Integrálás sokaságokon

Átírás

1 Itegrálás sokaságoko

2 I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy, ha korlátos és a pereme (BdD) f függvéy R -e majdem folytoos, ha ullmértékű helye em folytoos

3 tétel: D itegrálási tartomáy, f korlátos, majdem folytoos függvéy D-, ekkor D f dv határértékekét) létezik, azaz f itegrálható D- (közelítő összegek defiíció: ha D itegrálási tartomáy, a térfogata vold függvéye R k D dv D k D dv, ahol k D a tartomáy karakterisztikus

4 tétel (változócsere): G : U U diffeomorfizmus, D U, D G( D) U yílt halmazok belsejébe vett itegrálási tartomáyok, f itegrálható D -, ekkor f és f G itegrálható D-, D D f ( y) dv f ( G( x)) G dv, ahol G a diffeomorfizmus Jacobidetermiása lemma (ullmértékűség megőrzése): F : A m R A R kompakt, 1 C osztályú leképezés, ekkor c(f(a))=0 ha m vagy m és c(a)=0

5 sokaságokra általáosítás: A eseté c(a)=0, ha létezek A 1,,A s kompakt halmazok azu i, i térképeke, hogy c( ( )) 0 i A i A A 1 As és D itegrálási tartomáy, ha relatív kompakt és c(bdd)=0

6 II. Itegrálás iráyított sokaságoko iráyított sokaság, dim, ekkor létezik Ω -forma, amely sehol em 0, és meghatározza iráyítását (térfogatelem) bármely más ω -forma felírható f alakba, ahol f : R függvéy defiíció: f : R függvéy itegrálható -e, ha korlátos, kompakt tartójú, majdem folytoos, és ω -forma itegrálható -e (mit : p ( T ( )) függvéy), ha f, ahol f itegrálható, jelölés: p p

7 ~ Ω em egyértelmű, lehet g, ahol g pozitív függvéy, de ekkor f ~ f / g, ahol f/g is itegrálható függvéy az itegrálható -formák halmaza ( ) az itegrál kiszámítása: Q 0 egy kocka, ha létezik olya U,φ i iráyított térkép, hogy ( Q) C x R 0 x 1, i 1, egységkockába képződik) legye ( ), és supp Q, valamit az U,φ iráyított térképe () f ( x) dx dx, ekkor C f dv (az belátható, hogy ez em függ az eredeti kocka megválasztásától

8 lieáris leképezés: a1 1 a22 a1 1 a2 2,ahol a 1, a 2 R ha em egy gömbre va megszorítva: supp K, lefedhető véges sok kocka belsejével ( Q1,, Q b ), ekkor kereshető olyaf i sima függvéyredszer, hogy f 1midehol (egységosztás), és i f1 f s véges összegkét felírható, ahol f i tartója már valamelyik kocká belül va, így függ a kockák megválasztásától f1 fs, és ez em

9 III. Itegrálás iráyított Riema-sokaságoko iráyított sokaságoko az Ω térfogatelem csak egy pozitív C osztályú függvéyel szorzás erejéig va meghatározva Riema-sokaságoko va speciális térfogatelem: legye Ω az az - forma, amely bármely ortoormált bázisra hattatva 1-et ad defiíció: D itegrálási tartomáy, k D a karakterisztikus függvéye (kompakt tartójú, a ullmértékű BdD kivételével folytoos), ekkor a térfogata vold k D, egy f : R korlátos, majdem folytoos függvéy itegrálja a tartomáyo pedig D f fk D

10 kiszámítási mód: egy U,φ iráyított térképe adott az E, 1, E bázis, a metrikus tezor kompoesei g p) ( E, E ), amelyek ij ( p ip jp kifejthetők a lokális koordiátáko ( ~ ( 1 g x,, x ) g~ ( ( p)) ), ij ij ekkor g det( g ij ) jelöléssel 1 gdx 1 dx

11 IV. Peremes sokaságok 0,..., 1 x R x x x H felső félsík R -be, határa 0 x H x H, R -ből származó relatív metrikus topológia vehető, illetve H homeomorf R -1 -gyel H V U, halmazok diffeomorfak, ha létezik köztük V U F : C osztályú ivertálható leképezés (diffeomorfizmus), ezekre belátható, hogy határpotot határpotba viszek midkét iráyba: H V H U F

12 defiíció: egy C peremes sokaság, ha Hausdorff-tér, létezik megszámlálható bázisa és va rajta egyu, a struktúra) a következő tulajdoságokkal: a homeomorfizmus U és H egy részhalmaza között atlasz (differeciálható U -k lefedik -et U U, és a, elemekre és 1 1 diffeomorfizmusok a U U és U U között az atlasz maximális a feti tulajdoságokra ézve

13 ha egy p potra p H, akkor ez mide térképe igaz, ezek a potok alkotják peremét ( ), és It a sokaság belseje (ami egy hagyomáyos értelembe vett sokaság) -e differeciálható struktúra, differeciálható függvéyek, leképezések, rag, külső formák, külső deriválás defiiálható lokális koordiátákkal, és ezek egyértelműe meghatározzák fogalmait hasoló iráyíthatóság: egy peremes sokaság iráyítható, ha vaak olyau, a koordiátaköryezetek, melyek egyformá iráyítottak (hau U em üres, akkor Jacobi-determiása pozitív), 1 vagy létezik sehol el em tűő Ω -forma

14 tétel: iráyított sokaság, em üres, ekkor iráyítható, és az iráyítását iráyítása egyértelműe meghatározza legye egy p perempotba éritőtere T p, éritőtere (-1 dimeziós) T p, ekkor T T p p vektorai két csoportra oszthatók (függetleül a koordiátategelyek választásától): amelyek utolsó kompoese pozitív valamely báziso, azok a befelé mutató vektorok, amelyeké egatív, azok a kifelé mutató vektorok

15 ezzel a defiícióval legye p, X p befelé mutató vektor, ekkor az E 1p,,E (-1)p iráyítottt p -e akkor és csak akkor, ha E 1p,,E (-1)p,X p iráyított T p -e időkét ezzel elletétes iráyítást érdemes haszáli, erre jelölés ~ 1

16 V. Stokes-tétel peremes sokaságokra itegrálás, ullmértékűség, itegrálási tartomáy, Riema-sokaságoko térfogatelem, függvéy itegrálja előzőekhez hasolóa defiiálható, csak a Q kocka egyik lapjáak -re kell esie, ha U : i Q x 0 x 1; x 0 1 Q i x 0 x 1,1 i 1;0 x 1 Stokes-tétel: iráyított kompakt dimeziós sokaság, forma rajta, ekkor és i : a természetes beágyazás, d ~ i * (és a bal oldali itegrál 0, ha ) ~ perem, -

17 speciális esetek: Gree-tétel: korlátos reguláris tartomáy R 2 -, körbevéve C i sima 1 zárt görbék uiójával, a dx b dy C osztályú 1-forma, ekkor b a dxdy x y i Ci a dx b dy Gauss-Osztrogradszkij-tétel: reguláris tartomáy R 3 -o (sima síkok által határolt yílt halmaz), Pdy dz Qdz dx Rdx dy 2-forma, ekkor P Q R dx dy dz x y z Pdy dz Qdz dx Rdx dy

18 Stokes-tétel három dimezióba: egy felület beágyazva R 3 -ba, sima zárt görbék uiója által határolva, Adx Bdy Cdz 1- forma, ekkor C B A C B A dy dz dz dx dx dy y z z x x y Adx Bdy Cdz a tétel általáosítható úgy is, ha a határ em sima (például sokszögek, szögletes testek) R -be haszálhatóak a duális bázissal való természetes izomorfizmusok, így gradies, divergecia, rotáció defiiálható