Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik."

Átírás

1 Számsorozatok december Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el ször, hogy létezik-e határértéke a számlálóak, és evez ek. Ha ige, akkor egyszer e veük kell a két határérték háyadosát. Nyilvávaló, hogy 2 +7), hisze két olya tag összegér l va szó, melyek midegyike végtelehez tart. A számlálóak tehát ics határértéke. Hasolót modhatuk a evez r l is, 52 +4). A evez ek sics tehát határértéke. Az eddigieket rövide úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a meghatározadó határérték típusú. Az ilye típusú határértékek esetébe bármilye valós szám, s t végtele is lehet az eredméy, ezért az ilye tí- pust kritikusak, vagy határozatlaak evezzük. Ilyekor átalakítjuk a sorozatot megadó kifejezést úgy, hogy már e legye kritikus típusú. A típusú határértékek esetébe általába célszer egyszer sítei úgy a törtet, hogy a evez már e tartso végtelehez. Ezt úgy érhetjük el, ha a evez leggyorsabba övekv tagjával egyszer sítük. Jele esetbe az 2 övekszik leggyorsabba a evez be, így célszer ezzel egyszer sítei a törtet Az átalakított tört már em kritikus típusú, mert a számlálóba álló 7, s a evez be lev 4 véges midegyike típusú, így 0-hoz tartaak, 2 a kostasok határértéke pedig ömaga a kostas. 1

2 + 7 Ebb l következ e Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha + 9 létezik. Megoldás: Az el z feladathoz hasolóa, most is egy típusú határérték a kérdés. Ismét célszer 2 -tel egyszer sítei a törtet, mert ez a leggyorsabba övekv tag a evez be A számlálóba álló 4 2, és a evez be lev 9 midegyike 0-hoz tart, hisze véges típusúak. Viszot a számlálóba most eze kívül em csak egy kostas maradt, haem 2. Ez yilvá végtelehez tart, s így a határérték a következ : A sorozat tehát em koverges, ics határértéke.. Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha 9 létezik. Megoldás: A kérdéses határérték ismét típusú, de most a evez be övekszik a leggyorsabba, így ezzel célszer egyszer sítei Tudjuk, hogy 6 2 0, 5 0 és 9 véges 0, mert midegyik 2 típusú. Ebb l következ e a határérték a következ : Feladat: Határozzuk meg az a létezik sorozat határértékét, ha 2

3 Megoldás: A számlálóba a gyök alatti kifejezés yilvá végtelehez tart, s ebb l következ e az egész gyökös kifejezés is végtelehez tart, s így a tört megit típusú. A evez be 2 övekszik a leggyorsabba, így ezzel célszer egyszer sítei. A számláló osztásáál gyeljük oda! Gyökös kifejezés osztása eseté, a gyök alatt már az osztó égyzetével kell osztai. Tehát ha 2 -tel egyszer sítük, akkor a számlálóba a gyök alatt 4 -el kell osztauk. Mivel és , ezért a határérték a következ : 2 5. Feladat: Határozzuk meg az a 5 4 sorozat határértékét, ha + 9 létezik. Megoldás: Mivel és 4 midegyike végtelehez tart, így megit egy típusú határérték a kérdés. Ismét egy megfelel egyszer sítés segít rajtuk. Jele esetbe 4 -el célszer egyszer sítei a törtet A számlálóba lev els tört számlálójába és evez jébe megegyezik a kitev, így ezt írhatjuk egyetle tört hatváyakét is. 4 5 ) ) A számlálóba álló 0, mert 4 a 0, ha a olya valós szám, melyre 1 < a < 1 teljesül. Ugyacsak 0-hoz tart az 5 4 és a 9 4 is, hisze ezek véges típusúak. Ezek felhaszálásával a határérték a következ :

4 ) Feladat: Határozzuk meg az a létezik. 8 sorozat határértékét, ha + Megoldás: Feladatuk agyo hasolít az el z re, yilvá most is egy típusú határértékkel álluk szembe. Kicsi változás az el z höz képest, hogy most em csak fordul el a kitev be, haem is. Jobb lee azoba, ha mideütt, csak szerepele. Haszáljuk fel a hatváyozás azoosságai közül a következ t: a b c a b) c Ebb l következ e: 2 2 ) 8. Ezutá a következ t írhatjuk: Így már egyértelm, hogy 8 -el célszer egyszer sítei a törtet A számlálóba és evez be lev kicsi törteket írhatjuk egyetle tört hatváyakét is ) 8) 1 + ) 5 ) Mivel 0, és 0, hisze midkét esetbe a 8 8 típusú kifejezés határértékér l va szó, ahol teljesül, hogy 1 < a < 1, ezért már meghatározható az eredeti tört határértéke is ) ) Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha + 4 létezik. Megoldás: A határérték yilvá típusú, és a tört jellege hasoló az el z feladatba szerepl éhez, így haladjuk ugyaúgy mit az el bb. 4

5 Els lépéskét alakítsuk át a 2 -t, írjuk ikább 2) 9 formába Ezutá 7 -el egyszer sítsük a törtet Ahol a számlálóba és a evez be azoos kitev szerepel, ott írjuk ikább a tört hatváyát. 9 7 ) ) Ezutá vizsgáljuk külö a szerepl kicsi törtek határértékét! 6 véges 0 mert 7 típusú. ) 4 0, mert a típusú, ahol 1 < a < 1. 7 ) 9 Viszot, mert a típusú, de itt a > 1. 7 Eze részletek alapjá az eredeti határérték a következ : ) ) A sorozat tehát em koverges, ics határértéke. 8. Feladat: Határozzuk meg az a + 1 sorozat határértékét, ha létezik. Megoldás: Most em tört határértéke a kérdés, haem egy külöbségé. Nyilvávaló, hogy + 1 és midegyike végtelehez tart, amit úgy is modhatuk, hogy egy típusú határérték a kérdés. Az ilye típusú határértékek ugyaúgy kritikusak, mit a típusú határértékek. Most átalakítási lehet ségek a gyökteleítés kíálkozik, amit a középiskolai taulmáyok sorá általába evez be alkalmaztuk. Az volt a léyege, hogy két gyökös kifejezés külöbségét b vítettük ugyaazo két gyökös kifejezés összegével. Két gyökös kifejezés összegét pedig a külöbségükkel b vítettük, de ez most em érdekes számukra.) Midezt formulákkal a következ módo írhatjuk: a b a b) a + b) a + b a b a + b. 5

6 Alkalmazzuk most ezt a határértékük meghatározására. ) ) ) ) A számlálóba már csak egy kostas áll, így elég a evez t vizsgáluk. A megoldás elejé már említettük, hogy + 1 és midegyike végtelehez tart. A evez be most ezekek em külöbsége, haem összege áll, így ez em kritikus. Két végtelehez tartó kifejezés összege yilvávalóa maga is végtelehez tart. Koyhayelve ezt úgy modhatjuk rövide, hogy +. A törtük evez je tehát végtelehez tart, ami azt jeleti, a tört véges típusú, s így határértéke 0, azaz Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha létezik. Megoldás: A feladat agyo hasolít az el z re, két végtelehez tartó kifejezés külöbségével álluk szembe. Haszáljuk a gyökteleítést, mit az el z feladatba. ) ) ) ) 2) Felhívjuk a gyelmet arra, hogy a gyökteleítés utá a kifejezéseket zárójelbe kell tei, mert mide 'hosszú' m veleti jel egybe zárójel is. A + 5 esetébe ics jelet sége eek a zárójelek, mert a kifejezés el tt semmilye szorzó vagy el jel em áll. Viszot a 2 eseté már fotos a zárójel, hisze el tte egatív el jel va. A számlálóba már csak egy kostas áll, ezért elég a evez t vizsgáluk. Mivel + 5 és 2 midegyike végtelehez tart, ezért összegük is végtelehez tart. Amit az el z feladatba, úgy most is egy véges típusú törtet kaptuk, amiek határértéke 0, azaz ) Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha létezik. 6

7 Megoldás: Most egy hatváy határértéke a kérdés, ezért külö megvizsgáljuk az alapot és a kitev t, hogy hova tartaak. A kitev az egyszer bb, yilvá végtelehez tart. Az alap egy tört, amelyek számlálója és evez je is végtelehez tart. Ilye törtekkel foglalkoztuk az els feladatokba, s amit kiderült, ilyekor célszer egyszer sítei. Most -el egyszer sítsük ) 1 Mivel véges egy típusú tört, ezért 0-hoz tart, s ebb l következ e: 1 + ) 1. Az eddigieket úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a feladatba egy 1 típusú határérték a kérdés. Az ilye típúsú határértékek kritikusak, ezért át kell alakítauk ket a határérték meghatározásához. Amit az el bb láthattuk, az alap em csak egyetle törtkét írható, haem felbotható 1 és egy tört összegére az alábbi módo: Haszáljuk ezt fel ) ) Ezzel léyegébe késze is vagyuk, hisze tudjuk, 1 + k ) e k. Most a k szerepét a tölti be a kifejezésbe, ebb l következ e: 1 + ) e. Megjegyzés: A megoldás sorá felhaszáltuk, hogy az alap em csak egyetle törtkét írható, haem felbotható egy összegre. Ezt az alakot most egyszer sítés utá kaptuk meg, de ez em midig járható út. Viszot ha egy tört számlálójába összeg, vagy külöbség áll, akkor az midig felbotható két tört összegére, illetve külöbségére úgy, hogy a evez vel külö osztjuk a számláló tagjait. Ebbe a feladatba a következ t jeleti ez: + + Természetese az els törtet egyszer sítjük, így kapjuk a már korábba felírt alakot A kés bbiekbe az ilye átalakítási módot még többször fogjuk haszáli. 7

8 11. Feladat: Határozzuk meg az a ha létezik. ) sorozat határértékét, 5 1 Megoldás: Mivel hatváyról va szó, vizsgáljuk meg külö az alap és a kitev határértékét. A kitev yilvá -hez tart. Az alapot egyszer sítsük -el A feladatba szerepl hatváy tehát 1 típusú. Alakítsuk át az alapot az el z feladat megoldásáak végé lev megjegyzésbe leírtak szerit, azoba az egyetle tört két törtre darabolása el tt a számlálót botsuk két tagra úgy, hogy az egyik tag a evez vel egyezze meg. Így a felbotás utá az els tört egyszer síthet lesz, és éppe 1-gyel lesz egyel ) Írjuk ebbe a formába a határértékbe az alapot. ) ) Az el z feladatba már hivatkoztuk arra, hogy 1 + k ) e k. Most léyegébe ilye típusú kifejezés határértéke a kérdés, csak ayi a külöbség, hogy szerepét az 5 1 vette át. Ez a kifejezés került mideütt helyére. Azt is megtehetjük, hogy bevezetük egy jelölést eze kifejezésre, például legye t 5 1, és így írjuk fel a határértéket. Mivel eseté 5 1), ezért a határértékbe t fog álli ) ) t t t 1 + k ) határérték, Ez láthatóa csak más bet vel va írva, mit a valamit a k szerepét most a 7 tölti be. Ezek alapjá az eredméy: t t ) t e Feladat: Határozzuk meg az a ha létezik. ) sorozat határértékét, 4 + Megoldás: Egy hatváyról va szó, tehát vizsgáljuk meg külö az alap és a kitev határértékét. A kitev yilvá -hez tart. 8

9 Az alapot egyszer sítsük -el A feladatba szerepl hatváy tehát 1 típusú. Alakítsuk át az alapot az el z feladatba leírtak mitájára. A számlálót botsuk két tagra úgy, hogy az egyik tag a evez vel egyezze meg, majd a törtet botsuk két törtre, és egyszer sítsük ) Írjuk ebbe a formába a határértékbe az alapot. ) 4+ ) k ) e k, de most Ismét jó lee hivatkozi arra, hogy eltérés va egy el jelbe. Ezért a tört el tti egatív el jelet vigyük a tört számlálójába ) ) Most már formailag teljese olya, mit a 1 + k ) határérték, csak ayi a külöbség, hogy szerepét a 4+ vette át. Ez a kifejezés került a evez be és a kitev be is helyére. Bevezethetjük a t 4 + jelölést, majd felírhatjuk t-vel a határértéket. Mivel eseté 4 + ), ezért a határértékbe t fog álli ) 4+ t t Ez láthatóa csak más bet vel va írva, mit a valamit a k szerepét most a 2 tölti be. Ezek alapjá az eredméy: t t ) t e 2. ) t 1 + k ) határérték, 2. Összetett feladatok 1. Feladat: Vizsgáljuk meg az a sorozatot mootoitás szempotjából! Ha korlátos a sorozat, adjuk meg a legagyobb alsó és a 4 legkisebb fels korlátot! Határozzuk meg a sorozat határértékét, és adjuk meg ε hoz küszöbidexet! Megoldás: Egy sorozat vizsgálata mootoitás szempotjából azt jeleti, hogy övekedés, csökkeés szempotjából vizsgáljuk a sorozatot. 9

10 Ezt legegyszer bbe talá úgy hatjhatjuk végre, ha összehasolítjuk a sorozat két szomszédos elemét, hogy melyikük agyobb. Felhívjuk azoba a gyelmet arra, hogy em két kokrét elemet kell összehasolítai, haem általáosságba két szomszédos elemet. Ha például összehasolítjuk a 1 -et és a 2 -t, akkor az még semmit em jelet a agyobb idex elemkre ézve. Ezért az összehasolítást általáosa kell elvégezi a és a +1 között. Célszer vei a két szomszédos elem külöbségét, és aak el jelét vizsgáli. Ha például az a +1 a külöbség mide IN eseté pozitív, akkor a sorozat szigorúa mooto, amit úgy is modhatuk, hogy két elem közül midig a agyobb idex a agyobb. Eyi magyarázat utá térjük rá a kokrét sorozat vizsgálatára. Els két írjuk fel a sorozat + 1-edik elemét. Ezt úgy kapjuk, hogy a sorozatot megadó a kifejezésbe az helyére + 1-et 4 helyettesítük. a ) ) Természetese ezt célszer egyszer bb alakba íri, felbotai a zárójeleket, és összevoi. a ) ) Ezutá vegyük a szomszédos elemek külöbségét a +1 a Hozzuk közös evez re, majd a számlálóba botsuk fel a zárójeleket és vojuk össze. a +1 a )4 ) 5 + 7)4 + 1) )4 ) ) ) 4 + 1)4 ) ) ) 4 + 1)4 ) )4 ) Amit látható, a számlálóba csak egy kostas maradt, mely most épp egatív. A evez biztosa pozitív, mert a 4+1 és 4 téyez k pozitívak, hisze IN, azaz 1, 2,. Ezért a tört értéke mide IN eseté egatív lesz. Ez potosa azt jeleti, hogy a +1 a < 0 mide IN eseté, azaz a +1 < a mide IN eseté. 10

11 A sorozat tehát szigorúa mooto csökke, hisze két elem közül midig a kisebb idex a agyobb. Ezutá határozzuk meg a sorozat határértékét. Ehhez egyszer sítsük -el Ezutá foglalkozzuk a korlátossággal. Mivel a sorozat szigorúa mooto csökke, ezért felülr l biztosa korlátos, hisze az els eleme a legagyobb, a többi aál biztosa kisebb. Ez egybe azt is jeleti, hogy a sorozat legkisebb fels korlátja az els elem. A legkisebb fels korlátot gyakra K-val jelölik, így most K a Ez a szám fels korlát, hisze a sorozat 4 1 egyetle eleme sem agyobb ála. Eél kisebb fels korlát azoba ics, hisze a 1 a 12-él kisebb számok bármelyikéél agyobb. Alulról is korlátos, mert ha mooto csökke és va határértéke, akkor a határérték egybe alsó korlát is. Godoljuk át, ha lee a sorozatak a határértékél kisebb eleme, akkor az aál agyobb idex elemek a szigorúa mooto csökkeés miatt még kisebbek kellee, hogy legyeek. Ekkor azoba a sorozat már távoloda a határértékt l az idex övekedésével, ami elletmodás. A legagyobb alsó korlátot gyakra k-val jelölik, így eze sorozatál k 5. Eél agyobb 4 szám azért em alsó korlát, mert a határértéket a sorozat elemei mide határo túl megközelítik, így bármely 5 -él agyobb szám eseté 4 létezik a sorozatak olya eleme, ami kisebb ála. Még küszöbidexet kell számoluk a megadott ε 10 2 értékhez. Ez azt jeleti, hogy olya természetes számot kell meghatározuk, amelyél agyobb idex elemei a sorozatak ε-ál kevesebbel térek el a határértékt l. Fogalmazzuk meg ezt matematikai jelekkel is. Nyilvá egyel tleséget kell felíruk, s eze egyel tleség megoldásával kapuk majd küszöbszámot. A szövegek megfelel egyel tleség a következ : a a < ε. Az abszolút értékre azért va szükség, mert a határérték és a külöbsége lehet egatív is, de a kett eltérése viszot em. Két szám eltérése a külöbségük abszolút értéke. Helyettesítsük be eze általáosa felírt egyel tleségbe a feladatba szerepl adatokat <

12 Oldjuk meg az egyel tleséget. Els lépéskét hozzuk közös evez re az abszolút értéke belül, és a kapott tört számlálójába és evez jébe végezzük el a m veleteket. 54 ) ) 44 ) < < < Most vizsgáljuk meg az abszolút értéke belül álló törtet. Számlálója egatív, evez je biztosa pozitív, mert IN, azaz 1, 2,. Egy egatív szám abszolút értéke egyel a szám 1-szeresével, azaz jele esetbe ) Ezt írhatjuk tehát az egyel tleségbe, s így elhagyhatjuk az abszolút értéket < Ezutá redezzük -re az egyel tleséget. 400 < < 16 > Azt kaptuk tehát, hogy ha a sorozatak olya elemét vesszük, melyek idexe agyobb mit akkor az elem biztosa közelebb lesz a határértékhez 0.01-ál. Ez azt jeleti, hogy ε hoz tartozó küszöbszám a 269, és mide eél agyobb szám. Ha a legkisebb küszöbszám meghatározása a feladat, akkor az jele esetbe a 269. Megjegyzés: Számoljuk ki a sorozat 269. és 270. elemét. a a Amit látható, a 269. elem, még 0.01-ál többel tér el a határértékt l, de a 270. elem már 0.01-ál kevesebbel. A 269. elem a legagyobb idex olya elem, mely 0.01-ál többel tér el a határértékt l. 2. Feladat: Vizsgáljuk meg az a 1 9 sorozatot mootoitás szempotjából! Ha korlátos a sorozat, adjuk meg a legagyobb alsó és a 5 4 legkisebb fels korlátot! Határozzuk meg a sorozat határértékét, és adjuk meg ε 10 -hoz küszöbidexet! 12

13 Megoldás: A feladat ugyaolya, mit az el z, így haszáljuk mitáak aak megoldását. A mootoitás vizsgálatához vegyük két szomszédos elem külöbségét, és határozzuk meg aak el jelét. a +1 a ) 5 + 1) )5 4) 1 9)5 + 1) 5 + 1)5 4) ) ) 5 + 1)5 4) ) ) 5 + 1)5 4) )5 4) Olya törtet kaptuk, melyek számlálója és evez je is pozitív mide IN eseté, így maga a tört is pozitív. Most tehát a +1 a > 0, azaz a +1 > a, s ez az egyel tleség mide IN eseté teljesül. Ebb l következ e a sorozat szigorúa mooto. Határozzuk meg a határértéket Mivel a sorozat szigorúa mooto, ezért az els elem most a legagyobb alsó korlát lesz, azaz k a pedig a legkisebb fels korlát, azaz K a 9 5. Végül határozzuk meg ε 10 -hoz küszöbidexet. Ehhez az alábbi egyel tleségb l iduluk el. a a < ε. Ebbe behelyettesítjük a feladat adatait < )5 4) 51 9) 55 4) < < , a határérték Most vizsgáljuk meg az abszolút értéke belül álló törtet. Számlálója is, evez je is pozitív, mide IN, azaz 1, 2, eseté. Egy pozitív szám abszolút értéke egyel magával a számmal, így az abszolút érték most egyszer e elhagyható. 1

14 Ezutá az egyel tleség a következ : < Redezzük ezt -re < < 25 > Az egyel tleség megoldását lefelé kerekítve már küszöbszámot kapuk, azaz 1240 már küszöbszám, de mide eél agyobb természetes szám is küszöbszám. Az 1240 a legkisebb ε 10 -hoz tartozó küszöbszám. 2. Feladat: Határozzuk meg az a 4 5 sorozat határértékét, + 8 ha létezik. Megoldás: Nyilvávaló, hogy a számláló is és a evez is végtelehez tart, azaz egy típusú határérték a kérdés. Az alapfeladatokba ilye esetbe egyszer sítettük a törtet. Most a külöböz gyökök miatt ehézkes lee az egyszer sítés, ezért haladjuk egy kicsit másképp. A számlálóba és a evez be is emeljük ki a gyök alatt a leggyorsabba övekv részt. ) ) A szorzatokból vojuk téyez két gyököt. ) ) Botsuk fel ezutá a törtet két tört szorzatára A második tört határértékéek meghatározása köy, mert a gyökök alatti törtek 0-hoz tartaak. Foglakozzuk ezért csak az els törttel. Mivel a számlálóba és a evez be csupá egy hatváya áll valamilye gyök alatt, így törtkitev s hatváyokat írhatuk ikább. 14

15 / / A két hatváy háyadosát egyetle hatváykét is írhatjuk. 4/ 2 / / 2/) A kitev be végezzük el a kivoást. 2 4/ 2/) /6) Ezutá határozzuk meg az els téyez határértékét. Tudjuk, hogy egatív kitev s hatváyai 0-hoz tartaak, ha tart a végtelebe, így az els téyez 0-hoz tart. Ezek alapjá az eredeti határérték a következ : 2 1/6) Megjegyzés: A megoldás sorá említettük, hogy egatív kitev s hatváyai 0-hoz tartaak. Felvet dik a kérdés, mi a határérték, egyéb esetekbe. Ezt rövide az alábbi módo tudjuk leíri: a, ha a > 0 1, ha a 0. 0, ha a < 0 A pozitív kitev s hatváyok tehát végtelehez, a egatív kitev sek pedig 0-hoz tartaak. Ha pedig 0 a kitev, akkor 1 a határérték. 4. Feladat: Határozzuk meg az a ha létezik sorozat határértékét, Megoldás: A határérték yilvá típusú. Hasoló feladattal találkoztuk már az alapfeladatok között. Haszáljuk a hatváyozás azoossá- gait, és érjük el, hogy mideütt csak álljo kitev be Ezutá egyszer sítsük 9 -el

16 ) ) ) 5 A részleteket vizsgálva azt látjuk, hogy 0, valamit ) 9 7 0, hisze midkett a típusú, ahol 1 < a < 1. 9 Ebb l pedig már az egész tört határértéke is meghatározható ) 1 ) Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha létezik. Megoldás: A határérték yilvá most típusú. Az alapfeladatok között ehhez hasolóval is találkoztuk. Az ottai megoldásba ismertetett módo idulhatuk, azaz gyökteleítük. ) ) ) ) 2 1) Az alapfeladatokál eyi elég is volt a határérték meghatározásához, mert ott a gyökteleítés utá már csak egy kostas maradt a számlálóba, így véges típust kaptuk, ami em kritikus. Most azoba a számlálóba szerepel az, így az végtelehez tart, s így a tört típusú, ami kritikus. Emeljük ki a számlálóba és a evez be -et, majd egyszer sítsük vele. + 5 ) Mivel ) 2 ezért a átalakítható. ) 16

17 ) 2 Ezutá a határérték az alábbi alakot ölti: A részletek határértékét vizsgálva azt modhatjuk, hogy az összes kicsi tört 0-hoz tart, hisze véges típusú. A pedig végtelehez tart. Ebb l a határérték: A sorozat tehát em koverges, ics határértéke. 6. Feladat: Határozzuk meg az a sorozat határértékét, ha létezik. Megoldás: A határérték yilvá most is típusú, és gyökteleítéssel kezdhetük hozzá a feladat megoldásához ) ) ) ) 4 2 5) A gyökteleítés utá típusú törtet kaptuk, így egyszer sítéssel célszer próbálkozi. Mivel a evez be a gyök alatt 2 is el fordul, ezért most 2 emelhet ki, és utáa ezzel egyszer síthetük. + 5 ) ) A kifejezésbe szerepl összes kicsi tört 0-hoz tart, mert midegyik véges típusú. Ebb l következ e a határérték az alábbi: 17

18 Feladat: Határozzuk meg az a ha létezik. ) sorozat határértékét, + 2 Megoldás: Els két vizsgáljuk meg az alap és a kitev határértékét. A kitev yilvá végtelehez tart. Az alapot egyszer sítsük -el Amit látható, 1 típusú a határérték. Alakítsuk át az alapot úgy, ahogya azt az alapfeladatokál tettük ehhez hasoló esetbe. Botsuk fel a számlálót két tagra úgy, hogy az egyik tag a evez legye, majd a törtet daraboljuk két törtre, és egyszer sítsük. ) ) + 2) ) ) 5 1 Ha a kitev be is +2 álla mit a evez be, akkor késze leék. Léyegébe ilye esettel találkoztuk az alapfeladatok között. Most jó lee eléri azt, hogy megjeleje a kitev be a +2. Ez megoldható, ha a kitev be szorzuk is és osztuk is + 2-vel, azaz b vítjük a kitev t ) A kitev be csoportosítsuk át a téyez ket ) +2) ) 5 1) Ha kitev be szorzat áll, akkor az ismételt hatváyozáskét is írható ) ) Ezutá külö vizsgálhatjuk zárójele belüli hatváy, és a kitev be álló tört határértékét. Az alapfeladatokál ismertetett okból ) +2 e A kitev esetébe pedig -el egyszer sítve kapjuk a határértéket. 18

19 Ezutá az eredeti határérték a következ : ) ) e 2 ) 5 e 2 5 e Feladat: Határozzuk meg az a ha létezik. ) sorozat határértékét, Megoldás: Els két vizsgáljuk meg az alap és a kitev határértékét. A kitev yilvá végtelehez tart. Az alapot egyszer sítsük -el Amit látható, a határérték 1 típusú. Alakítsuk át az alapot úgy, ahogya azt az el z feladatál tettük. ) ) 6 + 4) ) ) ) Megit az a goduk, hogy a kitev be em ugyaaz áll, mit a evez be. Az el z feladat megoldásához hasolóa b vítsük a kitev t ) ) ) A kitev be csoportosítsuk át a téyez ket ) ) Ha kitev be szorzat áll, akkor az ismételt hatváyozáskét is írható ) ) Ezutá külö vizsgálhatjuk zárójele belüli hatváy, és a kitev be álló tört határértékét. Az alapfeladatokál ismertetett okból ) 6+4 e

20 A kitev esetébe pedig -el egyszer sítve kapjuk a határértéket Ezutá az eredeti határérték a következ : ) ) e 5 ) 1 e 5) 1 e

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

I. rész. Valós számok

I. rész. Valós számok I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7

Sorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7 Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

Bevezető analízis II. példatár

Bevezető analízis II. példatár Bevezető aalízis II. példatár Gémes Margit, Szetmiklóssy Zoltá Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Matematikai Itézet 06. ovember 3. Tartalomjegyzék. Bizoyítási módszerek, valós számok 3..

Részletesebben

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) Z(G), mert az egységelem yilvá felcserélhet mide G-beli elemmel. Továbbá Z(G) zárt a szorzásra, mert ha a, b Z(G), akkor tetsz leges g G-re (ab)g

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Sorozatok. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!(indoklással, nem elegendő a sorozat. (a) a n = n+1

Sorozatok. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!(indoklással, nem elegendő a sorozat. (a) a n = n+1 Bodó Báta 1 Sorozatok 1. Vizsgálja mg az alábbi sorozatokat mootoitás szmpotjából!idoklással, m lgdő a sorozat éháy lmék kiszámolása.) a) +1 +3 b) +3 1+ szigorúa mooto csökk c) 2 2+ d) B +7 21 szigorúa

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorokkal kapcsolatos tételek és ellepéldák Szakdolgozat Készítette: Csala Mátyás Matematika Bsc Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai

Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet

Részletesebben

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1

1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1 . feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000

Részletesebben

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8

Végtelen sorok. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo március Mértani és teleszkopikus sorok 8 Végtele sorok (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. március 25. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. A sor fogalma 3 3. Mértai és teleszkopikus sorok 8 4. Abszolút és feltételese koverges sorok 4 5. Sorok

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba

Részletesebben

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

1. gyakorlat - Végtelen sorok

1. gyakorlat - Végtelen sorok . gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető

Mérések, hibák. 11. mérés. 1. Bevezető 11. méré Méréek, hibák 1. evezető laboratóriumi muka orá gyakra mérük külöböző fizikai meyiégeket. Ezeket a méréeket bármeyire ügyeek vagyuk i, bármeyire moder digitáli mérőezköz gombjait yomogatjuk i

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben