Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Átírás

1 ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk: számít a sorred).permutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) Pl..) Az,, számjegyekbl, ismétlés élkül, háy háromjegy szám írható? F. db. va. A feti példába elállítottuk elem ismétlés élküli permutációit: elemet helyre redeztük úgy, hogy egy elem csak egyszer szerepelhetett. A permutációk számáak megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. -ból -bl -bl választok választok választok Tehát a permutációk száma: = P ( permutáció elembl ). Ugyaazt jelöli a! ( faktoriális ) is. Pl..) Az ALOM szó betibl háy égybets, em föltétleül értelmes szót lehet fölíri? (tegyük föl, hogy a betk kártyáko állak, tehát em ismétldhetek.) ALOM L M O ALMO L M O AOLM L M O AOML L M O AMLO L M O AMOL L M O Látható, hogy égy oszlop va, mivel a betl bármelyik állhat az els helye. Hogy a maradék helyre a femaradó bett féle módo lehet elhelyezi, azt már az el feladatba láthattuk. Másképpe godolkodva: I. II. III. IV P! ( db) l ból bl bl választuk Tehát a felsorolt formák: elem ismétlés élküli permutációi (valójába a -bl csak - ot soroltuk föl, a többi csak el va kezdve).

2 . Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. Az elem valamely sorredbe való felsorolása az A halmaz egy ismétlés élküli permutációja. Az A halmaz összes permutációiak a számát P -el jelöljük, és P! ahol!... és 0! Pl..) Az ALMA szó betibl égybets szavakat alkotuk. Háyat lehet? Fel lehet íri mid a -et, de közülük -t ki kell húzi: eyi esetbe kapuk olyat, amit már elleg megkaptuk. Így godolkodhatuk: Vesszük úgy, mitha mid a bet külöböz lee, de az így kapható számot osztai kell!-sal, jele esetbe -vel. Ha rögzítjük két em ismétl bet pozícióját: ALMA, mide esetbe potosa feleayi felírás va, mert A-t A-val felcserélve em kapuk új felírásokat. gésze potosa: ayiszor kevesebb permutáció va, aháyszor az ismétl betk a femaradt helyekre elhelyezhetk leéek, ha azok külöbözk voláak. Amit így felírtuk elem permutációi ( elemet helyre redeztük), amelyek közül kett ismétldött.,,! Jele: P P! Pl..) Adottak a következ számkártyák:. Háy ötjegy szám alkotható ezekbl? Itt az kártyák mide rögzített pozíciója eseté hatszor kevesebb eset va ( P ).,,! 0 Tehát P 0.! Pl..) Az, számjegyekbl háy olya ötjegy szám írható föl, amelybe az -es háromszor, a -es pedig kétszer szerepel?,! 0 P 0!! ( ) (). Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. ek elemeibl olya sorozatokat alkotuk, amelybe az a elem k -szer, az a elem k -ször,, az a elem k -szer fordul el. Az így kapott sorozatokat az elem ismétléses permutációjáak evezzük. zek száma: k, k,..., k! P k! k!... k!

3 Pl..) Adott a mellékelt elredezés. Háyféleképpe olvasható ki A VIZSGA szó, ha csak jobbra vagy lefelé lehet haladi? V I Z S I Z S G Z S G A A V-tl az A-ig haladva lépéslehetség. bbl az elredezést figyelve törtéhet,! jobbra és lefelé. Tehát a lépések száma: P 0!! -A feladat ugyaaz, mitha a j, j, j, l, l betket redezém helyre (jobbra, lefelé ),, tehát valóba P -rl va szó. -Másképpe megoldva (rekurzív számlálással): idexeljük a betket azzal a számmal, amely azt mutatja, hogy az illet bethöz háyféle módo juthatuk. Az utolsó bet (A) idexe megadja az összlehetségek számát: V I Z S Látható, hogy az eredméy így is 0. I Z Z S S G G A 0.Variációk ismétldés élkül és ismétldéssel (kiválasztási és sorredi kérdések) Pl..) Va égy számkártya:. Háy háromjegy szám rakható ki ezekbl? -bl -ból -bl Választuk = (db) db db db db Amit felírtuk elem -ad osztályú variációi, ismétlés élkül. ( elembl helyre választottuk, ismétldés élkül) Jele: V ( db)

4 . Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. zek elemeivel k elem részhalmazokat képezük, amelyekél a sorred is számít. V -val jelöljük az összes ilye halmazok számát, és elemek k-ad osztályú ismétlés k élküli variációjáak hívjuk. A variációk száma: V k ( ) ( )... ( k) k tag Tehát külöböz elem k-ad osztályú variációi: elembl választuk k helyre és mide elem csak egyszer szerepelhet. Az elbbi képletbl levezethet: V k! ( k)! Pl..) A,,, számjegyek felhaszálásával háy háromjegy szám írható fel? (a számjegyek ismétldhetek). -bl -bl -bl Tehát ismétléssel elembl választuk helyre. választok, V i ( db) Itt elem ismétléses variációiról va szó.. Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. zek elemeivel k elem részhalmazokat képezük, amelyekél a sorred is számít,, és egy elem többször is elfordulhat. V ki -val jelöljük az összes ilye halmazok számát, és elemek k-ad osztályú ismétléses variációjáak hívjuk, és k, i k V Az ismétléses variációál elembl választuk k helyre, de a kiválasztott elemek megit szerepelhetek. Pl..) gy yuszika egy öt fokozatú lépcs tetejé áll. Ugrádozik lefelé úgy, hogy bármelyik lépcsfokra ráugorhat, vagy át is ugorhatja. Háyféle ugráskombiációt próbálhat ki, amíg a földre ér? Mide lépcsfokál lehetség közül Választhat: vagy ráugrik, vagy em. Tehát lehetségbl választ helyre:, i V, vagy: I. II. III. IV. (lépcsfok)

5 Pl..) Dobókockával dobuk egymás utá égyszer és az eredméyeket (a dobások számjegyét) egymás mellé írjuk. Így mide égy dobás utá egy-egy égyjegy számot kapuk. Háy esetbe lesz a kapott égyjegy szám -gyel osztható? A -gyel való oszthatóság szabálya alapjá a jó végzdések :,,,,,,,,. Tehát 9 db jó végzdés va. I. II. III. IV. Az els két hely eseté -ból választuk:, i V. ból választuk 9 jó végzödés Tehát Ö = 9 = jó szám va. Pl..) Adott a következ elredezés. Háyféle képpe olvasható ki belle a MAT szó, ha csak jobbra vagy lefele léphetük? M A T lépés va M-tl -ig. Mide esetbe kétféle lehetség A T va. Tehát, i V. T Másképpe megoldva (rekurzív számlálással): Idexeljük a betket azzal a számmal, amely azt mutatja, hogy az illet bethöz háyféle módo juthatuk. M A T T A T Bármelyik -hoz jutuk, az mid jó, tehát a betk idexeit összeadjuk Ö = =.ombiációk ismétlés élkül és ismétléssel (kiválasztási kérdések) Pl.) Az A, B, C, D taulókból tagú csoportokat képezük. Háy ilye csoport va? F. db, éspedig: {A, B, C}; {A,. B, D}; {A, C, D}; {B, C, D}. Az egyszer kiválasztott bett itt em kell átredezi más sorredbe, mit a variációkál, tehát ayiszor kevesebb eset va. z ayi, mit aháyszor a elemet a megadott sorredbe tudtuk vola helyezi, vagyis P -szor kevesebb eset va.. Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. zek elemeivel k elem részhalmazokat képezük, amelyekél a sorred k NM számít. C -val jelöljük az összes ilye halmazok számát, és elemek k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációjáak hívjuk.

6 k zek számát C k k V!, vagy jelöli és C k Pk k!( k)! A feladat: elembl k elemet tartalmazó részhalmazokat alkoti. Másképpe: elembl válasszuk ki k darabot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorredje em számít. Megjegyzés Pl..) Osszuk szét tauló között egyforma ajádékot úgy, hogy mide gyerek csak - ajádékot kaphat. Háyféle módo lehet? Most a taulókból választuk az ajádékokhoz. Mivel az ajádékok egyformák, a kiválasztott tauló között em kell cserélgeti az ajádékokat, tehát em variációról, haem kombiációról va szó. V C 0 P Pl..) Osszuk szét tauló között egyforma ajádékot úgy, hogy mide gyerek tetszleges számú ajádékot kaphat. Háyféle módo lehet? V -aphatak a taulók - ajádékot (mit az elbb), ezek száma: C 0 P -aphat egy tauló ajádékot és egy tauló -et. Így az taulóból -t választuk. Az így kapott számot megduplázzuk, mert az els kaphat kettt és a második egyet, vagy fordítva. C 0 -aphat egy tauló ajádékot - féle képpe. Tehát összese = eset va. Amit ebbe az esetbe felírtuk, az elem -ad osztályú ismétléses kombiációja voltak. 7 Megfigyelhet, hogy C C7. Értelmezés: Legye A( a, a,..., a ) tetszleges elem redezett halmaz. zek elemeivel k elem részhalmazokat képezük, amelyekél a sorred NM, számít, és egy elem többször is elfordulhat. C ki -val jelöljük az összes ilye halmazok számát, és elemek k-ad osztályú ismétléses kombiációjáak hívjuk, k, i k és C C k Tehát az ismétléses kombiációk számáak kiszámítása visszavezetdik a em ismétléses kombiáció képletére.

7 Pl..) gy urába 0 cédula va -0-ig megszámozva. ihúzuk cédulát úgy, hogy mide húzás utá a kihúzott cédulát visszatesszük. Háy esetbe lesz a kihúzott legkisebb szám agyobb -ál? db olya cédula va, amelye hatál agyobb számok vaak. Tehát elembl kell -ös sorozatokat alkoti, ahol a sorred em számít, vagyis kombiációról va szó. Mivel mide húzás utá visszatevdik a már kihúzott cédula, ezért ismétléses a kombiáció., A válasz tehát: C i C C Megjegyzés: öye memorizálhatjuk faktoriálisok élkül is a következ képleteket: V C,, V ( ), V ( )( ) és így tovább ( ) C, ( )( ) C és így tovább. Newto biomiális képlete Az ( ab), ( ab),..., ( a b) biomok kifejtésére szolgál. lbb B. Pascal adta meg a kifejtésbe az együtthatókat, az úgyevezett Pasca-háromszögbe, amit Newto kombiációk segítségével is megadott. A Newto biomiális képlete a következ: ( ab) a Ca bca b... C ab Cab b vagy rövide: k k k k k k k ( ab) C a b, és az általáos tag képlete: Tk Ca b. Jó tudi, hogy: C k. k C 7