Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Átírás

1 Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke A római számírás szabályai: 1) Ha az egyik számjegyet többször - de legfeljebb háromszor - egymás után írjuk, azokat össze kell adni: II =, XXX = 0, CC = 00, MMM = 000 ) Ha nagyobb érték számjegyektl jobbra kisebb érték áll, akkor ezeket össze kell adni a nagyobb számjeggyel A kisebb érték számjegy ismétldhet is: XII = 1, LXXXVII = 87, MDCCLXVI = 1766 ) Ha kisebb érték számjegy áll a nagyobb érték számjegytl balra, akkor a kisebb érték számjegyet ki kell vonni a nagyobb értékl Ekkor nem ismétldhet a kisebb érték számjegy: XL = 0, XC = 90, IV =, IX = 9, ID = 99, EM = 999 ) Nem vonható ki, és nem ismételhet meg a V, L és D 5) Az I csak V és X eltt állhat azért, hogy leírhassuk az egyeseket Az X csak L és C eltt állhat azért, hogy leírhassuk az tízeseket A C csak D és M eltt állhat azért, hogy leírhassuk az százasokat Például 99 = XCIX és nem IC; 1999 = MCMXCIX és nem MIM 6) A 999-nél nagyobb számoknál az ezreseket jelöl számcsoport után írunk egy m bett, vagy azok fölé húzunk egy vonalat, a milliósok fölé két vonalat stb: XXImDCXII = 161, ÍVC -100, QCDXDC = Könnyen belátható, hogy ez a számképzési szabály, túl nagy számok esetén, körülményes A tízes számrendszerben való számíráskor tízesével csoportosítunk Ez azt jelenti, hogy tíz alacsonyabb rend csoport alkot egy magasabb rend csoportot Vagyis tíz db egyes = egy tízes, tíz db tízes = egy db százas, és így tovább Tehát az egységrendek: egyesek, tízesek, százasok, ezresek, tízezresek, százezresek, milliósok, tízmilliósok, százmilliósok, milliárdosok, tízmilliárdosok, százmilliárdosok Az egységrendek hármasával csoportosítva osztályokat alkotnak Minden harmadik egységrend egyben az illet osztály nevét is adja: egyesek, ezresek, milliósok, milliárdosok Az ezt követ megnevezések nem egységesek Magyarországon így következnek: milliárd, billió, billiárd, trillió, Romániában: milliárd, trillió, kvatrillió, kvintillió, következik A szakirodalom ezen nagy számok esetén kerüli a megnevezéseket, tíz hatványaival jelöli a számok nagyságrendjét Minden helyiértékes számírás esetén a számjegyeknek van: alaki értékük, helyi értékük (az illet számban melyik egységrend helyén állnak), a kett együtt adja az illet számjegy valódi értékét Az is megjegyzend, hogy a tízesével való csoportosításból értelemszeren adódik, hogy a számok írásához tíz számjegyet használunk: 0, 1,,,, 5, 6, 7, 8, 9

2 Más alapú számrendszerek A nem tízes számrendszerben, a megalkotás módja analóg a tízes számrendszerével Ha a -as számrendszerben dolgozunk, akkor egyes alkot egy magasabb rend csoportot, egy I rend csoportot, egy hármast (ez lesz a tízesek megfelelje) tízes alkot egy II rend csoportot, egy 9-est ( = 9) (ez lesz a százasok megfelelje) És így tovább Nézzük mindezt egy példával Legyen a szám a Ábrázoljuk és írjuk fel a megadott mennyiséget rendre a tízes, hármas és kettes számrendszerben a)a felírása a tíz többszörösei segítségével: 10 vagyis ha van darab pont, akkor abból tízesével csoportosítva db tízes csoport lesz és még megmarad db pont, tehát ez számjegyekkel leírva a -as számot eredményezi b)mi lesz a szám hármas számrendszerbeli alakja? Ha a pontot hármasával csoportosítjuk, elször is lesz 7 db hármas csoport (lásd a kis karikákat) Másképpen: :=7, kimarad pont, vagyis egyes De db tízes (így nem nevezhetem, mert nem 10-et ér!) ( pontot tartalmazó kis karika) alkot egy nagyobb karikát, vagyis egy százast Ennek a pontos megnevezése 9-es, vagy -as, vagy II rend egység Ilyenbl a rajzon két db van, mert ezeket az elleg kapott 7 tízes csoportosításával alakítottuk ki Osztással: 7:=, marad 1 (tízes) Mivel nincs legalább db II rend egységünk, azaz 9-es csoportunk, százasunk, itt megállunk a csoportosítással, tehát megkaptuk a -as szám -as számrendszerbeli alakját: 1

3 Kiolvasása kett egy kett a -as számrendszerben Ha eltekintünk a rajztól és az elvégzett osztásokat egymás mellé helyezzük, az utolsó hányados és hátulról eléfelé mellé írva a maradékokat, megkapjuk az elleg már felírt 1 alakot: : = 7 7 : = 1 Tehát = 1 c) Most keressük meg a kettes számrendszerbeli alakját Készítsünk rajzot! Ha a -at kettes számrendszerbe írjuk elször 11 db -es csoportot lehet kialakítani és kimarad ebbl 1 :=11, m=1 (Kérem ezt rajzon ellenrizni!) A 11 db kettes csoportból kettesével 5 db négyes csoportot lehet kialakítani és megmarad 1 kettes csoport 11:=5, m=1 Az 5 db négyes csoportból lesz db nyolcas csoport, db III rend egység, megmarad 1 négyes csoport 5:=, m=1 A két db nyolcas csoport viszont egy tizenhatos csoportot alkot, nyolcas csoport nem marad ki a csoportosításból :=1, m=0 Tehát így az () számot kaptuk Ha az osztásokat folyamatosan egymás mellé írjuk, az átalakítás így néz ki: : = : = 5 5 : = : = Tehát a bekeretezett számjegyeket jobbról balra haladva írjuk egymás után és megkapjuk () alakot, ami a -as szám kettes számrendszerbeli alakja Megjegyzés Figyeljük meg, milyen számjegyek fordulnak el a hármas számrendszerben, milyenek a kettes számrendszerben Az átalakítás módjából adódik, hogy egy tetszleges k alapú számrendszerben dolgozva a számrendszer számjegyei 0-tól (k-1)-ig terjednek, lévén hogy ezeket k-val való osztások maradékaiként kapjuk és az osztásokat addig végezzük, amíg az osztandó kisebb nem lesz az osztónál, ami egyben a számrendszer alapszáma (alapja) is A tízes számrendszerbl egy másikba való átírás módja mutatja a visszaalakítást is Nézzük ezt meg elször a hármas számrendszerbe átírt esetében Ha a = 1 kialakítási módját figyeljük, látható hogy a szám áll db II rend csoportból ( darab 9-esbl, db ²-ból) 1 db I rend csoportból (1 db -asból) db egyesbl Összefoglalva: 1 = A kettes számrendszerben: Megjegyzés ( )

4 -Ha a tízes számrendszerben egy számot a 10 hatványaival írhatunk föl, ezt egészen természetesnek tekintjük A k alapú számrendszer kialakításának a módjából adódik tehát, hogy egy tetszleges szám k rendszerbeli bontott alakjában a k hatványai szerepelnek, vagyis: n n1 anan 1 a1a0 a k a ( ) n n 1 k a1 k a k 0 -Ha pl k = 10, akkor a megnevezésük: egyesek, tízesek, százasok = 10², ezresek = 10³, -Ha pl k =, akkor a megnevezésük: egyesek, -esek, ² = -esek, ³ = 8-asok, Pl Alakítsuk át tízes számrendszerbe a következ számot, majd visszaalakítással ellenrizzük az átalakítás helyességét: A visszaalakítása 6-os számrendszerbe: : 6 = 1 1 : 6 = : 6 = : 6 = 0 0 : 6 = veletek a különböz alapú számrendszerekben A nem tízes alapú számrendszerekben a mveletek elvégzésének algoritmusa ugyanaz, mintha 10- es számrendszerben dolgoznánk Csupán a helyérték átlépésekre kell figyelni Mind a négy alapmveletet konkrét példán mutatjuk be, magyarázattal Összeadás Tehát az összeadásban a szokásos módon jobbról balra haladunk: 10 +1=, leírom a 0-t az egyesek helyére, megy tovább az =, leírom a 0-t (a -asok helyére), megy tovább az =, leírom az 1-et (a ²-osok helyére), megy tovább az =5, leírom a -t (a ³-osok helyére), megy tovább az =, leírom az 1-et (a -esek helyére)és leírom az 1-et az eltte való egységrend helyére (a 5 -esek helyére) Kiolvasom az összeget Az összeadás helyességét ellenrizend, az összeadandókat átírjuk 10-es számrendszerbe, elvégezzük az összeadást, majd az összeget visszaírjuk -as számrendszerbe Próbáljuk ezt önállóan elvégezni : 1 19, m 1 0, 19 : , m 0, : Tehát az összeadást helyesen végeztük el 1, m 1, 1 :, m, : 1, m 1 Végezzük el a következ összeadásokat önállóan Ha szükséges, itt következik a példák megoldása is: ( 5)

5 (5) Kivonás 0--at, nem lehet Az 1 db négyest felbontjuk db egyesre, -=1, leírjuk az 0010() egyesek helyére () Az I rend egység helyén 0 db négyes maradt 0--t, nem lehet 1101() A felbontásig elre kell mennünk a IV rend egységekig A db egyikét felbontjuk db III rend egységgé, tehát 1db IV rend egység marad Ebbl 1 db III rend egységet felbontunk db II rend egységre (marad tehát db III rend egység) A db II rend egység egyikét felbontjuk db I rend egységre (marad tehát db II rend egység) -=, leírjuk az I rend egységek helyére A II rend egységek helyén maradt db -=0, leírjuk a 0-t a II rend egységek helyére A III rend egységek helyén maradt db -=1, leírjuk a III rend egységek helyére A IV rend egységek helyén 1 db maradt 1 magában 1, leírjuk az 1-et a IV rend egységek helyére -Az ellenrzést az összeadáshoz hasonlóan végezzük el 0010 () : () 8, m 1, : 0, m, 0 : () Az eredmény egyezik, tehát a kivonás helyes 5, m 0, 5 : 1, m 1 -Végezzük el a következ kivonásokat: ( ) (9) () () (9) (9) Szorzás

6 55 A részszorzatok: 5 5x5=5, leírom az 1-et, megy tovább a 051 5x5+=9, leírom az 5-öt, megy tovább a 1 5 5x+=, leírom a 0-t, megy tovább a x+=1, leírom a -t, leírom a -t A második részszorzat: 10 1 x5=15, leírom a -at, megy tovább a x5+=17, leírom az 5-öt, megy tovább a x+=1, leírom a -t, megy tovább a x+=8, leírom a -t, leírom az 1-et A harmadik részszorzat: x5=0, leírom a -t, megy tovább a x5+=, leírom az 5-öt, megy tovább a x+=19, leírom az 1-et, megy tovább a x+=11, leírom az 5-öt, leírom az 1-et A részszorzatokat összeadjuk, így a szorzat 101 -Ellenrizzük a szorzás helyességét Az ellenrzés most is úgy történik, hogy a tényezket átírva 10-es számrendszerbe, így végezzük el a szorzást, majd a kapott szorzatot visszaalakítjuk a 6-os számrendszerbe : 6 7 : , m 1, 78, m, : : 6 1, m 0, 8, m, 1 : Tehát valóban visszakaptuk az el szorzás eredményét Még két példa Végezzük el a szorzásokat: 65 ( 7) : 6, m 1 7, m, ) ( 5 10 ) ( 1 Osztás Mivel az osztás egyenlsége, (a maradékos osztás tétele): O o h m, 0 m o, o 0, érvényes bármely számrendszerben, ezért az osztások próbáit ez alapján fogjuk elvégezni

7 (5) 1 : 11 próba : A hányados számjegyeinek megkeresésekor próbálkozunk: 0-ben a nincsen meg, tehát próbáljuk 00-ban, tehát ez jó, aláírjuk és kivonjuk 1-ben keressük a -at, ez nem jó, tehát csak 1-szer van meg 11 Tovább már az elek alapján adódik az osztás maradék része -Végezzük el a következ osztásokat, valamint próbájukat szorzással: 105 ( 6) : : 65 (5) : 5 : próba : próba : Megjegyzés A fenti mveletek elvégzésére koncentrálva egy kis empátiával ízelítt kaphatunk abból, hogy milyen nehézségekkel kell megküzdenie, fleg a kicsit gyengébb képesség alsós gyereknek akkor, amikor a mveletek elvégzésének algoritmusát kell megértenie és bevésnie Ezért a számrendszerekkel való munkát egy kicsit empátiafejleszt tréningnek is tekinthetjük, de mindenképpen fejleszti a koncentrációt és mélyíti a mveletvégzés algoritmusát