2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok"

Átírás

1 . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + A feti sor diverges, mivel em teljesül a kovergecia szükséges feltétele (az általáos tag -hoz tartása). x = ( ) + Az előzőhöz hasolóa ez a sor is diverges lesz, hisz itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitervallum: (-,). ()! a + = ()! a ( + )! = ( + )( + ) Azaz a hatváysor kovergeciasugara, a kovergeciaitervallum: R.

2 (d) + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + A feti sor koverges, ami majoráskritérium segítségével látható. x = ( ) + Ez a sor is koverges lesz, hisz Leibiz típusú (az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a -hoz). Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitevallum: [-,]. + 3 a = a ( + ) + 3 Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = + 3 A feti sor diverges, ami mioráskritérium segítségével látható. x = ( ) + 3 Ez a sor is koverges lesz, hisz Leibiz típusú (az általáos tag abszolút értékbe mooto csökkeőleg tart a -hoz). Tehát a kovergeciasugár, a kovergeciaitevallum: [-,).

3 (e) (4x 5) + A feladat megoldása előtt át kell alakítauk a fet megadott sort téylegese hatváysor alakba. 3 3 (4x 5) + = (x 5 4 )+ 4 a = + 6 Azaz a hatváysor kovergeciasugara 9 6. Az biztos, hogy a ( 6, 6 ) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = ( 4) + A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. 3 x = Ez a sor is diverges lesz, mert em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciasugár 9 6, a kovergeciaitevallum: ( 6, 6 ).. Mely x-ek eseté koverges az (x 3) + ( 4 (x 3) (x 3) ) +... végtele sor? Mi a sor összege? Melyik sort kapjuk tagokéti deriválással? Mely x-ek eseté koverges az új sor? A feti sort írjuk fel szumma alakba: ( ) (x 3) Ebből már egyszerűe megállapíthatjuk a kovergeciasugárt a következő határérték meghatározásával. a = ( ) 3

4 Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (,5) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. x = 5 ( ) Ez a sor is diverges lesz, hisze itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciaitervallum: (,5). A sor összegéek meghatározásához a geometriai sor összegképletét haszáljuk. A tagokéti deriválással kapott új sor: ( ) (x 3) = x ( ) (x 3) A kovergeciaitervallum meghatározásához itt is a következő határértéket kell megvizsgáluk. ( ) a = Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (,5) yílt itervallum része a kovergeciatartomáyak, de a határpotokat is meg kell még vizsgáluk. x = A feti sor diverges, hisze em teljesül a kovergecia szükséges feltétele. x = 5 ( ) Ez a sor is diverges lesz, hisze itt sem teljesül a kovergecia szükséges feltétele. Tehát a kovergeciaitervallum itt is: (,5). 3. Határozzuk meg az f(x) által (a jelzett helye) geerált Taylor-sort! f (x) = x 3 x + 4, a = f (x) = 3x f () = 4

5 Tehát a keresett Taylor poliom: f (x) = 6x f () = f (x) = 6 f () = 6 f () (x) = 4 4 +! x ! x3 = x 3 x + 4 Ebből azt a következtetés vohatjuk le, hogy poliom Taylor-sora ömaga. f (x) = x, a = Teljes idukcióval igazolható, hogy a feti f függvéy -edik deriváltja a következő alakú: f () (x) = ( ) ( + )! + f () () = ( ) ( + )! Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor-sor. ( ) ( + )! (x ) = ( ) ( + )(x ) f (x) = e x, a = A feti f(x) függvéy -dik deriváltja: f () (x) = e x f () () = e Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor sor. e (x ) (d) f (x) = l( + x), a = A feti f(x) függvéy -dik deriváltja: f () (x) = ( )+ ( )! (x + ) f () () = ( ) ( )( )! Eek segítségével már egyszerűe felírható a Taylor sor. ( ) ( )! = ( ) 5

6 (e) A feti f(x) függvéy deriváltja: f (x) = arcta x, a = f (x = + 4x ) Eze függvéy Taylor sorát fel tudjuk íri egyszerűe, se eből tagokáti itegrálással megkapjuk az arcta x függvéy Taylor-sorát is. f (x) = ( 4) x Így már egyszerűe felírható a Taylor-sor: ( 4) + = ( ) (x) Adjuk meg a függvéyek Taylor-sorát az x= helye A feladat egyszerűe megoldható, hogy ha ismerjük a evezetes függvéyek Taxlor-sorát. Ameyibe em emlékszük rájuk, úgy a feti feladatba leírt módszerrel dolgozzuk! (d) x f (x) = xe x x = + f (x) = x cos πx ( ) (xπ) ()! = ( ) x+ π ()! f (x) = x cos x A megoldás sorá felhaszáljuk a következő liearizáló formulát: cos x = +cos x + f (x) = x ( ) ()! ( x) 6

7 A feladat kéféle módo is megoldható. A biomális sor képletéek felhaszálásval, vagy az x sor ömagával vett Cauchy-szorzatakét. Itt most az első változatot haszálom. ( ) ( x) = ( x) = ( ) 5. Írjuk fel a megadott függvéyek biomiális soráak első égy tagját! A feladat megoldása sorá a biomiális sor következő általáos alakját haszáljuk: T 4 (x) = T 4 (x) = T 4 (x) = ( + x) α ( ) α f (x) = ( x) 4 ( ) / ( x) = + x x x3 f (x) = ( + x 3 ) 4 ( ) / x 3 = + x x x9 f (x) = ( x) 3 4 ( ) 3 ( x) = 6x + x 8x 3 6. Sorok segítségével számítsuk ki a határértékeket! e x ( + x) x x e x ( + x) = x x x x x = = = x arcta x x x 3 x arcta x ( ) x + = x x 3 x x 3 x + = ( ) x = 3 7

8 A keresett határérték:. l( + x ) x cos x 7. Sorok segítségével adjuk 3 potosságú becslést az alábbi határozott itegrálokra! Mide esetbe a függvéyek pot körüli Taylor-sorát haszáljuk közelítéskét. Mide esetbe elég a sor első három tagját tekiteük, ugyais akkor már a megadott potosságú lesz a közelítésük. I =. si x dx Az itegrál utái függvéy Taylor poliomja: ( ) x 4+ ( + )! T 3 (x) = x x6 3! + x 5! A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I ]. [x x6 3! + x = ! 3! 5! I =. si x x dx Az itegrál utái függvéy Taylor poliomja: ( ) x ( + )! T 3 (x) = x 3! x4 5! A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I ]. [ x 3! x4 = ! 3! 5! I =. + x4 dx 8

9 ( ) / x 4 T 3 (x) = + x 3 4 x4 A Taylor-sor ismeretébe most már közelíthetjük a feti itegrált. I [ + x 34 ]. x4 =

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3. . feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6.

Meghökkentő és hihetetlen barangolás a matematikai végtelen birodalmában (Végtelen sorokról) július 6. Meghökkető és hihetetle baragolás a matematikai végtele birodalmába (Végtele sorokról) 59. Rátz László vádorgyűlés (spec.mat. szekció) Gödöllő 09. július 6. Dr. Németh József c. egyetemi taár SZTE TTIK

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3

I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3 Tartalomjegyzék I. FEJEZET: ANALÍZIS... 3.. NUMERIKUS SOROZATOK... 3... Numerikus sorozatok: határérték, mootoitás, korlátosság... 3..2. A Cauchy-féle általáos kovergecia kritérium... 5..3. Sorozatok közgazdaságtai

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához

Segédanyag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Segédayag az A3 tárgy második zárthelyi dolgozatához Sáfár Orsolya Komplex számok fogalma A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, aak érdekébe, hogy a gyökvoás mûvelete elvégezhetõ legye

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal

Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal. 1.Feladatok valós számsorozatokkal Simo Iloa: Feladatok valós számsorozatokkal Feladatok valós számsorozatokkal és sorokkal Írta és szerkesztette: Simo Iloa Lektorálta: Dr. Pap Margit.Feladatok valós számsorozatokkal A feladatgyűjteméy

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Függvények közelítése

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Függvények közelítése Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Függvéyek közelítése Szakdolgozat Készítette: Bedeek Eszter Matematika BSc Matematikai elemz szakiráy Kozules: Mezei Istvá adjuktus Alkalmazott Aalízis

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Elsőbbségi (prioritásos) sor

Elsőbbségi (prioritásos) sor Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

BSc Analízis I. előadásjegyzet

BSc Analízis I. előadásjegyzet BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30. ii Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások,

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben