a D halmazo és sup u <. Ekkor u = lim u teljesül az E halmazo. u.. Tétel. (Baach egyeletes korlátosság tétele.) Legye E Baach tér és F ormált tér. Ha H Li(E, F) potokét korlátos operátorhalmaz, akkor az operátorormába is korlátos. (Vagyis ha mide x E eseté sup ux <, akkor sup u < is ) u H.3. Tétel. (Baach Steihaus tétel.) Legye E Baach tér, F ormált tér és (u ) olya Li(E, F)-be haladó sorozat, mely potokét koverges az E tére, és legye u = lim u. Ekkor az (u ) sorozat az operátorormába korlátos, u Li(E,F) és u limif u.4. Tétel. (Baach yílt leképezés tétele.) Legye E és F Baach tér, valamit u Li(E,F). Az u operátor potosa akkor yílt, ha szürjektív. u H Tehát Baach terek közötti folytoos bijekció homeomorfizmus.