Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha"

Átírás

1 . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = =, a mértai sor összegéplete szerit. Ha agy, aor már elhayagolhatóa icsi, s =, emiatt természetes azt modai, hogy A továbbiaba =. a + a + + a +... alaú ú. végtele soroat vizsgálu, ahol az a -e valós számo. Ezt a végtele mértai sort a övetezőéppe jelöljü: a.. defiíció Végtele sor overgeciája. A a végtele sor -edi részletösszege: s = a + a + + a. Ha a részletösszege sorozata az L számhoz overgál, s = L, aor azt modju, hogy a a végtele sor overges és összege L. Egyébét a végtele sort divergese modju. Példa:. Mutassa meg, hogy az végtele sor overges és összege. Megoldás: Legye s = Mivel + = +, s = = Ie. Az s = + = + q + q + + q +... q < eseté overges, egyébét diverges, mert s = + q + q + + q = q q, ha q és q aor és csa aor, ha q <. Megjegyzés: A overgecia difiíciójából látszi, hogy a a végtele sor overgeciájá em változtat az, ha véges számú tagot hozzáadu vagy ha elveszü.. tétel Művelete soroal. Ha a és b overges soro, továbbá a = A és b = B, aor. a + b is overges és a + b = A + B. a b is overges és a b = A B 3. a is overges és a = A, ahol tetszőleges valós szám. Bizoyítás: Csa.-et bizoyítju. A a + b - edi részletösszege: s = a + b + a + b + + a + b = a + a + + a + b + b + + b = A + B. Mivel A A és B B, s A + B. Példa: Határozza meg a Megoldás: = = = = +3 6 sorozat összegét! = = = 3, 6 a mértai sor összegéplete alapjá.. Kovergeciaritériumo A a végtele sorral apcsolatba ét érdés fogalmazható meg:. Koverges-e a a végtele sor?. Ha a a végtele sor overges, aor mi az összege? Az alábbi tétel egy szüséges feltételt ad a a végtele sor overgeciájára:

2 . tétel. Ha a a végtele sor overges, aor Bizoyítás: Nyilvá a =. a = a + a + + a + a a + a + + a = s s Mivel a a végtele sor overges, s = s = L valamely valós L szám eseté. Így a = s s = s s = L L = Követezméy: Ha a a em létezi vagy em véges, aor a a végtele sor diverges. Példá:. végtele sor diverges, mert =. = végtele sor diverges, mert em létezi a =. Ha a a végtele sor eseté a =, aor lehet, hogy a a végtele sor overges, de lehet, hogy diverges. Példá:. A = végtele sor overges és =.. A = végtele sor diverges, mert s = = +, a részletösszege sorozata a + -hez tart. A sorozatoál taultu, hogy egy mooto övő sorozat potosa aor overges, ha orlátos. Ee a tétele a övetezméye az alábbi: 3. tétel. Legye a mide pozitív egész eseté. Eor a a végtele sor potosa aor overges, ha az s részletösszege sorozata orlátos. A övetező ritérium azt mutatja, hogy gyara a végtele sort egy alalmas improprius itegrállal összehasolítva megválaszolhatju a overgecia érdését. 4. tétel Itegráritérium. Legye a csupa pozitív tagból álló sorozat. Tegyü fel, hogy va olya pozitív egész N és az [N, félegyeese csöeő fx függvéy, amelyre a = f mide N eseté. Eor a a végtele sor és az fxdx improprius itegrál vagy egyszerre overges vagy egyszerre diverges. N Bizoyítás: A bizoyításba az N = esetre szorítozu az általáos eset bizoyítása hasolóa törtéi. Mivel fx csöeő, fxdx a + fxdx, ha. Ezért egyrészt a +a + +a másrészt a + fxdx+ + 3 fxdx fxdx+ + a + a + a a fxdx a + fxdx + + fxdx fxdx s a + fxdx + fxdx = fxdx = Ebből látszi, hogy ha az fxdx overges, ami most azt jeleti, hogy fxdx felülről orlátos, aor s is felülről orlátos lesz, tehát overges. Másrészt, ha + fxdx diverges, aor fxdx em lesz alulról orlátos, s sem, tehát a is diverges.

3 Példa: A = p ha p, mivel fx = x p ha x ; f = p overges, ha p > és diverges, függvéy mooto csöeő és az x dx improprius itegrál a p p-szabály alapjá overges, ha p > és diverges, ha < p. 5. tétel Összehasolító ritérium. Legye a olya végtele mértai sor, ahol a.. Ha va olya overges c sor és N pozitív egész, hogy mide > N eseté a c, aor a végtele sor is overges. Majorás ritérium. Ha va csupa emegatív tagból álló diverges d végtele sor és N pozitív egész szám, hogy mide > N eseté a d, aor a sor diverges. Miorás ritérium Bizoyítás:. Az s = a + + a, N részletösszegre felső orlát a a + a + + a N + =N+ overges végtele sor.. A a végtele sora ics felső orlátja, mert ha lee, aor a d + d + + d N + =N+ felső orlátja lee d részletösszegeie, tehát d is overges lee, ami elletmodás. Példa. A sor overges, mert + + < és. a = = végtele sor overges. végtele mértai sor diverges, mert + = + és a végtele sor diverges. = 6. tétel Limeszes összehasolító ritériumo. Tegyü fel, hogy valamely pozitív egész N-re igaz, hogy a > és b >, ha > N. Eor a. ha = c >, aor a és b egyszerre b overgese vagy egyszerre divergese. c a a. ha b overges. a 3. ha b diverges. = és b overges, aor a is = és b diverges, aor a is Bizoyítás. Csa.-et bizoyítju. A feltétel miatt létezi egy M egész, hogy > M eseté a b c < c, c < a c < c b, c < a b < 3c, c b < a < 3c b. Ha b overges, aor 3c b is az, az összehasolító ritérium alapjá a sor is az. Ha b sor diverges, aor c b is az, emiatt az összehasolító ritérium alapjá a is diverges. Példá. A l = és. A = overges. + 3 = + 3 sor overges, mert = és a l = végtele sor diverges, mert = végtele sor diverges. 7. tétel Háyadosritérium. Legye a csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyü fel, hogy Eor a + = ρ. a. ha ρ <, aor a overgese;. ha ρ >, aor a diverges; 3. ha ρ =, aor a ritérium em alalmazható. Bizoyítás.. Tegyü fel, hogy ρ <. Eor létezi r, amelyre ρ < r < és N pozitív egész, hogy a+ a < r, ha N. Eor a N+ a N < r a N+ < ra N 3

4 a N+ a N+ < r a N+ < ra N+ < r a N és általába pozitív egész m eseté a N+m < r m a N. Eor az s részletösszeg felülről becsülhető a a + a + + a N + a N + ra N + r a N + = a + a + + a N + a N + r + r +... overges sorral, így a is overges.. Ha ρ >, aor létezi N, hogy N eseté 3. A a + a >, a N < a N+ < a N+ <... a sorozat tagjai em tartaa a -hoz, így a a végtele sor diverges. és = a + a = sorora teljesül, hogy ρ = = és az első egy diverges, a másodi pedig egy overges sor. Példá. A!. A = a + = + +!, = végtele sor overges, mert a =! és + +!! = + = <. végtele sor diverges, mert a = a + = + + és így + + = >. 8. tétel Györitérium. Legye a csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyü fel, hogy Eor a = ρ.. ha ρ <, aor a overgese;. ha ρ >, aor a diverges; és 3. ha ρ =, aor a ritérium em alalmazható. Bizoyítás:. Ha a = ρ <, aor egy rögzített ρ < r < eseté létezi N, hogy a < r, a < r, ha N, alalmas pozitív egész N eseté. Meg ell mutatu, hogy az s, N részletösszege felülről orlátosa. Nyilvá:. Ha s = a + + a N + a N + a N+ + + a < a + + a N + r N + r N+ + + r a + + a N + r N + r N+ + a + + a N + rn r. a = ρ >, aor létezi N, hogy a >, ha N, a >, ha N és így a, a a végtele sor diverges. Példa: A végtele sor overges, mert = = <. A övetező tételbe ú. alteráló soroal foglalozu. Legyee a >. Eor az a a + a 3 a 4 + váltaozó előjelű végtele sort alteráló sora modju. 9. tétel Leibiz-ritérium. A feti alteráló sor overges, ha a mooto csöeő és a =. Bizoyítás. A m-edi részletösszeg: Eor s m = a a + a 3 a a m a m. s m+ = s m + a m+ a m+, ahol a mooto csöeés miatt a m+ a m+. Igy az s m sorozat mooto övő. Másrészt s m = a a a 3 a 4 a 5 a m a m a m a, megit csa a mooto csöeés miatt. Mivel s m mooto ő és felülről orlátos, emiatt létezi a s m. De m s m+ = s m + a m+ = m m 4

5 s m + a m+ = m m létezi a véges s. m s m, Példa: A = = alteráló sor overges, mert a = mooto csöeve tart a -hoz.. defiíció. A a végtele sor abszolút overges, ha a overges. Példa A = = végtele sor a Leibiz ritérium szerit overges, és a tago abszolút értéét véve a = = is overges sor lesz az itegrál ritérium szerit, tehát az eredeti sor abszolút overges. 3. defiíció. A a overges végtele sor feltételese overges, ha a diverges. Példa A = = sor a Leibiz-ritérium szerit overges, de a tago abszolút értéét véve a = = ú. harmoius sor már diverges lesz az itegrálritérium alapjá.. tétel. Ha a a végtele sor abszolút overges, aor overges is. Bizoyítás. Legye Eor c = a + a. c a Mivel a overges, emiatt a is overges és így az összehasolító ritérium alapjá c is overges végtele sor. De a = a + a a = c a és mivel ét overges végtele sor ülöbsége is overges, emiatt a is overges. 5

6 . Függvéysoro. Bevezetés és defiíció A végtele soroál taultu, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté overges. A feti végtele összegre úgy is godolhatu, hogy végtele so függvéyt adu össze és ezt vizsgálju. Ez vezet el a övetező fogalomhoz:. defiíció. Legyee f x, =,,... olya függvéye, amelye özös értelmezési tartomáya I. Eor a belőlü épzett függvéysoro az f x + f x + + f x +... ifejezést értjü, ahol x I. Egy orét x I értéet behelyettesítve a övetező végtele sort apju: Ha cos x <, aor a vizsgált függvéysor abszolút overges, tehát oveges. Tudju, hogy cos x. Külö meg ell vizsgáli a cos x = és a cos x = eseteet. Ha cos x =, aor a függvéysor a övetező végtele sort adja: , ami egy diverges sor. A cos x = egyelet potosa az x = eseté teljesül egész szám. Ha cos x =, aor a függvéysor a övetező alteráló sort adja: , ami egy overges sor a Leibiz-ritérium alapjá. A cos x = egyelet potosa az x = + eseté teljesül egész szám. Összefoglalva apju, hogy a overgeciatartomáy a valós számo halmaza ivéve a alaú számoat. f x + f x + + f x Ez vagy overges vagy diverges.. defiíció. Azo x I számo halmazát, amelyere overges sor, az f x + f x + + f x f x + f x + + f x +... függvéysor overgeciatartomáyáa modju. Példá:. Határozza meg az e x = e x + e x + e 3x + + e x +... = függvéysor overgeciatartomáyát! Megoldás: A feti függvéysor egy e x háyadosú mértai sor, ami potosa aor overges, ha e x <. Ez pedig potosa aor teljesül, ha x <, tehát a overgeciatartomáy a egatív számo halmaza.. Határozza meg az = cos x = cos x+ cos x + cos3 x 3 függvéysor overgeciatartomáyát! Megoldás: A györitériumot alalmazzu: cos x = cos x + cos x Hatváysoro Ebbe a fejezetbe egy speciális, de alalmazás szempotjából alapvető fotosságú függvéysort tárgyalu. 3. defiíció. Az x = hely örüli hatváysora evezzü a c x = c + c x + c x + + c x +... = alaú függvéysort. Az x = a örüli hatváysor: c x a = = c + c x a + c x a + + c x a Itt az a számot a hatváysor özéppotjáa, a c, c, c valós számoat pedig a hatváysor együtthatóia evezzü. Példa. Határozza meg az 3 x 3+ 9 x x hatváysor overgeciatartomáyát és adja meg a feti sor által defiiált függvéyt a overgeciatartomáyba! Megoldás: A feti hatváysor egy olya mértai sor,

7 amelye első eleme és háyadosa x 3 3. Ez potosa aor overges, ha x 3 3 < < x < 6. Eor az előállított függvéy a mértai sor összegéplete szerit: x 3 = 3 x. 3. Határozza meg a = x! hatváysor overgeciatartomáyát! Megoldás: Az x valós szám aor lesz bee a overgeciatartomáyba, ha a = x! végtele sor overges. Alalmazzu a háyados ritériumot a overgecia eldötésére: x + = x + = <, +! x! mide valós x eseté overges sort apu, tehát a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. 3. Határozza meg a = x hatváysor overgeciaratomáyát! Megoldás: Az x valós szám aor lesz bee a overgeciatartomáyba, ha a x = végtele sor overges. Alalmazzu a györitériumot a overgecia eldötésére: x = x = +, ha x, mide x eseté diverges sort apu, tehát a overgeciatartomáy a {} halmaz. Az alábbiaba azt mutatju meg, hogy éz i egy overgeciatartomáy és hogya lehet egyszerűe meghatározi azt.. tétel Hatváysoro overgeciatétele.. Ha a = a x hatváysor overges valamely x = c szám eseté, aor abszolút overges mide x eseté, ha x < c.. Ha a = a x hatváysor diverges valamely x = d szám eseté, aor diverges mide x eseté, ha x > d. Bizoyítás:. Ha = a c overges, aor tudju, hogy a c =, létezi N egész, hogy N eseté a c <, a < c. Ie apju, hogy ha x < c, aor N eseté a x < x. c Ezért a = a x végtele sorból formált s részletösszegre felső becslés feltehető, hogy N: a + a x + a x + + a N x N + a N x N + a N+ x N+ + + a x a + a x + a x + + a N x N + x N + x N c c overges végtele sor.. Ha valamely x eseté x > d és = a x overges lee, aor a Tétel első már bizoyított fele szerit = a d is overges lee, ami elletmodás. A feti tétel alapjá már öyű leíri a = a x hatváysor overgeciatartomáyát: Ha létezi olya c valós szám, amelyre = a c overges végtele sor és létezi d valós szám, amelyre = a d diverges végtele sor, aor R-rel jelölve a { c : a c = overges} halmaz legisebb felső orlátját apju, hogy olya x-re, amelyre x < R a a x = overges lesz, mivel R defiíciója szerit va olya c valós szám, amelyre x < c < R és = a c overges végtele sor, de eor az előző tétel. szerit = a x is overges lesz. Másrészt, ha valamely d valós szám eseté x > R, aor R defiíciója miatt = a x diverges lesz.

8 Ha em létezi olya c, amelyre = a c overges, aor ez azt jeleti, hogy a overgeciatartomáy a {} halmaz; míg ha olya d em létezi, amelyre = a d diverges, aor a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. Összefoglalva és most már a özéppotú hatváysorora imodva apju, hogy:. tétel. A a x a = hatváysor overgeciatartomáya övetezőéppe ézhet i:. Létezi R >, hogy ha x a < R, aor overges a hatváysor, míg ha x a > R, aor overges. Külö ell meggodoli az x = a±r számo eseté a overgeciát; eszerit a overgeciatartomáy egy yílt vagy félig yílt, félig zárt vagy egy zárt itervallum lehet.. A sor csa az x = a eseté overges, egyébét diverges. 3. A sor mide valós szám eseté overges. A feti tételbe szereplő R-et overgeciasugára hívju. Ha létezi a a határérté, aor a overgeciasugarat öyű meghatározi: 3. tétel.. Ha létezi a < harérérté, aor. Ha R = a. a < a =, aor a overgeciatartomáy a valós számo halmaza. 3. Ha a =, aor a overgeciatartomáy az {a}, a hatváysor csa x = a eseté overges. Bizoyítás: Csa.-et bizoyítju: Ha a = a x a overges, aor a x a = x a a, x a a. Ha a = a x a diverges, aor a x a = x a a, Ie apju, hogy x a x a < a. a eseté overges a = a x a végetele sor, míg ha x a > a, aor diverges. Ez mutatja, hogy a overgeciasugár Az előző tétel mitájára meg lehet mu- Megjegyzés: tati, hogy R = a. R = a a +, ha ez a határérté létezi végtele is lehet. Összefoglalva: A a x a = hatváysor overgeciatartomáyáa meghatározása a övetezőéppe törtéi: Kiszámolju a R overgeciasugarat: Ez alapjá R = a = a a +. ha R =, aor a overgeciartamáy a {a} halmaz, csa x = a-ba overges a sor;. ha R = +, aor a overgeciartamáy a valós számo halmaza mideütt overges a hatváysor; 3. ha R pozitív valós szám, aor a hatváysor overges az ]a R, a + R[ yílt itervallumba és diverges a ], a R[ és ]a + R, [ yílt félegyeesee. Az x = a R potról a a R végtele sor overgeciája, míg az x = = a + R potról a döt. a R végtele sor overgeciája = 3

9 Példa: Határozza meg a = x = x + x + x hatváysor overgeciatartomáyát! Megoldás: Nyilvá a özéppot a = és az együttható a =. Emiatt R = =, a hatváysor overges a ], [ yílt itervallumba és diverges a ], [ és ], [ félegyeesee. Ha x =, aor a = = harmoius sort apju, amiről tudju, hogy diverges. Ha x =, aor a = = alteráló sort apju, ami a Leibiz-ritérium alapjá overges. Így a overgeciatartomáy a [, [ balról zárt, jobbról yílt itervallum. A övetező tétel azt modja, hogy egy hatváysor által megadott függvéy deriválása és itegrálása a hatváysor tagjaia deriválását és itegrálását jeleti. 4. tétel.. Ha a c x a = hatváysor a R < x < a + R eseté overges, aor meghatároz egy ]a R, a+r[ yílt itervallumo lévő fx függvéyt, amelyre fx = c x a. = Ee a függvéye mide -re létezi a deriváltja, amit az eredeti sor tagjaia deriválásával apu meg: f x = c x a stb. f x = = c x a =. A ]a R, a + R[ yílt itervallumo a = c x a + + hatváysor szité overges lesz és mide a R < x < a + R egyelőtlesége eleget tevő x eseté fxdx = = c x a + + Példa: fx = arctgx hatváysora: + C. f x = + x = x = x + x 4 x , de így f xdx = x + x dx x x3 3 + x5 5 x C, = arctg = C = C, arctx = x x3 3 + x5 5 x , ha x <, < x <. 3. Taylor-soro Az fx függvéyt aarju hatváysorét felíri, rögzített a mellett olya a -eet eresü, amelyere fx = a x a = = a + a x a + a x a + + a x a +... Tegyü fel, hogy fx végtele soszor differeciálható az a egy öryezetébe. Eor f x = f x = f x = a x a = a x a = a x a 3 =3 stb. Behelyettesítve a-t apju, hogy fa = a 4

10 és általába f a = a f a = a f a = 3a 3 f a =!a, a = f a.! és ez aor teljesül, ha x <, < x < 4. A övetezőbe arra eressü a választ, hogy a Taylorsor mior állítja elő a függvéyt. Ehhez az. félévbe tault Taylor-tétel yújtja az alapot: 4. defiíció. Legye fx egy olya függvéy, amelyi végtele soszor differeciálható egy olya itervallumba, amelye belső potja a. Az fx függvéy által geerált Taylor-sor az x = a helye: = f a x a =! fa + f ax a + f a x a + +! f a x a +....! Az fx függvéy által geerált Maclauri-sor az x = helye vett Taylor-sor: = f + f x + f! f x =! x + + f x +....! Példa: Határozza meg az fx = x függvéy a = -beli Taylor-sorát! Megoldás: Nyilvá és általába f x = x f x = x 3 f x = 3x 4 f x =!x +. Ezért f =! +!! tehát a Taylor-sor: = +, x x x , ami egy egy x első tagú, háyadosú mértai sor. Ez yilvá megfelelő, mivel x = x, 5. tétel Taylor-tétel. Ha az fx függvéy az a I itervallumo aárháyszor differeciálható, aor mide pozitív egész és x A eseté ahol fx = fa + f ax a + f a x a +...! egy a és x özötti c-vel. + f a x a + R x,! R x = f + c x a+ +! Példa: Bizoyítsu be, hogy mide valós x eseté e x = = x! = + x + x! + x3 3! + + x! +... Megoldás: Írju fel az fx = ex függvéy Maclaurisorát! Eor a Taylor-tétel szerit ahol f x = e x f =, e x = + x + x! + + x! + R x, R x = egy és x özötti c-vel. Ezért, ha x <, aor Ha x >, aor R x x + +! R x e x x + +! Ezért tetszőleges valós x eseté e c +! x R x =,, ha, ha. 5

11 ahoa már övetezi az állítás. Követezméy: Ha x = az előző példába, aor azt apju, hogy e = e = + +! + 3! + +! + = =! A feti godolatmeetből adódó állítás a övetező tételbe fogalmazható meg: 6. tétel. Ha létezi M ostas, amellyel x és a özötti valameyi t eseté f + t M, aor a Taylor-tételbe szereplő R x maradétag ielégíti az x a + R x M +! egyelőtleséget. Ameyibe ez a feltétel teljesül mide -re, aor fx Taylor-sora fx-et állítja elő. Példa:. Mide valós x eseté Megoldás: Legye si x = x x3 3! x5 5! + x7 7! fx = si x f = f x = cos x f = f x = si x f = f x = cos x f = f 4 x = si x f 4 = f 5 x = cos x f 5 = stb. Ie a Taylor sor: Mivel x x3 3! x5 5! + x7 7! f + x = ± si x vagy ± cos x, ami bizoyítja az állítást. f + t,. Hasolóa bebizyítható, hogy mide valós x eseté cos x = x! + x4 4! x6 6! x8 8! +..., de úgyaez övetezi abból is, hogy és si x = cos x x x3 3! x5 5! + x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +..., 3. A cos x Taylor-sorából, már a cos x Taylor-sorát öyű meghatározi, csa a cos x Taylor-sorába az x-et x-re ell cseréli: cos x = x! + x4 4! x6 6! Határozzu meg az fx = +x m Taylor-sorát, ahol m valós szám. Megoldás: Köye igazolható, hogy tetszőleges pozitív egész eseté f x = mm... m + + x m, f = mm... m +, ahoa a Taylor sor + mx + mm x + + mm... m + x +....! Ha m emegatív egész, aor a Taylor-sor m + darab emulla tagot tartalmaz és biomiális tételt apju vissza. Ha m em emegatív egész, aor végtele so tagja va a Taylor-sora. Igazolható, hogy x < eseté overges a sor és előállítja + x m -et. Alalmazáso:. Határozza meg 3 potossággal az határozott itegrált! Megoldás: Az e x Taylor sorából apju, hogy e x e x dx = = x + x4! x6 3! + x8 4! +..., e x dx x + x4! x6 3! + x8 4! x +... dx = 5! 6

12 [x x3 3 + x5 x7 4 + x9 6 x ] = , ahoa apju, hogy egy megfelelő özelítés a Valójába a hibát potosa meg ellee becsüli de ez a övetező ét tagra ráézve hihető.. Határozza meg a határértéet! Megoldás: Mivel si x x x x 3 si x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., si x x x x 3 = x x x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x3 3! + x5 5! x7 7! +... x x 3 = x 3! + x 5! x4 7! + = 6. 7

13 . Fourier-soro. Bevezetés és defiíció Ee a fejezete a célja, hogy egy szerit periodius függvéyt felírju mit trigoometrius függvéyeből épzett függvéysorét. Nyilvá a cos x és a si x függvéye szerit periodius függvéye és általába tetszőleges egész szám eseté a cos x és a si x függvéye szité szerit periodius függvéye, továbbá az ezeből formált a + a cos x + si x = ú. trigoometrius poliomo is tetszőleges a, a, b valós számo eseté szerit periodius függvéyt ada. Ee a fejezete a célja a szerit periodius függvéyt felíri függvéysorét. a + a cos x + si x = A továbbiaba feltesszü, hogy a szerit peiodius fx Riema-itegrálható a [, ] itervallumba. Először az fx-et a a + a cos x + b si x = trigoometrius poliommal özelítjü. Az együtthatóat úgy válaszju, hogy a övetező, összese + feltétel teljesüljö:.. 3. fxdx = fx cos xdx = fx si xdx = f xdx f x cos xdx, f x si xdx, Az első feltételből a övetezőt apju: [ a x + fxdx = f xdx = a + = a cos x + b si xdx = = a si x =,,... =,,... ] cos x b = a, a = fxdx. Az a, b együttható meghatározásához szüségü lesz a övetező itegrálora:. Ha l pozitív egésze, aor a b c. Ha = l, aor a b c cos x cos lxdx = [ si + lx + + l si x si lxdx = [ si lx l si x cos lxdx = cos+lx+cos ldx = si lx l ] = cos lx cos+ldx = si + lx + l [ cos + lx + l cos xdx = [ si x x + 4 si xdx = [ si x x 4 si x cos xdx = [ cos x ] = si+lx+si ldx = ] cos lx = l + cos x dx = ] = ; cos x dx = ] ] =. si xdx = =

14 A fetieet haszálva már meg tudju határozi az a és b együtthatóat: fx cos xdx = f x cos xdx = a + a cos x+ a l cos lx + b l si lx cos xdx = l= a l cos lx cos x+b l si lx cos xdx = a, l= a = fx cos xdx Hasolóa apju a b együtthatóat: fx si xdx = f x si xdx = a + a si x+ a l cos lx + b l si lx si xdx = l= a l cos lx si x+b l si lx si xdx = b, l= b = fx si xdx. Az előbb apott együttható em függe -től, emiatt természetes a övetező szerit periodius függvéyel özelítei a szerit periodius fx-et:. defiíció. A szerit periodius fx Fourier-sora: ahol és a + a cos x + b si x, = a = a = b = fxdx, fx cos xdx fx si xdx. Példa: Fejtsü Fourier-sorba az {, < x <, fx =, < x függvéyt! Megoldás: Nyilvá és a = fxdx = a = dx + dx = 3 ; fx cos xdx = cos xdx + cos xdx = [si x b = [ ] [ si x + ] fx si xdx = = si xdx + si xdx = ] [ cos x + cos Így a emulla együttható: a = 3, b = a Fourier sor: 3 cos x ] =. =, =,,..., si 3x si 5x si x Fourier-sor részletösszegei. A övetező tétel azt modja i, hogy a Fouriersor részletösszege a legisebb átlagos hibaégyzet tulajdoságú.

15 . tétel. Legye az fx szerit periodius függvéy, az -edi részletösszege: s x. Legye t x = α + α cos x + β si x = tetszőleges α, α, β valós együtthatóal. Eor mide eseté fx s x dx fx t x dx és egyelőség csa aor teljesül, ha α = a, α = a, β = b. De Bizoyítás: Nyilvá fx t x dx = f xdx + t xdx fxt xdx. = fx α α + fxt xdx = α cos x + β si x dx = = α fxdx+ fx cos xdx + β α a + α a + β b. = fx si xdx = A t x defiíciójából öyű elleőrizi, hogy: t xdx = α + α + β. = Ezért fx t x dx = f xdx+α+ α a + α+β = α a + β b = = f xdx+α a + a + α a + β b = a + b, = amie a miimuma α = a, α = a, β = b eseté lesz, ahoa már övetezi a tétel. A miimum eseté: fx s x dx = f xdx ahoa apju, hogy a + fx dx a + a + b, = a + b. = Mivel ez mide eseté igaz, fx dx a + a + b. = A övetező, itt em bizoyított állítás azt modja i, hogy itt egyelőség áll:. tétel Parseval-formula. Ha a szerit periodius fx Riema-itegrálható a [, ] itervallumba, aor fx dx = a + a + b. = Ebből már övetezi, hogy égyzetes átlagba a részletösszeg özel va az fx függvéyhez: fx s x dx =. Példa: A Parseval formulát haszálju az {, < x <, fx =, < x függvéy eseté! Megoldás: Tudju, hogy a em-ulla Fourieregyüttható: a = 3, b =, =,,.... 3

16 Ezért 5 = fx dx = a + a + b = ahoa redezés utá = 4, , 8 = Fourier-sor potoéti overgeciája A övetezőbe arra eressü választ, hogy a fet apott Fourier-sor milye feltétele eseté állítja elő az fx periodius függvéyt. Ehhez szüség va a övetező defiicióra:. defiíció. Az fx függvéy szaaszosa folytoos az I itervallumo, ha véges so pot ivételével az fx folytoos és ahol szaadása va, ott létezi a bal és jobboldali határérté. A feti defiícióra támaszodva már megadhatju, hogy a Fourier-sor milye apcsolatba va az fx-szel. 3. tétel. Tegyü fel, hogy az fx és f x függvéye szaaszosa folytoosa a [, ]-be. Eor a Fouriersor értée az fx folytoossági potjaiba megegyezi fx-szel, míg szaadási potoba a bal és jobboldali határérté átlagát veszi fel. A feti, em bizoyított tétel övetezméye: Követezméy: Ha a szerit peiodius fx függvéy olya, hogy a [, ] itervallum felbotható véges so itervallumra úgy, hogy egy részitervallumo a függvéy mooto és folytoos, a szaadási potoba létezi a bal ill. jobboldali határérté, aor a Fourier-sor előállítja a függvéyt az fx folytoossági potjaiba és a szaadási helyee a Fourier-sor az fx ottai bal és jobboldali határérté átlagát veszi fel. Példá:. a Fejtsü Fourier-sorba az fx = x, ha < x < szerit periodius függvéyt! b Határozza meg f értéleit úgy, hogy fx midehol folytoos legye! Megoldás: A határozott itegrál defiíciója alapjá: továbbá és [ x [ x a = a = ] si x b = [ cos x ] cos x cos + xdx =, x cos xdx = ] si x =, x si xdx = [ si x cos x ] dx = dx = =. Így a Fourier-sor: si x si 3x si x A overgeciáról szóló tétel alapjá az f = választás ell ahhoz, hogy a Fourier-sor előállítsa a függvéyt a szaadási helye. Megjegyezzü, hogy az x = helyettesítés a övetezőt adja: = f si si 3 = si = , 4 = , ami em olya meglepő, mivel taultu, hogy arctgx = x x3 3 + x ha < x <, 5 ami a fetie alapjá x = és x = eseté is igaz. 4

17 . Fejtsü Fourier-sorba az függvéyt! fx = si 3 x Olya a, a, b valós számoat ell találu, amelyeel si 3 x = a + a cos x + b si x. = A liearizációs formulá szerit: si 3 x = si x si x = cos x si x = si x si x cos x = si x 4 si 3x + si x = 3 4 si x si 3x, 4 a emulla Fourier-együtthatóá: b = 3 4 és b 3 = Páros és páratla függvéye Az alábbiaba azt godolju meg, hogy páros és páratla függvéye eseté hogya egyszerűsödi le az együttható iszámítása. A továbbiaba felhaszálju, hogy ha gx egy szerit periodius függvéy, aor a [, ] itervallumo vett itegrál megegyezi a [, ] itervallumo vett itegrállal, gxdx = gxdx.. Legye fx egy páros függvéy. Eor fx párossága miatt a = fxdx = fxdx = továbbá fx cos x párossága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx. Mivel fx si x páratla, b = fx si xdx = fxdx, fx cos xdx = fx si xdx =., tehát a Fourier-sor em tartalmaz sziuszos tagoat, emiatt ezt a Fourier-sort tiszta osziuszos Fouriersora modju.. Most legye fx egy páratla függvéy. Eor fx páratlasága miatt a = fxdx = fxdx =, továbbá fx cos x páratlasága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx = Mivel fx si x páros, b = fx si xdx = fx si xdx, fx si xdx = emiatt ez a Fourier-sor csa sziuszos tagoat tartalmaz, ezt tiszta sziuszos Fourier-sora modju. Példá:. Fejtsü tiszta sziuszos Fourier-sorba az függvéyt! fx = x x x Megoldás: A függvéyt a [, ] itervallumo úgy egészítjü i, hogy a [, ] itervallumba páratla legye. Erre a függvéyre már alalmazhatom a feti épleteet. A részleteet mellőzve a övetezőt apju b = b = fx = 8 x x si xdx = 8 3, si 3x si 5x si x Magyarázza meg, hogy a orábba iszámolt fx = x, < x < szerit periodius függvéy Fourier-sora miért em tartalmaz osziuszos tagot! Megoldás: Teitsü a gx = fx függvéyt. Ez már páratla lesz, emiatt az ő Fourier-sora csa sziuszos tagoat tartalmaz. Ehhez a Fourier-sorhoz hozzáadva -et megapju fx Fourier-sorát. 5

18 5. T szerit periodius függvéye Fourier-sora Tegyü fel, hogy fx egy T szerit periodius, a [, T ]-be Riema itegrálható függvéy. Eor őt a övetező alaú Fourier-sorba fejthetjü: ahol és a + = a = T b = T a cos T x + b si T x, a = T T T T fxdx, fx cos T xdx fx si T xdx. A overgeciára hasoló tétel modható i, mit ami a szrit periodius függvéyere voatozi. A részleteet mellőzzü. 6

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Divergens sorok. Szakdolgozat

Divergens sorok. Szakdolgozat Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

Jegyzetek a Matematika A2H tárgyhoz

Jegyzetek a Matematika A2H tárgyhoz Jegyzete a Matematia A2H tárgyhoz Kreedits Sádor és Révész Szilárd György Tartalomjegyzé. Végtele umerius soro 2.. Sorozato - rövid ismétlés............................ 2.2. Végtele umerius soro............................

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π Matematika Ac gyakorlat Vegyzméröki, Bioméröki, Köryezetméröki szakok, 7/8 ősz 4. feladatsor: Fourier-sorok megoldás. Legye fx = ha x, ], fx = ha x, π]. Írjuk fel f Fourier-sorát. Mely potokba állítja

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása umerius módszere. emlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel Legye :[ a, b] R olyoos, a, b, és eressü az egyele egy [ a, b] -beli megoldásá. Bolzao éele: Legye olyoos a véges,

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget

Részletesebben

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241. Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Draft version. Use at your own risk!

Draft version. Use at your own risk! BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára

Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra

Részletesebben

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Végtelen sorok konvergencia kritériumai Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

II. Valós számsorozatok

II. Valós számsorozatok Vlós számsorozto 5 Értelmezés Az f : II Vlós számsorozto és f : \ {,,,, } típusú függvéyeet ( ) vlós számsorozt evezzü Értelmezés Az f : sorozt -edi tgjá vgy áltláos tgjá evezzü z f ( ) vlós számot, és

Részletesebben

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály Kolozsvár,. május 9. V. osztály a5b. Határozd meg 7cd legagyobb törtet! alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi

Részletesebben

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán

Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben