Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Átírás

1 Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk belőlük, és esetleg utáa redezzük sorba Mide ilye feladatál fel lehet tei a következő kérdéseket Sorba kell-e redezi az összes elemet? Permutáció) Ki kell-e választai közülük valameyit? Variáció vagy kombiáció) Az elemek külöbözőek, vagy azoosak is vaak közöttük? Ismétlés élküli vagy ismétléses) A kiválasztás utá számít a sorred vagy em? Variáció vagy kombiáció) A következőkbe a feti felsorolás zárójelbe lévő fogalmait fogjuk potosa defiiáli 11 Variáció 1 Defiíció Egy elemű halmaz elemeiből képezhető k-tagú ismétlődést megegedő) sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétléses variációjáak evezzük Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak az 1, 8, 7, 1, 10 sorozat egy 5-öd osztályú ismétléses variációja 3 Defiíció Egy elemű halmaz elemiből képezhető k-tagú ismétlés élküli sorozatot az elem k-adosztályú vagy k-tagú) ismétlés élküli variációjáak, vagy csak egyszerűe variációjáak evezzük Ilye csak akkor létezik, ha k 4 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 10, 7, 1, sorozat egy 5-öd osztályú variációja 5 Megjegyzés A feti defiíciók léyege, hogy elemből kiválasztuk k darabot és utáa sorba redezzük Ismétléses variációál darab külöböző elemből akkor is ki tuduk választai k darabot, ha esetleg k > Nyilvá az ismétlés élküli esetbe ez em tehető meg, mert darab külöböző elemből legfeljebb külöböző darabot választhatuk ki Felmerül a kérdés, hogy háy külöböző variációja és ismétléses variációja va egy elemű halmazak Azaz külöböző elemből kiválasztva k darabot, majd ezeket sorba redezve háy külöböző sorozatot kaphatuk Erre ad választ a következő két tétel 1

2 6 Tétel Legye, k N Ekkor elem k-adosztályú ismétléses variációiak száma k 7 Tétel Legye, k N és k Ekkor elem k-adosztályú variációiak száma 1) ) k + 1) 8 Megjegyzés Az előző tételbe szereplő képletet úgy célszerű megjegyezi, hogy egy egyesével csökkeő k-téyezős szorzatot képzük 9 Példa Háyféleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt? A magyar totó 14 meccs végeredméyére lehet fogadi, és midegyik meccs kimeetele háromféle lehet: 1, 0 vagy x) A {0, 1, x} halmaz elemeiből kell képezük egy hosszú sorozatot Nyilvá két meccs eredméye lehet ugyaaz is, ezért a feti, ismétléses variációra voatkozó képletet kell haszáluk = 3 és k = 14 adatokkal Így féleképpe tölthetük ki egy totószelvéyt 10 Példa Egy taácsba 10 ember ül, és ki akarják maguk között sorsoli, hogy ki legye az igazgató és az igazgató helyettese Háyféleképpe végződhet a sorsolás? Ismétlés élküli variációról va szó = 10 és k = paraméterekkel A sorred valóba számít a kisorsoltak között, mert em midegy, ki lesz az igazgató, és ki lesz a helyettese) Tehát a sorsolás 10 9, azaz 90-féleképpe végződhet? 11 Példa Háy külöböző égybetűs szó képezhető a SAJTÓ szó betűiből? Az 5 külöböző betű közül kell kiválasztai 4-et a feladat em modja, hogy em ismétlődhetek), és ezeket kell sorbaredezi, tehát ismétléses variációt kell alkalmazi = 5 és k = 4 paraméterekkel Így 5 4 szó képezhető 1 Példa Egy kerékpárlakato egy 4 számjegyből álló kombiáció yitja és zárja a zárszerkezetet Elfelejtettük ezt a kombiációt Legrosszabb esetbe háy kombiációt kell végigpróbáli? Ismétléses variáció = 10 és k = 4 paraméterekkel, mivel a 10 külöböző számjegyből kell 4-et kiválasztai, és azokból sorozatot képezi A lakat az ismétlődő számjegyeket em tiltja) Így 10 4 kombiáció lehetséges 13 Példa Egy bajokságo 8 csapat idult Háyféle sorred alakulhat ki a dobogó, ha sehol sem lehet holtversey, és mide csapat csak egy darab helyezést érhet el Ismétlés élküli variációt kell alkalmazi, mert a 8 csapatból kell kiválasztai 3-at, őket sorba redezi, mert a dobogó számít a sorred, és az ismétlést a feladat szövege tiltja Összese sorred lehetséges 1 Permutáció 14 Defiíció Adott külöböző elem eseté azokak egy sorba redezését az elem egy ismétlés élküli) permutációjáak evezzük 15 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 8, 1,, 7, 10, 3 sorozat egy permutációja

3 16 Megjegyzés Középiskolába általába a permutációkat elkülöítve próbálják taítai a variációktól, pedig észre kell veük, hogy a permutáció egy olya variáció, ahol egy elemű halmazból elemet választuk ki, és ezeket rakjuk sorba Tehát olya, mit az ismétlés élküli variáció k = paraméterekkel A permutációkak is létezik ismétléses változata, azoba eek defiiálásához vissza kell emlékezük a redszer fogalmára A redszer a halmazhoz hasoló fogalom, ayi a külöbség, hogy a redszerbe egy elemet többször is felsorolhatuk Például az 1, 1, 3, 4, 6, 6, 7 egy 7-elemű redszer A redszerek elemeit szádékosa em tesszük kapcsos zárójelbe, mert azt halmazok eseté haszáljuk, és a redszer em halmaz 17 Defiíció Egy elemű redszer elemeiek sorozatba rakását az elem ismétléses permutációjáak evezzük 18 Példa A 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 redszerek a 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4 sorozat egy ismétléses permutációja 19 Tétel Legye N 0 Ekkor elem ismétlés élküli permutációiak száma 1) ) 1 =! ejtsd: faktoriális) Megállapodás szerit 0! = 1! = 1 0 Tétel Tekitsük egy elemű redszert, melybe r külöböző elem va, és mide külöböző elemből k 1, k,, k r darab va a redszerbe Tehát = k 1 + k + + k r Ekkor az elem ismétléses permutációiak száma! k 1! k r! A k i számokat az i-edik elem multiplicitásáak evezzük, ez mutatja, hogy az i-edik elemek háy példáya va a redszerbe 1 Példa Háyféleképpe tuduk 6 külöböző köyvet sorba redezi a köyvespolco? A válasz 6! = 70 Példa Háy külöböző 5-betűs szó készíthető az ABLAK szó betűiből, midegyiket felhaszálva? Azaz 5 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 5!! = = 60 3 Példa Háyféleképpe lehet egy 5 lapos póker-paklit megkeveri? A válasz 5!, ami mellékese egy 68 jegyű szám 4 Példa Háyféle külöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűiek? Azaz 10 elemet kell sorba redezi, ám az elemek között vaak egyformák Ekkor ismétléses permutációt haszáluk, a válasz 10!! 3!! = Példa Háy 10 jegyű szám készíthető 6 darab kettes, darab hetes és darab hatos számjegyből, ha midegyiket fel akarjuk haszáli? Ismétléses permutációról va szó, ahol a redszer 10 elemű, azaz = 10 Továbbá három darab külöböző elem va a redszerbe:, 7, 6 Az ezekhez tartozó multiplicitások: k = 6, k 7 = és k 6 = Tehát a válasz a kérdésre: 10! 6!!! 3

4 13 Kombiáció 6 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részhalmazait az elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak evezzük 7 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a {, 7, 8} halmaz egy 3-ad osztályú kombiációja 8 Megjegyzés Részhalmazok felsorolásáál az elemek sorredje em számít, mert halmazelméleti szempotból {1,, 3} = {3, 1, } Vegyük észre, hogy egy -elemű halmaz k-elemű részhalmazáak megadása azt jeleti, hogy elemből kiválasztuk k darabot, és a feti megjegyzés alapjá eze kiválasztásál az elemek sorredje em számít 9 Defiíció Egy elemű halmaz k elemű részredszereit az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak evezzük 30 Példa A H = {1,, 3, 7, 8, 10} halmazak a 3, 7, 3, 1, 10, 1, 3 redszer egy 7-ed osztályú ismétléses kombiációja 31 Megjegyzés Az előző defiícióba a részredszer képzése azt jeleti, hogy egy elemet többször is kiválaszthatuk a halmazból Az elemek sorredje most sem számít, mivel a redszerbe em számít az elemek sorredje 3 Tétel Legye k Ekkor elem k-adosztályú ismétlés élküli kombiációiak száma )! 1) k + 1) = = k k)! k 1 33 Defiíció Az előző tételbe szereplő k) kifejezést biomiális együtthatóak evezzük 34 Tétel Az elem k-adosztályú ismétléses kombiációiak száma ) + k 1 k 35 Példa Háyféleképpe tudjuk kitöltei az ötöslottót? Magyarországo 90 számból 5-öt kell megtippeli) Mivel a sorsolás utá a megjelölt számok sorredje teljese irrelevás, így a 90 számból 5 darab kiválasztásáál a sorred em számít Tehát ) féleképpe tölthető ki egy ötöslottószelvéy 36 Példa Háyféleképpe osztható szét forityi jutalom 3 dolgozó között, ha mideki csak rel osztható összeget kaphat? Természetese az is megegedett, hogy valaki em kap semmit) Ismétléses kombiációról va szó, mert mide tízezresre ki kell választai egy embert a három közül Tehát 3-ból választuk 10 helyre, és egy-egy embert yilvá több ezreshez is ki kell választauk, így a megoldás ) = 1 10) 4

5 37 Példa Háy olya domió va, amelyek midkét felé a potok száma 0-tól 6-ig terjed? Így 7 elemből kell kiválasztai -t, de egy elemet midkét oldalra is kiválaszthatuk, azaz ismétléses kombiációt kell haszáli Így ) 7+ 1 = 8 ) = 8 domió va, ami a feladat feltételéek eleget tesz Biomiális tétel Emlékezzük vissza a középiskolába is tault a + b) = a + ab + b és a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 azoosságokra Mit ahogy az a következő tételből látható lesz, ez a -es és 3-as kitevő helyett általáosítható tetszőlegese agy egész kitevőre 38 Tétel Biomiális tétel) Ha N, továbbá a és b valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor ) ) ) ) ) a + b) = a + a 1 b + a b + + ab 1 + b, vagy rövidebbe a + b) = i=0 ) a i b i i Azért, hogy lássuk, a biomiális tétel hogya kapcsolódik a kombiatorikai problémákhoz, vizsgáljuk meg a jobboldali összegebe fellépő általáos i) a i b i tagot Képzeljük el, hogy az darab a + b) téyezőt elkezdjük összeszorozi egymással egyesével Azokat a tagokat számoljuk, ahol i darab b-t, és i darab a-t szorzuk össze Háyféleképpe tehettük ezt meg? Potosa ayiféleképpe, aháyféleképpe az darab a + b) téyezőből ki tudjuk választai az i darab b-t Ez pedig potosa i) A biomiális együtthatókból felépíthető Pascal-háromszögből azoal látszódak a biomiális együtthatók legfotosabb tulajdoságai Az alábbi ábrá látható a Pascal-háromszög első éháy sora, melybe az k) értékek vaak feltütetve = 0, k = 0 0 = 1, k = 0, 1 1 ) 0) =, k = 0, 1, ) ) 1) = 3, k = 0, 1,, 3 3 ) 3 ) 3 ) ) = 4, k = 0, 1,, 3, 4 4 ) 4 ) 4 ) 4 ) 3) ) = 5, k = 0, 1,, 3, 4, 5 5 ) ) A biomiális együttható és a Pascal-háromszög legfotosabb tulajdoságait az alábbi tétel foglalja össze 5

6 39 Tétel Legye k, N 0 és k Ekkor érvéyesek az alábbi összefüggések 1 0) = ) = 1 A háromszög két oldalá 1-esek állak) ) k = k) A háromszög tegelyese szimmetrikus) 3 Ha 0 < k <, akkor ) k = 1 ) k ) k A háromszögbe bármelyik elem a felette lévő két elem összege, feltéve, hogy va felette két elem) 4 Bármely N 0 -ra i=0 i) = A Pascal-háromszögbe az i-edik sor összege i 1 ) Természetese adódik a kérdés, hogy a kitevő általáosítása utá, tudjuk-e tovább általáosítai a problémát, modjuk a változók számát tekitve A választ az alábbi tétel adja meg 40 Tétel Poliomiális tétel) Ha N, továbbá a 1,, a k valós számok, vagy valós határozatlaok, akkor 3 Szitaformula a a k ) = i 1,,i k N 0 i 1 ++i k =! i 1! i k! ai 1 1 a i a i k k Köye megfigyelhető a halmazokra voatkozó alábbi állítás 41 Állítás Ha A, B véges halmazok, akkor A B = A + B A B A feti állítás szemléletese köye igazolható, ugyais az A B halmazba azok az elemek vaak, amik legalább az egyikbe bee vaak Így megszámoljuk azokat, amelyek bee vaak A-ba, illetve külö, amik bee vaak B-be, de mivel a metszetüket kétszer számoltuk, így a metszet elemszámát egyszer le kell voi, hogy mide elemet csak egyszer számoljuk Természetese a feti állítás kiterjeszthető több halmazra is 4 Tétel Legyeek A 1, A véges halmazok Ekkor A 1 A = 1) r 1 r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A i1 A ir A feti tétel első ráézésre egyáltalá em tűik kéyelmesek Segíthet, ha megértjük, mi törtéik a képletbe Va darab véges halmazuk, és keressük az uiójuk elemszámát Az r = 1 eseté összeadjuk a halmazok elemszámát Így éháy elemet kétszer számoltuk ezért le kell vouk belőle bizoyos elemszámokat, például r = eseté a kettős metszetek elemszámát Ezutá hozzáadjuk a hármas metszetek elemszámát, levojuk a égyes metszetek elemszámát, és ezt folytatjuk, míg el em jutuk az r = esethez, ami az összes halmazak a metszete A feti tétel következméye a szitaformula 6

7 43 Tétel Szitaformula) Legyeek A 1, A halmazok a véges U uiverzum részhalmazai Ekkor A1 A = U + 1) r A i1 A ir r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A szitaformula a 4 Tétel egyees következméye, ugyais A1 A = U A 1 A 44 Példa A szegedi tudomáyegyetem matematika taszékcsoportja 100 matematika, 00 biológia és 400 iformatika szakos hallgatót oktat Akik egyszerre matematika és biológia szakosak, azokak a száma 1, a matematika és iformatika szakosoké 44, illetve a biológiaiformatika szakos hallgatók száma 6 Négy fő végzi egyszerre mid a három szakot Háy hallgatót oktat a matematika taszékcsoport? Jelölje I, B, M redre az iformatika, biológia és matematika szakos hallgatók halmazát Ekkor a a 4 Tétel szerit I B M = I + B + M I B I M B M + I B M = = 64 7