V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

Átírás

1 V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a = b q + r, r < b Megevezés: a osztadó b osztó q háyados r maradé Korábba a maradéos osztás egyeletét az I-IV osztályba szoásos O = o h + m formába haszáltu Az oszthatóság értelmezése Ha a feti ijeletésbe r =, aor a = b q Eor b-t az a osztójáa evezzü Jelölés: b a b osztja a-t, vagy amb a osztható b-vel, vagy b Da b eleme az a osztói halmazáa A feti értelmezést úgy is olvashatju, hogy a többszöröse b-e Jelölés: Azt a téyt, hogy a többszöröse b-e, így is jelöli: a = M b A b szám többszöröseie halmazát M b -vel jelöljü Tehát mégegyszer: ha a és b eseté q úgy, hogy : a = b q, aor b osztója a-a, illetve a többszöröse b-e ( a, b, q N, b ) Az oszthatóság tulajdoságai )Az oszthatósági reláció redezési reláció, mégpedig reflexív redezési reláció a N, a a Ha a b és b a a = b Ha a b és b c a c A feti tulajdoságo redre: reflexivitás, atiszimmetria, trazitivitás )A -a mide emulla természetes szám osztója ( Ma, a N ) ) am, a N eseté 4)(additív tulajdoság) Ha a b és a c a ( b + c) A tulajdoság igaz a ( b c) re is, ha b > c A övetező három tulajdoság multipliatív tulajdoság 5) Ha a b a b c, ahol c tetszőleges természetes szám 6) Ha a b a c b c, ahol c tetszőleges természetes szám

2 ) Ha a b és c d a c b d 8) Ha c a és c b c ( ax + by), ahol x és y tetszőleges természetes számo (additív és multipliatív tulajdoság együttese) 9)Egy összeg aor és csais aor osztható egy b számmal, ha az összeg tagjai b-vel való osztási maradéaia összege osztható b-vel Bizoyítás Legye a = a + a + a + + a és a = b q + r ; a = b q + r ;; a = b q + r ()és tegyü fel, hogy r + r + r ) M b a = a + a + + a ( + = b q + r + b q + r + + b q = b (q + + q + (r + r + + r ) = Mb + Mb ahol az Mb jelölés a b többszörösét jeleti Vagyis, ha a maradéo összege osztható b- vel, aor az a szám is osztható b-vel ()Legye a + a + + a = Mb a + a + + a = b( q + q + + q + r r + r Mb + + r Mb = ( a + a + + a ) b( q + q + + q Mb + r + + r Tehát igazoltu az állítás fordítottját is )Követezméy: Ha ét szám b-vel való osztási maradéa egyelő, aor a ét szám ülöbsége osztható b-vel, és fordítva A jelölése: c d(mod b), iolvasva: c ogrues d-vel modulo b Bizoyítás () c = b q + r ; = b q b q = b( q () c d = Mb de r < b, r d = b q c d = ( b q + r ) ( b q < b r r + r ; q ) = Mb < b r = r + r ) = b ( q + r c d = ( b q + q + r ) ( b q q ) + ( r r ) r r = Mb de eze mégcsa em is egyszeresei b-e, tehát r r = b r = r 4Oszthatósági ritériumo (szabályo) + r ) = Megjegyzés: Az oszthatósági ritériumo igazolásáál a övetező (előzőbe már felsorolt) tulajdoságora alapozu: -Ha egy összeg mide tagja osztható egy számmal, aor az összeg is osztható a számmal (4 tulajdoság) -Ha egy szorzat egyi téyezője osztható egy számmal, aor a szorzat is osztható a számmal (5 tulajdoság) ) +

3 -Ha egy szám osztható egy másial, aor a szám az utóbbi szám mide osztójával osztható ( tulajdoság) ()A -zel való oszthatóság ritériuma am ha az a szám legalább db ullába végződi ()A -vel, ill 5-tel való oszthatóság ritériuma am ha az a szám utolsó számjegye osztható -vel, ill 5-tel am5 Bizoyítás Az a szám felírható összeg-alaba hatváyai szerit: a = a + a + + a + a + a A felírásból látható, hogy az összeg az utolsó tagig osztható -zel, vagyis -vel is és 5- tel is Tehát ha az is osztható -vel, illetve 5-tel, aor az a szám is osztható lesz a () A 4-gyel, illetve5-tel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható 4-gyel, illetve 5-tel, ha az utolsó ét számjegyéből alotott étjegyű szám osztható 4-gyel, ill 5-tel Bizoyítás a = a + a + + a + a + a + a M 4, M5 az utolsó ét szj böl alotott sz Tehát, ha a a M, továbbá a a 5, aor az a is osztható 4-gyel, ill 5-tel 4 M (4)A 8-cal, ill 5-tel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható 8-cal, illetve 5-tel, ha az utolsó három számjegyéből alotott háromjegyű szám osztható 8-cal, ill 5-tel (A bizoyítása az előzőhöz hasoló) (5)A -mal, ill 9-cel való oszthatóság ritériuma Ha egy számba a számjegye összege osztható -mal, ill 9-cel, aor a szám is osztható -mal, ill 9-cel Bizoyítás = Az a szám felbotásába hatváyait ilye formába írju: a = a db (999 + ) + a db (999 + ) + + a db = a a a a 99 + a 9 + a + a+ + + a + a + a + a M, M9 (999 + ) + a am Tehát ha a számjegye összege M, ill M9 am9 (99 + ) + a (9 + ) + a a számjegye összege =

4 (6) A -gyel való oszthatóság ritériuma Egy szám aor és csais aor osztható -gyel, ha váltaozó előjellel vett számjegyeie összege osztható -gyel, az összeg felírását az egyesetől ell ezdei Bizoyítás = általáosítva : Tehát a = a = 9 + = M, ha = 9 = M+, ha páros + a ( M ) + a páratla ( M+ ) + a = 99 + ( M ) + + a ( M+ ( ) ) = = M+ ( a a + a a + ± a ) A zárójelbe tehát a számjegye váltaozó előjellel vett összege va Ez az összeg az egyese számjegyével ezdődi, amely midig pozitívét szerepel 5 osztható -gyel, mert +5 + =, ami osztható -gyel () A -tel, -gyel, -mal való oszthatóság ritériuma A ritériumot először magyarázzu, majd példá mutatju be A megfogalmazása elég örülméyes A bizoyításhoz tudi ell, hogy = Az a számot így írju: a = a a a a a a = a a a + a a a = a a = a a 44 M, M, M a aa 44 a + a a a a ( ) + a Tehát, ha a a a a + aaa algebrai összeg osztható -tel, -gyel, -mal, aor maga a szám is osztható ezeel a 5 esetébe + 5 = 45, 45 osztható -gyel, tehát a 5 szám is osztható -gyel (mit azt az előző esetbe is láttu) 45 em osztható sem -tel, sem -mal, tehát a 5 sem osztható ezeel = 49 49M /, 49M, 49M 59488M/, 59488M, 59488M Alalmazás (faultatív ayag) A szorzás helyességée elleőrzése osztási maradéo segítségével: -Kiszámítju étféleéppe a szorzat 9-cel való osztási maradéát: a téyező osztási maradéával, illetve a szorzatból -Ha a ét maradé em egyelő, aor a szorzás hibása va elvégezve -Ha a ét maradé egyelő, aor még ugyaúgy elleőrizü ell -gyel való osztási maradéal -Ha az így apott maradéo is egyelőe, aor a szorzás helyes a a = 4

5 Helyes-e a = 59 5 szorzás? 689 = M9 + 5 = M9 + 8 (M9 + ) (M9 + 8) = M = M = M9 + Tehát a 9-cel való osztási maradéo egyeze De: 689 = M = M + (M + 8) (M + ) = M = M + / =, ami osztható -gyel/ Tehát a szorzás helytele 5Prímszámo -Mide, ullától ülöböző természetes szám osztható -gyel és ömagával Ezeet a szám em valódi (triviális) osztóia evezzü Mide, ezetől ülöböző osztót, valódi osztóa evezü - D a jelöli az a természetes szám természetes osztóia halmazát -Ha egy a, a N eseté a = b c, aor b-t és c-t az a szám társosztóia evezzü Megjegyzés Ha meg ell határozi D a elemeit, érdemes éttőét: a társosztóat felsoraoztati, amíg találoza D = {,,,4, 4 6,8,,4} Tehát így töltjü i a halmazt: és 4, és, és 8, 4 és 6 Értelmezés Azoat a -tól és -től ülöböző számoat, amelyee ics valódi osztóju, prímszámoa (törzsszámoa) evezzü Értelmezés Az összes olya -tól és -től ülöböző számot, amely em prímszám, összetett száma evezzü Tehát a természetes számo az osztói száma szerit lehete: - csa db osztója va: - végtele so osztója va: - csa ét osztója va: az és ömaga = prímszám (,, 5,,,,, 9,, 9,,, 4, 4, 4, ) - ettőél több osztóju va: összetett számo Fotos tulajdoság: Ha egy szorzat osztható egy prímszámmal, aor a szorzat egyi téyezője legalább osztható ezzel a prímszámmal (A tulajdoság em érvéyes, ha az osztó em prímszám) 5

6 8, 8, vagy Az utóbbi igaz de : 68, mégis 8M / 6 és M/ 6 mert a 6 em prím A prímszámo iválogatására egy bizoyos számig az ú Eratoszteész-féle szitát haszáljá (Eratoszteész ie II-III századba élő görög tudós) ha -ig aarju iválogati a prímszámoat: Leírju - 99-ig az összes számot, aztá ihúzogatju azoat, amelye összetette -Megtartju a -st, mit a legisebb prímszámot, aztá mide másodi számot ihúzu, mert azo párosa Megtartju a -ast, aztá mide harmadiat ihúzzu (lesze özöttü már ihúzotta, ezere figyeljü!) -Megtartju az 5-öst, mide ötödiet ihúzzu -Megtartju a -est és mide hetediet ihúzzu A megmaradt számo a prímszámo -ig Idolás: A övetező prímszám a De a -e a társosztója -él isebb Tehát, mivel mide alatti számmal osztható számot már ihúztu, ics több prímszám -ig Tétel Mide összetett szám legisebb valódi osztója prímszám Bizoyítás Legye egy összetett szám és p az legisebb valódi osztója A p em lehet összetett szám, mert aor va valódi osztója: q<p Eor q p és p Tehát q Tehát így p em lehet a legisebb valódi osztó, ami elletmod a feltétele, vagy p a legisebb Tehát p csa prímszám lehet Tétel (a számelmélet alaptétele) Mide összetett szám, a téyező sorredjétől elteitve, felbotható egyértelműe véges so prímszám szorzatára Bizoyítás 6

7 ()A felbotás létezése (exiszteciája) Az előző tétel alapjá va -e prímosztója Legye az legisebb prímosztója p Azaz = p m, > m Ha m prímszám, a tétel igazolt Ha m összetett szám, aor va m -e p prímosztója Tehát m = p m, m > m Így folytatju az eljárást, amíg m = p prímszám lesz Tehát > m > m > > m csöeő sorozatot apu Mivel a prímszámo özött va legisebb, ezért véges so lépésbe eljutu az m = utolsó lépéshez Vagyis -re a övetező felbotást p apju: = p m = p p m = = p p p ()Egyértelmű-e a felbotás? Legye -e ét felbotása: = p p p és = q q qs, s p p p p és p q q qs, mivel ez utóbbi szorzat is -el egyelő A prímtulajdoság alapjá p osztója a q q,, q téyező valamelyiée Legye ez, éppe q, ez lehetséges, mert a szorzás ommutatív De így p = q, mert mid a ét szám prím (az oszthatósági reláció atiszimmetrius) Ezért a téyező szorzatából elhagyhatju a p = q -et és a p p p = q q qs egyelőséget apju Az előző godolatmeettel p = q, p = q,, p = q Eor vagy =s, vagy <s De így = q + q + qs Mivel eze mid prímszámo, csa q + = q + = = qs = lehetséges Tehát így is a =s esethez jutu Ezzel igazoltu, hogy a prímfelbotás egyértelmű (a sorredtől elteitve) Tétel (Eulidész, ie ) Végtele so prímszám va Bizoyítás Feltételezzü, hogy csa véges darab prímszám va, eze: p, p,, p s Képezzü a p = p p p számot Ez em osztható p, p,, p egyiével sem (más prímszám ics), tehát ez egy újabb prímszám lee, ami elletmodás Érdeesség: Bár végtele so prímszám va, mégis, igazolható, hogy megadható tetszőlegese so egymásutái szám, melye mideie összetett Vagyis a prímszámo özött tetszőlegese agy lyua is vaa (Igazolás! = 4 szám soha em prím (>) De ( + )! + összetett, mert osztható -vel ( + )! + összetett, mert osztható -mal ( + )! + 4 összetett, mert osztható 4-gyel és így tovább ( + )! + + is összetett Ilyeformá potosa db egymásutái összetett számot soroltu föl) Példa prímtéyezőre való botásra:

8 5 6 = 5 Egy szám összes osztóia a száma: s s s Ha = p p p, aor az osztó száma: ( ) = ( s + ) ( s + ) ( s + ) Az összes osztó megeresése a) társosztó fölírásával Az osztó száma: = τ (4) = 5 τ ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = 4 D = {,,,4,5,6,,,,4,5,, 4,8,,5,4,6,,84,5,4,,4} b) a téyezőre botásból, ipárosítva: 4 = 5,,,5,,, 5,, 5,,5, 5,, 5,, 5, 5 5,, 5, 5 5 6Közös osztó Legagyobb özös osztó 5 db db db ö = 4 db 4 db db Két, vagy több szám özös osztóia halmaza egyelő az osztói halmazáa metszetével D = {,,,4,6,8,,4} D D = {,,,4,6,9,,8,6} = {,,,6,,4,,4} 4 és 6 özös osztói: D D {,,,4,6,} 4 6 = 4 D4 = 4 és 4 özös osztói: D {,,,6 } 4, 6 és 4 özös osztói: D D D {,,,6} = A özös osztó halmaza véges, mert maga az osztó száma is véges Tehát ebbe a halmazba va legagyobb elem, ez a lo Potosa: Két, a és b szám lo-ja az a d szám, amellyel mid a ét szám osztható, és az a és b számo mide más osztója osztja a lo-t 8

9 Jelöléssel: Ha d = (a, b), aor () d a és d b () ha d N, d a és d b d d Tehát a feti példáál: (4, 6) =, (4, 4) = 6, (4, 6, 4) = 6 A lo meghatározása prímtéyezőre botással: -csa a özös téyező és azo a legisebb hatváyo 4 = (4,6) = = 6 = (4,4) = = 6 4 = (4,6,4) = = 6 A lo meghatározása (ét szám eseté) Eulideszi-algoritmussal: (6,4) =? 6 : 4 = 4 : = == Az algoritmus: a agyobbi számot osztju a isebbiel, aztá az osztó osztva az előző osztás maradéával, míg a maradé lesz Az utolsó -tól ülöböző maradé lesz a lo 4 : 4 = 4 :8 = 8 : 6 = 8 = 6 Itt a lo= (6, 4) = 6 == Pl (,5) =? Törzstéyezőre botással: = 5 = 5 5 (,5) = 4 5 = Eulideszi-algoritmussal: : 5 = 5 : = = 6 : 6 = 4 = 6 : 4 = 4 : == = Megjegyzés Ha több szám lo-ját aarju meghatározi Eulideszi-algoritmussal, aor a ét szám lo-ját visszü be az algoritmusba a III számmal, és így tovább 9

10 Értelmezés Ha ét szám lo-ja, aor a számoat relatív prím számoa (viszoylagos törzsszámoa) evezzü 5 és De 5, és 9 is relatív príme Eze pároét is relatív príme, mert (5, ) =, (5, 9) =, (, 9) =, míg ülö-ülö egyi sem prím (5 = 5, =, 9 = ) Tulajdoságo ()Ha (a, b) = és a b, aor a ()Ha (c, b) = és b a és c a, aor b c a Felhaszálás: oszthatóság összetett számoal: am am6 am am6 am4 és am9 De ha am és am8 / am6 Nem alalmazható a () tulajdoság, mert a és 8 em relatív príme Közös többszörösö Lt Két szám özös többszöröseie a halmaza egyelő a többszörösö halmazáa a metszetével M = {6,,8,4,,6,4,48,54,6,66,} M 8 6 = {8,6,4,,4,48,56,64,,} M 6 M 8 = {4,48,,} A özös többszörösö halmaza végtele Va legisebb eleme Ez a lt Jele esetbe [6, 8] = 4 (a 6 és a 8 legisebb özös többszöröse a 4) Tehát a lt a özös többszörösö özül a legisebb Potosabba: A lt mid a ét száma a többszöröse és a száma mide többszöröse a lt- e is többszöröse Jelöléssel: Ha m = [a,b], aor: () mma és mmb () ha pedig m Ma, m Mb m Mm A lt meghatározása téyezőre botással: [6,8] = 4, mert 6 = 8 = [6, 8] = = 4 A ltmeghatározása a lo segítségével:

11 Számelméleti tétel: ( a, b) [ a, b] = a b a b [ a, b] = ( a, b) A tétel szerit: [ 6,8] = = = 4, (6,8) (6,8) = Más pl 4 = 5 5 = 5 4 [5] = 5 = 8 = 8 5 A tétel alapjá: [,5] = = 8 VKogrueciá Értelmezés Legyee a, b, természetes számo, a b(mod) ( a b) M ( a ogrues b-vel modulo ) Tehát az értelmezés alapjá a ét szám ogrueciája feáll, ha a ét száma -el való osztási maradéa ugyaayi (lásd a Relációál és az Algebrai strutúráál) Megjegyzés Láttu a relációál, hogy a ogruecia reláció egy evivalecia reláció, vagyis reflexív, szimmetrius és trazitív A ogrueciá tulajdoságai: IAdditív tulajdoság Ha a b (mod ) ( a + a ) ( b + b )(mod) a b (mod ) 6 ( mod) = 4 (mod) 4 (mod ) Követezméye a b (mod ) () ( a a ) ( b b )(mod) a b (mod ) () a b(mod ) ( a ± c) ( b ± c)(mod ), ahol c N () b a b ( ) ahol N a (mod ) mod, (A feti tulajdoságo aor érvéyese, ha a művelete va értelme N-be) IIMultipliatív tulajdoság a b (mod) ( a a ) ( b b )(mod) a b (mod) Követezméy

12 a b(mod ) a b (mod ) Alalmazás: 4 Feladat Határozzu meg az = száma -tel való osztási maradéát (Nyilvávaló, hogy a ormalítás határai özött em iszámítható) Ezért ogrueciáat és azo tulajdoságait alalmazzu 4 8 (mod ) 8 4 (mod ) 4 = ( ) (mod ) 4 Végül is 8 (mod ) 5 (mod ) (mod ) (mod ) Tehát 4 (mod ) (mod ) 4 = ( ) (mod ) 6 (mod ) (mod ) (mod ) 4 (mod ) (mod ) = 6 (mod ) 4 Összegezve: (8 + 5 ) ( + )(mod) (mod), vagyis M VDiophatoszi egyelete (Diophatosz 5 örül, talá elgörögösödött babilóiai) Értelmezés Az ax + by = c étismeretes egyeletet diophatoszi egyelete evezzü, ha a, b, c egész számo és az egyelet megoldásait is az egész számo örébe eressü Megjegyzés Itt csa az I foú (lieáris ) és ét ismeretlees diophatoszi egyeleteel foglalozu A övetező szöveges feladat egy diophatoszi egyeletet eredméyez: Csomagoba isolás füzete vaa, égyzethálósa és voalasa A 8 csomagba levő égyzethálós füzet száma -gyel több, mit a 5 csomagba levő voalas füzete száma Számítsu i, hogy háy voalas, ill égyzethálós füzet va csomagoét Először a természetes számo halmazá oldju meg az egyeletet Megjegyzés Nyilvávaló, hogy ha d = (a, b) em osztója c-e, aor az egyelete ics megoldása (lásd az oszthatóság tulajdoságai, 8 tulajdoság) Tehát az egyelet megoldhatóságáa szüséges feltétele, hogy d c Eor az egyeletet végigosztva d-vel, olya a x + b y = c egyeletet apu, amelybe ( a, b ) = Ezért a továbbiaba feltételezhető, hogy (a,b) = ( ) ax = by + c, a, b N, ( a, b) =, c < b

13 Megvizsgálju az () egyelet megoldását, a többi típust erre fogju visszavezeti Tétel (a)a megadott egyelete midig va x, y ) úgyevezett parciális megoldása, amelyre x < b ( (b)ha ( x, y ) egy megoldása az () egyelete, aor az összes megoldás alaja x = x + b, N y = y + a Oldju meg a 8x = 5y + egyeletet Valóba az egyelet () típusú: ( 8,5) =, c = < b = 5 Az ( x, y ) megoldást találgatással eressü x = 8 = 5y + em lehet x = 6 = 5y + em lehet x = 4 = 5y + em lehet x = 4 = 5y + em lehet x = 6 4 = 5y + em lehet x = 48 = 5y + em lehet x = 8 56 = 5y + y =, 8 = 5 + Tehát ( x, y ) = (, ) Az egyelet összes megoldása: x = + 5 y = + 8, N Jó-e az így megadott általáos megoldás? Behelyettesítjü az eredeti egyeletbe: 8 ( + 5) = 5 ( + 8) = (i) Észrevehető, hogy a megoldott egyelet a példaét megadott szöveges feladat egyelete ( ) ax = by + c, a, b N, ( a, b) =, c b Eljárás: osztju a c-t b-vel és változócserét alalmazu 8x = 5y + :5 =, m = Tehát: 8x = 5y x = 5 (y + ) + y + = z (behelyettesítjü) 8x = 5z + eél láttu, hogy x z = x = z + 5 = = + 8, de z ( x, z ) = y = (, ), tehát + y + = + 8 y = + 8

14 x = + 5 Tehát Mivel {,,} eseté egatív értéeet apu, ezért y = + 8, N értéetől ezdjü ( ) ax = by + c, a, b, c Z, ( a, b ) = Hasoló megállapítás érvéyes Z-be, mit az () típusra N-be Vagyis, ha az egyelet () típusú, midig va x, y ) megoldás Z-be és az általáos megoldás a Z-be: x y ( = x + b, Z = y + a Megjegyzés Bár a () típusú egyelete Z-be midig va megoldása, de ez em midig jeleti, hogy N-be is va megoldás -6x = 5y + Ha y =, aor -6x = Ha y =, aor -6x = Ha y =, aor -6x = 5 Ha y =, aor -6x = Ha y = 4, aor -6x =, tehát x = - Vagyis x, y ) = (-, 4) ( x = + 5 Tehát az általáos megoldás, Z y = 4 + ( 6) Próbálgassu redre helyére egész értéeet: Ha = -, aor (-6, 6) Ha = -, aor (-4, ) Ha =, aor (-, 4) Ha =, aor (8, -) Ha =, aor (, -8) Ha =, aor (48, -4) Tehát látható, hogy ics természetes számpár megoldása az egyelete ( 4) ax = by + c, a, b, c Z, ( a, b ) = d > Aor és csais aor va megoldás, ha d c Ha d valóba osztja c-t, aor végigosztju az egyeletet d-vel és így a () típusú egyelethez jutu Oldju meg N-be: 6x + 8y = 495 (6, 8) = 9 és Tehát az egyelete va megoldása 6x + 8y = 495 /:9 4

15 x + 9y = 55 Átvisszü az y-os tagot jobboldalra x = -9y > -9, tehát leválasztju belőle 9-e legagyobb többszörösét x = -9y = 9 (-y + 6) + jel z = -y + 6, tehát a x = 9z + egyelethez jutu Keressü a parciális megoldást, x = 4 eseté 8 = 9 + (, z x = x ) = (4, ), Z, z = + 6 = + = y y y z = + x = Az egyelet általáos megoldása:, Z y = Természetes szám megoldást ell eresü: Ha = -, aor (-4, ) Ha = -, aor (-5, ) Ha =, aor (4, ) Ha =, aor (, -4) Ha =, aor (, -) Egyetle természetes megoldás va: (4, ) Megjegyzés A fet leírt égy típusú egyelet megoldhatóságáa tárgyalása rövidebbe összefoglalható Ez övetezi 5